Samenvattingen · Wiskunde ANL · HAVO

Algebra: formules opstellen, herleiden en substitueren

Algebra is het gereedschap waarmee je in wiskunde A vlot met formules werkt. In dit onderwerp leer je formules invullen (substitueren) met de juiste volgorde van bewerkingen, uitdrukkingen herleiden tot hun eenvoudigste vorm, een formule omschrijven naar een andere variabele en zelf een formule opstellen uit een situatie. Het hoort bij domein B (Algebra) en is centraal-examenstof: bijna elke contextopgave begint met een van deze vier vaardigheden.

4 Onderdelen~22 min leestijd4 VaardighedenNiveau Basis 1 · Standaard 3

T·0222 / 14

Examenprofiel

Een formule correct invullen (substitueren) volgens de volgorde van bewerkingen, ook bij machten en negatieve waarden, en de uitkomst controleren op de grafische rekenmachine.Een uitdrukking herleiden: haakjes wegwerken met de distributieve eigenschap en gelijksoortige termen samennemen.Een formule omschrijven door een variabele te isoleren met inverse bewerkingen aan beide kanten van het =-teken.Uit een beschreven situatie een lineaire formule opstellen (vast bedrag + tarief) en die controleren door een waarde in te vullen.

Operatoren:herleidstel opsubstitueerdruk uitlos op

basisniveau

Voor het CE: kun je in een context vlot een formule invullen, herleiden, omschrijven en opstellen — deze vier handelingen zijn de motor onder vrijwel elke examenopgave.

verhoogd niveau

Voor het SE en de verdieping: werk met formules met meer variabelen en met samengestelde herleidingen waarin breuken en machten samenkomen.

Diepte

Tekst

Inhoud · 4 onderdelen

Algebra: formules opstellen, herleiden en substitueren

Variabelen invullen: substitueren in een formule#

Basisexamenblad-nl

Invultabel: winst bij vier prijzen

Afb. 1De winst W bij de prijzen 3, 6, 9 en 12 euro, berekend met de formule W = -2·p² + 24·p − 40.

Een variabele is een letter die voor een getal staat dat nog kan veranderen, bijvoorbeeld de prijs

p

of de tijd

t

. Een formule is een vaste rekenregel die met zulke letters het verband tussen grootheden vastlegt: je vult getallen in voor de letters en de formule rekent één uitkomst uit. Substitueren betekent letterlijk „in de plaats stellen”: je vervangt elke variabele door het gegeven getal en rekent de uitdrukking uit. In wiskunde A is dit de allereerste stap van bijna elke contextopgave — je krijgt een formule en een waarde, en je moet de bijbehorende uitkomst betrouwbaar berekenen. Wie hier slordig wordt, verliest punten op vragen die inhoudelijk niet moeilijk zijn.

Bij het uitrekenen volg je altijd de volgorde van bewerkingen, want de uitkomst hangt ervan af. De volgorde is: eerst wat tussen haakjes staat, dan machten, dan vermenigvuldigen en delen (van links naar rechts), en pas als laatste optellen en aftrekken (ook van links naar rechts). Neem de winstformule

W = -2 \cdot p^{2} + 24 \cdot p - 40

, waarin

W

de winst in euro is bij verkoopprijs

p

. Vul je

p = 6

in, dan reken je niet zomaar van links naar rechts: eerst de macht

6^{2} = 36

, dan de vermenigvuldigingen

-2 \cdot 36 = -72

24 \cdot 6 = 144

, en pas daarna het optellen en aftrekken

-72 + 144 - 40 = 32

. Wie de macht en de vermenigvuldiging overslaat en links-naar-rechts rekent, krijgt een heel ander, fout getal.

De grafische rekenmachine (GR) volgt diezelfde volgorde, maar alleen als je de uitdrukking precies intypt zoals ze bedoeld is — en daar gaat het vaak mis bij negatieve waarden. Het venijn zit in de machten: typ je

-3^{2}

in, dan rekent de GR (terecht) eerst de macht en dan het minteken, dus

-3^{2} = -9

. Bedoel je het kwadraat van het getal

-3

, dan moet je het negatieve getal tussen haakjes zetten:

(-3)^{2} = 9

. De regel is daarom kort en hard: zet elke negatieve waarde die je invult tussen haakjes, en zet ook de hele teller of noemer van een breuk tussen haakjes. Zo dwing je de GR de bewerkingen in de goede volgorde te doen en voorkom je een tekenfout die je verder niet opmerkt.

