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Funzioni reali e loro proprietà

Una funzione reale di variabile reale è una legge che a ogni numero di un insieme di partenza associa uno e un solo numero reale: è il linguaggio con cui la matematica del triennio descrive ogni relazione di dipendenza. In questo appunto si costruiscono i concetti fondamentali — dominio, codominio e immagine — e si studiano le proprietà che caratterizzano una funzione (iniettività, suriettività, biiettività, monotonia, parità, periodicità), la composizione e l'inversione, fino alla galleria delle funzioni elementari e all'effetto delle trasformazioni geometriche sui loro grafici. È l'argomento-cardine che apre l'analisi e la cui padronanza è valutata sia nella seconda prova sia nel colloquio dell'Esame di Stato.

4 sezioni~19 min di lettura3 competenzeLivello Base 1 · Standard 2 · Approfondimento 1Verificato · 07/2026

T·0222 / 16

Profilo d’esame

Individuare le caratteristiche fondamentali di una funzione a partire dalla sua espressione analitica o dal suo graficoUtilizzare il linguaggio e gli strumenti delle funzioni per descrivere relazioni tra grandezzeCollegare il registro analitico e quello grafico, passando dall'uno all'altro con consapevolezza

Operatori:determinaclassificadimostraanalizzacalcolaspiegaillustragiustificainterpreta

livello base

A tutti gli indirizzi del Liceo si richiede di riconoscere dominio, segno e simmetrie di una funzione e di leggerne le proprietà fondamentali dal grafico.

livello avanzato

Nel Liceo Scientifico (e nell'opzione Scienze Applicate) si richiede inoltre la trattazione rigorosa di composizione e inversione, la dimostrazione delle proprietà e l'uso esperto delle trasformazioni per dedurre grafici complessi da quelli elementari.

Profondità

Testo

Contenuti · 4 sezioni

Funzioni reali e loro proprietà

Definizione di funzione e dominio#

BaseOSA-matematica-relazioni-e-funzioniDefinizione insiemistica di funzioneDominio, codominio, immagine

Schema dominio - codominio - immagine

Una funzione reale di variabile reale è una corrispondenza che a ogni elemento di un insieme di partenza A ⊆ ℝ associa uno e un solo numero reale: questo carattere di unicità dell'immagine è ciò che distingue una funzione da una relazione qualsiasi. Si scrive f: A → ℝ e si legge «f va da A in ℝ»; il numero associato a x si indica con f(x) e si chiama immagine di x.

L'insieme A su cui la funzione è definita è il dominio (o insieme di esistenza); l'insieme ℝ di arrivo è il codominio. Da non confondere con il codominio è l'immagine (o insieme delle immagini), cioè l'insieme di tutti i valori f(x) effettivamente assunti al variare di x nel dominio: l'immagine è sempre un sottoinsieme del codominio, talvolta proprio. Determinare il dominio di una funzione assegnata da una formula significa stabilire per quali valori reali di x le operazioni indicate hanno senso.

Le condizioni di esistenza più ricorrenti sono tre e vanno applicate contemporaneamente quando coesistono. In una frazione il denominatore deve essere diverso da zero; sotto una radice di indice pari il radicando deve essere maggiore o uguale a zero; nell'argomento di un logaritmo l'espressione deve essere strettamente positiva. Mettendo a sistema queste condizioni e risolvendo le relative equazioni o disequazioni si ottiene il dominio come unione di intervalli.

Una funzione resta perfettamente individuata dai suoi tre dati: il dominio, il codominio e la legge che lega x a f(x). Il grafico di f è l'insieme dei punti del piano cartesiano di coordinate (x, f(x)) con x nel dominio; il criterio della retta verticale traduce graficamente l'unicità dell'immagine: una curva è il grafico di una funzione se e solo se ogni retta verticale la incontra al più in un punto.

f : A \to \mathbb{R}, \quad x \mapsto f(x)

Funzione

A ogni x del dominio A la funzione associa una e una sola immagine f(x) in \mathbb{R}.

