Studio di funzione e problemi di massimo e minimo

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L'analisi preliminare del segno poggia su un principio dimostrabile: una funzione continua può cambiare segno soltanto nei punti in cui si annulla o in cui non è definita. È una conseguenza del teorema di esistenza degli zeri di Bolzano: se «f» fosse positiva in un punto e negativa in un altro senza annullarsi né interrompersi tra i due, per la continuità dovrebbe assumere il valore zero in mezzo, contro l'ipotesi. Perciò gli zeri del numeratore e del denominatore, per una funzione razionale, e i punti esclusi dal dominio suddividono la retta reale in intervalli su ciascuno dei quali il segno di «f» è costante: basta allora un valore di prova per intervallo. Questo giustifica rigorosamente la tabella dei segni, in cui si studiano separatamente i segni dei fattori di numeratore e denominatore e si combinano con la regola dei segni del quoziente. Anche le simmetrie hanno una lettura strutturale: l'insieme delle funzioni pari e quello delle dispari sono chiusi rispetto alla somma e al prodotto per una costante, e ogni funzione su dominio simmetrico è somma unica di una parte pari e di una dispari. Riconoscere una simmetria non è un vezzo estetico ma un dimezzamento rigoroso del lavoro di studio, perché consente di limitare l'analisi a «x ≥ 0».

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Le regole operative dello studio di funzione sono teoremi che discendono dal calcolo differenziale. Il criterio di monotonìa — «f' > 0» su un intervallo implica «f» crescente — si dimostra con Lagrange: per «x₁ < x₂» esiste «c» tra loro con «f(x₂) − f(x₁) = f'(c)(x₂ − x₁)»; se «f'(c) > 0» il secondo membro è positivo, dunque «f(x₂) > f(x₁)». Il teorema di Fermat giustifica invece la ricerca degli estremi tra i punti stazionari: se «f» ha un estremo relativo interno in «x₀» ed è ivi derivabile, allora «f'(x₀) = 0». La dimostrazione confronta i limiti laterali del rapporto incrementale: in un massimo «f(x₀ + h) − f(x₀) ≤ 0» per «h» piccolo, quindi il rapporto è «≥ 0» da sinistra e «≤ 0» da destra; poiché il limite, la derivata, è unico, deve valere zero. Attenzione però: «f'(x₀) = 0» è condizione necessaria ma non sufficiente, come mostra «f(x) = x³» in «0», dove la tangente è orizzontale ma non c'è estremo, bensì un flesso a tangente orizzontale. La natura del punto va sempre confermata con il cambio di segno di «f'», criterio della derivata prima, o con il segno di «f''».

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La nozione intuitiva di concavità si formalizza e si collega rigorosamente alla derivata seconda. Una funzione è convessa, con concavità verso l'alto, su un intervallo se, comunque scelti due punti del grafico, la corda che li congiunge sta al di sopra del grafico stesso; equivalentemente, se il grafico sta sopra ogni sua retta tangente. Si dimostra che, per una funzione derivabile due volte, «f'' > 0» su un intervallo equivale alla convessità. L'idea è che «f'' > 0» significa «f'» crescente: la pendenza della tangente aumenta procedendo verso destra, dunque la curva si incurva sempre più verso l'alto, restando sopra le tangenti. Con Lagrange l'argomento si rende preciso: se «f'' > 0», per «x > x₀» esiste «ξ» con «f'(ξ) > f'(x₀)», e ne segue che «f(x)» supera il valore «f(x₀) + f'(x₀)(x − x₀)» della tangente. Un punto di flesso è allora un punto in cui «f''» cambia segno, cioè in cui la concavità si inverte: condizione necessaria «f''(x₀) = 0», ma non sufficiente, come mostra «f(x) = x⁴» in «0», dove «f''(0) = 0» eppure vi è un minimo, non un flesso, perché «f''» non cambia segno. Il grafico probabile nasce dalla sintesi coerente di segno, monotonìa, concavità e asintoti.

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Molti problemi di ottimizzazione classici si risolvono, oltre che con la derivata, con la disuguaglianza tra media aritmetica e media geometrica, che vale la pena dimostrare: per «a, b ≥ 0» si ha «(a + b)/2 ≥ √(ab)», con uguaglianza se e solo se «a = b». La prova è immediata: «(√a − √b)² ≥ 0» equivale a «a + b − 2√(ab) ≥ 0», da cui la tesi; l'uguaglianza richiede «√a = √b». Geometricamente essa afferma che, tra tutti i rettangoli di perimetro assegnato, il quadrato ha area massima, e tra tutti quelli di area assegnata, il quadrato ha perimetro minimo. Con la derivata lo stesso risultato si ritrova annullando la derivata dell'area; ma la disuguaglianza mostra che l'estremo è globale, non solo locale, e ne fornisce il valore senza calcoli. Nel problema della scatola di volume massimo — «V(x) = x(12 − 2x)²» con «0 < x < 6» — si procede invece con la derivata: «V'(x) = (12 − 2x)(12 − 6x)» si annulla in «x = 2», poiché l'altro zero «x = 6» è escluso dal dominio significativo, e poiché «V'» passa da positiva a negativa, «x = 2» è un massimo, con volume «V(2) = 128 cm³». Verificare la natura dell'estremo e il dominio significativo è parte irrinunciabile del metodo.