Vaak vraagt een opgave niet één maar meerdere uitkomsten, bijvoorbeeld de winst bij verschillende prijzen. Dan maak je een invultabel: in de ene kolom de ingevulde waarden, in de andere de berekende uitkomsten. Voor de formule

W = -2 \cdot p^{2} + 24 \cdot p - 40

levert dat bij de prijzen

3

6

9

12

euro de winsten

14

32

14

-40

euro op — zie de tabel hieronder. Zo'n tabel is niet alleen netjes; hij laat ook meteen iets zien. Hier valt op dat de winst bij

p = 3

p = 9

even groot is en bij

p = 12

zelfs negatief wordt (verlies). Met de tabelfunctie van je GR maak je zo'n overzicht in één keer, wat sneller en betrouwbaarder is dan vier losse berekeningen.

Substitueren is de bouwsteen waarop de rest van dit onderwerp rust. Bij het opstellen van een formule controleer je je resultaat door een bekende waarde in te vullen; bij het omschrijven van een formule controleer je of je nieuwe formule dezelfde uitkomst geeft als de oude; en bij verbanden en statistiek vul je voortdurend waarden in om grafieken, gemiddelden en kansen te berekenen. Reken daarom elke invuloefening zorgvuldig na, met aandacht voor volgorde, haakjes en eenheden. Een uitkomst zonder eenheid (euro, jaar, gram) is in wiskunde A maar een half antwoord — de context bepaalt wat het getal betekent.

W = -2 \cdot p^{2} + 24 \cdot p - 40

voorbeeld-winstformule

De winst W (in euro) bij verkoopprijs p (in euro). Bij het invullen: eerst de macht, dan de vermenigvuldigingen, dan optellen en aftrekken.

Uitgewerkt voorbeeld

Een formule invullen met de juiste volgorde

Gegeven $W = -2 \cdot p^{2} + 24 \cdot p - 40$ , de winst in euro bij verkoopprijs $p$ euro. Bereken de winst bij een prijs van 6 euro.

Stap 1 — Vervang p door de waarde, met haakjes
Schrijf de formule over en zet de ingevulde waarde tussen haakjes, zodat de volgorde van bewerkingen niet in de war raakt.
$W = -2 \cdot (6)^{2} + 24 \cdot (6) - 40$
Stap 2 — Machten eerst
In de volgorde van bewerkingen komt de macht vóór de vermenigvuldiging. Reken eerst het kwadraat uit.
$(6)^{2} = 36 \;\Rightarrow\; W = -2 \cdot 36 + 24 \cdot 6 - 40$
Stap 3 — Daarna vermenigvuldigen
Vermenigvuldigen gaat vóór optellen en aftrekken. Reken de twee producten uit.
$-2 \cdot 36 = -72 \quad\text{en}\quad 24 \cdot 6 = 144$
Stap 4 — Tot slot optellen en aftrekken
Werk van links naar rechts: eerst optellen, dan aftrekken.
$W = -72 + 144 - 40 = 32$

Resultaat: De winst bij een prijs van 6 euro is $W = 32$ , dus 32 euro. De volgorde macht → vermenigvuldigen → optellen/aftrekken is hier beslissend: links-naar-rechts rekenen zou een fout getal hebben opgeleverd.

Veelgemaakte fouten

De volgorde van bewerkingen negeren en stug van links naar rechts rekenen, waardoor een macht of vermenigvuldiging te laat wordt uitgevoerd en de uitkomst fout is.
Een negatieve waarde zonder haakjes in de GR invoeren, zodat $-3^{2}$ als $-9$ wordt gelezen in plaats van het bedoelde $(-3)^{2} = 9$ — een tekenfout die je makkelijk over het hoofd ziet.

Actieve herhaling

Gegeven de winstformule $W = -2 \cdot p^{2} + 24 \cdot p - 40$ (winst in euro bij prijs $p$ euro). Substitueer $p = 8$ en bereken de winst. Geef je antwoord met eenheid en leg uit in welke volgorde je de bewerkingen hebt uitgevoerd.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde A (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Formules herleiden: haakjes wegwerken en termen samennemen#

Standaardexamenblad-nl

Herleidstappen op een rij

Afb. 2De herleiding van 3(2x+4) − 2(x−5) in drie stappen: gegeven, haakjes weggewerkt, gelijksoortige termen samengenomen.

