Goniometria e trigonometria

Approfondimento

Due fatti fondanti meritano una giustificazione. La relazione fondamentale «sin²x + cos²x = 1» non è un assioma ma il teorema di Pitagora applicato alla circonferenza goniometrica: il punto «P(cos x, sin x)» dista 1 dall'origine, e la sua distanza al quadrato è «cos²x + sin²x = 1». La tangente ha un significato geometrico preciso: sulla retta verticale «x = 1», tangente alla circonferenza nel punto «(1, 0)», il secondo lato dell'angolo, o il suo prolungamento, individua un punto di ordinata «tan x»; per la similitudine dei triangoli «tan x = sin x / cos x». Quanto al radiante, la sua definizione come rapporto tra arco e raggio lo rende un numero puro: su una circonferenza di raggio «r», un angolo al centro di «θ» radianti sottende un arco di lunghezza «s = r·θ». È proprio questa proporzionalità diretta tra arco e angolo a rendere il radiante l'unità naturale dell'analisi: soltanto misurando in radianti vale il limite notevole «lim_{x→0} (sin x)/x = 1», e da esso discendono «D(sin x) = cos x» e «D(cos x) = −sin x». In gradi, quel limite varrebbe «π/180», e ogni formula del calcolo differenziale si caricherebbe di fattori spurii.

Approfondimento

Tutte le formule goniometriche discendono da una sola, la sottrazione del coseno, che si dimostra con la distanza sulla circonferenza goniometrica. Si considerino i punti «A(cos α, sin α)» e «B(cos β, sin β)». Il quadrato della loro distanza vale, per la formula della distanza, «AB² = (cos α − cos β)² + (sin α − sin β)² = 2 − 2(cos α cos β + sin α sin β)», dopo aver usato «sin² + cos² = 1». D'altra parte l'angolo «AÔB» misura «α − β», e lo stesso «AB²» si calcola con il teorema del coseno nel triangolo «OAB» di lati unitari: «AB² = 1 + 1 − 2 cos(α − β) = 2 − 2 cos(α − β)». Uguagliando le due espressioni si ottiene «cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β». Da questa, sostituendo «β» con «−β» e usando parità e disparità, si ricava l'addizione del coseno; sostituendo «α» con «π/2 − α» si passa al seno; ponendo «β = α» si ottengono le formule di duplicazione «cos 2α = cos²α − sin²α» e «sin 2α = 2 sin α cos α», da cui, isolando, le formule di bisezione. Un'unica dimostrazione geometrica genera così l'intero apparato, e questo spiega perché all'orale si richieda proprio di saperla impostare a partire dalla circonferenza.

Approfondimento

L'equazione lineare «a sin x + b cos x = c» merita il metodo dell'angolo aggiunto, che ne chiarisce anche la risolubilità. Posto «R = √(a² + b²)», si raccoglie «R»: «a sin x + b cos x = R·((a/R) sin x + (b/R) cos x)». Poiché «(a/R)² + (b/R)² = 1», esiste un angolo «φ» con «cos φ = a/R» e «sin φ = b/R»; allora la parentesi è «cos φ sin x + sin φ cos x = sin(x + φ)», per la formula di addizione del seno. L'equazione diventa dunque «R·sin(x + φ) = c», cioè «sin(x + φ) = c/R», elementare. Da qui la condizione di risolubilità: l'equazione ha soluzioni se e solo se «|c| ≤ R = √(a² + b²)», perché il seno è compreso tra «−1» e «1»; geometricamente «R» è l'ampiezza della sinusoide «R sin(x + φ)», e la retta orizzontale «y = c» la interseca solo se non ne supera l'ampiezza. Questo metodo mostra inoltre che ogni combinazione lineare di seno e coseno di uguale periodo è ancora una sinusoide, di ampiezza «R» e sfasamento «φ»: è il principio che governa la sovrapposizione delle oscillazioni armoniche in fisica, dove due moti armonici sincroni si compongono in un unico moto armonico.

Approfondimento

I due teoremi si dimostrano con eleganza. Il teorema del coseno «c² = a² + b² − 2ab cos γ» si ottiene ponendo il vertice «C» nell'origine e il lato «b» lungo l'asse «x»: allora «A(b, 0)» e «B(a cos γ, a sin γ)», e calcolando «c² = AB²» con la formula della distanza si trova «c² = (a cos γ − b)² + (a sin γ)² = a² cos²γ − 2ab cos γ + b² + a² sin²γ = a² + b² − 2ab cos γ», usando «sin²γ + cos²γ = 1». Quando «γ = 90°» il coseno si annulla e si ritrova Pitagora, di cui il teorema è la generalizzazione. Il teorema dei seni si dimostra dall'area: l'area del triangolo si scrive in tre modi equivalenti, «S = ½ ab sin γ = ½ bc sin α = ½ ca sin β», perché ciascuno usa due lati e l'angolo compreso. Dividendo la catena per «½ abc» si ottiene «(sin γ)/c = (sin α)/a = (sin β)/b», cioè «a/sin α = b/sin β = c/sin γ». Che questo rapporto comune valga «2R», diametro della circonferenza circoscritta, segue dal teorema dell'angolo alla circonferenza applicato alla corda e all'angolo opposto. Da questi risultati discende anche la formula dell'area in funzione di due lati e dell'angolo compreso.