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Calcolo differenziale: derivate

La derivata misura la rapidità con cui una funzione varia: nasce come limite del rapporto incrementale e si interpreta tanto come pendenza della retta tangente quanto come velocità istantanea di variazione. Padroneggiare la definizione, le regole di derivazione e i teoremi fondamentali (Rolle, Lagrange, de l'Hôpital) è il cuore dell'analisi del triennio e una richiesta ricorrente nella seconda prova dell'Esame di Stato. Questo appunto costruisce il concetto dal rapporto incrementale fino ai teoremi sul valor medio, con esempi risolti e visualizzazioni.

4 sezioni~17 min di lettura3 competenzeLivello Standard 2 · Approfondimento 2Verificato · 07/2026

T·0888 / 16

Profilo d’esame

Utilizzare la derivata per studiare il comportamento locale di una funzioneCollegare il significato geometrico (retta tangente) e fisico (velocità di variazione) della derivataApplicare le regole di derivazione e i teoremi fondamentali del calcolo differenziale

Operatori:calcoladimostradeterminaanalizzaspiegagiustificainterpreta

livello base

In tutti gli indirizzi liceali si richiede la definizione di derivata, il significato geometrico, le regole di derivazione delle funzioni elementari e composte e il loro impiego nello studio della monotonia.

livello avanzato

Nel Liceo Scientifico (anche opzione Scienze Applicate) si approfondiscono le dimostrazioni dei teoremi di Rolle e di Lagrange, la regola di de l'Hôpital e l'uso rigoroso della derivata nei problemi di modellizzazione.

Profondità

Testo

Contenuti · 4 sezioni

Calcolo differenziale: derivate

La derivata: definizione e significato#

StandardOSA-matematica-relazioni-e-funzioniRapporto incrementale e retta tangenteRelazione tra derivabilità e continuità

La tangente come limite delle secanti

La derivata di una funzione in un punto nasce dal problema di misurare quanto velocemente la funzione cambia in quel punto: si parte dal rapporto incrementale, cioè dal rapporto tra la variazione della funzione e la variazione della variabile indipendente, e se ne studia il comportamento quando l'incremento tende a zero.

Data una funzione f definita in un intorno di un punto x0, si chiama rapporto incrementale di f relativo a x0 e all'incremento h il numero [f(x0 + h) − f(x0)] / h. Geometricamente esso rappresenta il coefficiente angolare della retta secante che congiunge i punti (x0, f(x0)) e (x0 + h, f(x0 + h)). La derivata f'(x0) è il limite di tale rapporto per h che tende a zero, quando questo limite esiste ed è finito.

Il significato geometrico è fondamentale: al tendere a zero dell'incremento, le rette secanti tendono a una posizione limite, la retta tangente al grafico nel punto (x0, f(x0)). Pertanto f'(x0) è il coefficiente angolare della tangente, e l'equazione della tangente è y − f(x0) = f'(x0)·(x − x0). Il significato fisico, complementare, è quello di velocità istantanea di variazione: se s(t) descrive la posizione di un mobile, s'(t) ne è la velocità istantanea (vedi Fig. 2).

Posizione e velocità: significato fisico della derivata

Sussiste un legame preciso tra derivabilità e continuità: se una funzione è derivabile in un punto, allora è ivi continua. Il viceversa è falso, come mostra il valore assoluto in zero, continuo ma non derivabile per la presenza di un punto angoloso (derivata destra +1, derivata sinistra −1, distinte). Sono punti di non derivabilità anche le cuspidi e i punti a tangente verticale, dove il limite del rapporto incrementale è infinito.

f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}

Definizione di derivata

La derivata in x0 è il limite del rapporto incrementale, quando esiste finito.

y - f(x_0) = f'(x_0)\,(x - x_0)

Retta tangente

Equazione della retta tangente al grafico nel punto (x0, f(x0)); f'(x0) ne è il coefficiente angolare.

Esempio svolto

Derivata di x² dalla definizione e retta tangente

Data f(x) = x², calcola f'(2) mediante il limite del rapporto incrementale e determina l'equazione della retta tangente al grafico nel punto di ascissa 2.