Herleiden betekent een uitdrukking vereenvoudigen: je schrijft hetzelfde op een kortere, overzichtelijker manier zonder de waarde te veranderen. De herleide vorm is gelijkwaardig aan de oorspronkelijke — voor élke waarde van de variabele geven beide precies dezelfde uitkomst. Dat onderscheidt herleiden scherp van oplossen: bij oplossen zoek je de getalswaarde van de onbekende die een vergelijking waar maakt, bij herleiden blijft de letter staan en houd je een uitdrukking over. Een handige toets: kun je de uitkomst controleren door een willekeurig getal in te vullen in zowel de begin- als de eindvorm? Geven ze hetzelfde, dan heb je herleid; ging er onderweg een =-teken aan te pas om naar een getal toe te werken, dan was je aan het oplossen.

De belangrijkste herleidstap is het wegwerken van haakjes met de distributieve eigenschap:

a(b+c) = ab + ac

. In woorden: je vermenigvuldigt het getal vóór de haakjes met élke term binnen de haakjes. Zo wordt

3(2x + 4)

gelijk aan

3 \cdot 2x + 3 \cdot 4 = 6x + 12

. Het werkt ook als de term vóór de haakjes negatief is, en juist daar gaat het vaak mis. Bij

-2(x - 5)

vermenigvuldig je

-2

met

x

én met

-5

-2 \cdot x = -2x

-2 \cdot (-5) = +10

. Het minteken hoort dus bij de hele haakjes en draait het teken van álles binnenin om. Wie alleen de eerste term een minteken geeft, maakt de klassieke tekenfout.

Na het wegwerken van de haakjes neem je gelijksoortige termen samen. Gelijksoortig zijn termen met precies dezelfde letter in dezelfde macht:

6x

-2x

zijn gelijksoortig (allebei een

x

), en

12

10

zijn gelijksoortig (allebei een getal zonder letter). Je telt dan alleen de getallen ervóór (de coëfficiënten) op:

6x - 2x = 4x

12 + 10 = 22

. Termen die níét gelijksoortig zijn — bijvoorbeeld

4x

22

— kun je niet verder samennemen; ze blijven los naast elkaar staan. Zo herleid je

3(2x + 4) - 2(x - 5)

tot

4x + 22

. Let op dat je

x

x^{2}

nooit bij elkaar optelt: ze horen tot verschillende machten en zijn dus niet gelijksoortig.

In wiskunde A duiken bij het herleiden ook breuken en machten op. Voor machten gebruik je de rekenregels van de exponenten, waarvan

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}

de meest voorkomende is: zo is

2x \cdot 3x = 6x^{2}

, want je vermenigvuldigt de getallen (

2 \cdot 3 = 6

) en telt de exponenten van

x

op (

1 + 1 = 2

). Bij breuken vereenvoudig je door teller en noemer door dezelfde factor te delen;

\dfrac{6x}{2} = 3x

\dfrac{6x^{2}}{2x} = 3x

. Werk altijd netjes per stap en schrijf tussenstappen op — een herleiding met breuken en machten in één regel proberen te doen is de snelste weg naar een fout. De beloning van zorgvuldig herleiden is dat de uitdrukking die je daarna moet invullen of oplossen veel eenvoudiger is.

Herleiden is zelden een doel op zich; het is een tussenstap die de rest van een opgave gemakkelijker maakt. Een herleide formule vul je sneller in (substitueren), je leest er beter een verband uit af (is het lineair, exponentieel?) en je lost er gemakkelijker een vergelijking mee op. Daarom loont het om elke uitdrukking eerst tot haar eenvoudigste vorm te brengen voordat je verder rekent. Reken je herleiding na met een proefgetal: vul bijvoorbeeld

x = 1

in de beginvorm én in de eindvorm in en controleer dat ze hetzelfde geven. Klopt dat, dan kun je met vertrouwen verder; klopt het niet, dan zit er ergens een teken- of samenneemfout die je nu — en niet pas in het eindantwoord — opspoort.

a(b + c) = ab + ac

distributieve eigenschap

Het getal vóór de haakjes wordt met élke term binnen de haakjes vermenigvuldigd. Dit is de regel waarmee je haakjes wegwerkt.

