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Lois de Newton et mouvement dans un champ

On décrit d'abord un mouvement par les vecteurs position, vitesse et accélération, dans un repère cartésien comme dans le repère de Frenet. La deuxième loi de Newton relie ensuite la somme des forces à l'accélération du centre de masse, ce qui permet d'étudier les mouvements dans un champ uniforme (pesanteur, condensateur plan) puis dans le champ de gravitation, jusqu'aux trois lois de Kepler.

5 sections~31 min de lecture4 compétencesNiveau Base 1 · Standard 3 · Approfondissement 1Vérifié · 06/2026

T·0555 / 11

Profil d’examen

Définir et établir les vecteurs vitesse et accélération (dérivation, coordonnées cartésiennes, repère de Frenet)Appliquer la deuxième loi de Newton dans un référentiel galiléen pour relier forces et accélérationÉtudier un mouvement dans un champ uniforme (pesanteur, champ électrique d'un condensateur plan) : équations horaires, trajectoire, aspects énergétiquesÉtudier un mouvement dans un champ de gravitation et exploiter les lois de Kepler (mouvement circulaire, satellite géostationnaire)

Opérateurs :définirétablirexploitercaractériserdémontrercalculerinterpréterjustifier

niveau de base

Maîtrise d'abord les automatismes : projeter la deuxième loi de Newton sur deux axes, écrire les équations horaires d'un mouvement dans un champ uniforme et appliquer la troisième loi de Kepler à une orbite circulaire.

niveau approfondi

Approfondis les démonstrations complètes (établir l'équation de la trajectoire à partir des équations horaires, retrouver T²/a³ = 4π²/(GM) à partir de la deuxième loi de Newton) et exploite finement le repère de Frenet et les bilans énergétiques.

Profondeur

Texte

Sommaire · 5 sections

Lois de Newton et mouvement dans un champ

Description vectorielle d'un mouvement : position, vitesse, accélération et repère de Frenet#

Baseeduscol-programme-physique-chimie-terminale

Repère de Frenet sur une trajectoire circulaire

Fig. 1Le vecteur vitesse est porté par

\overrightarrow{u_T}

(tangent) ; pour un mouvement circulaire uniforme, l'accélération est portée par

\overrightarrow{u_N}

, dirigée vers le centre O.

La cinématique du point matériel décrit le mouvement sans en chercher les causes : on suit un point M — le plus souvent le centre de masse du système — à l'aide de trois vecteurs emboîtés. Le vecteur position

\overrightarrow{OM}

repère M par rapport à une origine O fixe d'un référentiel ; sa dérivée temporelle donne la vitesse, et la dérivée de la vitesse donne l'accélération. Toute l'étude dynamique de terminale repose sur cette chaîne position → vitesse → accélération, qu'il faut savoir conduire par le calcul (dérivation d'expressions horaires) comme graphiquement (sur une chronophotographie ou une vidéo pointée).

Le vecteur vitesse d'un point M est la dérivée temporelle de son vecteur position :

\overrightarrow{v} = \dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{OM}}{\mathrm{d}t}

. En coordonnées cartésiennes, on dérive composante par composante :

v_x = \dot{x}

v_y = \dot{y}

v_z = \dot{z}

. Le vecteur vitesse est toujours tangent à la trajectoire et orienté dans le sens du mouvement ; sa norme

v = \lVert\overrightarrow{v}\rVert

(en

\mathrm{m\cdot s^{-1}}

) est la « vitesse » au sens courant. Cette tangence reste vraie même lorsque la trajectoire est courbe.

Le vecteur accélération est la dérivée temporelle du vecteur vitesse, donc la dérivée seconde de la position :

\overrightarrow{a} = \dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{v}}{\mathrm{d}t} = \dfrac{\mathrm{d}^2\overrightarrow{OM}}{\mathrm{d}t^2}

, soit

a_x = \ddot{x}

a_y = \ddot{y}

. Contrairement à la vitesse, l'accélération n'est en général PAS tangente à la trajectoire : elle est tournée vers l'intérieur de la concavité du mouvement. Une accélération traduit toute variation du vecteur vitesse — changement de sa valeur, de sa direction, ou des deux.

