Algebra: equazioni, disequazioni e sistemi

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La formula risolutiva non va memorizzata ma dimostrata con il metodo del completamento del quadrato, che vale la pena ripercorrere. Data «ax² + bx + c = 0» con «a ≠ 0», si divide per «a» e si isola il termine noto: «x² + (b/a)x = −c/a». Si aggiunge a entrambi i membri il quadrato della metà del coefficiente di «x», cioè «(b/2a)²», per far comparire a primo membro un quadrato perfetto: «(x + b/2a)² = b²/4a² − c/a = (b² − 4ac)/4a²». Estraendo la radice, lecita solo se il secondo membro è non negativo, cioè se «Δ = b² − 4ac ≥ 0», si ottiene «x + b/2a = ±√Δ/2a», da cui «x = (−b ± √Δ)/2a». Questo procedimento chiarisce il ruolo del discriminante: il segno di «Δ» decide se la radice esiste nei reali. Dalla formula seguono subito le relazioni di Viète: sommando le due radici i termini «±√Δ» si elidono e resta «x₁ + x₂ = −b/a», mentre il prodotto vale «x₁·x₂ = (b² − Δ)/4a² = 4ac/4a² = c/a». Queste identità permettono di scomporre «ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂)» e di verificare le soluzioni senza rieseguire il calcolo.

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Il punto delicato delle equazioni irrazionali è che l'elevamento a potenza pari è una implicazione, non una equivalenza: da «A = B» segue «A² = B²», ma non viceversa, perché «A² = B²» equivale a «A = B ∨ A = −B». Elevare al quadrato può dunque introdurre soluzioni estranee, quelle che soddisfano «A = −B». Per ottenere una vera equivalenza si accompagna l'elevamento con una condizione di segno: «√(A(x)) = B(x)» equivale al sistema «A(x) ≥ 0, B(x) ≥ 0, A(x) = B(x)²». La condizione «B(x) ≥ 0» è essenziale, perché la radice quadrata aritmetica è per definizione non negativa e deve quindi eguagliare una quantità non negativa; è proprio questa condizione a scartare automaticamente le radici estranee, rendendo superflua, ma sempre consigliabile, la verifica finale. Per il valore assoluto vale l'identità «|A| = √(A²)», che riconduce ogni modulo a una radice; da essa, elevando al quadrato, si dimostrano le equivalenze notevoli: «|A| < k» con «k > 0» equivale a «A² < k²», cioè «(A − k)(A + k) < 0», da cui «−k < A < k»; analogamente «|A| > k» equivale a «A < −k ∨ A > k».

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L'analisi grafica dei tre casi — determinato, impossibile, indeterminato — ha una controparte algebrica esatta nel determinante del sistema. Dato il sistema lineare «a₁x + b₁y = c₁, a₂x + b₂y = c₂», si definisce il determinante dei coefficienti «D = a₁b₂ − a₂b₁». Moltiplicando la prima equazione per «b₂», la seconda per «b₁» e sottraendo si elimina «y» e si ottiene «(a₁b₂ − a₂b₁)x = c₁b₂ − c₂b₁», cioè «Dx = Dₓ»; procedendo in modo simmetrico si ricava «Dy = Dᵧ». Questa è la regola di Cramer: se «D ≠ 0» il sistema è determinato e ha l'unica soluzione «x = Dₓ/D», «y = Dᵧ/D», e le rette hanno coefficienti angolari diversi e si intersecano. Se «D = 0» le rette sono parallele: il sistema è impossibile quando «Dₓ» o «Dᵧ» è diverso da zero, cioè rette distinte, ed è indeterminato quando anche «Dₓ = Dᵧ = 0», cioè rette coincidenti. Il valore di «D» traduce dunque in un unico numero il parallelismo delle rette, e questa lettura si estende in modo naturale ai sistemi di ordine superiore, dove al determinante subentrano quelli di matrici più grandi.

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Alla base di tutto sta il teorema del resto, che si dimostra dalla divisione euclidea tra polinomi. Dividendo «P(x)» per il binomio «x − a» si ottengono un quoziente «Q(x)» e un resto «R» costante, perché il divisore ha grado 1, legati dall'identità «P(x) = (x − a)·Q(x) + R», valida per ogni «x». Ponendo «x = a» il primo addendo si annulla e resta «P(a) = R»: il resto della divisione per «x − a» è proprio il valore del polinomio in «a». Il teorema di Ruffini ne è il corollario immediato: «x − a» divide «P(x)», cioè «R = 0», se e solo se «P(a) = 0», ossia se e solo se «a» è una radice. Da qui il teorema delle radici razionali: se «P(x) = aₙxⁿ + … + a₀» ha coefficienti interi e ammette la radice razionale «p/q» ridotta ai minimi termini, allora «p» divide il termine noto «a₀» e «q» divide il coefficiente direttore «aₙ». Ciò limita a un numero finito i candidati da provare con Ruffini, rendendo sistematica la ricerca delle radici; la fattorizzazione completa è infine garantita dal teorema fondamentale dell'algebra, che assicura «n» radici complesse per un polinomio di grado «n».