Samenvattingen · Wiskunde ANL · HAVO

Verandering: differenties, hellingen en toenamediagram (schoolexamen)

Veranderingen vormen domein D van het examenprogramma wiskunde A: je leert hoe je grip krijgt op de manier waaróp een grootheid verandert. In dit onderwerp bouw je de hele ladder op — van de toename tussen twee waarden, via het toenamediagram en de gemiddelde veranderingssnelheid (de helling van de koorde), tot de momentane veranderingssnelheid (de helling van de raaklijn). Dit onderwerp heeft een schoolexamen-accent: het tekenen en lezen van een toenamediagram en het kwalitatief beschrijven van verandering worden vooral in het schoolexamen getoetst, dus presenteer het niet als vaste centraal-examenstof.

4 Onderdelen~24 min leestijd5 VaardighedenNiveau Basis 1 · Standaard 2 · Verdieping 1

T·0888 / 14

Examenprofiel

Uit een tabel de toenames berekenen en aan het teken zien of een grootheid stijgt, daalt of gelijk blijft.Een toenamediagram tekenen en aflezen waar een grootheid het snelst verandert en waar een top of dal ligt.De gemiddelde veranderingssnelheid over een interval berekenen en herkennen als de helling van de koorde.De momentane veranderingssnelheid in een punt benaderen met een steeds kleiner interval en herkennen als de helling van de raaklijn.Verandering kwalitatief beschrijven en het toenamediagram gebruiken — met name schoolexamenstof binnen domein D (Veranderingen).

Operatoren:berekentekenbenaderinterpreteerberedeneer

basisniveau

Reken de toenames en de gemiddelde veranderingssnelheid foutloos uit een tabel of formule en herken steeds het teken (stijgen of dalen).

verhoogd niveau

Beschrijf verandering kwalitatief met het toenamediagram en benader de momentane veranderingssnelheid met een steeds kleiner interval — deze vaardigheden worden met name in het schoolexamen getoetst.

Diepte

Tekst

Inhoud · 4 onderdelen

Verandering: differenties, hellingen en toenamediagram (schoolexamen)

Differenties en toename: het verschil tussen opeenvolgende waarden#

Basisexamenblad-nl

Toenametabel met een toenamekolom

Afb. 1Het aantal deelnemers aan een online cursus per week. De rechterkolom toont de toename ΔN ten opzichte van de vorige week: eerst positief (stijgen), na week 3 negatief (dalen). De toename wisselt van teken na week 3, waar het aantal het hoogst is.

Het hele domein Veranderingen draait om één vraag: hóe verandert een grootheid? De eenvoudigste maat daarvoor is de toename. Een toename is een differentie — een verschil — tussen twee opeenvolgende waarden van een grootheid. Staat in een tabel achtereenvolgens

y_n

y_{n+1}

, dan is de toename het tweede getal min het eerste:

\Delta y = y_{n+1} - y_n

. De Griekse hoofdletter

\Delta

(delta) spreek je uit als „verschil van” en hoort standaard bij een verschil van twee waarden. Let goed op de volgorde: je trekt altijd de eerdere waarde af van de latere, dus „nieuw min oud”. De toename is daarmee het bouwsteentje van dit hele onderwerp; alle latere begrippen — toenamediagram, gemiddelde en momentane veranderingssnelheid — zijn er rechtstreeks op gebouwd.

Een toename is een getal mét teken, en juist dat teken draagt de belangrijkste informatie. Is

\Delta y

positief, dan is de latere waarde groter dan de eerdere: de grootheid stijgt over die stap. Is

\Delta y

negatief, dan is de latere waarde kleiner: de grootheid daalt. Is

\Delta y

precies nul, dan blijft de grootheid over die stap gelijk. De grootte van de toename (de absolute waarde) vertelt je daarbovenop hóevéél er verandert: een grote toename betekent een forse sprong, een kleine toename een nauwelijks merkbare verandering. Zo splitst één getal de verandering netjes in een richting (het teken) en een omvang (de grootte).

