Samenvattingen · Wiskunde ANL · HAVO

Rekenen, verhoudingen, procenten, machten en wortels

Dit onderwerp is de rekengereedschapskist van wiskunde A: vlot en correct rekenen met verhoudingen en schaal, met procenten via groeifactoren, met machten en wortels, en met wetenschappelijke notatie en afronden. Deze vaardigheden keren in vrijwel elke contextopgave van het centraal examen terug. Het exact vereenvoudigen van wortels leunt meer richting schoolexamen en verdieping; de nadruk ligt hier op verantwoord rekenen in context.

4 Onderdelen~22 min leestijd4 VaardighedenNiveau Basis 2 · Standaard 2

T·0111 / 14

Examenprofiel

Rekenen met verhoudingen, verhoudingstabellen, gelijkwaardige verhoudingen en schaal in contextsituaties, inclusief het herleiden van eenheden.Procentuele berekeningen uitvoeren met groeifactoren: toe- en afname, terugrekenen, het verschil procent–procentpunt en het aaneenschakelen van veranderingen.Rekenen met machten en wortels volgens de rekenregels en wortels schrijven als gebroken macht.Getallen schrijven in wetenschappelijke notatie en verantwoord afronden op decimalen of significante cijfers, inclusief het schatten van de ordegrootte.

Operatoren:berekenherleidrond afschatleg uit

basisniveau

Voor het CE: reken vlot en correct met verhoudingen, procenten (groeifactoren), machten en wetenschappelijke notatie in contextopgaven — dit is het gereedschap voor het hele examen.

verhoogd niveau

Voor het SE en de verdieping: exact vereenvoudigen van wortels en algebraïsche machtsuitdrukkingen, en het vlot en foutloos terugrekenen in samengestelde situaties.

Diepte

Tekst

Inhoud · 4 onderdelen

Rekenen, verhoudingen, procenten, machten en wortels

Verhoudingen, verhoudingstabel en schaal#

Basisexamenblad-nl

Verhoudingstabel

Afb. 1Een verhoudingstabel: elke rij is dezelfde verhouding (50 g bloem per persoon).

Een verhouding vergelijkt twee hoeveelheden van dezelfde soort en zegt hoe ze zich tot elkaar verhouden, niet hoe groot ze absoluut zijn. Schrijf je „de verhouding meel : suiker is 3 : 2”, dan betekent dat: op elke 3 delen meel horen 2 delen suiker — of dat nu gram, kilogram of scheppen zijn. Een verhouding is dus dimensieloos: alleen de onderlinge grootte telt, niet de eenheid. Daarom kun je met dezelfde verhouding net zo goed een klein bakje als een hele fabriekslading beschrijven. Dat maakt verhoudingen het natuurlijke gereedschap voor recepten, mengsels, kaarten en alle situaties waarin „evenveel keer zo veel” de kern is.

Twee verhoudingen zijn gelijkwaardig als je de ene uit de andere krijgt door beide getallen met hetzelfde getal (niet nul) te vermenigvuldigen of te delen. Zo is

4 : 200

gelijkwaardig aan

1 : 50

(beide gedeeld door 4) en aan

6 : 300

(vanuit

1 : 50

keer 6). Een verhoudingstabel zet die gelijkwaardige verhoudingen netjes onder elkaar, zodat je van het bekende naar het gevraagde kunt rekenen via handige tussenstappen. De krachtigste tussenstap is vaak „per één”: reken eerst uit hoeveel er bij één eenheid hoort, en vermenigvuldig dat daarna naar het gevraagde aantal. In de tabel hieronder hoort bij elke rij dezelfde verhouding van 50 g per persoon — de hele tabel is in feite één verhouding, telkens anders opgeschreven.

