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Oscillateurs mécaniques

Rappel hors-programme (ancien programme de Terminale S, retiré de la spécialité par la réforme 2019) : un oscillateur mécanique est un système qui, écarté de sa position d'équilibre, effectue des allers-retours autour de celle-ci. Les modèles masse-ressort et pendule, la période propre, l'isochronisme et l'équation différentielle du second ordre ne sont PAS exigibles au baccalauréat de spécialité physique-chimie de terminale. Ce qui reste réellement au programme et que cette fiche permet de réviser, ce sont les briques mobilisées ici dans le contexte de la mécanique : appliquer la deuxième loi de Newton et la projeter, exploiter l'énergie cinétique, potentielle et mécanique, distinguer conservation et non-conservation de l'énergie mécanique (frottements), et représenter l'évolution temporelle des grandeurs énergétiques avec un langage de programmation ou un tableur. Tout le reste (T₀ = 2π√(m/k), T₀ = 2π√(L/g), isochronisme, d²x/dt² + (k/m)x = 0, régime pseudo-périodique) est donné à titre d'enrichissement clairement étiqueté « hors-programme ».

5 sections~24 min de lecture5 compétencesNiveau Base 1 · Standard 3 · Approfondissement 1Vérifié · 06/2026

T·0777 / 11

Profil d’examen

Appliquer la deuxième loi de Newton à un système et la projeter sur un axe pour relier les actions exercées au mouvement (capacité du thème « Mouvement et interactions », chapitre « Relier les actions appliquées à un système à son mouvement »).Identifier et exploiter l'énergie cinétique, l'énergie potentielle (élastique ou de pesanteur) et l'énergie mécanique d'un système (aspects énergétiques du thème « Mouvement et interactions »).Distinguer conservation et non-conservation de l'énergie mécanique : exploiter la conservation en l'absence de frottement et interpréter sa décroissance par la dissipation due aux frottements.Représenter et exploiter, à l'aide d'un langage de programmation ou d'un tableur, l'évolution temporelle des grandeurs énergétiques (capacité numérique exigible).Enrichissement hors-programme (ancien Terminale S) : établir l'équation différentielle d'un oscillateur masse-ressort, relier sa période propre aux grandeurs caractéristiques, vérifier l'isochronisme des petites oscillations et interpréter l'amortissement — non exigible au baccalauréat de spécialité.

Opérateurs :établirexploiterdémontrerreliercalculerinterpréterjustifierreprésenter

niveau de base

Concentre-toi sur les capacités réellement exigibles au baccalauréat : appliquer la deuxième loi de Newton et la projeter sur un axe, identifier les formes d'énergie (cinétique, potentielle, mécanique) et lire l'évolution temporelle d'une grandeur sur un enregistrement. Les formules T₀ = 2π√(m/k) et T₀ = 2π√(L/g) et la notion d'isochronisme sont à connaître seulement comme rappel hors-programme, pas comme attendu d'examen.

niveau approfondi

Maîtrise le bilan d'énergie mécanique attendu en terminale (conservation sans frottement, échange Ec ↔ Ep, décroissance avec frottements) et la capacité numérique de tracé des grandeurs énergétiques. L'établissement complet de l'équation différentielle du second ordre d²x/dt² + (k/m)x = 0 par la deuxième loi de Newton et l'identification de la pulsation propre relèvent de l'enrichissement hors-programme (ancien Terminale S) : utile pour mobiliser la projection de Newton, mais non exigible au baccalauréat de spécialité.

Profondeur

Texte

Sommaire · 5 sections

Oscillateurs mécaniques

Décrire un oscillateur mécanique : masse-ressort et pendule#

Baseeduscol-programme-physique-chimie-terminale

Système masse-ressort horizontal : repérage et force de rappel

Fig. 1Le solide est repéré par l'abscisse

x

comptée depuis la position d'équilibre O. Écarté vers la droite, le ressort étiré exerce une force de rappel

\overrightarrow{F}

dirigée vers O.

Un oscillateur mécanique est un système qui, écarté de sa position d'équilibre stable, effectue un mouvement de va-et-vient autour de cette position. Deux modèles servent de référence : le système masse-ressort horizontal et le pendule simple. Rappel de cadrage : depuis la réforme 2019, l'étude détaillée des oscillateurs (période propre, équation différentielle) n'est plus un attendu du baccalauréat de spécialité ; ce qui reste exigible, ce sont les outils transversaux (deuxième loi de Newton, bilans d'énergie) que cette fiche mobilise dans ce contexte.

Système masse-ressort horizontal : un solide de masse

m

, assimilé à un point matériel, est accroché à un ressort de raideur

k

(en

\mathrm{N\cdot m^{-1}}

) et glisse sur un support horizontal. On repère sa position par l'abscisse

x

comptée à partir de la position d'équilibre, où le ressort n'est ni étiré ni comprimé. C'est cet écart

x

— et non la longueur du ressort — qui intervient dans la force de rappel.