Pour un mouvement plan, il est souvent commode d'abandonner les axes fixes

(x, y)

au profit d'un repère local lié au mobile : le repère de Frenet

(\overrightarrow{u_T}, \overrightarrow{u_N})

. Le vecteur unitaire

\overrightarrow{u_T}

est tangent à la trajectoire, dans le sens du mouvement ; le vecteur unitaire

\overrightarrow{u_N}

lui est perpendiculaire et pointe vers le centre de courbure (l'intérieur du virage). Ce repère « accompagne » le point et tourne avec lui le long de la trajectoire.

Dans le repère de Frenet, l'accélération se décompose en deux contributions de sens physique limpide :

\overrightarrow{a} = \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\,\overrightarrow{u_T} + \dfrac{v^2}{R}\,\overrightarrow{u_N}

, où

R

est le rayon de courbure. La composante tangentielle

\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}

traduit la variation de la VALEUR de la vitesse (le mobile accélère ou freine) ; la composante normale

\frac{v^2}{R}

, toujours positive et dirigée vers le centre, traduit le changement de DIRECTION de la vitesse. Elle est d'autant plus grande que le mobile est rapide et que le virage est serré (

R

petit).

Pour un mouvement circulaire UNIFORME, la valeur

v

est constante donc

\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = 0

: l'accélération est purement centripète,

\overrightarrow{a} = \dfrac{v^2}{R}\,\overrightarrow{u_N}

, de norme constante et dirigée à chaque instant vers le centre. C'est le résultat le plus contre-intuitif de la cinématique : un mobile peut avoir une accélération non nulle alors même que sa vitesse ne change pas en valeur — parce que sa direction, elle, change sans cesse.

On classe alors les mouvements selon la direction relative de

\overrightarrow{a}

\overrightarrow{v}

: rectiligne

\Rightarrow \overrightarrow{a}

colinéaire à

\overrightarrow{v}

; rectiligne uniforme

\Rightarrow \overrightarrow{a} = \overrightarrow{0}

; rectiligne uniformément varié

\Rightarrow \overrightarrow{a}

constant et colinéaire à

\overrightarrow{v}

; circulaire

\Rightarrow \overrightarrow{a}

a ses deux composantes de Frenet ; circulaire uniforme

\Rightarrow \overrightarrow{a}

centripète de norme constante. Le signe du produit scalaire

\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{v}

renseigne sur l'évolution de la vitesse : positif

\Rightarrow

le mobile accélère, négatif

\Rightarrow

il ralentit, nul

\Rightarrow

la valeur de

v

est stationnaire (cas du circulaire uniforme à tout instant).

Sur une chronophotographie ou une vidéo pointée (positions

M_i

aux dates régulières

t_i

séparées de

\Delta t

), on estime ces vecteurs par des dérivées numériques centrées :

\overrightarrow{v_i} \approx \dfrac{\overrightarrow{M_{i-1}M_{i+1}}}{2\,\Delta t}

\overrightarrow{a_i} \approx \dfrac{\overrightarrow{v_{i+1}} - \overrightarrow{v_{i-1}}}{2\,\Delta t}

. La construction graphique de

\overrightarrow{a_i}

(capacité numérique exigible) consiste à reporter

\overrightarrow{v_{i+1}}

-\overrightarrow{v_{i-1}}

bout à bout : le vecteur somme, divisé par

2\Delta t

, donne la direction et le sens de l'accélération, et permet de reconnaître la nature du mouvement.

\overrightarrow{v} = \dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{OM}}{\mathrm{d}t}\qquad \overrightarrow{a} = \dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{v}}{\mathrm{d}t} = \dfrac{\mathrm{d}^2\overrightarrow{OM}}{\mathrm{d}t^2}

Vitesse et accélération par dérivation

La vitesse est la dérivée première du vecteur position ; l'accélération est la dérivée première de la vitesse, donc la dérivée seconde de la position.