Scrivere il rapporto incrementale
Si calcola f(2 + h) − f(2) e si divide per h.
Semplificare
Al numeratore restano 4h + h²; dividendo per h si ottiene 4 + h.
Passare al limite
Per h → 0 il rapporto tende a 4, quindi f'(2) = 4.
Scrivere la tangente
Poiché f(2) = 4 e f'(2) = 4, si applica y − f(x0) = f'(x0)(x − x0).

Risultato: f'(2) = 4; la retta tangente al grafico di y = x² in P(2, 4) è y = 4x − 4.

Errori frequenti

Confondere il rapporto incrementale con la derivata: il rapporto incrementale è la pendenza della secante per h fissato, la derivata è il suo limite per h → 0.
Affermare che continuità implica derivabilità: è vero solo l'implicazione inversa; il valore assoluto in zero è il controesempio standard.

Approfondimento

Il legame derivabile implica continua si dimostra in poche righe e chiarisce perché il viceversa sia falso. Sia «f» derivabile in «x₀», cioè esista finito «f'(x₀) = lim_{h→0} [f(x₀ + h) − f(x₀)]/h». Per provare la continuità occorre mostrare che «lim_{h→0} [f(x₀ + h) − f(x₀)] = 0». Si scrive la differenza come prodotto: «f(x₀ + h) − f(x₀) = ([f(x₀ + h) − f(x₀)]/h)·h». Passando al limite per «h → 0», il primo fattore tende a «f'(x₀)», finito, e il secondo a «0», quindi il prodotto tende a «f'(x₀)·0 = 0». Dunque «f(x₀ + h) → f(x₀)», cioè «f» è continua in «x₀». L'implicazione inversa non vale: «f(x) = |x|» è continua in «0» ma non derivabile, perché il rapporto incrementale «|h|/h» vale «+1» per «h → 0⁺» e «−1» per «h → 0⁻», due limiti laterali diversi, e la derivata, che dovrebbe essere un unico numero, non esiste. È il prototipo del punto angoloso; le cuspidi e i punti a tangente verticale, dove il limite del rapporto incrementale è infinito, sono gli altri casi in cui la continuità sussiste ma la derivabilità cade. La derivabilità è dunque una condizione più forte della continuità.

Ripasso attivo

Data la funzione f(x) = x², calcola f'(2) usando la definizione come limite del rapporto incrementale e scrivi l'equazione della retta tangente al grafico nel punto di ascissa 2.

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Regole di derivazione e derivate elementari#

StandardOSA-matematica-relazioni-e-funzioniRegole di derivazione: somma, prodotto, quozienteDerivate delle funzioni elementari

Calcolare ogni derivata risalendo alla definizione sarebbe impraticabile: per questo si stabilisce un catalogo di derivate delle funzioni elementari e un insieme di regole algebriche che permettono di derivare funzioni costruite a partire da esse.

Le derivate elementari da memorizzare sono: la derivata di una costante è zero; la derivata di x^n è n·x^(n−1) (regola della potenza); la derivata di sin x è cos x e quella di cos x è −sin x; la derivata di e^x è e^x; la derivata di ln x è 1/x. Da queste, combinate con le regole, si derivano tutte le funzioni del triennio.

Le regole algebriche sono quattro. La derivata della somma è la somma delle derivate. La costante moltiplicativa esce dalla derivata. La derivata del prodotto è (f·g)' = f'·g + f·g' (regola di Leibniz). La derivata del quoziente è (f/g)' = (f'·g − f·g') / g², valida dove g ≠ 0. È essenziale rispettare l'ordine dei termini al numeratore del quoziente, che non è simmetrico.

Queste regole vanno applicate riconoscendo la struttura dell'espressione: prima si individua se la funzione è una somma, un prodotto o un quoziente, poi si applica la regola corrispondente derivando i singoli fattori con il catalogo elementare. La pratica nel riconoscere la struttura è ciò che rende il calcolo rapido e sicuro (vedi Fig. 3).

Mappa delle regole di derivazione

(f \cdot g)' = f'\,g + f\,g'

Regola del prodotto

Derivata di un prodotto: derivata del primo per il secondo, più il primo per la derivata del secondo.

\left( \frac{f}{g} \right)' = \frac{f'\,g - f\,g'}{g^2}

Regola del quoziente

Valida dove g(x) non si annulla; attenzione all'ordine dei termini al numeratore.

D(x^n) = n\,x^{n-1}

Regola della potenza

Vale per ogni esponente reale n; copre potenze intere, radici (esponente frazionario) e reciproci (esponente negativo).