Pendule simple : un point matériel de masse

m

suspendu à un fil inextensible et sans masse, de longueur

L

. On repère sa position par l'angle

\theta

que fait le fil avec la verticale ; la position d'équilibre correspond à

\theta = 0

. C'est une idéalisation (fil idéal, masse ponctuelle, frottements négligés) qui rend le problème soluble.

Grandeurs caractéristiques d'un oscillateur : l'amplitude

x_m

(ou

\theta_m

) est l'élongation maximale atteinte de part et d'autre de l'équilibre ; la période

T_0

est la durée d'un aller-retour complet ; la fréquence

f_0 = \dfrac{1}{T_0}

est le nombre d'oscillations par seconde (en

\mathrm{Hz}

). La pulsation propre

\omega_0 = 2\pi f_0 = \dfrac{2\pi}{T_0}

(en

\mathrm{rad\cdot s^{-1}}

) complète ce jeu de grandeurs.

Force de rappel : un oscillateur oscille parce qu'une force tend toujours à le ramener vers l'équilibre. Pour le ressort, c'est la tension élastique, proportionnelle et opposée à l'allongement ; pour le pendule, c'est la composante tangentielle du poids. Dans les deux cas, la force est nulle à l'équilibre et croît avec l'écart — c'est la signature d'un équilibre STABLE.

Pourquoi un tel système oscille-t-il ? Parce que la force de rappel est toujours dirigée vers l'équilibre : écarté, le système est ramené, dépasse l'équilibre par inertie, est de nouveau rappelé, et ainsi de suite indéfiniment (sans frottement). L'équilibre est dit stable car une petite perturbation engendre une force qui s'oppose à l'écart — à l'opposé d'un équilibre instable, comme une bille au sommet d'une bosse, où la moindre perturbation l'éloigne.

Sur un enregistrement temporel

x(t)

\theta(t)

(chronophotographie, vidéo pointée, capteur de position), on lit directement l'amplitude (élongation maximale) et la période (durée d'un aller-retour, mesurée entre deux maxima successifs). Pour réduire l'incertitude, on chronomètre plusieurs oscillations et on divise par leur nombre. Ces relevés alimenteront ensuite les bilans d'énergie (capacité numérique exigible).

f_0 = \dfrac{1}{T_0}\qquad \omega_0 = \dfrac{2\pi}{T_0}

Fréquence et pulsation propres

La fréquence propre $f_0$ (en hertz) est l'inverse de la période propre $T_0$ (en secondes) ; la pulsation propre $\omega_0$ (en rad·s⁻¹) vaut $2\pi/T_0$ .

Pendule simple : longueur, angle et position d'équilibre

Fig. 2Le pendule est repéré par l'angle

\theta

entre le fil et la verticale. La composante tangentielle du poids

\overrightarrow{P}

ramène le pendule vers l'équilibre (

\theta = 0

Exemple corrigé

Lire période, fréquence et amplitude sur un enregistrement

Un capteur de position enregistre l'abscisse $x(t)$ d'un solide accroché à un ressort horizontal. On lit que le solide passe par un maximum d'élongation $x = +4{,}0~\mathrm{cm}$ à la date $t_1 = 0{,}20~\mathrm{s}$ , puis de nouveau par un maximum identique à $t_2 = 1{,}20~\mathrm{s}$ , après une seule oscillation complète. Déterminer l'amplitude, la période propre et la fréquence propre.

Amplitude
L'amplitude est l'élongation maximale atteinte de part et d'autre de l'équilibre : on la lit directement, $x_m = 4{,}0~\mathrm{cm}$ .
Période propre
La période est la durée d'une oscillation complète, soit l'intervalle entre deux maxima identiques successifs : $T_0 = t_2 - t_1 = 1{,}20 - 0{,}20 = 1{,}0~\mathrm{s}$ .
Fréquence propre
La fréquence est l'inverse de la période : $f_0 = \frac{1}{T_0} = \frac{1}{1{,}0}$ .
$f_0 = \dfrac{1}{T_0}$

Résultat : L'amplitude vaut $x_m = 4{,}0~\mathrm{cm}$ , la période propre $T_0 = 1{,}0~\mathrm{s}$ et la fréquence propre $f_0 = 1{,}0~\mathrm{Hz}$ .

Erreurs fréquentes

Confondre la période (un aller-retour complet) avec la demi-période (un simple aller) : sur une courbe sinusoïdale, $T_0$ sépare deux maxima successifs, pas un maximum et le minimum suivant.
Oublier que l'abscisse $x$ est comptée à partir de la position d'équilibre (et non à partir de l'extrémité libre du ressort au repos sans masse) ; c'est elle qui intervient dans la force de rappel.

