Samenvattingen · Wiskunde ANL · HAVO

Formules met één of meer variabelen en evenredige verbanden

Dit onderwerp uit domein C (Verbanden) behandelt de standaardverbanden waarmee één formule de samenhang tussen grootheden vastlegt. Je leert recht evenredige verbanden ( $y = a\cdot x$ ), omgekeerd evenredige verbanden ( $y = \frac{a}{x}$ ), machts- en wortelverbanden herkennen, de formule opstellen uit een gegeven punt of tabel, en rekenen met formules die twee of meer variabelen bevatten zoals de BMI. Bij elk verband hoort een typische grafiek- of tabelvorm waaraan je het herkent.

4 Onderdelen~21 min leestijd4 VaardighedenNiveau Basis 1 · Standaard 3

T·0333 / 14

Examenprofiel

Een recht evenredig verband y = a·x herkennen, de evenredigheidsconstante bepalen en de bijbehorende rechte lijn door de oorsprong gebruiken.Een omgekeerd evenredig verband y = \frac{a}{x} herkennen aan een constant product x·y en ermee rekenen.Machts- en wortelverbanden y = a·xn herkennen aan grafiek of tabel en opstellen uit een gegeven punt.Werken met formules met twee of meer variabelen: waarden substitueren, een grootheid berekenen en het effect van het veranderen van één variabele beoordelen.

Operatoren:bepaalberekentoon aanleg uitinterpreteer

basisniveau

Voor het CE (domein C, Verbanden): herken recht- en omgekeerd-evenredige, machts- en wortelverbanden, stel de formule op uit een punt of tabel en bereken een gevraagde waarde.

verhoogd niveau

Verdieping: beredeneer het effect van het veranderen van één variabele in een formule met meerdere variabelen en herschrijf zo'n formule om een andere grootheid vrij te maken.

Diepte

Tekst

Inhoud · 4 onderdelen

Formules met één of meer variabelen en evenredige verbanden

Recht evenredig verband#

Basisexamenblad-nl

Recht evenredig verband

Afb. 1De grafiek van een recht evenredig verband is een rechte lijn door de oorsprong; de evenredigheidsconstante a = 1,5 is tegelijk de helling.

Twee grootheden zijn recht evenredig als de ene altijd evenveel keer zo groot is als de andere: verdubbel je

x

, dan verdubbelt

y

mee; maak je

x

drie keer zo groot, dan wordt

y

ook drie keer zo groot. Wiskundig leg je dat vast met de formule

y = a \cdot x

, waarin het getal

a

de evenredigheidsconstante heet. Die constante is de vaste verhouding tussen

y

x

en vertelt hoeveel

y

toeneemt per eenheid die

x

groter wordt — bij een prijs per kilo, een snelheid in kilometer per uur of een verbruik per dag is

a

juist dat „per"-getal. Omdat er geen los begingetal bij wordt opgeteld (geen

+\,b

zoals bij een algemener lineair verband), is

y

precies nul zodra

x

nul is: geen kosten zonder afname, geen afstand zonder tijd. Dat maakt recht evenredig tot de strakste, eenvoudigste vorm van samenhang die je in wiskunde A tegenkomt.

De grafiek van

y = a \cdot x

is altijd een rechte lijn die door de oorsprong

(0,\,0)

gaat — dat punt hoort er onvermijdelijk bij, want bij

x = 0

geeft de formule

y = a \cdot 0 = 0

. De evenredigheidsconstante

a

is tegelijk de steilheid van die lijn: hoe groter

a

, hoe sneller de lijn omhoog loopt, want bij elke stap van

1

naar rechts gaat de lijn

a

omhoog. De figuur hieronder toont de lijn

y = 1{,}5x

: ze begint precies in de oorsprong en stijgt met

1{,}5

voor elke stap van

1

naar rechts. Juist het door-de-oorsprong-gaan is het visuele kenmerk waaraan je een recht evenredig verband herkent, en waarmee je het onderscheidt van een lijn die de

y

-as ergens anders dan in nul snijdt.