\overrightarrow{a} = \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\,\overrightarrow{u_T} + \dfrac{v^2}{R}\,\overrightarrow{u_N}

Accélération dans le repère de Frenet

La composante tangentielle traduit la variation de la valeur de la vitesse ; la composante normale, toujours positive et dirigée vers le centre, traduit le changement de direction. Pour un mouvement circulaire uniforme, le premier terme s'annule.

Exemple corrigé

Mouvement circulaire uniforme : accélération centripète et période

Un point M décrit un cercle de rayon $R = 80~\mathrm{m}$ à la vitesse constante $v = 25~\mathrm{m\cdot s^{-1}}$ . Déterminer les caractéristiques (direction, sens, valeur) de son vecteur accélération dans le repère de Frenet, puis calculer la période $T$ du mouvement.

Nature du mouvement
Le mouvement est circulaire et uniforme (la valeur de la vitesse est constante). Dans le repère de Frenet, la composante tangentielle est nulle car $\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = 0$ .
Vecteur accélération
Il ne reste que la composante normale : l'accélération est centripète, dirigée de M vers le centre O selon $\overrightarrow{u_N}$ .
Valeur de l'accélération
On applique $a = \frac{v^2}{R} = \frac{25^2}{80}$ .
$a = \dfrac{v^2}{R}$
Période du mouvement
La période est la durée pour parcourir le périmètre $2\pi R$ à la vitesse $v$ : $T = \frac{2\pi R}{v} = \frac{2\pi \times 80}{25}$ .
$T = \dfrac{2\pi R}{v}$

Résultat : L'accélération est centripète (dirigée vers le centre O), de valeur $a \approx 7{,}81~\mathrm{m\cdot s^{-2}}$ ; la période vaut $T \approx 20{,}1~\mathrm{s}$ .

Erreurs fréquentes

Croire qu'un mouvement circulaire uniforme a une accélération nulle « parce que la vitesse est constante » : c'est la VALEUR de la vitesse qui est constante, sa DIRECTION change, donc $\overrightarrow{a} \neq \overrightarrow{0}$ (elle est centripète).
Orienter $\overrightarrow{u_N}$ vers l'extérieur de la courbe : par convention $\overrightarrow{u_N}$ pointe vers le centre de courbure, donc l'accélération normale est toujours dirigée vers l'intérieur.
Confondre la composante tangentielle (changement de la valeur de $v$ ) et la composante normale (changement de direction) de l'accélération, ou croire l'accélération tangente à la trajectoire (elle ne l'est que pour un mouvement rectiligne).

Révision active

Un point M décrit un cercle de rayon $R = 80~\mathrm{m}$ à la vitesse constante $v = 25~\mathrm{m\cdot s^{-1}}$ . Déterminer la direction et la valeur de son vecteur accélération, puis la période du mouvement.

Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Sources : Programme de physique-chimie de terminale générale (spécialité) (Éduscol — Ministère de l'Éducation nationale)

Deuxième loi de Newton, centre de masse et référentiel galiléen#

Standardeduscol-programme-physique-chimie-terminale

Bilan des forces sur un palet sur plan incliné

Fig. 2Plan montant vers la droite (

\alpha = 20^\circ

). La réaction normale

\overrightarrow{N}

compense la composante du poids perpendiculaire à la pente ; la résultante

\overrightarrow{R} = \overrightarrow{P} + \overrightarrow{N}

est dirigée le long de la pente et vaut

mg\sin\alpha = m\,a_G

La deuxième loi de Newton est le pivot de toute la mécanique du programme : elle fait le pont entre la cinématique (qui décrit le mouvement) et la dynamique (qui en cherche les causes, les forces). Énoncée pour un système modélisé par son centre de masse, elle se résume à « somme des forces = masse × accélération », mais chacun de ses trois mots — forces extérieures, masse, accélération du centre de masse — doit être manié avec rigueur, dans un référentiel galiléen.