Révision active

À partir d'une chronophotographie (ou d'une vidéo pointée) d'un solide oscillant au bout d'un ressort horizontal, relève la position d'équilibre, l'amplitude des oscillations et déduis-en la période en mesurant la durée de plusieurs allers-retours.

Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Sources : Programme de physique-chimie de terminale générale (BO spécial n° 8 du 25 juillet 2019) (Ministère de l’Éducation nationale — Éduscol) · Programmes et ressources en physique-chimie — voie générale et technologique (Éduscol — Ministère de l'Éducation nationale)

Période propre, amplitude et isochronisme des petites oscillations#

Standardeduscol-programme-physique-chimie-terminale

Allure de l'élongation x(t) d'un oscillateur non amorti

Fig. 3Élongation sinusoïdale

x(t) = x_m\cos\!\left(\frac{2\pi t}{T_0}\right)

: l'amplitude

x_m

est la valeur maximale, la période

T_0

sépare deux maxima successifs.

Rappel hors-programme (ancien Terminale S) : les expressions des périodes propres et la notion d'isochronisme ci-dessous ne sont pas des attendus du baccalauréat de spécialité de terminale ; elles sont fournies à titre d'enrichissement, car elles éclairent la lecture des enregistrements et le rôle des paramètres.

Période propre du système masse-ressort :

T_0 = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}

. Elle augmente avec la masse (un solide plus lourd oscille plus lentement) et diminue quand la raideur augmente (un ressort plus dur oscille plus vite). La fréquence propre correspondante est

f_0 = \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{k}{m}}

Période propre du pendule simple (petites oscillations) :

T_0 = 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}

. Elle augmente avec la longueur du fil et dépend de l'intensité de la pesanteur

g

, mais ne dépend PAS de la masse suspendue — propriété analogue à l'universalité de la chute libre.

Isochronisme des petites oscillations : pour de faibles amplitudes, la période propre est indépendante de l'amplitude. C'est cette propriété (découverte par Galilée) qui rend le pendule utilisable comme étalon de temps — c'est le principe de l'horloge à balancier.

Domaine de validité du pendule : la formule

T_0 = 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}

n'est valable que pour de petites oscillations (typiquement

\theta_m \lesssim 10^\circ

), car elle suppose l'approximation

\sin\theta \approx \theta

. Pour de grandes amplitudes, l'isochronisme n'est plus respecté et la période augmente sensiblement avec l'amplitude.

Analyse dimensionnelle (outil de contrôle) :

\sqrt{m/k}

\sqrt{L/g}

sont bien homogènes à une durée. Par exemple

[\sqrt{L/g}] = \sqrt{\mathrm{m}/(\mathrm{m\cdot s^{-2}})} = \sqrt{\mathrm{s^2}} = \mathrm{s}

. Ce contrôle permet de retrouver (ou de vérifier) une formule de mémoire sans se tromper de place pour la racine.

Interprétation physique des dépendances : une masse plus grande augmente l'inertie, donc ralentit l'oscillateur (

T_0

croît avec

m

) ; un ressort plus raide rappelle plus fort, donc l'accélère (

T_0

décroît quand

k

croît). Pour le pendule, c'est la pesanteur qui joue le rôle de « rappel » : à

g

plus grand,

T_0

plus petit — un pendule battrait plus vite sur Jupiter que sur la Lune.

T_0 = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}

Période propre du système masse-ressort

$m$ est la masse (en kg), $k$ la raideur du ressort (en N·m⁻¹) ; $T_0$ s'exprime en secondes.

T_0 = 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}

Période propre du pendule simple (petites oscillations)

$L$ est la longueur du fil (en m), $g$ l'intensité de la pesanteur (en m·s⁻²) ; la masse n'intervient pas.

Exemple corrigé

Période d'un système masse-ressort et longueur d'un pendule équivalent

Un solide de masse $m = 0{,}20~\mathrm{kg}$ est accroché à un ressort horizontal de raideur $k = 20~\mathrm{N\cdot m^{-1}}$ . a) Calculer la période propre $T_0$ du système masse-ressort. b) Quelle longueur $L$ faudrait-il donner à un pendule simple pour qu'il ait la même période propre ? On prendra $g = 9{,}81~\mathrm{m\cdot s^{-2}}$ .