Uit een tabel haal je de toenames met een vaste werkwijze: zet de waarden in de goede volgorde en trek telkens elke waarde af van de waarde die erná komt. Heb je

n

waarden in je tabel, dan krijg je precies

n-1

toenames, want bij de allereerste waarde hoort nog geen sprong — er is immers geen voorganger. In een tabel schrijf je elke toename meestal op de regel van de látere waarde: de „+12” bij week 1 betekent dan de sprong van week 0 naar week 1. Houd die afspraak consequent aan, anders schuift je hele toenamekolom een rij op en kloppen je interpretaties niet meer. Reken ter controle één toename terug: het bijbehorende interval moet altijd twee opeenvolgende rijen verbinden.

Zodra de toenames er staan, kun je het verloop van de grootheid lezen zonder de oorspronkelijke getallen er nog bij te halen. Waar de toenames het grootst en positief zijn, stijgt de grootheid het snelst; waar ze klein zijn, verandert er bijna niets; waar ze negatief worden, daalt de grootheid. Het meest sprekende moment is het omslagpunt: daar wisselt de toename van teken. Springt de toename van positief naar negatief, dan is de grootheid net over haar hoogste punt (een top) heen; springt ze van negatief naar positief, dan ligt daar een laagste punt (een dal). Met alleen de toenames teken je dus al een ruw beeld van de grafiek — en precies dat beeld maakt het toenamediagram in de volgende paragraaf zichtbaar.

Pas op dat je de toename niet verwart met de procentuele of relatieve verandering. De toename is een absoluut verschil, uitgedrukt in de eenheid van de grootheid zelf (aantal leden, graden, centimeters), terwijl een groeifactor of een groeipercentage de verandering juist als verhouding beschrijft. Een sprong van 200 naar 260 is een toename van 60 — niet van 30 procent, ook al is dat óók waar. In dit onderwerp blijven we consequent bij de absolute toename

\Delta y

. Goed om te weten: het tekenen en aflezen van toenames en toenamediagrammen is binnen wiskunde A met name schoolexamenstof, dus je school toetst deze kwalitatieve manier van naar verandering kijken vaak gericht.

\Delta y = y_{n+1} - y_n

toename (differentie)

De toename is het verschil tussen twee opeenvolgende waarden: de latere waarde min de eerdere. Een positieve uitkomst betekent stijgen, een negatieve dalen.

\Delta x = x_{n+1} - x_n

stapgrootte in x

De bijbehorende stap op de horizontale as; bij gelijke stappen (bijvoorbeeld telkens 1 jaar) is deze constant.

Uitgewerkt voorbeeld

Toenames berekenen en het verloop beschrijven

Het aantal abonnees van een kanaal is per maand: maand 0: 200, maand 1: 260, maand 2: 350, maand 3: 410, maand 4: 440, maand 5: 450. Bereken alle toenames en beschrijf hoe het aantal abonnees zich ontwikkelt.

Stap 1 — Trek telkens de vorige waarde af van de volgende
Bereken de toename van elke maand ten opzichte van de vorige: 260 − 200 = 60, daarna 350 − 260 = 90, 410 − 350 = 60, 440 − 410 = 30 en ten slotte 450 − 440 = 10.
Stap 2 — Zet de toenames op een rij en kijk naar het teken
De toenames zijn 60, 90, 60, 30 en 10. Ze zijn allemaal positief, dus het aantal abonnees stijgt elke maand; er is geen daling en dus geen top.
Stap 3 — Kijk ook naar de grootte van de toenames
De grootste sprong zit tussen maand 1 en 2 (een toename van 90). Daarna worden de toenames juist kleiner (60, 30, 10): het aantal blijft groeien, maar de groei vlakt steeds verder af.

