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Mécanique des fluides

Ce thème modélise l'action d'un fluide au repos puis en mouvement : pression et statique des fluides, poussée d'Archimède sur un corps immergé, conservation du débit volumique d'un fluide incompressible et relation de Bernoulli. On en déduit l'effet Venturi et la mesure d'une pression et d'une vitesse d'écoulement, dans un gaz comme dans un liquide.

5 sections~26 min de lecture4 compétencesNiveau Base 1 · Standard 2 · Approfondissement 2Vérifié · 06/2026

T·0666 / 11

Profil d’examen

Expliquer qualitativement l'origine de la poussée d'Archimède et utiliser son expression vectorielleExploiter la conservation du débit volumique pour déterminer la vitesse d'un fluide incompressibleExploiter la relation de Bernoulli (fournie) pour étudier qualitativement puis quantitativement un écoulement permanentMettre en œuvre un dispositif expérimental : tester la poussée d'Archimède, étudier un écoulement et mesurer une pression et une vitesse

Opérateurs :expliquerexploitercalculerinterpréterjustifiermettre en œuvre

niveau de base

Maîtriser d'abord l'expression vectorielle de la poussée d'Archimède, la conservation du débit ( $D_v = S\,v$ ) et une lecture qualitative de Bernoulli (la vitesse augmente, la pression diminue).

niveau approfondi

Exploiter quantitativement Bernoulli le long d'une ligne de courant (Torricelli, Venturi, tube de Pitot), en couplant systématiquement le bilan d'énergie à la conservation du débit.

Profondeur

Texte

Sommaire · 5 sections

Mécanique des fluides

Pression et statique des fluides (rappel de première)#

Baseeduscol-programme-physique-chimie-terminale

Pression en fonction de la profondeur dans l'eau

Fig. 1Droite

p = p_{atm} + \rho g h

: pente

\rho g \approx 9{,}8~\mathrm{kPa\cdot m^{-1}}

, ordonnée à l'origine

p_{atm} \approx 101~\mathrm{kPa}

. À

h = 10~\mathrm{m}

p \approx 199~\mathrm{kPa} \approx 2~\mathrm{bar}

La mécanique des fluides étudie l'action mécanique d'un fluide — liquide ou gaz — au repos puis en mouvement. Avant d'aborder les écoulements, il faut maîtriser deux acquis de première : la pression, qui décrit comment un fluide pousse sur les surfaces, et la loi de variation de la pression avec la profondeur. Ces deux notions sous-tendent tout le thème : origine de la poussée d'Archimède, et mesure des pressions dans un écoulement.

La pression

p

exercée par un fluide sur une surface est le quotient de l'intensité

F

de la force pressante, perpendiculaire à la surface, par l'aire

S

de cette surface :

p = \dfrac{F}{S}

. Son unité SI est le pascal (

\mathrm{Pa}

), avec

1~\mathrm{Pa} = 1~\mathrm{N\cdot m^{-2}}

. La pression est une grandeur scalaire (toujours positive), définie en chaque point du fluide ; la force pressante, elle, est vectorielle et toujours normale à la surface — d'où l'erreur à éviter de « diriger » une pression.

Loi fondamentale de la statique des fluides : dans un fluide incompressible au repos, la pression augmente avec la profondeur. Entre un point A (en haut) et un point B (en bas) séparés verticalement d'une hauteur

h

, on a

p_B - p_A = \rho\,g\,h

, où

\rho

est la masse volumique du fluide (

\mathrm{kg\cdot m^{-3}}

) et

g

l'intensité de la pesanteur (

\mathrm{N\cdot kg^{-1}}

). La pression ne dépend que de la profondeur, pas de la forme du récipient : c'est le principe des vases communicants.

Au niveau d'une surface libre en contact avec l'atmosphère, la pression vaut la pression atmosphérique

p_{atm} \approx 1{,}013\times 10^5~\mathrm{Pa} \approx 1~\mathrm{bar}

. À la profondeur

h

sous cette surface, la pression absolue est donc

p = p_{atm} + \rho\,g\,h

. On distingue la pression absolue (qui inclut

p_{atm}

) de la pression relative (l'excès

\rho g h

au-dessus de l'atmosphère), selon ce que mesure l'instrument utilisé.

Ce thème de terminale RÉINVESTIT ces acquis : la statique des fluides n'est pas une capacité nouvelle exigible en soi, mais l'outil qui éclaire la suite. La croissance de la pression avec la profondeur explique pourquoi un corps immergé subit une résultante des forces pressantes dirigée vers le haut (la poussée d'Archimède) ; et la relation

p = p_{atm} + \rho g h

sert à lire une dénivellation manométrique dans un écoulement (Venturi, Pitot).

Ordre de grandeur à mémoriser : dans l'eau (

\rho \approx 1000~\mathrm{kg\cdot m^{-3}}

), une descente de

10~\mathrm{m}

fait croître la pression d'environ

\rho g h = 1000\times 9{,}81\times 10 \approx 9{,}8\times 10^4~\mathrm{Pa}

, soit presque

1~\mathrm{bar}

tous les

10

mètres. Un plongeur subit ainsi environ

2~\mathrm{bar}

10~\mathrm{m}

de profondeur,

3~\mathrm{bar}

20~\mathrm{m}

, et ainsi de suite — la pression relative double sur les dix premiers mètres puis croît plus régulièrement.