Période du masse-ressort
On applique $T_0 = 2\pi\sqrt{m/k} = 2\pi\sqrt{0{,}20/20}$ .
$T_0 = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$
Application numérique (a)
$T_0 = 2\pi\sqrt{0{,}010} = 2\pi\times 0{,}10 \approx 0{,}63~\mathrm{s}$ .
Inverser la formule du pendule
On veut un pendule de même période ; on isole $L$ dans $T_0 = 2\pi\sqrt{L/g}$ , soit $L = g\left(\frac{T_0}{2\pi}\right)^2$ .
$L = g\left(\dfrac{T_0}{2\pi}\right)^2$
Application numérique (b)
$L = 9{,}81\times (0{,}63/2\pi)^2 = 9{,}81\times (0{,}10)^2 \approx 0{,}098~\mathrm{m}$ .

Résultat : a) $T_0 \approx 0{,}63~\mathrm{s}$ . b) Un pendule de même période propre mesurerait environ $L \approx 9{,}8~\mathrm{cm}$ .

Erreurs fréquentes

Oublier la racine carrée et écrire $T_0 = 2\pi\,(m/k)$ au lieu de $T_0 = 2\pi\sqrt{m/k}$ , ce qui rend la formule dimensionnellement fausse.
Croire que la période du pendule dépend de la masse : $T_0 = 2\pi\sqrt{L/g}$ n'en dépend pas (la masse se simplifie dans l'équation du mouvement).

Révision active

On dispose d'un pendule simple de longueur réglable. Prévois la longueur $L$ à donner au fil pour obtenir une période propre de $2{,}0~\mathrm{s}$ (le « pendule qui bat la seconde »), puis vérifie ta prévision par une mesure chronométrée de plusieurs périodes.

Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Équation différentielle du mouvement (deuxième loi de Newton)#

Approfondissementeduscol-programme-physique-chimie-terminale

Bilan des forces sur le solide du système masse-ressort

Fig. 4Le poids

\overrightarrow{P}

et la réaction normale

\overrightarrow{R_N}

, verticaux, se compensent ; sur l'axe horizontal il ne reste que la force de rappel

\overrightarrow{F} = -k\,x

, qui pilote le mouvement.

Rappel hors-programme (ancien Terminale S) : l'établissement de l'équation différentielle du second ordre d'un oscillateur et l'identification de la pulsation propre ne sont pas exigibles au baccalauréat de spécialité de terminale. Seule la démarche générale — appliquer la deuxième loi de Newton et la projeter — relève d'une capacité réellement attendue (chapitre « Relier les actions appliquées à un système à son mouvement ») ; le reste de cette section est un enrichissement.

Méthode générale (exigible) : on applique la deuxième loi de Newton

\sum \overrightarrow{F_{ext}} = m\,\overrightarrow{a_G}

dans un référentiel galiléen, on projette sur l'axe du mouvement, puis on remplace l'accélération par la dérivée seconde de la position pour obtenir une équation différentielle. C'est la même trame que pour tout problème de mécanique.

Système masse-ressort horizontal : sur l'axe horizontal, seule la force de rappel du ressort travaille (le poids et la réaction du support se compensent et sont perpendiculaires au mouvement). La projection de la tension élastique donne

-k\,x = m\,\dfrac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2}

: la force est proportionnelle à l'écart

x

et de signe opposé.

On en déduit l'équation différentielle

\dfrac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} + \dfrac{k}{m}\,x = 0

. C'est l'équation de l'oscillateur harmonique, de la forme canonique

\dfrac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} + \omega_0^2\,x = 0

avec

\omega_0^2 = \dfrac{k}{m}

La solution est sinusoïdale :

x(t) = x_m\cos(\omega_0\,t + \varphi)

, où

x_m

est l'amplitude et

\varphi

la phase à l'origine, fixées par les conditions initiales (position et vitesse à

t = 0

). La pulsation propre est

\omega_0 = \sqrt{\dfrac{k}{m}}

, d'où la période propre

T_0 = \dfrac{2\pi}{\omega_0} = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}

Vérification par substitution (la démarche attendue d'une telle question) : en dérivant deux fois

x(t) = x_m\cos(\omega_0 t + \varphi)

, on obtient

\dfrac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} = -\omega_0^2\,x

; reportée dans l'équation, cela donne

-\omega_0^2 x + \frac{k}{m}x = 0

pour tout

t

, ce qui n'est possible que si

\omega_0^2 = \frac{k}{m}

. La forme sinusoïdale est ainsi justifiée.

Portée du résultat : l'équation

\ddot{x} + \omega_0^2 x = 0

est le prototype de l'oscillateur harmonique. On la retrouve à l'identique pour le circuit LC en électricité (avec

\omega_0 = 1/\sqrt{LC}

) ou pour de petites oscillations de tout système autour d'un minimum de potentiel. Reconnaître cette forme canonique et y lire la pulsation propre est une compétence transversale — d'où son intérêt, même si le détail est hors-programme au Bac de spécialité.

\sum \overrightarrow{F}_{\text{ext}} = m\,\overrightarrow{a_G}

Deuxième loi de Newton (référentiel galiléen)

La somme vectorielle des forces extérieures est égale au produit de la masse par le vecteur accélération du centre de masse.