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}

machten met gelijk grondtal

Bij vermenigvuldigen van machten met hetzelfde grondtal tel je de exponenten op; zo is 2x·3x = 6x².

Uitgewerkt voorbeeld

Een uitdrukking met haakjes en gelijksoortige termen herleiden

Herleid $3(2x + 4) - 2(x - 5)$ tot de eenvoudigste vorm.

Stap 1 — Werk de haakjes weg
Pas de distributieve eigenschap toe op beide haakjes. Let bij de tweede op het minteken: −2 maal −5 geeft +10.
$3(2x + 4) = 6x + 12 \quad\text{en}\quad -2(x - 5) = -2x + 10$
Stap 2 — Zet alles onder elkaar
Schrijf de vier termen achter elkaar; nu is duidelijk welke termen gelijksoortig zijn.
$6x + 12 - 2x + 10$
Stap 3 — Neem gelijksoortige termen samen
Tel de x-termen bij elkaar en de losse getallen bij elkaar. De termen 4x en 22 zijn niet gelijksoortig en blijven los staan.
$(6x - 2x) + (12 + 10) = 4x + 22$

Resultaat: De eenvoudigste vorm is $4x + 22$ . Controle met $x = 1$ : de beginvorm $3(2 + 4) - 2(1 - 5) = 18 + 8 = 26$ en de eindvorm $4 + 22 = 26$ geven hetzelfde, dus de herleiding klopt.

Veelgemaakte fouten

Een tekenfout bij een minteken vóór de haakjes: $-2(x - 5)$ wordt foutief $-2x - 10$ in plaats van $-2x + 10$ , omdat men vergeet dat min keer min plus geeft.
Herleiden en oplossen door elkaar halen — een =-teken erbij verzinnen en naar een getal toewerken terwijl de opdracht alleen om vereenvoudigen vraagt, of niet-gelijksoortige termen (zoals $4x$ en $22$ ) toch samennemen.

Actieve herhaling

Herleid de uitdrukking $5(2a - 3) - (a - 7)$ tot haar eenvoudigste vorm. Werk eerst de haakjes weg (let op het minteken vóór de tweede haakjes) en neem daarna de gelijksoortige termen samen.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde A (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Een formule omschrijven: een variabele isoleren#

Standaardexamenblad-nl

Isoleren in twee inverse stappen

Afb. 3De formule K = 50 + 0,25·t wordt in twee inverse stappen omgeschreven naar t: eerst 50 aftrekken, dan delen door 0,25.

Een formule omschrijven betekent haar zo herschrijven dat een andere variabele alleen aan één kant van het =-teken komt te staan. Je „maakt die variabele vrij” of „isoleert” haar. Dat doe je als je de formule wilt gebruiken om juist die grootheid te berekenen. De oppervlakte van een rechthoek is

A = l \cdot b

(lengte maal breedte); ken je

A

l

en wil je

b

uitrekenen, dan is het handiger een formule te hebben waarin

b

al alleen staat. Door beide kanten door

l

te delen krijg je

b = \dfrac{A}{l}

. De formule is niet veranderd van betekenis — ze is alleen „omgekeerd” zodat

b

nu de uitkomst is in plaats van een gegeven.

Het gereedschap om te isoleren is de inverse bewerking: de bewerking die een andere ongedaan maakt. Optellen en aftrekken zijn elkaars inverse, en vermenigvuldigen en delen zijn elkaars inverse. De gouden regel is dat je altijd aan béide kanten van het =-teken dezelfde bewerking uitvoert; alleen dan blijft de gelijkheid in balans. Denk aan een weegschaal: haal je links iets weg, dan moet je rechts hetzelfde weghalen, anders slaat hij door. Wil je in

x + 7 = 20

x

vrijmaken, dan trek je aan beide kanten

7

af. Wil je in

0{,}25 \cdot t = 50

t

vrijmaken, dan deel je beide kanten door

0{,}25

. Elke stap is zo'n omgekeerde bewerking die één obstakel rond de gezochte variabele wegneemt.