Enfin, deux automatismes : (i) convertir les pressions entre

\mathrm{Pa}

\mathrm{hPa}

\mathrm{bar}

, avec

1~\mathrm{bar} = 10^5~\mathrm{Pa} = 1000~\mathrm{hPa}

; (ii) distinguer une profondeur (mesurée vers le bas depuis la surface, qui augmente la pression) d'une altitude (vers le haut, qui la diminue). Une erreur de signe sur

h

inverse tout le raisonnement.

p = \dfrac{F}{S}

Définition de la pression

$p$ en pascals (Pa), $F$ intensité de la force pressante en newtons (N), $S$ aire de la surface en mètres carrés (m²). La force pressante est perpendiculaire à la surface.

p_{B} - p_{A} = \rho\, g\, h \qquad p = p_{atm} + \rho\, g\, h

Loi fondamentale de la statique des fluides

Entre un point haut A et un point bas B distants verticalement de $h$ dans un fluide incompressible au repos ; $\rho$ masse volumique (kg·m⁻³), $g$ intensité de la pesanteur (N·kg⁻¹), $h$ profondeur (m). À la profondeur $h$ sous la surface libre, la pression absolue vaut $p_{atm} + \rho g h$ .

Pression et profondeur dans un liquide au repos

Fig. 2À la surface libre, la pression vaut

p_{atm}

; au point B, situé à la profondeur

h

, elle vaut

p_{atm} + \rho g h

. La pression ne dépend que de la profondeur, pas de la forme du récipient.

Exemple corrigé

Pression sur un plongeur à 10 m de profondeur

Un plongeur descend à $10~\mathrm{m}$ sous la surface d'un lac d'eau douce ( $\rho = 1{,}0\times 10^3~\mathrm{kg\cdot m^{-3}}$ , $g = 9{,}81~\mathrm{N\cdot kg^{-1}}$ , $p_{atm} = 1{,}013\times 10^5~\mathrm{Pa}$ ). Calculer la pression de l'eau, en pascals puis en bars, et commenter l'affirmation « la pression double tous les 10 mètres ».

Identifier la loi de la statique
À la profondeur $h$ , la pression absolue est celle de la surface augmentée du terme hydrostatique : $p = p_{atm} + \rho g h$ .
$p = p_{atm} + \rho\, g\, h$
Calculer le terme hydrostatique
On évalue d'abord la contribution de la colonne d'eau : $\rho g h = 1000\times 9{,}81\times 10 \approx 9{,}81\times 10^4~\mathrm{Pa}$ .
Additionner la pression atmosphérique
$p = 1{,}013\times 10^5 + 0{,}981\times 10^5 \approx 1{,}99\times 10^5~\mathrm{Pa}$ .
Convertir et commenter
$1~\mathrm{bar} = 1{,}0\times 10^5~\mathrm{Pa}$ , donc $p \approx 1{,}99~\mathrm{bar}$ . La pression passe d'environ $1~\mathrm{bar}$ (surface) à environ $2~\mathrm{bar}$ : elle a effectivement à peu près doublé en 10 m d'eau. La règle exacte est « + 1 bar tous les 10 m », plus fidèle en profondeur.

Résultat : $p \approx 1{,}99\times 10^5~\mathrm{Pa} \approx 2{,}0~\mathrm{bar}$ : la pression a presque doublé sur les 10 premiers mètres.

Erreurs fréquentes

Confondre pression (scalaire, en $\mathrm{Pa}$ ) et force pressante (vecteur, en $\mathrm{N}$ ) : on n'écrit pas « une pression dirigée vers le haut », mais une force pressante normale à la surface.
Oublier la pression atmosphérique en surface et écrire $p = \rho g h$ au lieu de $p = p_{atm} + \rho g h$ , ou prendre $h$ comme une altitude au lieu d'une profondeur (signe inversé).

Révision active

Un plongeur descend à $10~\mathrm{m}$ sous la surface d'un lac d'eau douce ( $\rho = 1{,}0\times 10^3~\mathrm{kg\cdot m^{-3}}$ , $g = 9{,}81~\mathrm{N\cdot kg^{-1}}$ , $p_{atm} = 1{,}013\times 10^5~\mathrm{Pa}$ ). Calculer la pression de l'eau qui s'exerce sur lui, en pascals puis en bars, et commenter l'affirmation « la pression double tous les 10 mètres ».

Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Sources : Programme de spécialité physique-chimie — classe terminale (BO spécial n° 8 du 25 juillet 2019) (Ministère de l’Éducation nationale — Éduscol)

Poussée d'Archimède : origine et expression vectorielle#

Standardeduscol-programme-physique-chimie-terminale

Bilan des forces sur un corps immergé

Fig. 3Sur un corps immergé : le poids

\overrightarrow{P}

(vers le bas) et la poussée d'Archimède

\overrightarrow{F_A}

(vers le haut). Si le corps est retenu, une tension

\overrightarrow{T}

(vers le haut) complète l'équilibre

\overrightarrow{P} + \overrightarrow{F_A} + \overrightarrow{T} = \overrightarrow{0}

La poussée d'Archimède est la conséquence directe de la statique des fluides : c'est la résultante des forces pressantes qu'un fluide exerce sur un corps immergé. Comprendre son origine, écrire son expression vectorielle et l'insérer correctement dans un bilan des forces sont les trois attendus de cette partie.

Origine qualitative : un corps immergé est soumis, sur toute sa surface, à des forces pressantes du fluide, toujours normales aux faces et dirigées vers l'intérieur. Comme la pression augmente avec la profondeur, les forces pressantes sur la face inférieure (plus profonde, donc plus pressée) l'emportent sur celles de la face supérieure. La résultante de toutes ces forces est une force verticale dirigée vers le haut : c'est la poussée d'Archimède.

Énoncé du théorème : tout corps immergé (totalement ou partiellement) dans un fluide subit une poussée verticale, dirigée du bas vers le haut, dont l'intensité est égale au poids du fluide déplacé par le volume immergé du corps. C'est une équivalence remarquable : la poussée « ne sait pas » ce qu'il y a dans le volume, seulement quel volume de fluide a été chassé.

Expression vectorielle :

\overrightarrow{F_A} = -\,\rho_{fluide}\, V_{imm}\, \overrightarrow{g}

. Le signe « − » traduit le sens :

\overrightarrow{F_A}

est opposée à

\overrightarrow{g}

, donc dirigée vers le haut. Son intensité vaut

F_A = \rho_{fluide}\, V_{imm}\, g

. Attention : ce sont la masse volumique du FLUIDE et le volume IMMERGÉ qui interviennent, jamais ceux du corps.

Condition de flottaison : un corps lâché dans un fluide flotte en équilibre lorsque la poussée d'Archimède compense exactement son poids, soit

\rho_{fluide}\, V_{imm}\, g = m\,g

. La fraction immergée vaut alors

\dfrac{V_{imm}}{V_{corps}} = \dfrac{\rho_{corps}}{\rho_{fluide}}

: un corps moins dense que le fluide flotte (une partie émerge), un corps plus dense coule. Un glaçon (

\rho \approx 0{,}92~\rho_{eau}

) flotte ainsi avec environ 92 % de son volume sous l'eau.

Bilan des forces sur un corps immergé : le poids

\overrightarrow{P}

(vers le bas, appliqué au centre de gravité) et la poussée

\overrightarrow{F_A}

(vers le haut, appliquée au centre de poussée = centre de gravité du fluide déplacé). On y ajoute, le cas échéant, la tension d'un fil ou la réaction d'un support. La deuxième loi de Newton appliquée à ce bilan donne le mouvement (montée, descente) ou l'équilibre.

L'expression vaut pour tout fluide, gaz compris : un ballon d'hélium s'élève parce que la poussée de l'air dépasse son poids. Expérimentalement, on mesure

F_A

par une pesée hydrostatique : on pèse un solide dans l'air (poids

P

) puis immergé (poids apparent

P' = P - F_A

) ; la différence donne directement la poussée, ce qui permet de tester l'expression

F_A = \rho_{fluide} V_{imm} g

\overrightarrow{F_A} = -\,\rho_{fluide}\, V_{imm}\, \overrightarrow{g}

Expression vectorielle de la poussée d'Archimède

$\overrightarrow{F_A}$ est verticale, dirigée vers le haut (opposée à $\overrightarrow{g}$ ). $\rho_{fluide}$ masse volumique du fluide (kg·m⁻³), $V_{imm}$ volume immergé du corps (m³).

F_A = \rho_{fluide}\, V_{imm}\, g

Intensité de la poussée d'Archimède

Intensité (norme) de la poussée, égale au poids du fluide déplacé. $F_A$ en newtons.

\dfrac{V_{imm}}{V_{corps}} = \dfrac{\rho_{corps}}{\rho_{fluide}}

Fraction immergée à la flottaison

Valable à l'équilibre de flottaison ( $F_A = P$ ). Un corps flotte si $\rho_{corps} < \rho_{fluide}$ .

Origine de la poussée : forces pressantes sur les faces

Fig. 4La pression augmente avec la profondeur : les forces pressantes sur la face inférieure (fortes) l'emportent sur celles de la face supérieure (faibles). Leur résultante

\overrightarrow{F_A}

est dirigée vers le haut.

Exemple corrigé

Tension du fil retenant une sphère d'aluminium immergée

Une sphère d'aluminium de rayon $r = 3{,}0~\mathrm{cm}$ ( $\rho_{Al} = 2{,}7\times 10^3~\mathrm{kg\cdot m^{-3}}$ ) est entièrement immergée dans l'eau ( $\rho_{eau} = 1{,}0\times 10^3~\mathrm{kg\cdot m^{-3}}$ ) et maintenue par un fil. On prend $g = 9{,}81~\mathrm{N\cdot kg^{-1}}$ . Faire le bilan des forces, puis calculer la poussée d'Archimède et la tension du fil.