In een tabel herken je een recht evenredig verband aan een vaste verhouding: deel je bij elk getallenpaar de

y

-waarde door de bijbehorende

x

-waarde, dan komt er telkens hetzelfde getal uit, en dat getal is de evenredigheidsconstante

a

. Staan er bijvoorbeeld de paren

(2, 3)

(4, 6)

(6, 9)

in een tabel, dan geldt

\tfrac{3}{2} = \tfrac{6}{4} = \tfrac{9}{6} = 1{,}5

, dus is het verband recht evenredig met

a = 1{,}5

. Komt er bij één paar een ander quotiënt uit, dan is het verband niét recht evenredig en mag je de formule

y = a \cdot x

niet gebruiken. Deze quotiëntentoets (

\tfrac{y}{x}

moet constant zijn) is sneller en betrouwbaarder dan naar de grafiek turen, en is precies wat een examenvraag bedoelt met de opdracht „toon aan dat het verband recht evenredig is".

Om de formule bij een concreet verband op te stellen heb je maar één getallenpaar nodig, mits je al weet of vermoedt dat het verband recht evenredig is. Vul het paar in de vorm

y = a \cdot x

in en los

a

op: uit

a = \frac{y}{x}

volgt de evenredigheidsconstante meteen, waarna je de formule volledig kent. Heb je

a

eenmaal bepaald, dan reken je bij elke andere

x

de bijbehorende

y

uit (en omgekeerd elke

x

uit een gegeven

y

). Recht evenredig is de bouwsteen onder talloze contextformules — een prijs die met de hoeveelheid meegroeit, een opbrengst per stuk, een hoeveelheid stof per portie — en het is ook het eenvoudige uiterste van de andere verbanden in dit hoofdstuk: komt er een vast startbedrag bij, dan wordt het een gewoon lineair verband, en is de verhouding niet meer constant, dan heb je met een omgekeerd-evenredig, machts- of wortelverband te maken.

y = a \cdot x

recht evenredig verband

De evenredigheidsconstante a is de vaste verhouding y/x; de grafiek is een rechte lijn door de oorsprong.

a = \dfrac{y}{x}

evenredigheidsconstante uit een punt

Bij een recht evenredig verband levert y gedeeld door x bij elk punt hetzelfde getal a op.

Uitgewerkt voorbeeld

Een recht evenredig verband herkennen en de formule opstellen

Een kraan vult een vat met een constante stroom water. De tabel geeft de hoeveelheid water y (in liter) na x minuten: bij 2 min hoort 3 L, bij 4 min 6 L en bij 6 min 9 L. Toon aan dat y recht evenredig is met x, bepaal de evenredigheidsconstante en de formule, en bereken de hoeveelheid water na 10 minuten.

Stap 1 — Pas de quotiëntentoets toe
Deel bij elk paar de hoeveelheid water door de tijd. Komt er telkens hetzelfde getal uit, dan is het verband recht evenredig.
$\dfrac{3}{2} = \dfrac{6}{4} = \dfrac{9}{6} = 1{,}5$
Stap 2 — Bepaal de evenredigheidsconstante en de formule
Het quotiënt is overal 1,5, dus de evenredigheidsconstante is a = 1,5 (liter per minuut). Daarmee is de formule volledig bepaald.
$y = 1{,}5 \cdot x$
Stap 3 — Bereken de hoeveelheid na 10 minuten
Vul x = 10 in de formule in.
$y = 1{,}5 \cdot 10 = 15$

Resultaat: Het quotiënt y/x is bij elk paar gelijk aan 1,5, dus het verband is recht evenredig met formule $y = 1{,}5x$ . Na 10 minuten staat er $1{,}5 \cdot 10 = 15$ liter in het vat.