\dfrac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} + \dfrac{k}{m}\,x = 0

Équation différentielle du système masse-ressort

Équation d'un oscillateur harmonique, obtenue en projetant la deuxième loi de Newton sur l'axe horizontal.

x(t) = x_m \cos(\omega_0\, t + \varphi) \quad \text{avec} \quad \omega_0 = \sqrt{\dfrac{k}{m}}

Solution et pulsation propre

$x_m$ (amplitude) et $\varphi$ (phase à l'origine) sont fixées par les conditions initiales ; la pulsation propre est $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ .

Exemple corrigé

Établir l'équation différentielle et vérifier la solution sinusoïdale

Un solide de masse $m$ glisse sans frottement sur un rail horizontal, accroché à un ressort de raideur $k$ dont l'autre extrémité est fixe. On note $x$ l'abscisse du solide comptée depuis sa position d'équilibre. a) Établir l'équation différentielle vérifiée par $x(t)$ à l'aide de la deuxième loi de Newton. b) Montrer que $x(t) = x_m\cos(\omega_0 t)$ est solution et exprimer $\omega_0$ .

Système, référentiel, forces
Système : le solide. Référentiel terrestre supposé galiléen. Forces : le poids $\overrightarrow{P}$ (vertical, vers le bas), la réaction normale $\overrightarrow{R_N}$ (verticale, vers le haut) et la tension du ressort, force de rappel.
Projection sur l'axe horizontal (Ox)
Le poids et la réaction normale sont verticaux : leur projection sur $Ox$ est nulle. La force de rappel se projette en $-k\,x$ ; l'accélération se projette en $\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2}$ . La deuxième loi de Newton donne $-k\,x = m\,\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2}$ .
Forme canonique (a)
On divise par $m$ et on regroupe : $\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} + \frac{k}{m}x = 0$ .
$\dfrac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} + \dfrac{k}{m}\,x = 0$
Dériver la solution proposée
On dérive deux fois $x(t) = x_m\cos(\omega_0 t)$ : $\dot{x} = -x_m\omega_0\sin(\omega_0 t)$ puis $\ddot{x} = -x_m\omega_0^2\cos(\omega_0 t) = -\omega_0^2 x$ .
Identification (b)
En reportant : $-\omega_0^2 x + \frac{k}{m}x = 0$ pour tout $t$ , donc $\omega_0^2 = \frac{k}{m}$ .

Résultat : L'abscisse vérifie $\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} + \frac{k}{m}x = 0$ ; la fonction $x(t) = x_m\cos(\omega_0 t)$ en est solution à condition que $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ , ce qui redonne $T_0 = 2\pi\sqrt{m/k}$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung5 Schritte

1
On part de la deuxième loi de Newton appliquée au solide dans le référentiel terrestre galiléen : la somme des forces égale m fois l'accélération.
2
On dresse le bilan des forces : le poids vers le bas, la réaction normale vers le haut, et la force de rappel du ressort horizontale.
3
On projette sur l'axe horizontal. Le poids et la réaction, verticaux, disparaissent ; reste la force de rappel −k x égale à m fois la dérivée seconde de x.
4
En divisant par m, on obtient l'équation de l'oscillateur harmonique : dérivée seconde de x plus k sur m fois x égale zéro.
5
On identifie le coefficient k sur m au carré de la pulsation propre, ce qui donne la période propre T zéro égale deux pi racine de m sur k.

Erreurs fréquentes

Se tromper de signe dans la projection de la force de rappel : elle s'oppose toujours au déplacement, d'où le terme $-k\,x$ ; un signe $+$ donnerait une solution exponentielle divergente, sans oscillation.
Vérifier qu'une solution proposée satisfait l'équation en confondant $\omega_0$ et $T_0$ : c'est $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ qui apparaît dans la solution, la période valant $T_0 = 2\pi/\omega_0$ .

Révision active

Établis, par la deuxième loi de Newton, l'équation différentielle vérifiée par l'abscisse $x$ d'un solide de masse $m$ accroché à un ressort horizontal de raideur $k$ , puis montre par substitution que $x(t) = x_m\cos(\omega_0 t + \varphi)$ en est solution et exprime $\omega_0$ en fonction de $k$ et $m$ .

Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Bilan d'énergie mécanique : Ec, Ep et conservation#

Standardeduscol-programme-physique-chimie-terminale

Énergies au cours du temps : échange Ec ↔ Ep et conservation de Em

Fig. 5

E_c(t)

E_p(t)

sont en opposition de phase et oscillent à la période

T_0/2

entre 0 et

E_m

; leur somme

E_m

reste constante (0,025 J) en l'absence de frottement.