Esempio svolto

Derivata di un quoziente

Calcola la derivata di f(x) = x / (x² + 1) e semplifica il risultato.

Individuare numeratore e denominatore
Si pone f-numeratore = x con derivata 1, e g-denominatore = x² + 1 con derivata 2x.
Applicare la regola del quoziente
Si sostituisce in (u'v − uv')/v².
Semplificare il numeratore
x² + 1 − 2x² = 1 − x².

Risultato: f'(x) = (1 − x²) / (x² + 1)²; la derivata si annulla in x = −1 e x = +1.

Errori frequenti

Scrivere la derivata del prodotto come prodotto delle derivate (f'·g'): è errato, la regola corretta è f'g + fg'.
Invertire i termini al numeratore della regola del quoziente, ottenendo fg' − f'g e quindi il segno sbagliato.

Approfondimento

La regola del prodotto «(f·g)' = f'g + fg'» si dimostra dalla definizione con il classico artificio dell'aggiungere e togliere uno stesso termine. Il rapporto incrementale del prodotto è «[f(x+h)g(x+h) − f(x)g(x)]/h». Si aggiunge e si sottrae «f(x+h)g(x)» al numeratore, che si spezza allora in «f(x+h)[g(x+h) − g(x)] + g(x)[f(x+h) − f(x)]». Dividendo per «h» e passando al limite per «h → 0»: il primo addendo tende a «f(x)·g'(x)», poiché «f(x+h) → f(x)» per la continuità garantita dalla derivabilità e «[g(x+h) − g(x)]/h → g'(x)», il secondo a «g(x)·f'(x)». La somma è «f'g + fg'». Da questa regola, per induzione, si dimostra la regola della potenza «D(xⁿ) = n·xⁿ⁻¹»: vera per «n = 1», se vale per «n» allora «D(x^(n+1)) = D(x·xⁿ) = 1·xⁿ + x·n xⁿ⁻¹ = (n+1)xⁿ», la tesi. La regola del quoziente si ottiene infine derivando l'identità «f = (f/g)·g» con la regola del prodotto e isolando «(f/g)'», il che spiega l'ordine asimmetrico «f'g − fg'» al numeratore: quel segno meno non è arbitrario ma discende dall'algebra della dimostrazione.

Ripasso attivo

Calcola la derivata della funzione f(x) = x / (x² + 1) applicando la regola del quoziente e semplifica il risultato.

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Funzioni composte e derivate di ordine superiore#

ApprofondimentoOSA-matematica-relazioni-e-funzioniRegola della funzione composta e inversaDerivate di ordine superiore

Una funzione e la sua derivata a confronto

Molte funzioni del triennio non sono elementari ma composizioni di funzioni elementari, come sin(x²) oppure e^(3x): per derivarle serve la regola della catena, uno degli strumenti più importanti e versatili del calcolo differenziale.

La regola della funzione composta (regola della catena) afferma che, se y = f(g(x)), allora la derivata è il prodotto della derivata della funzione esterna calcolata nel punto interno per la derivata della funzione interna: y' = f'(g(x)) · g'(x). Intuitivamente, si deriva la funzione più esterna lasciando intatto l'argomento, poi si moltiplica per la derivata dell'argomento.

Strettamente collegata è la derivazione della funzione inversa: se f è invertibile e derivabile con f'(x) ≠ 0, la derivata dell'inversa nel punto corrispondente è il reciproco della derivata di f. Questa relazione consente di ricavare, per esempio, la derivata di ln x dalla derivata di e^x e le derivate delle funzioni goniometriche inverse.

Derivando ancora una derivata si ottengono le derivate di ordine superiore. La derivata seconda f''(x) è la derivata di f'(x) e misura la rapidità con cui varia la pendenza: il suo segno governa la concavità del grafico e, in fisica, la derivata seconda della posizione è l'accelerazione. Le derivate di ordine superiore si indicano con f''(x), f'''(x), e in generale con f^(n)(x).

\big( f(g(x)) \big)' = f'(g(x)) \cdot g'(x)

Regola della catena

Derivata di una funzione composta: derivata dell'esterna nel punto interno, per la derivata dell'interna.