Le centre de masse G d'un système est le point qui résume le mouvement d'ensemble : c'est le barycentre des masses du système. Pour un objet homogène à symétrie simple, G coïncide avec le centre géométrique. Tout se passe, pour la translation, comme si toute la masse était concentrée en G et toutes les forces extérieures y étaient appliquées : c'est ce qui autorise à traiter un solide comme un point matériel.

Un référentiel galiléen est un référentiel dans lequel le principe d'inertie (première loi de Newton) est vérifié : un système isolé ou pseudo-isolé y conserve un mouvement rectiligne uniforme. Le référentiel terrestre est considéré comme galiléen pour des expériences de courte durée ; le référentiel géocentrique (centré sur la Terre, axes vers des étoiles lointaines) convient pour l'étude des satellites, et l'héliocentrique (centré sur le Soleil) pour celle des planètes. Le choix du référentiel galiléen approprié dépend donc de l'échelle et de la durée de l'étude.

Énoncé du programme : dans un référentiel galiléen, la somme des forces extérieures appliquées à un système est égale au produit de sa masse par l'accélération de son centre de masse :

\sum \overrightarrow{F_{ext}} = m\,\overrightarrow{a_G}

. La masse

m

joue le rôle d'inertie : à force donnée, plus la masse est grande, plus l'accélération est faible. La relation est vectorielle : elle équivaut à autant d'équations scalaires que d'axes de projection.

Cette loi se lit dans les deux sens. Problème direct : connaissant les forces, on en déduit l'accélération

\overrightarrow{a_G} = \frac{1}{m}\sum \overrightarrow{F_{ext}}

, puis par intégrations successives la vitesse et la position. Problème inverse : connaissant le mouvement (donc

\overrightarrow{a_G}

par double dérivation), on remonte à la somme des forces, voire à une force inconnue du bilan.

Cas particulier de l'équilibre : un système est en équilibre dans un référentiel galiléen si son centre de masse reste immobile. La condition est alors

\sum \overrightarrow{F_{ext}} = \overrightarrow{0}

, donc

\overrightarrow{a_G} = \overrightarrow{0}

. Attention à la réciproque : une accélération nulle correspond plus généralement à un mouvement rectiligne uniforme, l'équilibre n'en étant que le cas où, en plus, la vitesse est nulle. La première loi de Newton est ainsi le cas particulier de la deuxième quand la résultante est nulle.

Méthode de résolution (la trame attendue de tout exercice de mécanique) : (1) définir précisément le système et le référentiel galiléen choisi ; (2) faire le bilan exhaustif des forces EXTÉRIEURES (poids, réaction du support, tension, frottements, poussée…) ; (3) appliquer la deuxième loi de Newton sous forme vectorielle ; (4) projeter sur des axes judicieusement choisis (souvent un axe selon le mouvement) pour obtenir les équations scalaires et isoler l'inconnue.

Le choix des axes de projection conditionne la simplicité des calculs : on aligne en général un axe avec la direction du mouvement (ou de l'accélération) pour que les forces utiles s'y projettent simplement et que les forces perpendiculaires disparaissent. Sur un plan incliné, par exemple, on prend un axe le long de la pente : la réaction normale n'y a aucune composante, seul le poids contribue par

mg\sin\alpha

\sum \overrightarrow{F_{ext}} = m\,\overrightarrow{a_G}

Deuxième loi de Newton (référentiel galiléen)

Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures appliquées au système est égale au produit de sa masse par l'accélération de son centre de masse G.

a = g\,\sin\alpha

Accélération sur un plan incliné sans frottement

Projection de la deuxième loi de Newton le long de la pente : la réaction normale s'élimine, la masse se simplifie et l'accélération ne dépend que de $g$ et de l'angle $\alpha$ .