Resultaat: Resultaat: de toenames zijn 60, 90, 60, 30 en 10. Het aantal abonnees stijgt elke maand (alle toenames positief), het snelst tussen maand 1 en 2; daarna wordt de groei steeds kleiner, dus de stijging vlakt af.

Veelgemaakte fouten

De aftrekking omdraaien en $y_n - y_{n+1}$ rekenen: dan keren alle tekens om en lijkt stijgen ineens dalen. Trek altijd de eerdere waarde af van de latere („nieuw min oud”).
De toename (een absoluut verschil) verwarren met een groeipercentage of groeifactor; een sprong van 40 naar 52 is een toename van 12, niet van 30%.
Vergeten dat $n$ waarden maar $n-1$ toenames opleveren, waardoor de toenamekolom één rij verschuift en de interpretatie van toppen en dalen niet meer klopt.

Actieve herhaling

Een weerstation meet de temperatuur (in °C) op vijf opeenvolgende momenten: 12, 15, 19, 18, 14. Bereken alle toenames, benoem per stap of het warmer of kouder wordt en geef aan na welk moment de temperatuur begint te dalen.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde A (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Het toenamediagram: de toenames als staafdiagram#

Standaardexamenblad-nl

Toenamediagram van de waterhoogte

Afb. 2Toenamediagram van de waterhoogte in een bassin. De eerste drie staven staan boven de as (het water stijgt), de laatste twee eronder (het water daalt). De omslag van plus naar min ligt tussen de intervallen 2–3 en 3–4, dus rond t = 3 is het water het hoogst.

Een toenamediagram is een staafdiagram waarin elke staaf niet een wáárde van de grootheid weergeeft, maar de toename over één interval. Op de horizontale as staan de intervallen — „0–1”, „1–2”, „2–3” enzovoort — en de hoogte van elke staaf is de bijbehorende toename

\Delta y

. Waar een gewone grafiek of tabel laat zien hóe groot de grootheid is, laat het toenamediagram zien hóevéél en in welke richting ze per stap verandert. Het is dus letterlijk de verbeelding van de toenamekolom uit de vorige paragraaf: elke toename wordt een staafje. Daardoor zie je in één oogopslag het ritme van de verandering, los van het niveau waarop de grootheid zich bevindt.

Je tekent een toenamediagram in twee stappen. Bereken eerst alle toenames uit de tabel of grafiek (zoals in de vorige paragraaf), en teken dan per interval één staaf met als hoogte die toename. Een positieve toename wordt een staaf boven de horizontale as (de grootheid stijgt daar), een negatieve toename een staaf onder de as (de grootheid daalt daar), en een toename van nul levert geen staaf op — daar blijft de grootheid gelijk. Omdat elke staaf bij een interval hoort en niet bij één tijdstip, hoort bij

n

gemeten waarden altijd

n-1

staven. Zet de intervallen netjes naast elkaar op de as, zodat de volgorde van de verandering bewaard blijft.

Het aflezen van een toenamediagram gaat via twee kenmerken van elke staaf: de hoogte en het teken. Een hoge staaf betekent een grote verandering — daar verloopt de stijging of daling steil; een lage staaf betekent dat de grootheid nauwelijks beweegt. Het teken vertelt de richting: staven boven de as horen bij stijgen, staven onder de as bij dalen. Het sleutelmoment is opnieuw de tekenwisseling. Slaan de staven om van boven naar onder de as, dan zit dáár de top van de oorspronkelijke grootheid; slaan ze om van onder naar boven, dan ligt daar een dal. Zo wijst het toenamediagram de toppen en dalen van de grootheid aan zónder dat je de oorspronkelijke waarden hoeft te kennen.