Als twee verhoudingen aan elkaar gelijk zijn,

a : b = c : d

, dan zijn de kruisproducten gelijk:

a\cdot d = b\cdot c

. Je ziet waarom als je de verhoudingen als breuken schrijft,

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

, en beide kanten met

b\cdot d

vermenigvuldigt: links blijft

a\cdot d

over, rechts

b\cdot c

. Deze regel is goud waard als precies één van de vier getallen onbekend is: vul de drie bekende getallen in, stel

a\cdot d = b\cdot c

op en los de onbekende op. Stel bijvoorbeeld dat

3 : 4 = x : 20

; dan is

3\cdot 20 = 4\cdot x

, dus

60 = 4x

x = 15

. Kruislings vermenigvuldigen is daarmee de snelle, betrouwbare manier om een ontbrekend getal in een verhouding te vinden.

Schaal is een verhouding tussen de afstand op de kaart en de afstand in werkelijkheid. Een schaal

1 : n

betekent: 1 lengte-eenheid op de kaart komt overeen met

n

dezelfde eenheden in het echt. Bij schaal

1 : 25\,000

is dus 1 cm op de kaart gelijk aan

25\,000

cm in werkelijkheid. Om van kaart naar werkelijkheid te gaan vermenigvuldig je met

n

; om van werkelijkheid naar kaart te gaan deel je door

n

. Let op dat het antwoord vrijwel altijd nog herleid moet worden naar een handige eenheid — centimeters worden al snel meters of kilometers — wat ons bij de laatste vaardigheid van deze paragraaf brengt.

Rekenen met verhoudingen en schaal lukt alleen als je vlot eenheden herleidt. Voor lengte geldt

1\text{ m} = 100\text{ cm}

1\text{ km} = 1000\text{ m}

, dus

1\text{ km} = 100\,000\text{ cm}

. Herleiden betekent vermenigvuldigen of delen met de juiste macht van tien: van cm naar m deel je door 100, van m naar km deel je nog eens door 1000. Een veelgemaakte fout is om de verhouding correct uit te rekenen maar het antwoord in centimeters te laten staan terwijl de vraag om kilometers vroeg. Maak er daarom een gewoonte van om als laatste stap te controleren of je antwoord in de gevraagde eenheid staat — dat scheelt op het examen zomaar een paar punten.

a : b = c : d \;\Rightarrow\; a\cdot d = b\cdot c

Kruislings vermenigvuldigen

Bij gelijke verhoudingen zijn de kruisproducten gelijk; hiermee los je een onbekende in een verhouding op.

\text{werkelijkheid} = n \times \text{kaartafstand}

Schaal 1 : n

Bij schaal 1 : n hoort bij 1 eenheid op de kaart n eenheden in werkelijkheid; vermenigvuldig de kaartafstand met n (en herleid de eenheid).

Uitgewerkt voorbeeld

Van kaartafstand naar werkelijke afstand

Op een kaart met schaal $1 : 25\,000$ liggen twee dorpen 8 cm uit elkaar. Bereken de werkelijke afstand tussen de dorpen in kilometers.

Stap 1 — Lees de schaal
Schaal $1 : 25\,000$ betekent dat 1 cm op de kaart overeenkomt met $25\,000$ cm in werkelijkheid. Om van kaart naar werkelijkheid te gaan, vermenigvuldig je de kaartafstand met $25\,000$ .
$1\text{ cm} \;\to\; 25\,000\text{ cm}$
Stap 2 — Reken de werkelijke afstand in cm uit
De kaartafstand is 8 cm, dus de werkelijke afstand is $8 \times 25\,000 = 200\,000$ cm.
$8 \times 25\,000 = 200\,000\text{ cm}$
Stap 3 — Herleid naar kilometers
Deel door 100 voor meters en door 1000 voor kilometers: $200\,000\text{ cm} = 2000\text{ m} = 2\text{ km}$ .
$200\,000\text{ cm} = 2000\text{ m} = 2\text{ km}$

Resultaat: De dorpen liggen in werkelijkheid 2 km uit elkaar. Controleer de orde van grootte: 8 cm op een kaart met schaal 1 : 25 000 hoort bij een paar kilometer — dat klopt.