Calculer le volume de la sphère
Le volume immergé est ici le volume total : $V = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi (0{,}030)^3 \approx 1{,}13\times 10^{-4}~\mathrm{m^3}$ .
$V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$
Bilan des forces
La sphère subit le poids $\overrightarrow{P}$ (vers le bas), la poussée $\overrightarrow{F_A}$ (vers le haut) et la tension $\overrightarrow{T}$ (vers le haut). À l'équilibre, leur somme est nulle.
Calculer le poids
$P = \rho_{Al}\, V\, g \approx 2700 \times 1{,}13\times 10^{-4} \times 9{,}81 \approx 3{,}0~\mathrm{N}$ .
Calculer la poussée d'Archimède
$F_A = \rho_{eau}\, V\, g \approx 1000 \times 1{,}13\times 10^{-4} \times 9{,}81 \approx 1{,}1~\mathrm{N}$ .
$F_A = \rho_{eau}\, V\, g$
En déduire la tension
Projection sur la verticale ascendante : $T + F_A - P = 0$ , donc $T = P - F_A$ .

Résultat : $F_A \approx 1{,}1~\mathrm{N}$ et $T \approx 1{,}9~\mathrm{N}$ : la sphère, plus dense que l'eau, est retenue par le fil.

Erreurs fréquentes

Utiliser la masse volumique du corps au lieu de celle du fluide, ou son volume total au lieu du volume immergé : $F_A = \rho_{fluide}\, V_{imm}\, g$ , jamais $\rho_{corps}\, V_{corps}\, g$ .
Oublier le sens vers le haut (signe « − » devant $\overrightarrow{g}$ ) ou ajouter la poussée au poids au lieu de la retrancher dans le bilan d'un objet qui coule.

Révision active

Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Sources : Programme de spécialité physique-chimie — classe terminale (BO spécial n° 8 du 25 juillet 2019) (Ministère de l’Éducation nationale — Éduscol)

Débit volumique et conservation du débit#

Standardeduscol-programme-physique-chimie-terminale

Conservation du débit dans une conduite à section variable

Fig. 5Dans le rétrécissement, la section passe de

S_1

S_2 < S_1

; le débit étant conservé (

S_1 v_1 = S_2 v_2

), la vitesse augmente — le vecteur vitesse

\overrightarrow{v_2}

est plus long que

\overrightarrow{v_1}

Avec les écoulements, on passe d'un fluide au repos à un fluide en mouvement. La première loi à maîtriser est la conservation du débit, qui exprime simplement que la matière ne s'accumule pas dans une conduite : ce qui entre par une section doit ressortir par une autre. C'est une loi de conservation de la matière, indépendante des forces.

Le débit volumique

D_v

d'un fluide à travers une section est le volume de fluide qui la traverse par unité de temps :

D_v = \dfrac{V}{\Delta t}

. Son unité SI est le mètre cube par seconde (

\mathrm{m^3\cdot s^{-1}}

) ; on utilise souvent le litre par seconde (

\mathrm{L\cdot s^{-1}}

), avec

1~\mathrm{m^3} = 10^3~\mathrm{L}

Pour un écoulement traversant une section d'aire

S

à la vitesse

v

(supposée uniforme et normale à la section), le débit volumique s'écrit

D_v = S\,v

. En effet, pendant

\Delta t

, le fluide parcourt une longueur

v\,\Delta t

, soit un volume

S\,v\,\Delta t

; en divisant par

\Delta t

on retrouve

D_v = S v

Deux hypothèses encadrent l'étude. Un écoulement est en régime permanent (stationnaire) quand les grandeurs (vitesse, pression) ne dépendent pas du temps en chaque point. Un fluide est incompressible quand sa masse volumique

\rho

reste constante : un liquide l'est en bonne approximation ; un gaz l'est pour de faibles variations de pression et de vitesse (loin du régime sonore).

Conservation du débit volumique : pour un fluide incompressible en régime permanent, le débit volumique est le même à travers toute section d'un tube de courant :

S_1 v_1 = S_2 v_2 = \text{constante}

. Conséquence essentielle : là où la section diminue, la vitesse augmente (et inversement). C'est exactement ce qui se produit quand on pince l'extrémité d'un tuyau d'arrosage pour faire jaillir un jet rapide.

En pratique les conduites sont circulaires, de section

S = \dfrac{\pi d^2}{4} = \pi r^2

: la section varie comme le CARRÉ du diamètre. Diviser le diamètre par 2 divise donc la section par 4 et, à débit constant, multiplie la vitesse par 4. Il faut donc toujours élever le diamètre au carré avant de comparer deux vitesses.

La conservation du débit est aussi la seconde équation indispensable pour exploiter la relation de Bernoulli : à elle seule, Bernoulli relie deux vitesses et deux pressions inconnues ; couplée à

S_1 v_1 = S_2 v_2

, elle permet de tout déterminer. C'est ce couplage qui fait fonctionner le tube de Venturi comme débitmètre (partie suivante).