\text{Im}(f) = \{\, y \in \mathbb{R} : \exists\, x \in A,\ y = f(x) \,\}

Immagine

L'immagine raccoglie tutti e soli i valori effettivamente assunti dalla funzione.

\dfrac{N(x)}{D(x)}:\ D(x) \neq 0; \quad \sqrt[\,2k\,]{g(x)}:\ g(x) \ge 0; \quad \log_a h(x):\ h(x) > 0

Condizioni di esistenza

Le tre condizioni fondamentali da imporre e mettere a sistema per ricavare il dominio.

Esempio svolto

Determinazione del dominio di una funzione irrazionale fratta

Determina il dominio della funzione f(x) = √(x − 2) / (x − 5).

Condizione sulla radice
La radice è di indice pari, quindi il radicando deve essere non negativo.
Condizione sul denominatore
Il denominatore non può annullarsi.
Sistema delle condizioni
Si intersecano le due condizioni: x maggiore o uguale a 2 e diverso da 5.
Scrittura del dominio
L'insieme delle x che soddisfano entrambe le condizioni si scrive come unione di intervalli.

Risultato: Il dominio è D = [2, 5) ∪ (5, +∞).

Errori frequenti

Confondere il codominio (l'insieme di arrivo, ℝ) con l'immagine (i valori effettivamente assunti): sono concetti diversi e l'immagine può essere molto più piccola.
Imporre il radicando ≥ 0 anche per radici di indice dispari, dove invece l'argomento può essere qualunque numero reale.
Dimenticare di intersecare tutte le condizioni di esistenza quando nella stessa formula compaiono frazione, radice e logaritmo.

Approfondimento

Sul piano rigoroso, una funzione «f: A → B» è un particolare tipo di relazione, cioè un sottoinsieme del prodotto cartesiano «A × B» — l'insieme delle coppie ordinate «(x, y)» con «x ∈ A» e «y ∈ B» — che gode della proprietà di univalenza: per ogni «x ∈ A» esiste uno e un solo «y ∈ B» tale che «(x, y) ∈ f», e quel «y» si denota «f(x)». È questa condizione, «esiste ed è unico», a distinguere una funzione da una relazione qualsiasi, e la sua traduzione grafica è il criterio della retta verticale. Con questo linguaggio l'immagine si definisce con precisione come «f(A) = {y ∈ B : ∃ x ∈ A, y = f(x)}», cioè l'insieme dei valori effettivamente raggiunti, in generale un sottoinsieme proprio del codominio «B». Anche il dominio si formalizza: quando una funzione è assegnata da una formula, il suo dominio naturale è il più grande sottoinsieme di «ℝ» su cui la formula produce un unico numero reale, ottenuto intersecando tutte le condizioni di esistenza. Questa impostazione insiemistica, apparentemente astratta, è la base su cui poggiano le nozioni successive di iniettività, suriettività e invertibilità, tutte definite in termini di come «f» agisce sugli elementi di «A» e «B».

Ripasso attivo

Determina il dominio della funzione f(x) = √(x − 2) / (x − 5) e scrivilo come unione di intervalli, giustificando ciascuna condizione di esistenza.

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Proprietà delle funzioni#

StandardOSA-matematica-relazioni-e-funzioniIniettività, suriettività, biiettivitàMonotonia, parità, periodicità

Funzione dispari: simmetria rispetto all'origine (y = x³ - x)

Le proprietà di una funzione ne descrivono il comportamento globale e si leggono tanto nella formula quanto nel grafico. Le più importanti del triennio sono l'iniettività, la suriettività e la biiettività (che governano l'invertibilità), la monotonia (crescenza e decrescenza), la parità o disparità (le simmetrie) e la periodicità.

Una funzione è iniettiva se a elementi distinti del dominio corrispondono immagini distinte: in simboli, da x₁ ≠ x₂ segue f(x₁) ≠ f(x₂). Graficamente equivale al criterio della retta orizzontale: ogni retta orizzontale incontra il grafico al più in un punto. Una funzione è suriettiva (rispetto a un codominio fissato) se ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio, cioè se l'immagine coincide con il codominio. È biiettiva se è insieme iniettiva e suriettiva: in tal caso a ogni y del codominio corrisponde esattamente una x del dominio, ed è la condizione che garantisce l'esistenza dell'inversa.