Exemple corrigé

Accélération d'un palet sur un plan incliné sans frottement

Un palet de masse $m = 0{,}50~\mathrm{kg}$ glisse sans frottement sur un plan incliné faisant un angle $\alpha = 20^\circ$ avec l'horizontale. Déterminer la valeur de l'accélération de son centre de masse le long de la pente. Donnée : $g = 9{,}81~\mathrm{m\cdot s^{-2}}$ .

Système et référentiel
Système : le palet (masse $m$ ). Référentiel : terrestre, supposé galiléen pour la durée de la glissade.
Bilan des forces
Deux forces extérieures s'appliquent : le poids $\overrightarrow{P} = m\overrightarrow{g}$ (vertical, vers le bas) et la réaction normale $\overrightarrow{N}$ du support (perpendiculaire au plan, pas de frottement).
Deuxième loi de Newton et projection
On applique $\overrightarrow{P} + \overrightarrow{N} = m\overrightarrow{a_G}$ , puis on projette sur un axe $(Ox)$ orienté le long de la pente, vers le bas : la réaction $\overrightarrow{N}$ n'a pas de composante sur cet axe, seul le poids contribue par $m g \sin\alpha$ .
$m\,g\,\sin\alpha = m\,a_x$
Expression et valeur
La masse se simplifie : $a_x = g\sin\alpha = 9{,}81 \times \sin(20^\circ)$ . L'accélération est indépendante de la masse.

Résultat : L'accélération est dirigée le long de la pente vers le bas et vaut $a = g\sin\alpha \approx 3{,}4~\mathrm{m\cdot s^{-2}}$ , indépendamment de la masse du palet.

Erreurs fréquentes

Inclure dans le bilan des forces intérieures au système, ou oublier une force extérieure (réaction du support, tension, frottements) : seules les forces EXTÉRIEURES interviennent.
Écrire $\overrightarrow{F} = m\overrightarrow{a}$ avec une seule force alors que plusieurs s'exercent : c'est la SOMME vectorielle des forces qui vaut $m\overrightarrow{a_G}$ .
Confondre équilibre (G immobile) et mouvement rectiligne uniforme : dans les deux cas $\overrightarrow{a_G} = \overrightarrow{0}$ et $\sum \overrightarrow{F_{ext}} = \overrightarrow{0}$ , mais l'équilibre suppose en plus une vitesse nulle.

Révision active

Un palet de masse $m = 0{,}50~\mathrm{kg}$ glisse sans frottement sur un plan incliné d'angle $\alpha = 20^\circ$ par rapport à l'horizontale. À l'aide de la deuxième loi de Newton, déterminer la valeur de son accélération le long de la pente (on prend $g = 9{,}81~\mathrm{m\cdot s^{-2}}$ ).

Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Sources : Programme de physique-chimie de terminale générale (spécialité) (Éduscol — Ministère de l'Éducation nationale)

Mouvement dans un champ uniforme : pesanteur et champ électrique d'un condensateur plan#

Standardeduscol-programme-physique-chimie-terminale

Trajectoire parabolique d'un projectile (v₀ = 12 m/s, α = 40°)

Fig. 3Parabole

y = f(x)

obtenue en éliminant le temps : sommet à

H \approx 3{,}03~\mathrm{m}

, portée

\approx 14{,}5~\mathrm{m}

Un champ uniforme est un champ vectoriel dont la valeur, la direction et le sens sont les mêmes en tout point d'une région de l'espace : le champ de pesanteur

\overrightarrow{g}

au voisinage du sol, ou le champ électrique

\overrightarrow{E}

entre les armatures d'un condensateur plan. Comme la force qui en résulte est constante, l'accélération

\overrightarrow{a}

l'est aussi : on parle de mouvement uniformément varié. Le mouvement est de plus PLAN, contenu dans le plan défini par la vitesse initiale et l'accélération.