Veelgemaakte fouten

Een verhouding verwarren met een deel van het geheel: bij de verhouding $3 : 2$ zijn er 5 gelijke delen (3 en 2), niet $\tfrac{3}{2}$ van iets — let dus op of een opgave naar een deel of naar een verhouding vraagt.
Bij schaal het antwoord in centimeters laten staan terwijl om kilometers gevraagd wordt; herleid altijd naar de gevraagde eenheid voordat je het opschrijft.
Kruislings de verkeerde getallen met elkaar vermenigvuldigen; zorg dat gelijksoortige grootheden op dezelfde plek in beide verhoudingen staan.

Actieve herhaling

Een auto rijdt 180 km op 12 liter benzine. Hoeveel liter benzine is nodig voor een rit van 300 km bij hetzelfde verbruik? Gebruik een verhoudingstabel of kruislings vermenigvuldigen en geef je antwoord met een korte toelichting.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde A (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Procenten en groeifactoren#

Basisexamenblad-nl

Procent en groeifactor

Afb. 2Van procentuele verandering naar groeifactor: trek het percentage van of bij 1 op.

Procent betekent letterlijk „per honderd”:

x\%

staat voor de breuk

\frac{x}{100}

. „

x\%

van een getal

G

” reken je dus uit als

\frac{x}{100}\cdot G

, oftewel je vermenigvuldigt

G

met

x

en deelt door 100. Zo is

21\%

van 80 gelijk aan

\frac{21}{100}\cdot 80 = 0{,}21\cdot 80 = 16{,}8

. Het handige is dat

\frac{x}{100}

ook gewoon een kommagetal is —

21\%

0{,}21

7\%

0{,}07

150\%

1{,}5

— waarmee procentberekeningen één vermenigvuldiging worden. Die schrijfwijze als kommagetal is meteen de brug naar het belangrijkste idee van deze paragraaf: de groeifactor.

Een toename van

p\%

betekent dat je bij het oude

p\%

van het oude optelt; samen is dat

\text{oud}\cdot\left(1 + \frac{p}{100}\right)

. Het getal

1 + \frac{p}{100}

heet de groeifactor: het is het ene getal waarmee je vermenigvuldigt om de verandering in één keer uit te voeren. Bij een afname van

p\%

is de groeifactor

1 - \frac{p}{100}

, want dan haal je

p\%

weg. Zo hoort bij

+21\%

de groeifactor

1{,}21

en bij

-20\%

de groeifactor

0{,}80

. De groeifactor is het belangrijkste gereedschap van het hele hoofdstuk procenten: hij maakt van „procentuele verandering” één vermenigvuldiging, en — zoals je verderop ziet — laat veranderingen zich moeiteloos aaneenschakelen.

Andersom kun je uit een groeifactor altijd het bijbehorende percentage aflezen: trek 1 af en maak er een percentage van, want

\text{percentage} = (g - 1)\cdot 100\%

. Een groeifactor

1{,}05

hoort dus bij

+5\%

1{,}30

bij

+30\%

, terwijl een groeifactor kleiner dan 1 bij een afname hoort:

0{,}97

betekent

-3\%

0{,}80

betekent

-20\%

. Belangrijk is dat een groeifactor nooit negatief is — een prijs die met

20\%

daalt wordt

0{,}80

keer zo groot, niet

-0{,}20

keer. Wie groeifactor en percentage vlot heen en weer kan vertalen, leest tabellen en formules voor exponentiële groei in één oogopslag; de tabel hieronder zet de twee naast elkaar.

Soms ken je de waarde ná een procentuele verandering en wil je de waarde ervóór terug. Omdat de nieuwe waarde gelijk is aan

\text{oud}\cdot g

, krijg je het oude terug door te delen door de groeifactor:

\text{oud} = \frac{\text{nieuw}}{g}

. Dit is precies waar de bekende valkuil zit: als een prijs met

25\%

is gestegen tot € 100, was de oude prijs niet € 75 maar

\frac{100}{1{,}25} = 80

euro. Hetzelfde speelt bij btw: van een prijs inclusief

21\%

btw kom je op de prijs exclusief btw door te delen door

1{,}21

, niet door er

21\%

van af te halen. Onthoud de vuistregel: vooruit rekenen is vermenigvuldigen met

g

, terugrekenen is delen door

g

Twee subtiele punten leiden vaak tot fouten. Ten eerste het verschil tussen procent en procentpunt: stijgt een rente van