Het is belangrijk te beseffen dat het toenamediagram níét de grafiek van de grootheid zelf is, maar de grafiek van haar verandering. Dat verschil verklaart een paar nuttige standaardgevallen. Bij een grootheid die constant blijft, zijn alle toenames nul, dus alle staven verdwijnen. Bij een lineair (recht) verband met een vaste helling is de toename elke stap even groot, dus krijg je staven van gelíjke hoogte. En bij een grootheid die steeds sneller stijgt, worden de staven steeds hoger. Vooral het geval „positieve, maar steeds kleiner wordende staven” is leerzaam: de grootheid stijgt dan nog wel, maar de stijging vlakt af — een voorbode van een naderende top.

Een toenamediagram gebruik je dus als je in één beeld wilt zien wáár en hóe snel een grootheid verandert en waar ze omslaat — precies het soort kwalitatieve vraag dat in het schoolexamen veel voorkomt. Bovendien legt het de brug naar de volgende stap. Bij intervallen van lengte 1 is de toename per stap meteen ook de verandering per eenheid, en dat is precies de gemiddelde veranderingssnelheid uit de volgende paragraaf. Het toenamediagram is daarmee niet alleen een handig leesinstrument, maar ook de opstap naar het rekenen met hellingen. Houd in gedachten dat juist deze diagramtechniek met name schoolexamenstof is.

Tot slot een praktische leeswijzer: vergelijk bij twijfel altijd het toenamediagram met het verhaal achter de getallen. Stijgende staven boven de as die kleiner worden, beschrijven een grootheid die „op adem komt”; staven die door nul heen zakken, beschrijven het kantelpunt naar dalen. Door telkens het teken én de hoogte te benoemen, vertaal je het diagram terug naar een vloeiende beschrijving van de verandering — en dat is precies wat een examenvraag van je vraagt.

\text{staafhoogte} = \Delta y = y_{n+1} - y_n

hoogte van elke staaf

Elke staaf is even hoog als de toename over dat interval; positief staat boven de as, negatief onder de as.

\text{lineair verband} \Rightarrow \Delta y \text{ is constant}

vuistregel

Bij een recht verband met vaste helling is de toename elke stap gelijk, dus krijg je staven van dezelfde hoogte.

Uitgewerkt voorbeeld

Een toenamediagram maken uit een tabel

De waterhoogte H (in cm) in een bassin is per uur: t = 0: 20, t = 1: 35, t = 2: 55, t = 3: 60, t = 4: 50, t = 5: 30. Maak het toenamediagram en lees af wanneer de waterhoogte het grootst is.

Stap 1 — Bereken de toenames per interval
Trek telkens de vorige waarde af van de volgende: 35 − 20 = 15, 55 − 35 = 20, 60 − 55 = 5, 50 − 60 = −10 en 30 − 50 = −20. De toenames zijn dus 15, 20, 5, −10, −20 over de intervallen 0–1 tot en met 4–5.
Stap 2 — Teken per interval een staaf
Zet de intervallen 0–1, 1–2, 2–3, 3–4 en 4–5 op de horizontale as. Teken de positieve toenames (15, 20, 5) als staven boven de as en de negatieve toenames (−10, −20) als staven onder de as. De hoogste staaf hoort bij interval 1–2.
Stap 3 — Lees de top af uit de tekenwisseling
De staven zijn positief voor 0–1, 1–2 en 2–3 (het water stijgt) en negatief voor 3–4 en 4–5 (het water daalt). De toename wisselt van plus naar min ná interval 2–3, dus de waterhoogte is het grootst op t = 3 (H = 60 cm).

Resultaat: Resultaat: het toenamediagram heeft staven 15, 20, 5, −10 en −20. Omdat de staven van boven naar onder de as omslaan na interval 2–3, is de waterhoogte maximaal op t = 3 (60 cm); de snelste stijging zit in interval 1–2 en de snelste daling in interval 4–5.

Veelgemaakte fouten

De wáárden van de grootheid tekenen in plaats van de toenames — dan teken je gewoon de oorspronkelijke grafiek opnieuw. Een toenamediagram toont $\Delta y$ , niet $y$ .
Negatieve toenames als positieve staven tekenen (alleen de grootte gebruiken); daarmee verdwijnt het onderscheid tussen stijgen en dalen en raak je de tekenwisseling kwijt.
Een staaf bij één tijdstip plaatsen in plaats van bij een interval, of de staven verkeerd tellen: bij $n$ waarden horen $n-1$ staven.