Champ de pesanteur : si l'on néglige les frottements, la seule force est le poids, donc

\overrightarrow{a} = \overrightarrow{g}

— résultat remarquable : tous les corps tombent avec la même accélération, indépendamment de leur masse. En projetant sur un axe horizontal

(Ox)

et un axe vertical

(Oy)

ascendant, on obtient

a_x = 0

a_y = -g

, soit deux mouvements découplés : uniforme à l'horizontale, uniformément varié à la verticale.

On intègre deux fois ces accélérations avec les conditions initiales (position

O

, vitesse

\overrightarrow{v_0}

inclinée de

\alpha

). La vitesse horizontale reste constante,

v_x = v_0\cos\alpha

, et les équations horaires s'écrivent

x(t) = v_0\cos\alpha\,t

y(t) = -\frac{1}{2}g t^2 + v_0\sin\alpha\,t

. La constance de

v_x

est la signature du champ uniforme : aucune force horizontale ne s'exerce.

Équation de la trajectoire : on élimine le temps en posant

t = \frac{x}{v_0\cos\alpha}

et en le reportant dans

y(t)

. On obtient

y = -\frac{g}{2 v_0^2\cos^2\alpha}\,x^2 + (\tan\alpha)\,x

: le coefficient de

x^2

étant négatif, la trajectoire d'un projectile dans le champ de pesanteur uniforme est une parabole tournée vers le bas. La hauteur maximale s'obtient au sommet (

v_y = 0

), la portée à l'intersection avec le sol (

y = 0

Champ électrique d'un condensateur plan : entre deux plaques planes parallèles distantes de

d

et soumises à une tension

U

, le champ est uniforme, de valeur

E = \frac{U}{d}

(en

\mathrm{V\cdot m^{-1}}

), dirigé de la plaque positive vers la plaque négative. Une particule de charge

q

y subit la force électrique

\overrightarrow{F} = q\overrightarrow{E}

, de même sens que

\overrightarrow{E}

q > 0

, de sens opposé si

q < 0

Pour une particule chargée légère (électron, ion), le poids est généralement négligeable devant la force électrique :

\overrightarrow{a} = \frac{q}{m}\overrightarrow{E}

, accélération constante. Si la particule entre perpendiculairement au champ avec une vitesse

\overrightarrow{v_0}

, l'analyse est strictement identique à celle du projectile : mouvement uniforme dans la direction de

\overrightarrow{v_0}

, uniformément varié dans la direction de

\overrightarrow{E}

, et trajectoire PARABOLIQUE. C'est ce principe qui permet de dévier un faisceau (oscilloscope, jet d'encre).

Principe de l'accélérateur linéaire : si, au contraire, le champ électrique est parallèle à la vitesse de la particule, celle-ci est accélérée en ligne droite. Le travail de la force électrique entre deux points dont la différence de potentiel est

U

vaut

W = qU

; ce travail, moteur, augmente l'énergie cinétique de la particule (lien direct avec la section énergétique suivante).

Méthode et limites du modèle : on suppose le champ rigoureusement uniforme (on néglige les effets de bord du condensateur) et les frottements absents (vide). Le découplage des deux directions est l'outil central : il faut toujours bien identifier la direction de

\overrightarrow{a}

(selon

\overrightarrow{g}

\overrightarrow{E}

) et la direction de

\overrightarrow{v_0}

, puis projeter sur ces deux directions.

\begin{cases} x(t) = v_0\cos\alpha\; t \\[4pt] y(t) = -\dfrac{1}{2}g\,t^2 + v_0\sin\alpha\; t \end{cases}

Équations horaires d'un projectile (lancé depuis l'origine)

Obtenues en intégrant deux fois l'accélération $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{g}$ avec les conditions initiales $x(0)=y(0)=0$ et la vitesse initiale $\overrightarrow{v_0}$ inclinée de $\alpha$ .

y = -\dfrac{g}{2\,v_0^2\cos^2\alpha}\,x^2 + (\tan\alpha)\,x

Équation de la trajectoire (parabole)

On élimine le temps en remplaçant $t = \frac{x}{v_0\cos\alpha}$ dans $y(t)$ . Le coefficient de $x^2$ étant négatif, la trajectoire est une parabole tournée vers le bas.