Una funzione è monotòna crescente in un intervallo se conserva l'ordine, cioè se da x₁ < x₂ segue f(x₁) ≤ f(x₂); è strettamente crescente quando vale la disuguaglianza stretta f(x₁) < f(x₂). Analogamente è (strettamente) decrescente se inverte l'ordine. Una funzione strettamente monotòna su tutto il dominio è automaticamente iniettiva, e quindi invertibile: è un legame che ricorre di continuo nello studio di funzione.

Le simmetrie semplificano lo studio. Una funzione è pari se il suo dominio è simmetrico rispetto all'origine e f(−x) = f(x) per ogni x: il grafico è simmetrico rispetto all'asse delle ordinate (per esempio x², cos x). È dispari se f(−x) = −f(x): il grafico è simmetrico rispetto all'origine (per esempio x³, sin x). Una funzione è infine periodica di periodo T > 0 se f(x + T) = f(x) per ogni x del dominio, con T il più piccolo valore positivo per cui ciò accade: è il caso delle funzioni goniometriche (ripasso).

\text{Iniettiva:} \quad x_1 \neq x_2 \ \Longrightarrow\ f(x_1) \neq f(x_2)

Iniettività

A elementi distinti corrispondono immagini distinte.

\text{Pari:}\ f(-x) = f(x); \qquad \text{Dispari:}\ f(-x) = -f(x)

Simmetrie

La funzione pari è simmetrica rispetto all'asse y; la dispari rispetto all'origine.

x_1 < x_2 \ \Longrightarrow\ f(x_1) < f(x_2) \quad (\text{strett. crescente})

Monotonia

La stretta monotonia su tutto il dominio implica l'iniettività della funzione.

Criterio della retta orizzontale per l'iniettivita

Esempio svolto

Studio della parità di una funzione polinomiale

Stabilisci se la funzione f(x) = x³ − x è pari, dispari o nessuna delle due.

Dominio simmetrico
Il dominio è tutto ℝ, simmetrico rispetto all'origine: la verifica delle simmetrie ha senso.
Calcolo di f(−x)
Si sostituisce −x al posto di x e si semplifica.
Confronto con −f(x)
Si raccoglie il segno meno e si confronta con f(x).
Conclusione
Poiché f(−x) = −f(x) per ogni x, la funzione è dispari; il suo grafico è simmetrico rispetto all'origine (Fig. 2).

Risultato: La funzione è dispari: f(−x) = −f(x).

Errori frequenti

Dichiarare una funzione «né pari né dispari» senza prima verificare che il dominio sia simmetrico rispetto all'origine: se il dominio non lo è, la funzione non può essere pari né dispari.
Confondere monotonia su un intervallo con monotonia globale: una funzione può essere crescente su un tratto e decrescente su un altro, e quindi non monotòna sull'intero dominio.
Affermare la suriettività senza specificare il codominio: la suriettività dipende dall'insieme di arrivo scelto.

Approfondimento

Due risultati meritano una dimostrazione. Primo: la stretta monotonìa implica l'iniettività. Se «f» è strettamente crescente e «x₁ ≠ x₂», allora uno dei due è minore, poniamo «x₁ < x₂»; per la crescenza «f(x₁) < f(x₂)», quindi «f(x₁) ≠ f(x₂)», cioè immagini distinte, cioè iniettività, e l'analogo vale per la decrescenza. È il nesso che, nello studio di funzione, garantisce l'invertibilità dai soli segni della derivata. Secondo: ogni funzione «f» su un dominio simmetrico rispetto all'origine si decompone in modo unico come somma di una parte pari e di una dispari. Basta scrivere «f(x) = p(x) + d(x)» con «p(x) = [f(x) + f(−x)]/2» e «d(x) = [f(x) − f(−x)]/2»: si verifica subito che «p(−x) = p(x)», pari, e «d(−x) = −d(x)», dispari, e che la loro somma ricostruisce «f». L'unicità segue dal fatto che, se «f = p + d», valutando in «−x» e combinando si riottengono proprio quelle due espressioni. È l'analogo, per le funzioni, della separazione di un oggetto nelle sue componenti simmetrica e antisimmetrica, e spiega perché «eˣ» si scriva come somma di «cosh x», pari, e «sinh x», dispari.