D_v = \dfrac{V}{\Delta t} = S\, v

Débit volumique

$D_v$ en m³·s⁻¹, $V$ volume en m³, $\Delta t$ durée en s ; $S$ aire de la section en m², $v$ vitesse du fluide en m·s⁻¹.

S_1\, v_1 = S_2\, v_2 = \text{constante}

Conservation du débit (fluide incompressible, régime permanent)

Le débit volumique est identique à travers toute section du tube de courant ; la vitesse augmente quand la section diminue.

S = \dfrac{\pi d^{2}}{4}

Aire d'une section circulaire

$d$ diamètre intérieur de la conduite. Diviser le diamètre par 2 divise la section par 4.

Exemple corrigé

Vitesse du jet à la sortie d'un embout d'arrosage

Un tuyau d'arrosage de diamètre intérieur $d_1 = 2{,}0~\mathrm{cm}$ transporte de l'eau à $v_1 = 1{,}5~\mathrm{m\cdot s^{-1}}$ . On fixe à son extrémité un embout d'orifice $d_2 = 1{,}0~\mathrm{cm}$ . Eau incompressible, écoulement permanent : calculer le débit volumique (en $\mathrm{L\cdot s^{-1}}$ ) et la vitesse $v_2$ du jet.

Calculer les sections
On convertit les diamètres en mètres puis on applique $S = \frac{\pi d^2}{4}$ : $S_1 = \frac{\pi (0{,}020)^2}{4} \approx 3{,}14\times 10^{-4}~\mathrm{m^2}$ .
Calculer le débit volumique
Le débit se conserve ; on le calcule dans la section connue : $D_v = S_1 v_1 \approx 3{,}14\times 10^{-4}\times 1{,}5 \approx 4{,}7\times 10^{-4}~\mathrm{m^3\cdot s^{-1}}$ .
$D_v = S_1 v_1$
Relier les vitesses par les sections
La conservation du débit donne $S_1 v_1 = S_2 v_2$ . Le diamètre étant divisé par 2, la section est divisée par 4.
Calculer v₂
$v_2 = v_1\,\dfrac{S_1}{S_2} = v_1\left(\dfrac{d_1}{d_2}\right)^2 = 1{,}5\times 4 = 6{,}0~\mathrm{m\cdot s^{-1}}$ .

Résultat : $D_v \approx 0{,}47~\mathrm{L\cdot s^{-1}}$ et $v_2 = 6{,}0~\mathrm{m\cdot s^{-1}}$ : le diamètre divisé par 2 multiplie la vitesse par 4.

Erreurs fréquentes

Confondre rayon et diamètre dans $S = \pi d^2/4 = \pi r^2$ , ou oublier d'élever le diamètre au carré : si le diamètre est divisé par 2, la section est divisée par 4 et la vitesse multipliée par 4.
Mélanger les unités (mélanger cm et m, ou oublier le facteur $10^3$ entre m³ et L) ; croire que la vitesse diminue dans un rétrécissement alors qu'elle augmente.

Révision active

Un tuyau d'arrosage de diamètre intérieur $d_1 = 2{,}0~\mathrm{cm}$ transporte de l'eau à la vitesse $v_1 = 1{,}5~\mathrm{m\cdot s^{-1}}$ . On fixe à son extrémité un embout dont l'orifice a un diamètre $d_2 = 1{,}0~\mathrm{cm}$ . En supposant l'eau incompressible et l'écoulement permanent, calculer le débit volumique (en $\mathrm{L\cdot s^{-1}}$ ) et la vitesse $v_2$ du jet à la sortie.

Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Sources : Programme de spécialité physique-chimie — classe terminale (BO spécial n° 8 du 25 juillet 2019) (Ministère de l’Éducation nationale — Éduscol)

Relation de Bernoulli et bilan le long d'une ligne de courant#

Approfondissementeduscol-programme-physique-chimie-terminale

Vidange d'un réservoir : application de Bernoulli (Torricelli)

Fig. 6On applique Bernoulli le long de la ligne de courant reliant la surface (1 :

p_{atm}

v_1 \approx 0

) à l'orifice (2 :

p_{atm}

) situé à la profondeur

h

. Les pressions s'éliminent :

v_2 = \sqrt{2gh}

La relation de Bernoulli est le bilan d'énergie d'un fluide parfait en mouvement : elle exprime la conservation de l'énergie mécanique par unité de volume le long d'une ligne de courant. C'est l'outil quantitatif central des écoulements ; au Bac elle est toujours FOURNIE, mais il faut savoir l'appliquer, l'interpréter et repérer ses simplifications.

Hypothèses (fournies, à vérifier) : la relation s'applique à un fluide parfait (sans viscosité), incompressible, en écoulement permanent, et le long d'une seule ligne de courant. Dès que ces conditions tombent (fluide visqueux, turbulence, régime variable), des pertes de charge apparaissent et la relation cesse d'être exacte.

Relation de Bernoulli :

\tfrac{1}{2}\rho v^{2} + \rho g z + p = \text{constante}

le long d'une ligne de courant. Chaque terme est homogène à une pression (

\mathrm{Pa}

) :

\tfrac{1}{2}\rho v^2

est la pression dynamique (liée à la vitesse),

\rho g z

la pression de pesanteur (liée à l'altitude

z

), et

p

la pression statique. Leur somme, la « pression totale », se conserve.