3\%

naar

5\%

, dan is dat een stijging van 2 procentpunt, maar relatief een toename van

\frac{5-3}{3}\cdot 100\% \approx 66{,}7\%

— procentpunten tel je op, percentages van percentages niet. Ten tweede: opeenvolgende procentuele veranderingen schakel je aaneen door de groeifactoren te vermenigvuldigen, niet door de percentages op te tellen. Een toename van

21\%

gevolgd door een korting van

20\%

geeft de netto-groeifactor

1{,}21\cdot 0{,}80 = 0{,}968

, dus een netto afname van

3{,}2\%

— en zeker geen

+1\%

. Omdat vermenigvuldigen niet van volgorde afhangt, maakt het voor het eindresultaat niet uit of de korting vóór of na de toeslag komt.

G_{\text{nieuw}} = G_{\text{oud}}\cdot\left(1 + \frac{p}{100}\right)

Toename met p%

Bij een toename van p% vermenigvuldig je met de groeifactor 1 + p/100.

G_{\text{nieuw}} = G_{\text{oud}}\cdot\left(1 - \frac{p}{100}\right)

Afname met p%

Bij een afname van p% vermenigvuldig je met de groeifactor 1 − p/100.

G_{\text{oud}} = \frac{G_{\text{nieuw}}}{g}

Terugrekenen

Ken je de waarde na de verandering, dan deel je door de groeifactor g om de oude waarde terug te vinden.

\text{percentage} = (g - 1)\cdot 100\%

Van groeifactor naar percentage

Trek 1 van de groeifactor af en maak er een percentage van; is g kleiner dan 1, dan is het een afname.

Uitgewerkt voorbeeld

Btw erbij, daarna korting — werken met groeifactoren

Een artikel kost € 250 exclusief btw. Eerst komt er $21\%$ btw bij, daarna geeft de winkel $20\%$ korting op de prijs inclusief btw. Bereken de eindprijs en het netto-effect ten opzichte van € 250.

Stap 1 — Zet beide veranderingen om in groeifactoren
Bij $+21\%$ hoort groeifactor $1{,}21$ en bij $-20\%$ hoort groeifactor $0{,}80$ .
$g_1 = 1{,}21, \quad g_2 = 0{,}80$
Stap 2 — Reken de prijs stap voor stap uit
Prijs inclusief btw: $250\cdot 1{,}21 = 302{,}50$ euro. Daarna de korting: $302{,}50\cdot 0{,}80 = 242$ euro.
$250\cdot 1{,}21 = 302{,}50, \quad 302{,}50\cdot 0{,}80 = 242$
Stap 3 — Bepaal het netto-effect
De netto-groeifactor is $1{,}21\cdot 0{,}80 = 0{,}968$ , dus een netto afname van $3{,}2\%$ , want $(0{,}968 - 1)\cdot 100\% = -3{,}2\%$ . Controle: $250\cdot 0{,}968 = 242$ euro.
$1{,}21\cdot 0{,}80 = 0{,}968 \;\Rightarrow\; -3{,}2\%$

Resultaat: De eindprijs is € 242,00. Het netto-effect is een daling van $3{,}2\%$ ten opzichte van de oorspronkelijke € 250 — de btw en de korting heffen elkaar dus net niet op.

Veelgemaakte fouten

Bij opeenvolgende veranderingen de percentages optellen in plaats van de groeifactoren vermenigvuldigen: $+21\%$ daarna $-20\%$ is niet $+1\%$ , maar $1{,}21\cdot 0{,}80 = 0{,}968$ , dus $-3{,}2\%$ .
Terugrekenen door het percentage van de nieuwe waarde af te halen: na $+25\%$ tot € 100 is het origineel $\frac{100}{1{,}25} = 80$ euro, niet € 75.
Procent en procentpunt door elkaar halen: van $4\%$ naar $6\%$ is $+2$ procentpunt, maar relatief $+50\%$ .