E = \dfrac{U}{d}\qquad \overrightarrow{F} = q\,\overrightarrow{E}\qquad \overrightarrow{a} = \dfrac{q}{m}\,\overrightarrow{E}

Champ et force dans un condensateur plan

Le champ entre les plaques est uniforme, de valeur $U/d$ , dirigé de la plaque + vers la plaque −. La force électrique sur une charge $q$ donne, par la deuxième loi de Newton, une accélération constante.

Condensateur plan : champ uniforme et déviation d'une particule chargée

Fig. 4Entre les armatures,

\overrightarrow{E}

est uniforme et dirigé de la plaque + vers la plaque −. Une charge

q>0

subit

\overrightarrow{F}=q\overrightarrow{E}

et décrit une parabole, exactement comme un projectile.

Exemple corrigé

Projectile dans le champ de pesanteur : trajectoire, hauteur maximale et portée

Un projectile est lancé depuis l'origine O avec une vitesse initiale $v_0 = 12~\mathrm{m\cdot s^{-1}}$ faisant un angle $\alpha = 40^\circ$ avec l'horizontale. Frottements négligés, $g = 9{,}81~\mathrm{m\cdot s^{-2}}$ . Établir les équations horaires, en déduire l'équation de la trajectoire, puis calculer la hauteur maximale et la portée.

Accélération et conditions initiales
Le système est le projectile, le référentiel terrestre galiléen. Seul le poids s'applique, donc $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{g}$ : $a_x = 0$ , $a_y = -g$ . Les composantes de la vitesse initiale sont $v_{0x} = v_0\cos\alpha \approx 9{,}19~\mathrm{m\cdot s^{-1}}$ et $v_{0y} = v_0\sin\alpha \approx 7{,}71~\mathrm{m\cdot s^{-1}}$ .
Équations horaires
En intégrant deux fois avec $x(0)=y(0)=0$ : la vitesse horizontale reste constante et l'altitude suit une loi du second degré en $t$ .
Équation de la trajectoire
On remplace $t = \frac{x}{v_0\cos\alpha}$ dans $y(t)$ , ce qui donne une parabole $y = f(x)$ .
Hauteur maximale
Au sommet, la composante verticale de la vitesse s'annule à la date $t_s = \frac{v_0\sin\alpha}{g} \approx 0{,}786~\mathrm{s}$ , puis $H = \frac{(v_0\sin\alpha)^2}{2g}$ .
$H = \dfrac{(v_0\sin\alpha)^2}{2g}$
Portée
La portée correspond au retour au sol ( $y = 0$ , $x \neq 0$ ) : $x_p = \frac{v_0^2\sin(2\alpha)}{g}$ .
$x_p = \dfrac{v_0^2\sin(2\alpha)}{g}$

Résultat : La trajectoire est la parabole $y = -\frac{g}{2v_0^2\cos^2\alpha}x^2 + (\tan\alpha)x$ ; la hauteur maximale est $H \approx 3{,}03~\mathrm{m}$ et la portée $x_p \approx 14{,}5~\mathrm{m}$ .

Erreurs fréquentes

Oublier le signe : avec un axe vertical orienté vers le haut, l'accélération de pesanteur est $a_y = -g$ (négative), pas $+g$ . De même la composante de la force électrique dépend du signe de la charge $q$ .
Garder une composante horizontale d'accélération en chute libre : sans frottement, $a_x = 0$ , donc la vitesse horizontale $v_x = v_0\cos\alpha$ reste CONSTANTE pendant tout le vol.
Confondre $E = U/d$ (champ uniforme du condensateur) avec le champ d'une charge ponctuelle : ici le champ est uniforme entre les plaques, sa valeur ne dépend pas de la position.