Veelgemaakte fouten

Een algemener lineair verband $y = a\cdot x + b$ met een startwaarde $b \neq 0$ toch recht evenredig noemen; alleen als de lijn door de oorsprong gaat (dus $b = 0$ ) is het verband echt recht evenredig.
De evenredigheidsconstante uitrekenen als $\frac{x}{y}$ in plaats van $\frac{y}{x}$ ; $a$ is de $y$ -waarde per eenheid $x$ , dus altijd $y$ gedeeld door $x$ .

Actieve herhaling

In een tabel staan de kosten voor appels: 2 kg kost € 3,30, 5 kg kost € 8,25 en 8 kg kost € 13,20. Toon met de quotiëntentoets aan dat de kosten recht evenredig zijn met het gewicht, stel de formule op en bereken de kosten voor 12 kg.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde A (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Omgekeerd evenredig verband#

Standaardexamenblad-nl

Omgekeerd evenredig verband

Afb. 2De grafiek van een omgekeerd evenredig verband is een hyperbool; het product x · y is overal gelijk aan 12.

Bij een omgekeerd evenredig verband gebeurt het tegenovergestelde van recht evenredig: maak je

x

twee keer zo groot, dan wordt

y

juist twee keer zo klein; verdriedubbel je

x

, dan wordt

y

een derde. Wiskundig leg je dat vast met de formule

y = \frac{a}{x}

, waarin

a

opnieuw een vast getal is. Zulke verbanden hoor je overal waar een vaste hoeveelheid over een veranderend aantal wordt verdeeld: een vaste afstand verdeeld over een snelheid (hogere snelheid, kortere reistijd), een vaste klus verdeeld over meer mensen (meer mensen, minder uren elk), of een vast oppervlak verdeeld over een lengte. Hoe groter de ene grootheid, hoe kleiner de andere — maar nooit zomaar willekeurig, want hun product blijft gelijk.

Dát product is het kenmerk van een omgekeerd evenredig verband: vermenigvuldig je de twee grootheden met elkaar, dan komt er telkens hetzelfde getal uit, namelijk

x \cdot y = a

. Dit volgt rechtstreeks uit de formule, want vermenigvuldig je beide kanten van

y = \frac{a}{x}

met

x

, dan staat er

x \cdot y = a

. Staan in een tabel bijvoorbeeld de paren

(2, 6)

(4, 3)

(8, 1{,}5)

, dan geldt

2 \cdot 6 = 4 \cdot 3 = 8 \cdot 1{,}5 = 12

, dus is het verband omgekeerd evenredig met

a = 12

. Deze producttoets (

x \cdot y

moet constant zijn) is voor omgekeerd evenredig precies wat de quotiëntentoets is voor recht evenredig: de snelste manier om het verband aan te tonen.

De grafiek van

y = \frac{a}{x}

is geen rechte lijn maar een dalende kromme die een hyperbool heet (voor positieve

x

). Naarmate

x

groter wordt, kruipt

y

steeds dichter naar nul zónder de

x

-as ooit te raken; naarmate

x

kleiner wordt en naar nul nadert, schiet

y

juist steil omhoog. De assen heten dan asymptoten: lijnen die de kromme almaar dichter nadert maar nooit bereikt. De figuur hieronder toont de hyperbool

y = \frac{12}{x}

, met de punten

(2, 6)

(4, 3)

die allebei het product

12

hebben. Bij

x = 0

bestaat

y

niet, want delen door nul mag niet — en dat past bij de context: met nul mensen wordt de klus nooit gedaan.

Om de formule op te stellen heb je één punt nodig: vermenigvuldig de

x

- en

y

-waarde van dat punt en je hebt

a

, want

a = x \cdot y

. Daarna reken je elke andere waarde uit met dezelfde regel: ken je

a

en een nieuwe

x

, dan is

y = \frac{a}{x}

; ken je

a

en een nieuwe

y

, dan is

x = \frac{a}{y}

. Houd het verschil met recht evenredig scherp voor ogen: bij recht evenredig is het quotiënt

\frac{y}{x}

constant en stijgt de grafiek als een rechte lijn, bij omgekeerd evenredig is het product

x \cdot y

constant en daalt de grafiek als een hyperbool. Wie de twee toetsen — delen of vermenigvuldigen — uit elkaar houdt, kiest in een examenopgave vrijwel altijd het juiste verband.

y = \dfrac{a}{x}

omgekeerd evenredig verband

De grafiek is een dalende hyperbool die de assen nadert; bij x = 0 bestaat y niet.

x \cdot y = a

constant product

Het product van de twee grootheden is overal gelijk aan a; dit is de toets voor omgekeerd evenredig.