Actieve herhaling

Een jas van € 120 gaat in de uitverkoop: eerst $30\%$ korting, daarna nog eens $10\%$ korting op de al verlaagde prijs. Bereken de eindprijs én het totale kortingspercentage ten opzichte van € 120.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde A (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Machten, rekenregels en wortels#

Standaardexamenblad-nl

De rekenregels voor machten

Afb. 3Overzicht van de machtsregels; de volledige formules staan hierboven in KaTeX.

Een macht is een korte schrijfwijze voor herhaald vermenigvuldigen:

a^n

betekent

n

keer de factor

a

, dus

a^4 = a\cdot a\cdot a\cdot a

. Het getal

a

heet het grondtal en

n

de exponent. Als je twee machten met hetzelfde grondtal vermenigvuldigt, mag je de exponenten optellen:

a^m\cdot a^n = a^{m+n}

. Je ziet meteen waarom:

a^3\cdot a^2

(a\cdot a\cdot a)\cdot(a\cdot a)

, samen vijf factoren

a

, dus

a^5

. In getallen:

2^3\cdot 2^2 = 8\cdot 4 = 32 = 2^5

Deel je twee machten met hetzelfde grondtal, dan trek je de exponenten af:

\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}

, want tegen elke factor

a

in de noemer valt er één in de teller weg. Pas je deze regel toe als teller en noemer gelijk zijn, dan staat er

a^{0}

, en omdat een getal door zichzelf gedeeld 1 is, geldt

a^0 = 1

(voor elke

a

behalve 0). Wordt de exponent in de noemer groter dan in de teller, dan ontstaat een negatieve exponent, en die betekent „één gedeeld door”:

a^{-n} = \frac{1}{a^n}

. Zo is

2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}

. Negatieve en nul-exponenten zijn dus geen aparte regels, maar een logisch gevolg van de quotiëntregel.

Voor een macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten:

(a^m)^n = a^{m\cdot n}

. Ook dit volgt uit tellen:

(a^3)^2 = a^3\cdot a^3 = a^{6}

. Verder mag je een macht over een product verdelen:

(a\cdot b)^n = a^n\cdot b^n

, zodat bijvoorbeeld

(2\cdot 3)^2 = 6^2 = 36

hetzelfde is als

2^2\cdot 3^2 = 4\cdot 9 = 36

. Deze regels samen — optellen bij vermenigvuldigen, aftrekken bij delen, vermenigvuldigen bij een macht van een macht — vormen de complete gereedschapskist om machtsuitdrukkingen te herleiden. De tabel hieronder zet ze nog eens overzichtelijk bij elkaar.

Een wortel is niets anders dan een macht met een gebroken exponent. De vierkantswortel is

\sqrt{a} = a^{1/2}

, want volgens de macht-van-een-macht-regel is

\left(a^{1/2}\right)^2 = a^{1} = a

— en dat is precies wat „de wortel” moet doen. Algemener geldt

\sqrt[n]{a} = a^{1/n}

a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}

, zodat alle machtsregels ook voor wortels gelden. Daardoor kun je uitdrukkingen met wortels berekenen door ze als macht te schrijven:

16^{3/4} = \left(16^{1/4}\right)^3 = 2^3 = 8

, en

8^{2/3} = \left(8^{1/3}\right)^2 = 2^2 = 4

. Wie wortels durft te lezen als gebroken machten, hoeft geen nieuwe regels te leren.