Le bilan d'énergie est, lui, pleinement au programme : il s'applique à tout système mécanique, y compris à un oscillateur. C'est l'angle d'attaque privilégié pour relier vitesse et position sans résoudre d'équation différentielle, et pour distinguer un mouvement conservatif d'un mouvement amorti.

Énergie mécanique :

E_m = E_c + E_p

, somme de l'énergie cinétique

E_c = \tfrac{1}{2}m v^2

et de l'énergie potentielle

E_p

. Pour le système masse-ressort, l'énergie potentielle est élastique,

E_p = \tfrac{1}{2}k x^2

; pour le pendule, elle est de pesanteur,

E_p = m g z

(

z

= hauteur au-dessus de l'équilibre).

Conservation de l'énergie mécanique : en l'absence de frottements, aucune énergie n'est dissipée, donc l'énergie mécanique reste constante au cours du mouvement (

E_m = \text{constante}

). C'est une conséquence du théorème de l'énergie cinétique appliqué aux seules forces conservatives (le travail de la réaction normale est nul, celui de la force de rappel dérive d'une énergie potentielle).

Échange périodique

E_c \leftrightarrow E_p

: au cours d'une oscillation, l'énergie passe alternativement d'une forme à l'autre. À l'élongation maximale, la vitesse est nulle : toute l'énergie est potentielle (

E_p

maximale,

E_c = 0

). Au passage par l'équilibre, la vitesse est maximale : toute l'énergie est cinétique (

E_c

maximale,

E_p = 0

). L'oscillateur est une « pompe » qui transvase sans cesse l'énergie entre ces deux réservoirs.

Un point subtil : l'énergie cinétique et l'énergie potentielle oscillent DEUX FOIS plus vite que l'élongation. En effet

E_p = \tfrac{1}{2}k x^2

dépend du CARRÉ de

x

: sur une période

T_0

x(t)

E_p

passe deux fois par son maximum (aux deux élongations extrêmes

\pm x_m

) et deux fois par zéro (aux deux passages par l'équilibre). Sa période est donc

T_0/2

, de même que celle de

E_c

La représentation

E_p(x) = \tfrac{1}{2}k x^2

est une parabole — un « puits de potentiel » dont le minimum coïncide avec la position d'équilibre. Le mouvement reste confiné à la région où

E_p \le E_m

: l'amplitude

x_m

est fixée par l'intersection

E_m = \tfrac{1}{2}k x_m^2

. Plus on communique d'énergie au système, plus le puits est « rempli » haut et plus l'amplitude est grande.

Lien avec la vitesse maximale : en écrivant

E_m

à l'élongation maximale (

= \tfrac{1}{2}k x_m^2

, car

E_c = 0

) et au passage par l'équilibre (

= \tfrac{1}{2}m v_{max}^2

, car

E_p = 0

), la conservation impose

\tfrac{1}{2}m v_{max}^2 = \tfrac{1}{2}k x_m^2

, soit

v_{max} = x_m\sqrt{\dfrac{k}{m}} = x_m\,\omega_0

. C'est une relation très utile, obtenue sans résoudre l'équation du mouvement.

E_m = E_c + E_p = \tfrac{1}{2}m v^2 + \tfrac{1}{2}k x^2

Énergie mécanique du système masse-ressort

Somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle élastique ; $v$ = vitesse du solide, $x$ = abscisse depuis l'équilibre.

E_m = \text{constante} \quad (\text{sans frottement})

Conservation de l'énergie mécanique

En l'absence de force de frottement, l'énergie mécanique se conserve : elle s'échange entre forme cinétique et forme potentielle.

v_{max} = x_m\sqrt{\dfrac{k}{m}} = x_m\,\omega_0

Vitesse maximale (au passage par l'équilibre)

Obtenue en égalant l'énergie mécanique à l'élongation maximale ( $\tfrac{1}{2}k x_m^2$ ) et au passage par l'équilibre ( $\tfrac{1}{2}m v_{max}^2$ ).

Énergie potentielle élastique Ep(x) : le puits de potentiel

Fig. 6Le puits de potentiel

E_p(x) = \tfrac{1}{2}k x^2

est une parabole de minimum à l'équilibre. Le mouvement est confiné à

E_p \le E_m

: l'amplitude

x_m

correspond à l'intersection

E_m = \tfrac{1}{2}k x_m^2

Exemple corrigé

Vitesse maximale d'un solide par conservation de l'énergie

Un solide de masse $m = 0{,}20~\mathrm{kg}$ , accroché à un ressort horizontal de raideur $k = 20~\mathrm{N\cdot m^{-1}}$ , oscille sans frottement avec une amplitude $x_m = 5{,}0~\mathrm{cm}$ . a) Calculer l'énergie mécanique du système. b) En déduire la vitesse maximale du solide.