Uitgewerkt voorbeeld

Een omgekeerd evenredig verband opstellen en doorrekenen

Een rechthoek heeft een vaste oppervlakte van 12 cm². De lengte x (in cm) en de breedte y (in cm) zijn omgekeerd evenredig. Van één rechthoek is bekend dat x = 2 cm en y = 6 cm. Bepaal de evenredigheidsconstante a, stel de formule voor y op en bereken de breedte als de lengte x = 8 cm is.

Stap 1 — Bepaal a met de producttoets
Vermenigvuldig de lengte en de breedte van het bekende punt. Dit product is de constante a (en gelijk aan de oppervlakte 12 cm²).
$a = x \cdot y = 2 \cdot 6 = 12$
Stap 2 — Stel de formule op
Met a = 12 volgt de formule rechtstreeks uit y = a/x.
$y = \dfrac{12}{x}$
Stap 3 — Bereken de breedte bij x = 8
Vul x = 8 in. Controleer het antwoord met de producttoets: 8 · 1,5 = 12.
$y = \dfrac{12}{8} = 1{,}5$

Resultaat: Het product $x\cdot y$ is constant gelijk aan 12, dus $y = \frac{12}{x}$ . Bij een lengte van 8 cm hoort een breedte van $\frac{12}{8} = 1{,}5$ cm, en inderdaad is $8 \cdot 1{,}5 = 12$ .

Veelgemaakte fouten

Omgekeerd evenredig verwarren met een dalend lineair verband; bij omgekeerd evenredig is niet het verschil maar het product $x\cdot y$ constant, en de grafiek is een gebogen hyperbool, geen rechte lijn.
De constante bepalen door te delen ( $\frac{y}{x}$ ) zoals bij recht evenredig; bij omgekeerd evenredig moet je juist vermenigvuldigen, dus $a = x\cdot y$ .

Actieve herhaling

Een taxi rijdt steeds dezelfde route van 120 km. De gemiddelde snelheid v (in km/h) en de reistijd t (in uur) zijn omgekeerd evenredig. Bij v = 60 km/h hoort t = 2 uur. Toon aan dat v · t constant is, stel de formule voor t op en bereken de reistijd bij een gemiddelde snelheid van 80 km/h.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde A (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Machtsverband en wortelverband#

Standaardexamenblad-nl

Machtsverband (kwadratisch)

Afb. 3Bij een kwadratisch machtsverband y = 0,5·x² worden de sprongen in y steeds groter; door (4, 8).

Een machtsverband heeft de vorm

y = a \cdot x^{n}

, waarin de exponent

n

vastligt en bepaalt hoe sterk

y

met

x

meegroeit. Het meest voorkomende geval in wiskunde A is

n = 2

: dan heet het verband kwadratisch en is

y

evenredig met het kwadraat van

x

. Zulke verbanden duiken op bij oppervlakten — de oppervlakte van een vierkant met zijde

x

x^{2}

, en die van een cirkel is

\pi r^{2} \approx 3{,}14\,r^{2}

, een machtsverband met

a \approx 3{,}14

. Het kenmerk van een kwadratisch verband is dat een verdubbeling van

x

géén verdubbeling maar een verviervoudiging van

y

geeft, want

2^{2} = 4

; maak je

x

drie keer zo groot, dan wordt

y

negen keer zo groot.