Lecture qualitative (essentielle) : entre deux points d'une même ligne de courant, si la vitesse augmente, la somme « pression de pesanteur + pression statique » diminue. À altitude constante (

z_1 = z_2

), une vitesse plus grande s'accompagne donc d'une pression statique PLUS FAIBLE — résultat contre-intuitif au cœur de l'effet Venturi et de la portance d'une aile.

Cas particulier — vidange d'un réservoir (théorème de Torricelli) : pour un grand réservoir ouvert percé d'un petit orifice à une profondeur

h

sous la surface libre, on applique Bernoulli entre la surface (point 1 :

p = p_{atm}

v_1 \approx 0

car la section est grande) et l'orifice (point 2 :

p = p_{atm}

). Les pressions s'éliminent et il reste

v = \sqrt{2gh}

, vitesse d'éjection identique à celle d'une chute libre depuis

h

, indépendante de la masse volumique.

Méthode de résolution : (1) choisir une ligne de courant et deux points pertinents ; (2) écrire Bernoulli entre ces deux points ; (3) utiliser la conservation du débit

S_1 v_1 = S_2 v_2

comme seconde équation ; (4) repérer les simplifications (

z

constant, surface libre à

p_{atm}

, grande section où

v \approx 0

). C'est ce repérage qui transforme une équation lourde en un calcul court.

Interprétation énergétique : chaque terme est en réalité une énergie par unité de volume (

\mathrm{J\cdot m^{-3}} = \mathrm{Pa}

), si bien que Bernoulli n'est rien d'autre que la conservation de l'énergie mécanique appliquée au fluide. Un gain d'énergie cinétique (vitesse) se paie par une perte d'énergie de pression ou d'altitude. Hors du fluide parfait, les pertes de charge font décroître la pression totale dans le sens de l'écoulement, ce qui explique qu'une pompe soit nécessaire dans une conduite réelle.

\tfrac{1}{2}\rho v^{2} + \rho g z + p = \text{constante}

Relation de Bernoulli (fournie)

Le long d'une ligne de courant, pour un fluide parfait incompressible en régime permanent. $\tfrac{1}{2}\rho v^{2}$ pression dynamique, $\rho g z$ pression de pesanteur, $p$ pression statique (toutes en Pa).

\tfrac{1}{2}\rho v_1^{2} + \rho g z_1 + p_1 = \tfrac{1}{2}\rho v_2^{2} + \rho g z_2 + p_2

Bernoulli entre deux points d'une ligne de courant

Forme appliquée entre un point 1 et un point 2 ; on l'associe à $S_1 v_1 = S_2 v_2$ .

v = \sqrt{2\,g\,h}

Théorème de Torricelli (vidange)

Vitesse d'éjection par un petit orifice situé à la profondeur $h$ sous la surface libre d'un grand réservoir ouvert ; indépendante de $\rho$ .

Vitesse d'éjection de Torricelli v = √(2gh)

Fig. 7La vitesse d'éjection croît comme la racine de la profondeur : doubler

h

ne multiplie

v

que par

\sqrt{2} \approx 1{,}41

. À

h = 1{,}8~\mathrm{m}

v \approx 5{,}9~\mathrm{m\cdot s^{-1}}

Exemple corrigé

Vitesse de vidange par un orifice (théorème de Torricelli)

Un grand réservoir ouvert à l'air libre est percé d'un petit orifice à une profondeur $h = 1{,}80~\mathrm{m}$ sous la surface libre. Liquide parfait (eau), écoulement permanent ; $g = 9{,}81~\mathrm{N\cdot kg^{-1}}$ . Établir l'expression de la vitesse d'éjection, puis la calculer.

Choisir les deux points
Point 1 : surface libre (grande section, donc $v_1 \approx 0$ ). Point 2 : orifice. Les deux sont à l'air libre, donc $p_1 = p_2 = p_{atm}$ .
Écrire Bernoulli entre 1 et 2
$\tfrac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho g z_1 + p_1 = \tfrac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho g z_2 + p_2$ le long de la ligne de courant.
Simplifier
Les pressions $p_1$ et $p_2$ s'éliminent (égales à $p_{atm}$ ) et $v_1 \approx 0$ . Avec $z_1 - z_2 = h$ , il reste $\rho g h = \tfrac{1}{2}\rho v_2^2$ .
Isoler la vitesse
On simplifie par $\rho$ (le résultat ne dépend pas du liquide) : $v_2 = \sqrt{2gh}$ .
$v_2 = \sqrt{2\,g\,h}$
Application numérique
$v_2 = \sqrt{2\times 9{,}81\times 1{,}80} \approx 5{,}9~\mathrm{m\cdot s^{-1}}$ .

Résultat : $v_2 = \sqrt{2gh} \approx 5{,}9~\mathrm{m\cdot s^{-1}}$ : la vitesse d'éjection est celle d'une chute libre depuis $h$ , indépendante de la nature du liquide.