Énergie mécanique à l'élongation maximale
À l'élongation maximale, la vitesse est nulle ( $E_c = 0$ ) : toute l'énergie est potentielle élastique, $E_m = \tfrac{1}{2}k x_m^2$ .
$E_m = \tfrac{1}{2}k x_m^2$
Application numérique (a)
$E_m = \tfrac{1}{2}\times 20 \times (0{,}050)^2 = 10\times 2{,}5\times 10^{-3} = 2{,}5\times 10^{-2}~\mathrm{J}$ .
Conservation au passage par l'équilibre
Au passage par l'équilibre, $E_p = 0$ : toute l'énergie est cinétique. La conservation impose $\tfrac{1}{2}m v_{max}^2 = E_m$ .
Application numérique (b)
$v_{max} = \sqrt{\dfrac{2 E_m}{m}} = \sqrt{\dfrac{2\times 2{,}5\times 10^{-2}}{0{,}20}}$ .
$v_{max} = \sqrt{\dfrac{2 E_m}{m}}$

Résultat : a) $E_m = 2{,}5\times 10^{-2}~\mathrm{J} = 0{,}025~\mathrm{J}$ . b) $v_{max} = 0{,}50~\mathrm{m\cdot s^{-1}}$ , ce que confirme $v_{max} = x_m\sqrt{k/m} = 0{,}050\times 10 = 0{,}50~\mathrm{m\cdot s^{-1}}$ .

Erreurs fréquentes

Penser que $E_c$ et $E_p$ oscillent à la même période que $x(t)$ : elles oscillent en réalité deux fois plus vite (leur période vaut $T_0/2$ ), car elles dépendent du carré de $x$ ou de $v$ .
Oublier le facteur $\tfrac{1}{2}$ dans $E_c = \tfrac{1}{2}m v^2$ ou dans $E_p = \tfrac{1}{2}k x^2$ , ou confondre l'énergie potentielle élastique ( $\tfrac{1}{2}k x^2$ ) avec l'énergie potentielle de pesanteur ( $m g z$ ).

Révision active

Pour un système masse-ressort sans frottement, exprime l'énergie mécanique à l'élongation maximale puis au passage par la position d'équilibre, et déduis-en l'expression de la vitesse maximale du solide en fonction de l'amplitude $x_m$ , de la raideur $k$ et de la masse $m$ .

Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Amortissement et exploitation expérimentale / numérique#

Standardeduscol-programme-physique-chimie-terminale

Oscillations amorties : x(t) en régime pseudo-périodique

Fig. 7L'élongation

x(t)

oscille à amplitude décroissante, encadrée par l'enveloppe exponentielle

\pm x_m\,e^{-t/\tau}

: l'énergie mécanique se dissipe peu à peu.

Amortissement : en présence de frottements, une partie de l'énergie mécanique est dissipée (convertie en énergie thermique). L'énergie mécanique

E_m

décroît donc au cours du temps, et l'amplitude des oscillations diminue progressivement jusqu'à l'arrêt. C'est l'écart entre l'oscillateur idéal (conservatif) et l'oscillateur réel.

Régime pseudo-périodique (rappel hors-programme, ancien Terminale S) : pour des frottements faibles, le système oscille encore mais avec une amplitude décroissante ; on parle de régime pseudo-périodique, et la durée entre deux passages successifs dans le même sens est appelée pseudo-période. Ce vocabulaire n'est pas exigible au baccalauréat de spécialité ; ce qui l'est, c'est l'interprétation énergétique : avec frottements, l'énergie mécanique n'est pas conservée et décroît.

Le bilan d'énergie distingue clairement les deux situations : sans frottement,

E_m

est constante (oscillations d'amplitude fixe, idéales) ; avec frottement,

E_m

décroît et l'oscillateur finit par s'immobiliser à sa position d'équilibre. La diminution

\Delta E_m < 0

mesure exactement l'énergie dissipée par les forces de frottement.

Mesure de la période : on peut mesurer

T_0

par chronométrage (en mesurant la durée de plusieurs oscillations pour réduire l'incertitude), par analyse vidéo (pointage image par image), ou à l'aide de capteurs reliés à un microcontrôleur ou à une carte d'acquisition. Mesurer

N

oscillations et diviser par

N

divise l'incertitude relative par

N

Exploitation numérique (capacité exigible) : à l'aide d'un langage de programmation (Python) ou d'un tableur, on représente l'évolution temporelle des grandeurs énergétiques

E_c(t)

E_p(t)

E_m(t)

à partir des relevés de position et de vitesse, ce qui permet de visualiser la conservation ou la décroissance de l'énergie mécanique.