\big( f^{-1} \big)'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)}, \quad y_0 = f(x_0),\; f'(x_0) \neq 0

Derivata della funzione inversa

La derivata dell'inversa nel punto immagine è il reciproco della derivata di f nel punto di partenza.

Esempio svolto

Derivata prima e seconda di sin(x²)

Calcola la derivata prima di f(x) = sin(x²) con la regola della catena e poi la derivata seconda f''(x).

Riconoscere la composizione
La funzione esterna è sin(u), l'interna è u = x²; le rispettive derivate sono cos(u) e 2x.
Applicare la regola della catena
Si moltiplica la derivata esterna nel punto interno per la derivata interna.
Derivare di nuovo (regola del prodotto)
Si deriva 2x·cos(x²) come prodotto: D(2x)·cos(x²) + 2x·D[cos(x²)], con D[cos(x²)] = −sin(x²)·2x.
Semplificare
Si raccoglie e si ordina il risultato.

Risultato: f'(x) = 2x·cos(x²) e f''(x) = 2cos(x²) − 4x²·sin(x²).

Errori frequenti

Dimenticare di moltiplicare per la derivata dell'argomento: scrivere D[sin(x²)] = cos(x²) invece di 2x·cos(x²).
Confondere la derivata seconda con il quadrato della derivata prima: f''(x) non è [f'(x)]².

Approfondimento

La regola della catena «D[f(g(x))] = f'(g(x))·g'(x)» si giustifica a partire dal rapporto incrementale, moltiplicando e dividendo per l'incremento della funzione interna. Posto «u = g(x)» e «Δu = g(x + h) − g(x)», il rapporto incrementale della composta è «[f(g(x+h)) − f(g(x))]/h = ([f(u + Δu) − f(u)]/Δu)·(Δu/h)», nei punti in cui «Δu ≠ 0». Quando «h → 0», la continuità di «g» fa sì che «Δu → 0», dunque il primo fattore tende a «f'(u) = f'(g(x))» e il secondo a «g'(x)»; il prodotto è «f'(g(x))·g'(x)». Da questa regola si ricava la derivata della funzione inversa: derivando l'identità «f(f⁻¹(x)) = x» con la catena si ottiene «f'(f⁻¹(x))·(f⁻¹)'(x) = 1», da cui «(f⁻¹)'(x) = 1/f'(f⁻¹(x))». Applicandola a «f(x) = eˣ», la cui inversa è «ln x», si trova «D(ln x) = 1/e^(ln x) = 1/x». Iterando la derivazione si definiscono le derivate di ordine superiore: «f''» è la derivata di «f'» e, in fisica, la derivata seconda della posizione è l'accelerazione, mentre il suo segno governerà la concavità del grafico nello studio di funzione.

Ripasso attivo

Calcola la derivata prima di f(x) = sin(x²) applicando la regola della catena e poi determina la derivata seconda f''(x).

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Indicazioni Nazionali per i Licei (DPR 89/2010, DM 211/2010) — Obiettivi Specifici di Apprendimento (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

I teoremi del calcolo differenziale#

ApprofondimentoOSA-matematica-relazioni-e-funzioniTeorema di Rolle, teorema di Lagrange (valor medio)Regola di de l'Hôpital

Il teorema di Lagrange: tangente parallela alla secante

I teoremi fondamentali del calcolo differenziale collegano le proprietà locali della derivata al comportamento globale della funzione su un intervallo: sono il ponte teorico tra derivata e studio di funzione, e le loro ipotesi vanno enunciate con precisione.

Il teorema di Rolle afferma che se f è continua su un intervallo chiuso [a, b], derivabile su (a, b) e assume valori uguali agli estremi, f(a) = f(b), allora esiste almeno un punto interno c in cui la derivata si annulla, f'(c) = 0. Geometricamente, esiste un punto in cui la tangente è orizzontale.

Il teorema di Lagrange (o del valor medio) generalizza Rolle: se f è continua su [a, b] e derivabile su (a, b), esiste un punto interno c in cui la derivata uguaglia il rapporto incrementale fra gli estremi, cioè f'(c) = [f(b) − f(a)] / (b − a). In termini geometrici esiste un punto in cui la tangente è parallela alla secante che congiunge gli estremi del grafico. Una conseguenza fondamentale è il criterio di monotonia: se f' è positiva su un intervallo la funzione è crescente, se è negativa è decrescente.