Erreurs fréquentes

Appliquer Bernoulli à un fluide visqueux ou à un écoulement turbulent / non permanent : les hypothèses (fluide parfait incompressible, régime permanent) doivent être vérifiées, sinon il y a des pertes de charge.
Confondre pression statique $p$ et pression dynamique $\tfrac{1}{2}\rho v^2$ , ou oublier le terme de pesanteur $\rho g z$ quand les deux points sont à des altitudes différentes.

Révision active

Un grand réservoir ouvert à l'air libre est percé d'un petit orifice situé à une profondeur $h = 1{,}80~\mathrm{m}$ sous la surface libre. Le liquide (eau, $\rho = 1{,}0\times 10^3~\mathrm{kg\cdot m^{-3}}$ ) est supposé parfait, l'écoulement permanent ; $g = 9{,}81~\mathrm{N\cdot kg^{-1}}$ . En appliquant Bernoulli entre la surface libre et l'orifice, établir l'expression de la vitesse d'éjection, puis la calculer.

Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Sources : Programme de spécialité physique-chimie — classe terminale (BO spécial n° 8 du 25 juillet 2019) (Ministère de l’Éducation nationale — Éduscol)

Effet Venturi, applications et mesure d'une pression et d'une vitesse#

Approfondissementeduscol-programme-physique-chimie-terminale

Tube de Venturi : vitesse et pression statique

Fig. 8Au col, la section diminue donc

v

augmente ; à

z

constant, la pression statique chute. La dénivellation

\Delta h

entre les deux tubes verticaux mesure

p_1 - p_2 = \rho g \Delta h

L'effet Venturi et les instruments de mesure (tube de Venturi, tube de Pitot) sont les applications phares de la relation de Bernoulli. Ils permettent, en mesurant des pressions, de remonter à une vitesse ou à un débit — dans un gaz comme dans un liquide.

Effet Venturi : dans une conduite horizontale présentant un rétrécissement, la conservation du débit impose une vitesse plus grande au col (

S

petite

\Rightarrow v

grande). Comme l'altitude est constante (

z_1 = z_2

), Bernoulli impose alors une pression statique PLUS FAIBLE là où la vitesse est la plus grande : un étranglement de section abaisse la pression. C'est l'inverse de l'intuition courante.

Tube de Venturi (débitmètre) : en mesurant l'écart de pression statique

p_1 - p_2

entre la section large et le col — par exemple par la dénivellation

\Delta h

dans deux tubes verticaux, avec

p_1 - p_2 = \rho g \Delta h

— on remonte au débit. Bernoulli à

z

constant donne

p_1 - p_2 = \tfrac{1}{2}\rho(v_2^2 - v_1^2)

, que l'on couple à

S_1 v_1 = S_2 v_2

pour isoler les vitesses, donc le débit.

Applications de l'effet Venturi et de Bernoulli : trompe à eau, pulvérisateur et carburateur (dépression au col qui aspire un fluide), portance d'une aile, effet de sol, balle qui « brosse ». L'abaissement de pression dans une zone rapide explique aussi pourquoi deux objets proches dans un courant rapide sont attirés l'un vers l'autre.

Mesure de la pression statique : on utilise un manomètre relié à une prise de pression dont l'orifice est tangent (parallèle) aux lignes de courant — la prise ne « voit » que la pression statique, sans freiner le fluide. Ce principe vaut dans un gaz comme dans un liquide.

Mesure de la vitesse — le tube de Pitot : il compare la pression statique

p

(prise latérale) à la pression totale

p + \tfrac{1}{2}\rho v^2

mesurée au point d'arrêt (orifice frontal où le fluide est arrêté,

v = 0

). La différence est la pression dynamique, d'où

v = \sqrt{\dfrac{2(p_{tot} - p)}{\rho}}

. C'est le principe de l'anémomètre des avions ; on l'emploie aussi dans un liquide.

En synthèse, mesurer une pression statique demande une prise tangente aux lignes de courant (le fluide n'est pas freiné) ; mesurer une vitesse demande de comparer cette pression statique à la pression totale au point d'arrêt (Pitot). Ces principes valent dans un gaz (anémométrie) comme dans un liquide. Le réflexe d'examen reste le même : coupler Bernoulli à la conservation du débit et vérifier les hypothèses (fluide parfait, régime permanent, même ligne de courant) avant tout calcul.

p_1 - p_2 = \tfrac{1}{2}\rho\left(v_2^{2} - v_1^{2}\right)

Effet Venturi (conduite horizontale, z constant)

Bernoulli avec $z_1 = z_2$ ; la pression statique chute au col où la vitesse est maximale.

p_1 - p_2 = \rho\, g\, \Delta h

Lecture manométrique de l'écart de pression

Dénivellation $\Delta h$ du liquide dans deux tubes verticaux branchés sur les sections 1 et 2.

v = \sqrt{\dfrac{2\,(p_{tot}-p)}{\rho}}

Tube de Pitot : vitesse d'écoulement

$p_{tot}$ pression totale au point d'arrêt, $p$ pression statique ; la différence est la pression dynamique $\tfrac{1}{2}\rho v^{2}$ .