Actieve herhaling

Het aantal vogels op een eiland is per jaar: jaar 0: 8, jaar 1: 14, jaar 2: 22, jaar 3: 22, jaar 4: 16. Bereken de toenames, teken het toenamediagram met de intervallen op de horizontale as en geef aan in welk jaar de populatie het hoogst is.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde A (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Gemiddelde veranderingssnelheid: de helling van de koorde#

Standaardexamenblad-nl

Koorde bij de kromme y = 0,5x²

Afb. 3De gemiddelde veranderingssnelheid over [2, 6] is de helling van de koorde door A (2, 2) en B (6, 18). De koorde stijgt 16 in y over 4 in x, dus de helling is 16/4 = 4.

De toename

\Delta y

vertelt hoeveel een grootheid verandert, maar niet hóe snel dat gaat ten opzichte van de horizontale as. Een toename van 16 over een interval van 4 is heel iets anders dan dezelfde toename over een interval van 1. Om veranderingen over verschillend grote intervallen eerlijk te kunnen vergelijken, deel je de toename door de bijbehorende stap: de gemiddelde veranderingssnelheid over

[a, b]

\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}

. Je leest dit als „de verandering van

y

per eenheid

x

, gemiddeld over het interval”. De eenheid is dan ook altijd een

y

-eenheid per

x

-eenheid, bijvoorbeeld graden per uur of euro per stuk.

Deze breuk heeft een duidelijke meetkundige betekenis: het is precies de helling van de rechte lijn door de twee punten

(a, f(a))

(b, f(b))

op de grafiek. Die verbindingslijn heet de koorde (ook wel de secans). De helling van een lijn is immers „verticale verandering gedeeld door horizontale verandering”, en dat is letterlijk

\frac{\Delta y}{\Delta x}

. Daarom mag je „de gemiddelde veranderingssnelheid over

[a, b]

” en „de helling van de koorde over

[a, b]

” als twee namen voor hetzelfde beschouwen. In de figuur hieronder zie je die koorde getekend bij de kromme; de steilheid ervan ís de gemiddelde veranderingssnelheid.

Het uitrekenen gaat in vaste stappen. Bepaal de grenzen

a

b

van het interval, bereken de functiewaarden

f(a)

f(b)

, en deel het verschil van die waarden door het verschil van de grenzen. Let erop dat je teller en noemer in dezelfde volgorde neemt:

f(b) - f(a)

boven en

b - a

onder. De uitkomst is een gemíddelde over het hele interval: binnen

[a, b]

kan de grootheid sneller en langzamer veranderen, maar de koorde vat dat samen tot één gemiddelde helling. Vandaar dat je deze maat gebruikt als je een interval als geheel wilt beoordelen, niet als je de snelheid op één moment zoekt.

Het teken en de grootte interpreteer je net als bij de toename. Is de gemiddelde veranderingssnelheid positief, dan stijgt de grootheid gemiddeld over het interval; is ze negatief, dan daalt ze gemiddeld; hoe groter de absolute waarde, hoe steiler de koorde en hoe sneller de gemiddelde verandering. Er is bovendien een mooie brug naar de vorige paragrafen. Omdat de gemiddelde veranderingssnelheid gelijk is aan

\frac{\Delta y}{\Delta x}

, is ze bij intervallen van lengte 1 (dus

\Delta x = 1

) precies gelijk aan de toename

\Delta y

zelf. Een toenamediagram met stappen van 1 is daardoor tegelijk een diagram van de gemiddelde veranderingssnelheden per eenheid — het toenamediagram en de helling van de koorde meten in dat geval hetzelfde.