De grafiek van

y = a \cdot x^{2}

(met

a > 0

) is een steeds steiler stijgende kromme, een parabooltak die in de oorsprong begint en veel sneller omhoog loopt dan een rechte lijn. In een tabel herken je een kwadratisch verband doordat

y

niet gelijkmatig toeneemt: bij gelijke stappen in

x

worden de sprongen in

y

steeds groter. De figuur hieronder toont

y = 0{,}5\,x^{2}

, met het punt

(4, 8)

op de kromme. Doordat de exponent groter dan

1

is, „versnelt" de groei: het verschil tussen een machtsverband en een gewone rechte lijn wordt naar rechts toe steeds duidelijker zichtbaar.

Een wortelverband heeft de vorm

y = a \cdot \sqrt{x}

. De wortel is eigenlijk ook een macht, want

\sqrt{x} = x^{1/2}

, dus een wortelverband is een machtsverband met een exponent

n = \frac{1}{2}

tussen

0

1

. Daardoor stijgt

y

wél, maar steeds langzamer: in het begin gaat het hard, daarna vlakt de kromme af. De grafiek begint in de oorsprong en buigt naar rechts toe geleidelijk af — als het ware het spiegelbeeld van de versnellende kwadratische groei. Gaat zo'n verband bijvoorbeeld door

(9, 6)

, dan volgt uit

6 = a \cdot \sqrt{9} = 3a

dat

a = 2

, zodat

y = 2\sqrt{x}

; ter controle hoort bij

x = 4

dan

y = 2 \cdot \sqrt{4} = 2 \cdot 2 = 4

Of een verband een machts- of wortelverband is, lees je af aan de vorm van de grafiek (versnellend of juist afvlakkend) of aan het gedrag in de tabel; daarna stel je de formule op uit één gegeven punt door de bekende vorm in te vullen en

a

op te lossen. Let er bij een machtsverband op dat je éérst de macht uitrekent en dán pas deelt: gaat

y = a \cdot x^{2}

door

(4, 8)

, dan is

8 = a \cdot 4^{2} = 16a

, dus

a = \frac{8}{16} = 0{,}5

. Deze verbanden vormen samen één familie: recht evenredig is het bijzondere geval

n = 1

, kwadratisch is

n = 2

en een wortelverband is

n = \frac{1}{2}

. Verwar een machtsverband (

x

in het grondtal, vaste exponent) niet met het exponentiële verband uit het volgende onderwerp, waar

x

juist in de exponent staat.

y = a \cdot x^{n}

machtsverband

De exponent n ligt vast; bij n = 2 is het verband kwadratisch en groeit y met het kwadraat van x.

y = a \cdot \sqrt{x}

wortelverband

Met de wortel als macht x^(1/2); y stijgt wel, maar steeds langzamer (de grafiek vlakt af).

Wortelverband

Afb. 4Bij een wortelverband y = 2·√x stijgt y eerst snel en vlakt daarna af; door (4, 4).

Uitgewerkt voorbeeld

Een machtsverband opstellen uit een punt

Van een machtsverband van de vorm y = a·x² is bekend dat de grafiek door het punt (4, 8) gaat. Bepaal de evenredigheidsconstante a, stel de formule op en bereken y bij x = 6.

Stap 1 — Vul het punt in en kwadrateer eerst
Vul x = 4 en y = 8 in de vorm y = a·x² in. Reken het kwadraat 4² = 16 uit vóórdat je deelt.
$8 = a \cdot 4^{2} = 16a$
Stap 2 — Los a op en stel de formule op
Deel beide kanten door 16 om a te vinden; daarmee is de formule volledig bepaald.
$a = \dfrac{8}{16} = 0{,}5 \quad\Rightarrow\quad y = 0{,}5\,x^{2}$
Stap 3 — Bereken y bij x = 6
Vul x = 6 in. Kwadrateer eerst (6² = 36) en vermenigvuldig dan met 0,5.
$y = 0{,}5 \cdot 6^{2} = 0{,}5 \cdot 36 = 18$

Resultaat: Uit $8 = a\cdot 4^{2} = 16a$ volgt $a = 0{,}5$ , dus de formule is $y = 0{,}5\,x^{2}$ . Bij $x = 6$ hoort $y = 0{,}5 \cdot 36 = 18$ .