Tube de Pitot : mesure d'une vitesse d'écoulement

Fig. 9L'orifice frontal arrête le fluide (point d'arrêt,

v=0

) et mesure la pression totale

p_{tot}

; la prise latérale mesure la pression statique

p

. La dénivellation

\Delta h

donne

\tfrac{1}{2}\rho v^2

, donc

v

Exemple corrigé

Tube de Venturi : vitesse au col et écart de pression

Un tube de Venturi horizontal transporte de l'eau ( $\rho = 1{,}0\times 10^3~\mathrm{kg\cdot m^{-3}}$ ). Section large $S_1 = 20~\mathrm{cm^2}$ à $v_1 = 1{,}0~\mathrm{m\cdot s^{-1}}$ , col $S_2 = 5{,}0~\mathrm{cm^2}$ . $g = 9{,}81~\mathrm{N\cdot kg^{-1}}$ . Calculer $v_2$ , $p_1 - p_2$ , puis $\Delta h$ .

Vitesse au col par conservation du débit
$S_1 v_1 = S_2 v_2$ avec $S_1/S_2 = 4$ , donc $v_2 = 4 v_1 = 4{,}0~\mathrm{m\cdot s^{-1}}$ .
$v_2 = v_1\,\dfrac{S_1}{S_2}$
Écart de pression par Bernoulli (z constant)
La conduite est horizontale ( $z_1 = z_2$ ), donc le terme de pesanteur disparaît : $p_1 - p_2 = \tfrac{1}{2}\rho(v_2^2 - v_1^2)$ .
Application numérique
$p_1 - p_2 = \tfrac{1}{2}\times 1000 \times (4{,}0^2 - 1{,}0^2) = 500\times 15 = 7{,}5\times 10^3~\mathrm{Pa}$ .
Dénivellation manométrique
$p_1 - p_2 = \rho g \Delta h$ , donc $\Delta h = \dfrac{p_1 - p_2}{\rho g} = \dfrac{7{,}5\times 10^3}{1000\times 9{,}81} \approx 0{,}76~\mathrm{m}$ .

Résultat : $v_2 = 4{,}0~\mathrm{m\cdot s^{-1}}$ , $p_1 - p_2 = 7{,}5\times 10^3~\mathrm{Pa}$ , soit $\Delta h \approx 0{,}76~\mathrm{m}$ : le col, plus rapide, est en dépression — le tube de Venturi fonctionne en débitmètre.

Schritt-für-Schritt Erklärung4 Schritte

1
Partons d'une conduite horizontale qui se rétrécit. L'eau étant incompressible et l'écoulement permanent, le débit volumique se conserve : S fois v reste constant le long de la conduite.
2
Au col, la section est plus petite ; pour garder le même débit, le fluide doit donc accélérer. Une section divisée par quatre quadruple la vitesse.
3
Comme la conduite est horizontale, le terme de pesanteur disparaît dans la relation de Bernoulli. Il ne reste qu'un échange entre pression dynamique et pression statique.
4
Conclusion : là où le fluide va plus vite, sa pression statique est plus faible. Le col du Venturi est donc en dépression — c'est exactement ce que mesure la dénivellation entre les deux tubes verticaux.

Erreurs fréquentes

Croire que la pression augmente là où la vitesse augmente : c'est l'inverse à altitude constante (effet Venturi : $v$ grande $\Rightarrow p$ statique faible).
Dans un tube de Venturi, oublier de coupler Bernoulli à la conservation du débit : une seule équation à deux inconnues ( $v_1$ , $v_2$ ) ne suffit pas.

Révision active

Un tube de Venturi horizontal transporte de l'eau ( $\rho = 1{,}0\times 10^3~\mathrm{kg\cdot m^{-3}}$ ). La section large vaut $S_1 = 20~\mathrm{cm^2}$ où l'eau circule à $v_1 = 1{,}0~\mathrm{m\cdot s^{-1}}$ , le col a une section $S_2 = 5{,}0~\mathrm{cm^2}$ . On prend $g = 9{,}81~\mathrm{N\cdot kg^{-1}}$ . Calculer la vitesse $v_2$ au col, la différence de pression statique $p_1 - p_2$ , et en déduire la dénivellation $\Delta h$ attendue entre deux tubes verticaux.

Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Sources : Programme de spécialité physique-chimie — classe terminale (BO spécial n° 8 du 25 juillet 2019) (Ministère de l’Éducation nationale — Éduscol)

Références et sources

Sources

Ministère de l’Éducation nationale — Éduscol

Programme de spécialité physique-chimie — classe terminale (BO spécial n° 8 du 25 juillet 2019)

Mécanique des fluides

Points clés

Pression sur un plongeur à 10 m de profondeur

Points clés

Tension du fil retenant une sphère d'aluminium immergée

Points clés

Vitesse du jet à la sortie d'un embout d'arrosage

Points clés

Vitesse de vidange par un orifice (théorème de Torricelli)

Points clés

Tube de Venturi : vitesse au col et écart de pression

Sources