Tot slot: de gemiddelde veranderingssnelheid is krachtig, maar blijft een gemiddelde over een heel interval. Wil je weten hoe snel een grootheid verandert op één precies moment — de snelheid „op dit ogenblik” — dan schiet de koorde tekort en moet je het interval laten krimpen. Dat is precies de stap naar de momentane veranderingssnelheid in de volgende paragraaf, waar de koorde overgaat in de raaklijn. Houd in het achterhoofd dat deze rekentechniek bij domein D hoort, terwijl het kwalitatieve beschrijven van verandering rond dit onderwerp met name in het schoolexamen wordt getoetst.

\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}

gemiddelde veranderingssnelheid = helling van de koorde

De gemiddelde veranderingssnelheid over [a, b] is het verschil van de functiewaarden gedeeld door het verschil van de grenzen; dat is precies de helling van de koorde door de twee randpunten.

Uitgewerkt voorbeeld

Gemiddelde veranderingssnelheid over een interval berekenen

Gegeven is f(x) = 0,5x². Bereken de gemiddelde veranderingssnelheid over het interval [2, 6] en interpreteer de uitkomst als de helling van de koorde.

Stap 1 — Bereken de functiewaarden aan de randen
Vul de grenzen in de functie in. Dat geeft de twee punten waardoor de koorde loopt.
$f(2) = 0{,}5 \cdot 2^2 = 2 \quad\text{en}\quad f(6) = 0{,}5 \cdot 6^2 = 18$
Stap 2 — Bereken de toename en de stap
De toename in y is f(6) − f(2) = 18 − 2 = 16; de stap in x is 6 − 2 = 4.
$\Delta y = 18 - 2 = 16 \quad\text{en}\quad \Delta x = 6 - 2 = 4$
Stap 3 — Deel de toename door de stap
De gemiddelde veranderingssnelheid is de toename gedeeld door de stap. Dit is precies de helling van de koorde door (2, 2) en (6, 18).
$\frac{f(6) - f(2)}{6 - 2} = \frac{16}{4} = 4$

Resultaat: Resultaat: de gemiddelde veranderingssnelheid over [2, 6] is 4. Dat betekent dat y over dit interval gemiddeld met 4 per eenheid x toeneemt, en dat is precies de helling van de koorde door de punten (2, 2) en (6, 18).

Veelgemaakte fouten

Wel de toename $f(b) - f(a)$ uitrekenen, maar vergeten te delen door $b - a$ ; dan rapporteer je een toename in plaats van een snelheid.
Teller en noemer in tegengestelde volgorde nemen, bijvoorbeeld $\frac{f(b) - f(a)}{a - b}$ , waardoor het teken omklapt.
De koorde (twee punten, gemiddelde snelheid) verwarren met de raaklijn (één punt, momentane snelheid) uit de volgende paragraaf.

Actieve herhaling

Gegeven is de functie $f(x) = 0{,}5x^2$ . Bereken de gemiddelde veranderingssnelheid over het interval $[1, 5]$ en leg uit dat deze gelijk is aan de helling van de koorde door de punten $(1, f(1))$ en $(5, f(5))$ .

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde A (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Momentane veranderingssnelheid: de helling van de raaklijn#

Verdiepingexamenblad-nl

Raaklijn en koorde bij y = 0,5x²

Afb. 4In het raakpunt (4, 8) heeft de raaklijn helling 4: dat is de momentane veranderingssnelheid in x = 4. De koorde naar B (6, 18) heeft helling 5 en is dus iets te steil; schuift B naar het raakpunt toe, dan zakt de koordehelling naar 4.

De gemiddelde veranderingssnelheid vat de verandering samen over een heel interval, maar vaak wil je de snelheid op één precies moment weten: hoe hard groeit een populatie op exact

t = 4

, of hoe snel stijgt de temperatuur op dit ogenblik? Die snelheid in één punt heet de momentane veranderingssnelheid. Meetkundig is ze de helling van de raaklijn aan de grafiek in dat punt — de lijn die de kromme in dat ene punt net aanraakt en dezelfde richting heeft als de kromme dáár. Waar de koorde de gemíddelde steilheid over een interval geeft, geeft de raaklijn de steilheid op het moment zelf.