Ripasso attivo

Stabilisci se la funzione f(x) = x³ − x è pari, dispari o nessuna delle due, giustificando la risposta con il calcolo di f(−x).

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Funzione composta e funzione inversa#

StandardOSA-matematica-relazioni-e-funzioniFunzione composta e funzione inversa

Simmetria dei grafici di f e f⁻¹ rispetto alla retta y = x

Comporre due funzioni significa applicarle in cascata: la funzione composta g∘f, che si legge «g composta f», è definita da (g∘f)(x) = g(f(x)). Si applica prima f a x, poi g al risultato; perché l'operazione abbia senso, l'immagine di f deve essere contenuta nel dominio di g. La composizione non è commutativa: in generale g∘f è diversa da f∘g, come mostra qualunque esempio numerico.

Una funzione si dice invertibile quando esiste una funzione f⁻¹, detta inversa, che «disfa» l'azione di f: applicando prima f e poi f⁻¹ si torna al punto di partenza. La condizione necessaria e sufficiente per l'invertibilità è la biiettività: f deve essere iniettiva (perché l'inversa sia ben definita) e suriettiva sul codominio scelto. In pratica, sul triennio, una funzione strettamente monotòna è sempre invertibile sul proprio dominio.

Le funzioni f e f⁻¹ sono legate dalle due identità f⁻¹(f(x)) = x e f(f⁻¹(y)) = y: ciò significa scambiare i ruoli di dominio e immagine. Per ricavare l'espressione di f⁻¹ da y = f(x) si risolve l'equazione rispetto a x, ottenendo x in funzione di y, e infine si rinominano le variabili scrivendo y = f⁻¹(x).

Dal punto di vista grafico il legame è elegante: i grafici di f e di f⁻¹ sono simmetrici rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante, la retta di equazione y = x. Riflettere il grafico di f in questa retta restituisce il grafico dell'inversa, e ogni punto (a, b) sul grafico di f corrisponde al punto (b, a) sul grafico di f⁻¹.

(g \circ f)(x) = g\big(f(x)\big)

Composizione

Si applica prima f, poi g; in generale g \circ f \neq f \circ g.

f^{-1}\big(f(x)\big) = x \qquad f\big(f^{-1}(y)\big) = y

Inversa

L'inversa annulla l'azione di f e ne scambia dominio e immagine.

(a, b) \in G_f \ \Longleftrightarrow\ (b, a) \in G_{f^{-1}}

Simmetria dei grafici

I grafici di f e f^{-1} sono simmetrici rispetto alla retta y = x.

Esempio svolto

Composizione e inversa di una funzione lineare

Date f(x) = 2x + 1 e g(x) = x², calcola (g∘f)(x) e (f∘g)(x), poi determina l'inversa di f.

Composta g∘f
Si applica prima f, poi g, sostituendo f(x) nell'argomento di g.
Composta f∘g
Si applica prima g, poi f: l'ordine cambia il risultato.
Invertibilità di f
f è una retta con coefficiente angolare 2 > 0, dunque strettamente crescente e quindi iniettiva e invertibile su ℝ.
Calcolo dell'inversa
Si pone y = 2x + 1 e si risolve rispetto a x, poi si rinominano le variabili.

Risultato: (g∘f)(x) = 4x² + 4x + 1, (f∘g)(x) = 2x² + 1 (diverse: la composizione non è commutativa), e f⁻¹(x) = (x − 1)/2.

Errori frequenti

Scambiare l'ordine di composizione, calcolando f(g(x)) quando è richiesta g(f(x)): la composizione non è commutativa.
Confondere la funzione inversa f⁻¹ con la funzione reciproca 1/f: sono oggetti del tutto diversi.
Dimenticare di restringere il dominio per rendere invertibile una funzione non iniettiva (per esempio f(x) = x², invertibile solo su [0, +∞)).