La regola di de l'Hôpital fornisce un metodo per le forme indeterminate 0/0 e ∞/∞: se il limite del rapporto delle derivate f'(x)/g'(x) esiste, allora è uguale al limite del rapporto f(x)/g(x). La regola va applicata solo dopo aver verificato la forma indeterminata e può essere reiterata; non va usata quando il limite non si presenta in forma indeterminata.

f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}, \quad c \in (a, b)

Teorema di Lagrange

Con f continua su [a, b] e derivabile su (a, b), esiste c interno in cui la tangente è parallela alla secante per gli estremi.

\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)}

Regola di de l'Hôpital

Valida per le forme 0/0 e infinito/infinito, quando il limite del rapporto delle derivate esiste.

Esempio svolto

Applicazione del teorema di Lagrange

Verifica le ipotesi del teorema di Lagrange per f(x) = x² su [1, 3] e determina il punto c.

Verificare le ipotesi
f(x) = x² è un polinomio, quindi continua su [1, 3] e derivabile su (1, 3): le ipotesi sono soddisfatte.
Calcolare il rapporto incrementale
Con f(1) = 1 e f(3) = 9 si trova il valore medio della pendenza.
Imporre f'(c) uguale al rapporto
Poiché f'(x) = 2x, si pone 2c = 4.
Risolvere
Si ricava c = 2, che appartiene all'intervallo aperto (1, 3): il punto esiste come previsto.

Risultato: Le ipotesi sono soddisfatte e il punto previsto da Lagrange è c = 2.

Errori frequenti

Applicare de l'Hôpital a un limite che non è in forma indeterminata, ottenendo un risultato errato.
Dimenticare un'ipotesi dei teoremi (per esempio la continuità agli estremi) e quindi concludere in casi in cui il teorema non si applica.

Approfondimento

Il teorema di Lagrange discende da quello di Rolle mediante una funzione ausiliaria, e Rolle a sua volta da Fermat e Weierstrass. Per Rolle: se «f» è continua su «[a, b]», derivabile su «(a, b)» e «f(a) = f(b)», per Weierstrass essa ammette massimo e minimo assoluti; se sono entrambi agli estremi la funzione è costante e «f' = 0» ovunque, altrimenti almeno un estremo cade in un punto interno «c», dove per il teorema di Fermat «f'(c) = 0». Per Lagrange si introduce la funzione «h(x) = f(x) − [f(a) + ((f(b) − f(a))/(b − a))·(x − a)]», differenza tra «f» e la retta secante per gli estremi. Si verifica che «h» soddisfa le ipotesi di Rolle, in particolare «h(a) = h(b) = 0»; esiste dunque «c» interno con «h'(c) = 0», cioè «f'(c) = (f(b) − f(a))/(b − a)»: in quel punto la tangente è parallela alla secante. Da Lagrange segue il criterio di monotonìa: se «f' > 0» su un intervallo, per due punti «x₁ < x₂» esiste «c» con «f(x₂) − f(x₁) = f'(c)(x₂ − x₁) > 0», dunque «f» è crescente. È il ponte che trasforma il segno della derivata nell'andamento della funzione, ed è per questo il teorema più usato nello studio di funzione.

Ripasso attivo

Verifica le ipotesi del teorema di Lagrange per la funzione f(x) = x² sull'intervallo [1, 3] e determina il punto c previsto dal teorema.

Richiamo attivo

Ricorda i punti chiave — poi rivela.

Fonti: Esame di Stato del secondo ciclo — quadri di riferimento e griglie di valutazione (Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM))

Riferimenti e fonti

Fonti

Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM)

Calcolo differenziale: derivate

4 sezioni~17 min di lettura3 competenzeLivello Standard 2 · Approfondimento 2Verificato · 07/2026

Calcolo differenziale: derivate

Punti chiave

Derivata di x² dalla definizione e retta tangente

Punti chiave

Derivata di un quoziente

Punti chiave

Derivata prima e seconda di sin(x²)

Punti chiave

Applicazione del teorema di Lagrange

Fonti

Calcolo differenziale: derivate

Punti chiave

Derivata di x² dalla definizione e retta tangente

Punti chiave

Derivata di un quoziente

Punti chiave

Derivata prima e seconda di sin(x²)

Punti chiave

Applicazione del teorema di Lagrange

Fonti