Je kunt de momentane veranderingssnelheid niet rechtstreeks met

\frac{\Delta y}{\Delta x}

uitrekenen op één punt, want dan zouden zowel de teller als de noemer nul worden en delen door nul mag niet. De oplossing is benaderen: bereken de gemiddelde veranderingssnelheid over een klein interval rond het punt en laat dat interval steeds verder krimpen. Die benadering noem je het differentiequotiënt,

\frac{f(a + h) - f(a)}{h}

, waarbij

h

de (kleine) stapgrootte is. Maak je

h

kleiner — bijvoorbeeld 1, dan

0{,}5

, dan

0{,}1

, dan

0{,}01

— dan kruipt de uitkomst naar één vast getal toe. Dat getal waar de benadering naartoe gaat, is de momentane veranderingssnelheid in het punt.

Het verschil tussen koorde en raaklijn is de kern van deze paragraaf. Een koorde verbindt twéé punten van de grafiek en geeft een gemiddelde; een raaklijn raakt de grafiek in één punt en geeft de momentane snelheid. Het mooie is dat de een in de ander overgaat: houd je het linkerpunt vast en schuif je het rechterpunt steeds dichter naar het raakpunt toe, dan draait de koorde langzaam mee tot ze samenvalt met de raaklijn. In de figuur hieronder zie je dat gebeuren bij

f(x) = 0{,}5x^2

: de koorde over

[4, 6]

heeft helling 5, terwijl de raaklijn in

x = 4

helling 4 heeft. De koorde is dus net iets te steil; door het interval te verkleinen zakt haar helling naar de 4 van de raaklijn.

De werkwijze om de momentane veranderingssnelheid te benaderen is daarmee vast. Kies het punt

a

, bereken de gemiddelde veranderingssnelheid over

[a, a+h]

voor een paar steeds kleinere waarden van

h

, en kijk naar welk getal de uitkomsten toe lopen. Een nóg betere schatting krijg je vaak met een symmetrisch interval rond het punt,

\frac{f(a + h) - f(a - h)}{2h}

, omdat dat de over- en onderschatting middelt. Bij wiskunde A bepaal je de momentane veranderingssnelheid op deze benaderende manier of door de helling van een getekende raaklijn af te lezen, niet door overal formele afgeleide-regels toe te passen. Juist dit benaderen met een krimpend interval is met name schoolexamenstof.

Daarmee staat de hele ladder van dit onderwerp overeind. Je begon met de toename

\Delta y

tussen twee waarden (paragraaf 1), maakte die zichtbaar in een toenamediagram (paragraaf 2), schaalde haar tot de gemiddelde veranderingssnelheid

\frac{\Delta y}{\Delta x}

— de helling van de koorde (paragraaf 3) — en laat nu het interval krimpen tot de momentane veranderingssnelheid, de helling van de raaklijn. Telkens interpreteer je het teken (stijgen of dalen) en de grootte (hoe snel) op dezelfde manier. Wie deze samenhang doorziet, kan elke vraag over verandering — kwantitatief én kwalitatief — gericht aanpakken, en dat is precies de kern van domein D zoals het in het schoolexamen terugkomt.

\frac{f(a + h) - f(a)}{h}

differentiequotiënt (benadering)

De gemiddelde veranderingssnelheid over het kleine interval [a, a + h]. Laat h naar nul krimpen, dan nadert de uitkomst de momentane veranderingssnelheid in a.

\frac{f(a + h) - f(a - h)}{2h}

symmetrische benadering

Een vaak nauwkeuriger schatting van de momentane veranderingssnelheid, omdat ze het interval rond a symmetrisch neemt.