Approfondimento

La composizione, pur non essendo commutativa, è associativa: per ogni terna di funzioni componibili vale «h∘(g∘f) = (h∘g)∘f», perché entrambi i membri, applicati a «x», producono «h(g(f(x)))»; ciò consente di scrivere composizioni multiple senza parentesi. Sull'inversa si dimostra anzitutto l'unicità: se «g» e «g'» sono entrambe inverse di «f», allora «g = g∘id = g∘(f∘g') = (g∘f)∘g' = id∘g' = g'», sfruttando associatività e le identità «f∘g' = id» e «g∘f = id». Ne segue anche «(f⁻¹)⁻¹ = f», perché «f» stessa disfa l'azione di «f⁻¹». Infine si giustifica rigorosamente la simmetria dei grafici rispetto alla retta «y = x»: il punto «(a, b)» appartiene al grafico di «f» se e solo se «b = f(a)», cioè se e solo se «a = f⁻¹(b)», ossia se e solo se «(b, a)» appartiene al grafico di «f⁻¹»; e «(a, b)» e «(b, a)» sono simmetrici rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante. La riflessione in «y = x» scambia dunque dominio e immagine, coerentemente con il fatto che l'inversa scambia i ruoli di ingresso e uscita.

Ripasso attivo

Data f(x) = 2x + 1, verifica che è invertibile e determina l'espressione della funzione inversa f⁻¹(x).

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Grafici delle funzioni elementari e trasformazioni#

ApprofondimentoOSA-matematica-relazioni-e-funzioniClassificazione delle funzioni (algebriche e trascendenti)Trasformazioni: traslazioni, simmetrie, dilatazioni

Dalla parabola y = x² alla parabola traslata y = (x - 2)² + 1

Conoscere a memoria i grafici delle funzioni elementari è la base per leggere e costruire grafici più complessi. Le funzioni si classificano in algebriche (razionali intere e fratte, irrazionali) e trascendenti (esponenziali, logaritmiche, goniometriche): per ciascuna è essenziale ricordare dominio, immagine, simmetrie e andamento. Tra le più ricorrenti vi sono la retta y = mx + q, la parabola y = x², la cubica y = x³, l'iperbole equilatera y = 1/x, la radice y = √x e il valore assoluto y = |x|.

A partire dal grafico di una funzione nota y = f(x) si ottengono i grafici di funzioni «derivate» tramite trasformazioni geometriche elementari. Le traslazioni spostano il grafico senza deformarlo: y = f(x) + k lo trasla verticalmente di k (verso l'alto se k > 0), mentre y = f(x − h) lo trasla orizzontalmente di h (verso destra se h > 0). Si osservi il segno: una traslazione a destra corrisponde a x − h con h positivo.

Le simmetrie ribaltano il grafico rispetto a un asse: y = −f(x) lo riflette rispetto all'asse x (cambia il segno delle ordinate), mentre y = f(−x) lo riflette rispetto all'asse y (cambia il segno delle ascisse). Le dilatazioni (o contrazioni) ne modificano la scala: y = a·f(x) dilata verticalmente di un fattore |a| (e ribalta se a < 0), mentre y = f(b·x) contrae orizzontalmente di un fattore |b| quando |b| > 1.

Un caso particolarmente utile è il valore assoluto applicato a una funzione: y = |f(x)| si ottiene ribaltando verso l'alto, rispetto all'asse x, le parti del grafico che si trovano sotto l'asse, lasciando invariate quelle già sopra. Combinando con metodo queste trasformazioni — prima le operazioni interne sull'argomento, poi quelle esterne sul risultato — si traccia il grafico di funzioni anche elaborate senza ricorrere allo studio completo.

y = f(x) + k:\ \text{traslazione verticale}; \quad y = f(x - h):\ \text{traslazione orizzontale}

Traslazioni

k sposta in alto/basso; h sposta a destra (h>0) o a sinistra (h<0).

y = -f(x):\ \text{simmetria rispetto a } x; \quad y = f(-x):\ \text{simmetria rispetto a } y

Simmetrie

Il segno esterno ribalta le ordinate; il segno interno ribalta le ascisse.

y = a\,f(x):\ \text{dilatazione verticale} \ (|a|); \quad y = f(bx):\ \text{dilatazione orizzontale} \ (1/|b|)

Dilatazioni

Il fattore esterno scala le ordinate, quello interno scala (in modo inverso) le ascisse.