Veelgemaakte fouten

Bij $y = a\cdot x^{2}$ het kwadraat vergeten en $a$ uitrekenen alsof het verband recht evenredig is; vul eerst het kwadraat in ( $4^{2} = 16$ ) en deel dán pas, dus $a = \frac{8}{16} = 0{,}5$ .
Een machtsverband ( $x$ in het grondtal) verwarren met een exponentieel verband ( $x$ in de exponent); $y = a\cdot x^{2}$ en $y = a\cdot 2^{x}$ zijn totaal verschillende verbanden met een totaal andere grafiek.

Actieve herhaling

Van een machtsverband $y = a\cdot x^{2}$ is bekend dat de grafiek door het punt (5, 75) gaat. Bepaal de evenredigheidsconstante a, stel de formule op en bereken y bij x = 8. Leg ook uit hoeveel keer zo groot y wordt als je x verdubbelt.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde A (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Formules met twee of meer variabelen#

Standaardexamenblad-nl

Effect van de massa op de BMI

Afb. 5Bij een vaste lengte (l = 1,75 m) is de BMI recht evenredig met de massa: de grafiek is een rechte lijn door de oorsprong.

Veel formules in wiskunde A bevatten niet één maar twéé of meer variabelen. De BMI (Body Mass Index) bijvoorbeeld combineert iemands massa

m

(in kg) en lengte

l

(in m) in de formule

\text{BMI} = \frac{m}{l^{2}}

. Andere bekende voorbeelden zijn de oppervlakte van een rechthoek

A = l \cdot b

(lengte en breedte samen) en de gemiddelde snelheid

v = \frac{s}{t}

(afstand en tijd samen). Om met zo'n formule een getal uit te rekenen vul je voor élke variabele de gegeven waarde in en werk je de berekening daarna stap voor stap uit, waarbij de rekenvolgorde leidend is: machten en wortels eerst, daarna vermenigvuldigen en delen.

Het invullen — substitueren — van meerdere waarden vraagt om nauwkeurigheid, vooral met de rekenvolgorde en de eenheden. Wil je de BMI van iemand van

72

kg en

1{,}80

m berekenen, dan reken je eerst het kwadraat van de lengte uit,

l^{2} = 1{,}80^{2} = 3{,}24

, en deel je daarna pas:

\frac{72}{3{,}24} \approx 22{,}2

. Twee dingen gaan hier vaak mis. Ten eerste de eenheid: de lengte moet in meters, niet in centimeters — met

175

in plaats van

1{,}75

krijg je een onzinnige uitkomst. Ten tweede de volgorde: je kwadrateert de lengte, niet de uitkomst, en je deelt pas ná het kwadrateren.

Een typische examenvraag wil weten welk effect het heeft als je één variabele verandert terwijl de andere gelijk blijft. Houd je bij de BMI de lengte vast op

l = 1{,}75

m (dus

l^{2} = 3{,}0625

), dan wordt

\text{BMI} = \frac{m}{3{,}0625}

: bij

70

kg hoort dan

\text{BMI} \approx 22{,}9

en bij

90

kg ongeveer

29{,}4

. In de grafiek hieronder zie je dat zulke punten op één rechte lijn door de oorsprong liggen — bij een vaste lengte is de BMI dus zelfs recht evenredig met de massa, met evenredigheidsconstante

\frac{1}{l^{2}}

. Dat is een mooie terugkoppeling naar het recht evenredig verband uit het begin van dit hoofdstuk. Verander je daarentegen de lengte bij vaste massa, dan zit die in het kwadraat in de noemer, en daalt de BMI juist snel naarmate iemand langer is.