Uitgewerkt voorbeeld

De momentane veranderingssnelheid benaderen met een krimpend interval

Gegeven is f(x) = 0,5x². Benader de momentane veranderingssnelheid in x = 4 door het interval steeds kleiner te maken, en vergelijk je antwoord met de helling van de koorde over [4, 6].

Stap 1 — Begin met de koorde over [4, 6]
Bereken eerst de gemiddelde veranderingssnelheid over een ruim interval. Met f(4) = 8 en f(6) = 18 geeft dat de helling van de koorde.
$\frac{f(6) - f(4)}{6 - 4} = \frac{18 - 8}{2} = 5$
Stap 2 — Verklein het interval stap voor stap
Houd het linkerpunt x = 4 vast en neem steeds kleinere h. Bij h = 0,5 gebruik je f(4,5) = 10,125, bij h = 0,1 gebruik je f(4,1) = 8,405.
$\frac{f(4{,}5) - f(4)}{0{,}5} = \frac{10{,}125 - 8}{0{,}5} = 4{,}25 \qquad \frac{f(4{,}1) - f(4)}{0{,}1} = \frac{8{,}405 - 8}{0{,}1} = 4{,}05$
Stap 3 — Ga nog dichter naar het punt en lees de limiet af
Neem h = 0,01 met f(4,01) = 8,04005. De rij uitkomsten 5; 4,5; 4,25; 4,05; 4,005 loopt duidelijk naar 4 toe.
$\frac{f(4{,}01) - f(4)}{0{,}01} = \frac{8{,}04005 - 8}{0{,}01} = 4{,}005$

Resultaat: Resultaat: de benaderingen 5 → 4,5 → 4,25 → 4,05 → 4,005 lopen naar 4 toe, dus de momentane veranderingssnelheid in x = 4 is ongeveer 4. Dat is de helling van de raaklijn in (4, 8); de koorde over [4, 6] gaf 5 en was te steil omdat het interval te groot was.

Veelgemaakte fouten

Meteen $h = 0$ invullen in het differentiequotiënt; dat geeft delen door nul. Je moet $h$ klein máken, niet precies nul.
Te grof benaderen en de helling van een koorde over een groot interval doorgeven als de exacte momentane snelheid; verklein het interval tot de uitkomsten zich stabiliseren.
De helling van de raaklijn verwarren met de functiewaarde van het punt, of twee ver uit elkaar liggende punten gebruiken — dan reken je weer een gemiddelde uit in plaats van de momentane snelheid.

Actieve herhaling

Gegeven is $f(x) = 0{,}5x^2$ . Benader de momentane veranderingssnelheid in $x = 2$ door het differentiequotiënt $\frac{f(2 + h) - f(2)}{h}$ uit te rekenen voor $h = 1$ , $h = 0{,}5$ , $h = 0{,}1$ en $h = 0{,}01$ , en geef aan naar welk getal de uitkomsten toe lopen.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde A (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / Examenblad

Examenprogramma wiskunde A (HAVO)

Verandering: differenties, hellingen en toenamediagram (schoolexamen)

4 Onderdelen~24 min leestijd5 VaardighedenNiveau Basis 1 · Standaard 2 · Verdieping 1

Verandering: differenties, hellingen en toenamediagram (schoolexamen)

Kernpunten

Toenames berekenen en het verloop beschrijven

Kernpunten

Een toenamediagram maken uit een tabel

Kernpunten

Gemiddelde veranderingssnelheid over een interval berekenen

Kernpunten

De momentane veranderingssnelheid benaderen met een krimpend interval

Bronnen

Verandering: differenties, hellingen en toenamediagram (schoolexamen)

Kernpunten

Toenames berekenen en het verloop beschrijven

Kernpunten

Een toenamediagram maken uit een tabel

Kernpunten

Gemiddelde veranderingssnelheid over een interval berekenen

Kernpunten

De momentane veranderingssnelheid benaderen met een krimpend interval

Bronnen