In wiskunde A komt de wortel als gebroken macht vooral terug bij exponentiële groei. Als iets in

n

perioden samen met een totale groeifactor

g

groeit, dan is de groeifactor per periode de

n

-de-machtswortel daarvan:

g_{\text{periode}} = \sqrt[n]{g} = g^{1/n}

. Groeit een bedrag bijvoorbeeld in 3 jaar met groeifactor

1{,}331

, dan is de jaarlijkse groeifactor

\sqrt[3]{1{,}331} = 1{,}331^{1/3} = 1{,}1

, oftewel

+10\%

per jaar (controle:

1{,}1^3 = 1{,}331

). Het exact vereenvoudigen van wortels, zoals

\sqrt{50} = 5\sqrt{2}

, hoort meer bij het schoolexamen en de verdieping; voor het centraal examen wiskunde A draait het vooral om de machtsregels, gebroken exponenten en het rekenen met de rekenmachine. Houd dat onderscheid in je achterhoofd zodat je je oefentijd op de examenstof richt.

a^m\cdot a^n = a^{m+n}

Productregel

Machten met hetzelfde grondtal vermenigvuldigen: tel de exponenten op.

\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}

Quotiëntregel

Machten met hetzelfde grondtal delen: trek de exponenten af.

\left(a^m\right)^n = a^{m\cdot n}

Macht van een macht

Een macht tot een macht verheffen: vermenigvuldig de exponenten.

a^0 = 1 \quad\text{en}\quad a^{-n} = \frac{1}{a^n}

Nul- en negatieve exponent

Een grondtal (behalve 0) tot de macht 0 is 1; een negatieve exponent betekent één gedeeld door de macht.

\sqrt[n]{a} = a^{1/n} \quad\text{en}\quad a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}

Wortel als gebroken macht

Een n-de-machtswortel is een macht met exponent 1/n; zo gelden alle machtsregels ook voor wortels.

Uitgewerkt voorbeeld

Een gebroken macht berekenen

Bereken $16^{3/4}$ zonder rekenmachine door de wortel als gebroken macht te lezen.

Stap 1 — Splits de gebroken exponent
Schrijf $16^{3/4}$ als $\left(16^{1/4}\right)^3$ : eerst de vierde-machtswortel, daarna tot de derde macht.
$16^{3/4} = \left(16^{1/4}\right)^3$
Stap 2 — Neem de vierde-machtswortel
Welk getal tot de vierde macht geeft 16? Dat is 2, want $2^4 = 16$ . Dus $16^{1/4} = 2$ .
$16^{1/4} = 2 \quad (2^4 = 16)$
Stap 3 — Verhef tot de derde macht
Nu rest $2^3 = 8$ .
$2^3 = 8$

Resultaat: $16^{3/4} = 8$ . Controle via de andere volgorde: $16^{3/4} = \left(16^3\right)^{1/4} = 4096^{1/4} = 8$ , want $8^4 = 4096$ .

Uitgewerkt voorbeeld

Van een meerjarige groeifactor naar de jaarlijkse

Een spaarbedrag groeit in 3 jaar met een totale groeifactor van $1{,}331$ . Bereken de jaarlijkse groeifactor en het bijbehorende groeipercentage per jaar.

Stap 1 — Herken de n-de-machtswortel
Drie gelijke jaarlijkse groeifactoren $g$ samen geven de totale groeifactor: $g^3 = 1{,}331$ . Dus $g = \sqrt[3]{1{,}331} = 1{,}331^{1/3}$ .
$g^3 = 1{,}331 \;\Rightarrow\; g = 1{,}331^{1/3}$
Stap 2 — Bereken de wortel
De derde-machtswortel van $1{,}331$ is $1{,}1$ , want $1{,}1^3 = 1{,}331$ .
$\sqrt[3]{1{,}331} = 1{,}1$
Stap 3 — Vertaal naar een percentage
Een groeifactor $1{,}1$ hoort bij een toename van $(1{,}1 - 1)\cdot 100\% = 10\%$ per jaar.
$(1{,}1 - 1)\cdot 100\% = 10\%$

Resultaat: De jaarlijkse groeifactor is $1{,}1$ , oftewel $+10\%$ per jaar. Dit laat zien waarom de wortel als gebroken macht in wiskunde A zo belangrijk is: ze haalt de groei per periode uit de groei over meerdere perioden.