Rekenen met een formule is pas af als je de uitkomst interpreteert in de context. Een BMI van

22

ligt tussen

18{,}5

25

en hoort daarmee bij de klasse „gezond gewicht"; pas door die betekenis erbij te zeggen, beantwoord je de vraag echt. Formules met meerdere variabelen zijn zo de brug tussen de zuivere verbanden uit dit hoofdstuk en de echte contextopgaven van het examen: je kiest welke variabele bekend is, welke je uitrekent en wat het antwoord betekent. Soms moet je de formule daarvoor eerst herschrijven om een ándere variabele vrij te maken — uit

\text{BMI} = \frac{m}{l^{2}}

volgt bijvoorbeeld

m = \text{BMI} \cdot l^{2}

— wat aansluit bij het herleiden van formules uit een eerder onderwerp.

\text{BMI} = \dfrac{m}{l^{2}}

Body Mass Index

m is de massa in kilogram, l de lengte in meter; reken eerst l² uit en deel daarna pas.

v = \dfrac{s}{t}

gemiddelde snelheid

Een formule met twee variabelen: afstand s en tijd t samen bepalen de gemiddelde snelheid v.

m = \text{BMI} \cdot l^{2}

BMI herschreven naar de massa

Door de formule te herleiden maak je een andere variabele vrij; hier de massa m.

Uitgewerkt voorbeeld

BMI berekenen en interpreteren

De Body Mass Index wordt berekend met BMI = m / l², waarin m de massa in kilogram en l de lengte in meter is. Bereken de BMI van iemand met een massa van 72 kg en een lengte van 1,80 m, afgerond op één decimaal, en geef aan in welke gewichtsklasse deze persoon valt. Bereken daarna de BMI als dezelfde persoon 80 kg weegt.

Stap 1 — Kwadrateer de lengte
Reken volgens de rekenvolgorde eerst het kwadraat van de lengte uit.
$l^{2} = 1{,}80^{2} = 3{,}24$
Stap 2 — Deel de massa door l²
Deel nu de massa door het zojuist berekende kwadraat en rond af op één decimaal.
$\text{BMI} = \dfrac{72}{3{,}24} \approx 22{,}2$
Stap 3 — Interpreteer en herhaal voor 80 kg
Een BMI van 22,2 ligt tussen 18,5 en 25, dus valt deze persoon in de klasse „gezond gewicht". Vul daarna m = 80 in bij dezelfde lengte.
$\text{BMI} = \dfrac{80}{3{,}24} \approx 24{,}7$

Resultaat: Met $l^{2} = 1{,}80^{2} = 3{,}24$ wordt de BMI $\frac{72}{3{,}24} \approx 22{,}2$ , wat in de klasse „gezond gewicht" (tussen 18,5 en 25) valt. Bij 80 kg en dezelfde lengte stijgt de BMI naar $\frac{80}{3{,}24} \approx 24{,}7$ .

Veelgemaakte fouten

Bij de BMI de lengte in centimeters invullen in plaats van in meters; met $l = 175$ in plaats van $l = 1{,}75$ krijg je een volkomen onzinnige uitkomst. Reken eerst de eenheden om.
De rekenvolgorde omdraaien en eerst $m$ door $l$ delen en pas daarna kwadrateren; volgens $\frac{m}{l^{2}}$ moet je éérst $l$ kwadrateren en pas daarna de massa erdoor delen.

Actieve herhaling

De BMI van een persoon wordt gegeven door BMI = m / l², met m de massa in kg en l de lengte in m. Bereken de BMI van iemand met m = 81 kg en l = 1,90 m, rond af op één decimaal en interpreteer de uitkomst. Leg daarna uit wat er met de BMI gebeurt als deze persoon dezelfde lengte houdt maar 9 kg aankomt.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde A (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / Examenblad

Examenprogramma wiskunde A (HAVO)

Formules met één of meer variabelen en evenredige verbanden

Kernpunten

Een recht evenredig verband herkennen en de formule opstellen

Kernpunten

Een omgekeerd evenredig verband opstellen en doorrekenen

Kernpunten

Een machtsverband opstellen uit een punt

Kernpunten

BMI berekenen en interpreteren

Bronnen