Bij een formule met méér dan één bewerking pak je de obstakels in de omgekeerde volgorde van de bewerkingen aan: eerst weg wat er bij staat (optellen/aftrekken), daarna weg waarmee vermenigvuldigd of gedeeld wordt. Neem de kostenformule

K = 50 + 0{,}25 \cdot t

, waarin

K

de kosten en

t

een aantal eenheden (bijvoorbeeld minuten) is. Wil je

t

isoleren, dan haal je éérst de losse

50

weg door aan beide kanten

50

af te trekken:

K - 50 = 0{,}25 \cdot t

. Pas daarna deel je beide kanten door

0{,}25

om de

t

helemaal vrij te maken. De volgorde is belangrijk: zou je eerst delen terwijl de

+50

er nog staat, dan moet je álles delen en wordt de uitdrukking onnodig ingewikkeld.

Een prettig hulpmiddel is dat delen door een kommagetal vaak een mooie vermenigvuldiging wordt. Delen door

0{,}25

is hetzelfde als vermenigvuldigen met

4

, want

\dfrac{1}{0{,}25} = 4

. Daarmee wordt

t = \dfrac{K - 50}{0{,}25}

netjes

t = 4(K - 50) = 4K - 200

. Zulke vereenvoudigingen maken de omgeschreven formule beter bruikbaar. Controleer een omgeschreven formule altijd met een proefwaarde: kies een

t

, reken via de oorspronkelijke formule de

K

uit, en kijk of je omgekeerde formule die

t

weer teruggeeft. Voor

t = 100

geeft

K = 50 + 0{,}25 \cdot 100 = 75

; en

t = 4 \cdot 75 - 200 = 100

— de heen- en terugweg sluiten, dus de omschrijving klopt.

Een formule omschrijven is in wiskunde A een sleutelvaardigheid, omdat je vaak een formule krijgt die „de verkeerde kant op” staat. De som van de hoeken, de omtrek van een cirkel, een kostenmodel — telkens is de gevraagde grootheid niet degene die al alleen staat. Wie vlot kan isoleren, hoeft niet voor elke waarde opnieuw te puzzelen maar maakt één keer de juiste formule en vult dan in. Het sluit naadloos aan op herleiden (je gebruikt dezelfde nauwkeurigheid met tekens en bewerkingen) en op het oplossen van vergelijkingen (daar isoleer je de onbekende om een getal te vinden). Zie isoleren dus als het scharnierpunt: het verbindt het bewerken van uitdrukkingen met het echte rekenwerk dat de context vraagt.

A = l \cdot b \;\Rightarrow\; b = \dfrac{A}{l}

oppervlakte omschrijven naar de breedte

Deel beide kanten van A = l·b door l om b vrij te maken. Zo bereken je de breedte uit de oppervlakte en de lengte.

Uitgewerkt voorbeeld

Een variabele isoleren uit een lineaire formule

Schrijf de formule $K = 50 + 0{,}25 \cdot t$ om naar $t$ (druk $t$ uit in $K$ ).

Stap 1 — Haal de losse term weg
Rond de t staan twee obstakels: er wordt 50 bij opgeteld en t wordt met 0,25 vermenigvuldigd. Pak eerst de optelterm aan: trek aan beide kanten 50 af.
$K - 50 = 0{,}25 \cdot t$
Stap 2 — Maak t helemaal vrij
Nu staat t alleen nog vermenigvuldigd met 0,25. De inverse bewerking is delen: deel beide kanten door 0,25.
$t = \dfrac{K - 50}{0{,}25}$
Stap 3 — Vereenvoudig de deling
Delen door 0,25 is hetzelfde als vermenigvuldigen met 4, want 1 gedeeld door 0,25 is 4. Werk de haakjes weg voor een nette eindvorm.
$t = 4(K - 50) = 4K - 200$

Resultaat: De omgeschreven formule is $t = 4K - 200$ (gelijk aan $t = \dfrac{K - 50}{0{,}25}$ ). Controle met $t = 100$ : de oorspronkelijke formule geeft $K = 50 + 0{,}25 \cdot 100 = 75$ , en $t = 4 \cdot 75 - 200 = 100$ — de waarden sluiten, dus de omschrijving is correct.