Veelgemaakte fouten

Bij het vermenigvuldigen van machten de grondtallen óók vermenigvuldigen: $2^3\cdot 2^2 = 2^5$ , niet $4^5$ — alleen de exponenten tellen op, het grondtal blijft staan.
Een negatieve exponent als een negatief getal lezen: $2^{-3}$ is $\frac{1}{8}$ , een positief getal kleiner dan 1, niet $-8$ .
$a^0$ gelijkstellen aan 0; voor elk grondtal (behalve 0) geldt juist $a^0 = 1$ .

Actieve herhaling

Herleid $\dfrac{a^5\cdot a^{-2}}{a^{2}}$ tot één macht van $a$ , en bereken daarna met de machtsregels de waarde van $27^{2/3}$ .

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde A (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Wetenschappelijke notatie, significante cijfers en afronden#

Standaardexamenblad-nl

Gewoon getal en wetenschappelijke notatie

Afb. 4Gewone getallen en hun wetenschappelijke notatie; de exponent telt de komma-verschuivingen.

Wetenschappelijke notatie schrijft een getal als

a\times 10^{n}

, waarbij

a

een getal is met precies één cijfer (ongelijk aan 0) vóór de komma — dus

1 \le a < 10

— en

n

een geheel getal. Zo wordt

7\,800\,000

geschreven als

7{,}8\times 10^{6}

0{,}00042

als

4{,}2\times 10^{-4}

. De exponent

n

vertelt hoeveel plaatsen de komma verschuift: bij grote getallen is

n

positief, bij getallen kleiner dan 1 negatief. Het nut is compactheid en overzicht: heel grote en heel kleine getallen — afstanden in de ruimte, afmetingen van cellen — worden zo leesbaar en goed vergelijkbaar.

Significante cijfers zijn de cijfers die de nauwkeurigheid van een getal dragen. De regels: alle cijfers die geen nul zijn tellen mee; nullen tússen cijfers tellen mee; nullen helemaal vooraan (zoals in

0{,}0042

) tellen niet mee, want ze geven alleen de plaats van de komma aan; en nullen achteraan ná de komma tellen juist wél mee, omdat ze nauwkeurigheid aangeven. Zo heeft

0{,}0042

twee significante cijfers (de 4 en de 2) en

1{,}50

er drie (de slotnul telt mee). In wetenschappelijke notatie zie je het aantal significante cijfers direct af aan het getal

a

1{,}50\times 10^{8}

heeft er drie. Significante cijfers zijn daarom de eerlijke manier om te laten zien hoe precies een meting of antwoord is.

Afronden kan op een aantal decimalen of op een aantal significante cijfers; in beide gevallen kijk je naar het eerste cijfer dat je weglaat. Is dat een 5 of hoger, dan rond je het laatste behouden cijfer naar boven af; is het lager dan 5, dan laat je het staan. Afronden op 2 decimalen kijkt naar het derde cijfer achter de komma; afronden op 3 significante cijfers kijkt naar het vierde significante cijfer. Let op de doorwerking:

1{,}496

afgerond op 3 significante cijfers wordt

1{,}50

(de 9 rondt naar boven en neemt de 4 mee), en die slotnul moet je laten staan om te tonen dat het antwoord op drie cijfers nauwkeurig is. Rond bovendien pas aan het eind af en niet tussendoor, anders stapelen afrondfouten zich op.

Schatten van de ordegrootte is een snelle controle of een antwoord redelijk is. Rond daarvoor elk getal af op één significant cijfer en reken daarmee uit het hoofd. Zo is

412\times 0{,}0193

ongeveer

400\times 0{,}02 = 8

, en inderdaad geeft de rekenmachine

7{,}95\ldots

— dezelfde ordegrootte. Zo'n schatting verraadt grove fouten meteen: komt er ineens 80 of

0{,}8

uit je rekenmachine, dan heb je ergens een factor 10 verkeerd. Maak schatten daarom tot een vaste gewoonte, vooral bij sommen met heel grote of heel kleine getallen.