Galleria dei grafici delle funzioni elementari

Esempio svolto

Costruzione di un grafico per trasformazioni successive

Partendo dal grafico di y = x², traccia il grafico di y = (x − 2)² + 1 descrivendo le trasformazioni e indicando il vertice.

Funzione di partenza
La parabola y = x² ha vertice nell'origine V(0, 0) e concavità verso l'alto.
Traslazione orizzontale
L'argomento (x − 2) trasla il grafico di 2 unità verso destra.
Traslazione verticale
Il termine +1 trasla il grafico di 1 unità verso l'alto.
Vertice del grafico finale
Componendo le due traslazioni, il vertice passa da (0, 0) a (2, 1) (Fig. 5).

Risultato: Il grafico è la parabola y = x² traslata di 2 a destra e 1 in alto, con vertice V'(2, 1).

Errori frequenti

Sbagliare il verso della traslazione orizzontale, traslando a sinistra invece che a destra per y = f(x − h) con h > 0.
Confondere la riflessione rispetto all'asse x (y = −f(x)) con quella rispetto all'asse y (y = f(−x)).
Applicare le trasformazioni in ordine errato, scambiando le operazioni interne all'argomento con quelle esterne e ottenendo un grafico sbagliato.

Approfondimento

Ogni trasformazione elementare del grafico si spiega con precisione come azione sui punti. Passare da «y = f(x)» a «y = f(x − h)» sposta ogni punto «(x₀, f(x₀))» nel punto «(x₀ + h, f(x₀))»: infatti la nuova funzione assume in «x₀ + h» il valore che la vecchia assumeva in «x₀», poiché «f((x₀ + h) − h) = f(x₀)». Ecco perché una traslazione con «h > 0» sposta il grafico verso destra, contro l'intuizione ingenua del segno meno. In generale la funzione «y = a·f(b(x − h)) + k» si costruisce componendo, nell'ordine, le operazioni sull'argomento — contrazione orizzontale di fattore «1/|b|» ed eventuale riflessione rispetto all'asse «y» se «b < 0», poi traslazione orizzontale di «h» — e le operazioni sul risultato — dilatazione verticale di fattore «|a|» ed eventuale riflessione rispetto all'asse «x» se «a < 0», poi traslazione verticale di «k». L'ordine è essenziale perché le trasformazioni sono composizioni di funzioni e non commutano: la modifica dell'argomento va sempre elaborata prima di quella esterna, esattamente come nella regola della catena si deriva dall'esterno verso l'interno.

Ripasso attivo

Partendo dal grafico di y = x², descrivi le trasformazioni che portano al grafico di y = (x − 2)² + 1 e indica le coordinate del vertice.

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Riferimenti e fonti

Fonti

Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM)

Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento

Funzioni reali e loro proprietà

4 sezioni~19 min di lettura3 competenzeLivello Base 1 · Standard 2 · Approfondimento 1Verificato · 07/2026

Funzioni reali e loro proprietà

Punti chiave

Determinazione del dominio di una funzione irrazionale fratta

Punti chiave

Studio della parità di una funzione polinomiale

Punti chiave

Composizione e inversa di una funzione lineare

Punti chiave

Costruzione di un grafico per trasformazioni successive

Fonti

Funzioni reali e loro proprietà

Punti chiave

Determinazione del dominio di una funzione irrazionale fratta

Punti chiave

Studio della parità di una funzione polinomiale

Punti chiave

Composizione e inversa di una funzione lineare

Punti chiave

Costruzione di un grafico per trasformazioni successive

Fonti