Veelgemaakte fouten

Een bewerking maar aan één kant van het =-teken uitvoeren, zodat de gelijkheid uit balans raakt en de omgeschreven formule niet meer klopt.
De verkeerde volgorde kiezen: in $K = 50 + 0{,}25 \cdot t$ delen door $0{,}25$ terwijl de $+50$ er nog staat, in plaats van eerst aan beide kanten $50$ af te trekken.

Actieve herhaling

De omtrek van een cirkel is $O = 2 \cdot \pi \cdot r$ . Schrijf deze formule om naar $r$ (druk $r$ uit in $O$ ). Controleer je antwoord door een straal te kiezen, de omtrek te berekenen en te kijken of je omgeschreven formule diezelfde straal teruggeeft.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde A (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Een formule opstellen uit een situatie#

Standaardexamenblad-nl

Grafiek van de opgestelde formule K = 5 + 3u

Afb. 4De lijn K = 5 + 3u: het startgeld 5 is het snijpunt met de verticale as, en bij 6 uur zijn de kosten 23 euro.

Een formule opstellen is de omgekeerde beweging van invullen: in plaats van een gegeven formule te gebruiken, vertaal je zelf een beschreven situatie naar een formule. Je begint met een woordformule — een zin die in gewone taal het verband beschrijft — en zet die om in een letterformule met variabelen. Cruciaal is dat je éérst benoemt wat elke letter betekent, inclusief de eenheid: laat bijvoorbeeld

u

het aantal uren zijn en

K

de totale kosten in euro. Zonder die afspraak is een formule betekenisloos; mét die afspraak kun je hem invullen, tekenen en controleren. In wiskunde A komt deze vaardigheid steeds terug, want de examenopgaven beschrijven realistische situaties die je zelf in wiskunde moet vertalen.

Heel veel situaties in wiskunde A leiden tot een lineair verband: er is een vast startbedrag en daarbovenop een vast tarief per eenheid. De algemene vorm is

y = b + a \cdot x

, waarin

b

de beginwaarde is (het vaste deel, de waarde bij

x = 0

) en

a

het tarief (hoeveel

y

toeneemt per stap van

x

). Herken in een tekst dus twee bedragen: een dat je éénmalig betaalt of bezit (dat wordt

b

) en een dat zich herháált per eenheid (dat wordt de

a

vóór de variabele). Een fietsenverhuur die 5 euro startgeld vraagt plus 3 euro per uur, geeft zo de formule

K = 5 + 3 \cdot u

: de

5

is het vaste startgeld en de

3

het uurtarief. Dezelfde lijn kun je ook als

K = 3 \cdot u + 5

schrijven; de volgorde van de termen verandert de waarde niet.

Het loont om de betekenis van

b

a

ook grafisch te zien, want het verband is een rechte lijn. De beginwaarde

b

is het punt waar de lijn de verticale as snijdt (bij

u = 0

): bij de verhuur is dat

(0, 5)

, het startgeld dat je al betaalt vóór je ook maar één uur huurt. Het tarief

a

is de steilheid van de lijn: hoeveel de lijn stijgt als

u

met

1

toeneemt — hier 3 euro per uur. De grafiek hieronder toont de lijn

K = 5 + 3u

met dat startpunt op de verticale as en een gemarkeerd punt erop. Door formule en grafiek naast elkaar te leggen, controleer je elkaar: het snijpunt met de verticale as moet

b

zijn, en bij elke stap naar rechts moet de lijn

a

omhoog gaan.

Een opgestelde formule is pas betrouwbaar als je hem controleert, en dat doe je door een waarde in te vullen waarvan je de uitkomst kunt narekenen. Voor

K = 5 + 3 \cdot u

kies je bijvoorbeeld

u = 4

uur:

K = 5 + 3 \cdot 4 = 5 + 12 = 17

, dus 17 euro. Dat klopt met de redenering „startgeld van 5 euro plus vier keer het uurtarief van 3 euro”. Komt jouw ingevulde waarde overeen met wat je op grond van de situatie verwacht, dan heb je de formule waarschijnlijk goed opgesteld; wijkt het af, dan heb je vermoedelijk het vaste en het variabele deel verwisseld of een eenheid over het hoofd gezien. Deze controle kost een halve minuut en voorkomt dat je een hele opgave op een verkeerde formule bouwt.