Rekenen met getallen in wetenschappelijke notatie gaat met dezelfde machtsregels als in de vorige paragraaf. Bij vermenigvuldigen vermenigvuldig je de getallen

a

en tel je de exponenten van tien op:

(a\times 10^{m})\cdot(b\times 10^{n}) = (a\cdot b)\times 10^{m+n}

. Zo is

(3\times 10^{8})\cdot(2\times 10^{-3}) = 6\times 10^{5}

. Mocht het getal vooraan groter dan 10 of kleiner dan 1 uitkomen, dan herschrijf je het antwoord zodat

a

weer tussen 1 en 10 ligt en pas je de exponent aan. Zo sluit het rekenen met machten van tien naadloos aan op de machtsregels en houd je ook bij astronomische of microscopische getallen het overzicht.

a\times 10^{n}, \quad 1 \le a < 10

Wetenschappelijke notatie

Een getal als a maal een macht van tien, met precies één cijfer (ongelijk aan 0) vóór de komma.

(a\times 10^{m})\cdot(b\times 10^{n}) = (a\cdot b)\times 10^{m+n}

Vermenigvuldigen met machten van tien

Vermenigvuldig de getallen vooraan en tel de exponenten van tien op; herschrijf zo nodig zodat a weer tussen 1 en 10 ligt.

Uitgewerkt voorbeeld

Een afstand in wetenschappelijke notatie en afronden

De gemiddelde afstand van de aarde tot de zon is ongeveer $149\,600\,000$ km. Schrijf deze afstand in wetenschappelijke notatie en rond af op 3 significante cijfers.

Stap 1 — Zet om naar wetenschappelijke notatie
Verschuif de komma zo dat er één cijfer vóór de komma overblijft. Van $149\,600\,000$ naar $1{,}496$ schuift de komma 8 plaatsen, dus de exponent is 8.
$149\,600\,000 = 1{,}496\times 10^{8}\text{ km}$
Stap 2 — Rond het getal vooraan af op 3 significante cijfers
De eerste drie significante cijfers zijn 1, 4 en 9; het volgende cijfer is 6, dus rond je naar boven af. De 9 wordt 10, wat doorwerkt: $1{,}49$ wordt $1{,}50$ .
$1{,}496 \approx 1{,}50$
Stap 3 — Schrijf het eindantwoord met eenheid
De afgeronde afstand is $1{,}50\times 10^{8}$ km. De slotnul hoort erbij: hij laat zien dat het antwoord op drie significante cijfers nauwkeurig is.
$1{,}50\times 10^{8}\text{ km}$

Resultaat: De afstand aarde–zon is $1{,}50\times 10^{8}$ km, afgerond op 3 significante cijfers. Ter controle: $1{,}50\times 10^{8} = 150\,000\,000$ , wat netjes in de buurt van de oorspronkelijke $149\,600\,000$ km ligt.

Veelgemaakte fouten

Het getal vooraan niet tussen 1 en 10 kiezen: $14{,}96\times 10^{7}$ is geen correcte wetenschappelijke notatie; dat hoort $1{,}496\times 10^{8}$ te zijn.
Bij getallen kleiner dan 1 het teken van de exponent vergeten: $0{,}0042 = 4{,}2\times 10^{-3}$ , met een negatieve exponent, niet $10^{3}$ .
De betekenisvolle slotnul weglaten bij afronden: op 3 significante cijfers is het $1{,}50\times 10^{8}$ , niet $1{,}5\times 10^{8}$ — de nul toont de nauwkeurigheid.

Actieve herhaling

Een virusdeeltje heeft een diameter van ongeveer $0{,}000\,000\,125$ m. Schrijf deze diameter in wetenschappelijke notatie en rond af op 2 significante cijfers.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde A (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / Examenblad

Examenprogramma wiskunde A (HAVO)

Rekenen, verhoudingen, procenten, machten en wortels

Kernpunten

Van kaartafstand naar werkelijke afstand

Kernpunten

Btw erbij, daarna korting — werken met groeifactoren

Kernpunten

Een gebroken macht berekenen

Van een meerjarige groeifactor naar de jaarlijkse

Kernpunten

Een afstand in wetenschappelijke notatie en afronden

Bronnen