Exemple concret en Python (capacité numérique attendue) : à partir des listes de mesures t, x et v et des constantes m et k, on calcule les trois énergies puis on les trace. ```python import matplotlib.pyplot as plt m = 0.20 # masse (kg) k = 20.0 # raideur (N/m) # t, x, v : listes des relevés (temps en s, position en m, vitesse en m/s) Ec = [0.5 m vi**2 for vi in v] Ep = [0.5 k xi**2 for xi in x] Em = [ec + ep for ec, ep in zip(Ec, Ep)] plt.plot(t, Ec, label="Ec") plt.plot(t, Ep, label="Ep") plt.plot(t, Em, label="Em") plt.xlabel("t (s)"); plt.ylabel("énergie (J)") plt.legend(); plt.show() ``` Sans frottement, la courbe Em est horizontale (conservation) ; avec frottements, elle décroît (dissipation).

Version tableur (capacité numérique attendue) : si la colonne A contient le temps, la colonne B la position x et la colonne C la vitesse v, on saisit en ligne 2 puis on étire vers le bas les formules « =0,5*

F

1C2^2 » pour Ec (avec m en F1), « =0,5

F

2*B2^2 » pour Ep (avec k en F2) et « =D2+E2 » pour Em, avant de tracer Ec, Ep et Em en fonction de A.

E_m(t) = \tfrac{1}{2}m\,v(t)^2 + \tfrac{1}{2}k\,x(t)^2

Énergie mécanique instantanée (pour le tracé numérique)

Calculée à chaque instant à partir des relevés de position $x(t)$ et de vitesse $v(t)$ ; sa décroissance signale l'amortissement.

T_0 = \dfrac{\Delta t}{N}

Mesure de la période par chronométrage

$\Delta t$ est la durée mesurée pour $N$ oscillations complètes ; diviser par $N$ réduit l'incertitude relative sur la période.

Exemple corrigé

Mesurer la période et estimer l'énergie dissipée

Un élève chronomètre un pendule simple : il mesure une durée $\Delta t = 20{,}1~\mathrm{s}$ pour $N = 10$ oscillations complètes de faible amplitude. a) En déduire la période propre du pendule. b) En réalité l'amplitude diminue : entre le début et la fin de l'enregistrement, l'énergie mécanique passe de $E_{m,0} = 0{,}40~\mathrm{J}$ à $E_m = 0{,}36~\mathrm{J}$ . Quelle est l'énergie dissipée par les frottements, et sous quelle forme ?

Période par chronométrage (a)
On divise la durée totale par le nombre d'oscillations : $T_0 = \frac{\Delta t}{N} = \frac{20{,}1}{10} = 2{,}01~\mathrm{s} \approx 2{,}0~\mathrm{s}$ .
$T_0 = \dfrac{\Delta t}{N}$
Énergie dissipée (b)
L'énergie dissipée est la diminution de l'énergie mécanique : $|\Delta E_m| = E_{m,0} - E_m = 0{,}40 - 0{,}36$ .
Interprétation
Cette énergie n'a pas disparu : elle a été convertie en énergie thermique (échauffement de l'air et du point d'attache) par le travail des forces de frottement, ce qui explique la décroissance de l'amplitude.

Résultat : a) $T_0 = 20{,}1/10 = 2{,}01~\mathrm{s} \approx 2{,}0~\mathrm{s}$ . b) L'énergie dissipée vaut $4\times 10^{-2}~\mathrm{J}$ (soit 0,04 J), convertie en énergie thermique ; c'est elle qui fait décroître l'amplitude des oscillations.

Erreurs fréquentes

Affirmer que la pseudo-période diminue à mesure que l'amplitude diminue : pour un amortissement faible, c'est l'amplitude qui décroît, tandis que la pseudo-période reste sensiblement constante.
Mesurer la durée d'une seule oscillation au chronomètre : l'incertitude relative est trop grande ; il faut chronométrer plusieurs oscillations (par exemple dix) et diviser la durée totale par leur nombre.

Révision active

Tu disposes des relevés temporels de la position $x(t)$ et de la vitesse $v(t)$ d'un oscillateur masse-ressort soumis à de légers frottements. Écris (ou complète) un script Python qui calcule et trace $E_c(t)$ , $E_p(t)$ et $E_m(t)$ , puis commente la courbe $E_m(t)$ obtenue.

Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Références et sources

Sources

Ministère de l’Éducation nationale — Éduscol

Programme de physique-chimie de terminale générale (BO spécial n° 8 du 25 juillet 2019)

Oscillateurs mécaniques

Points clés

Lire période, fréquence et amplitude sur un enregistrement

Points clés

Période d'un système masse-ressort et longueur d'un pendule équivalent

Points clés

Établir l'équation différentielle et vérifier la solution sinusoïdale

Points clés

Vitesse maximale d'un solide par conservation de l'énergie

Points clés

Mesurer la période et estimer l'énergie dissipée

Sources