Een formule opstellen verbindt alle vaardigheden uit dit onderwerp. Je vertaalt de situatie (opstellen), vereenvoudigt zo nodig de uitdrukking (herleiden), kunt de formule omschrijven naar een andere variabele als de vraag daarom vraagt (isoleren), en vult ten slotte waarden in om concrete uitkomsten te berekenen (substitueren). Het lineaire model

y = b + a \cdot x

dat je hier leert herkennen, is bovendien het opstapje naar de domeinen over verbanden en veranderingen: daar krijgt het tarief

a

de naam helling en wordt het startbedrag

b

de beginwaarde van een grafiek. Wie hier vlot uit een verhaal de juiste vaste en variabele delen haalt, legt het fundament voor vrijwel het hele vervolg van wiskunde A.

y = b + a \cdot x

lineair verband

b is de beginwaarde (het vaste deel, de waarde bij x = 0), a is het tarief (de toename van y per stap van x).

K = 5 + 3 \cdot u

verhuurkosten

Het vaste startgeld van 5 euro plus 3 euro per uur u. Hier is b = 5 (startgeld) en a = 3 (uurtarief).

Uitgewerkt voorbeeld

Een kostenformule opstellen en controleren

Een fietsenverhuur vraagt 5 euro startgeld plus 3 euro per uur. Stel een formule op voor de totale kosten $K$ (in euro) bij $u$ uur huren, en controleer de formule met een waarde.

Stap 1 — Benoem de variabelen
Spreek af wat de letters betekenen, met eenheid: u is het aantal uren en K zijn de totale kosten in euro.
Stap 2 — Scheid het vaste en het variabele deel
Het startgeld van 5 euro betaal je éénmalig, ongeacht de tijd: dat is de beginwaarde b. De 3 euro per uur herhaalt zich per uur: dat is het tarief a vóór de variabele, dus 3·u.
Stap 3 — Stel de formule op
Zet het vaste deel en het variabele deel samen in de vorm y = b + a·x.
$K = 5 + 3 \cdot u$
Stap 4 — Controleer met een waarde
Vul een gemakkelijk te narekenen waarde in, bijvoorbeeld 4 uur, en vergelijk met de redenering „5 euro plus vier keer 3 euro”.
$K = 5 + 3 \cdot 4 = 17$

Resultaat: De formule is $K = 5 + 3 \cdot u$ . De controle bij $u = 4$ geeft 17 euro, precies het startgeld van 5 euro plus vier keer het uurtarief van 3 euro — de opgestelde formule klopt.

Veelgemaakte fouten

Het vaste en het variabele deel verwisselen, zodat het tarief als startbedrag wordt genoteerd (bijvoorbeeld $K = 3 + 5 \cdot u$ in plaats van $K = 5 + 3 \cdot u$ ).
De eenheid van de variabele vergeten of verkeerd kiezen (per uur versus per dag), waardoor het tarief niet bij de gevraagde grootheid past.

Actieve herhaling

Een taxibedrijf rekent 3,50 euro voorrijkosten plus 2 euro per gereden kilometer. Stel een formule op voor de totale ritkosten $K$ (in euro) bij een afstand van $d$ kilometer, en bereken met die formule de kosten van een rit van 8 km. Controleer of je uitkomst klopt met de beschrijving.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde A (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / Examenblad

Examenprogramma wiskunde A (HAVO)

Algebra: formules opstellen, herleiden en substitueren

4 Onderdelen~22 min leestijd4 VaardighedenNiveau Basis 1 · Standaard 3

Algebra: formules opstellen, herleiden en substitueren

Kernpunten

Een formule invullen met de juiste volgorde

Kernpunten

Een uitdrukking met haakjes en gelijksoortige termen herleiden

Kernpunten

Een variabele isoleren uit een lineaire formule

Kernpunten

Een kostenformule opstellen en controleren

Bronnen

Algebra: formules opstellen, herleiden en substitueren

Kernpunten

Een formule invullen met de juiste volgorde

Kernpunten

Een uitdrukking met haakjes en gelijksoortige termen herleiden

Kernpunten

Een variabele isoleren uit een lineaire formule

Kernpunten

Een kostenformule opstellen en controleren

Bronnen