Révision active

Un projectile est lancé depuis l'origine avec une vitesse initiale $v_0 = 12~\mathrm{m\cdot s^{-1}}$ inclinée d'un angle $\alpha = 40^\circ$ au-dessus de l'horizontale. On néglige les frottements et on prend $g = 9{,}81~\mathrm{m\cdot s^{-2}}$ . Établir les équations horaires, l'équation de la trajectoire, puis calculer la hauteur maximale atteinte et la portée.

Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Sources : Programme de physique-chimie de terminale générale (spécialité) (Éduscol — Ministère de l'Éducation nationale)

Aspects énergétiques : énergie cinétique, théorème de l'énergie cinétique et énergie mécanique#

Standardeduscol-programme-physique-chimie-terminale

Conservation de l'énergie mécanique d'un projectile

Fig. 5Pour le projectile (v₀ = 12 m/s, α = 40°, m = 0,20 kg) :

E_{pp}

culmine au sommet,

E_c

y est minimale, et

E_m = E_c + E_{pp}

reste constante (14,4 J).

E_c

ne s'annule jamais car la vitesse horizontale persiste.

L'approche énergétique offre un second regard, complémentaire de la deuxième loi de Newton : au lieu de suivre instant par instant les vecteurs, elle relie directement des états (vitesses, positions) par des bilans scalaires. Elle est particulièrement précieuse quand on cherche une vitesse sans avoir besoin de la durée du mouvement, ou quand les forces sont difficiles à projeter.

Énergie cinétique d'un point de masse

m

animé d'une vitesse

v

E_c = \frac{1}{2}mv^2

(en joules). Travail d'une force constante

\overrightarrow{F}

pour un déplacement

\overrightarrow{AB}

W_{AB}(\overrightarrow{F}) = \overrightarrow{F}\cdot\overrightarrow{AB} = F\times AB\times\cos\theta

(rappel de première). Le travail est moteur si

\theta < 90^\circ

(

W>0

), résistant si

\theta > 90^\circ

(

W<0

), et nul si la force est perpendiculaire au déplacement.

Théorème de l'énergie cinétique : dans un référentiel galiléen, la variation d'énergie cinétique d'un système entre deux instants est égale à la somme des travaux des forces extérieures,

\Delta E_c = \sum W(\overrightarrow{F_{ext}})

. C'est une conséquence intégrale de la deuxième loi de Newton ; il transforme un problème vectoriel (forces, accélération) en une équation scalaire reliant des vitesses à des déplacements.

Énergie potentielle de pesanteur (rappel de première) :

E_{pp} = mgz

(axe vertical ascendant, origine choisie librement). Le poids est une force conservative : son travail ne dépend pas du chemin suivi mais seulement des altitudes de départ et d'arrivée,

W(\overrightarrow{P}) = -\Delta E_{pp} = mg(z_A - z_B)

. C'est cette propriété qui permet de lui associer une énergie potentielle.

Énergie mécanique :

E_m = E_c + E_{pp}

. En l'absence de frottements (forces conservatives uniquement, ou forces ne travaillant pas), l'énergie mécanique se CONSERVE :

E_m = \text{constante}

. Au cours du mouvement, énergie cinétique et énergie potentielle s'échangent en permanence, leur somme restant fixe — un projectile « stocke » de l'énergie potentielle en montant et la « restitue » en cinétique en redescendant.

En présence de frottements, l'énergie mécanique n'est plus conservée : elle diminue, et sa variation

\Delta E_m

est égale au travail (négatif) des forces de frottement,

\Delta E_m = W(\overrightarrow{f})< 0

. L'énergie « perdue » par le système n'a pas disparu : elle est convertie en énergie thermique (échauffement). On peut ainsi estimer l'énergie dissipée par un simple bilan d'états.

Dans un champ uniforme, l'étude énergétique est souvent plus rapide que les équations horaires : la vitesse au sommet ou à l'impact d'un projectile, ou la vitesse acquise par une particule chargée, s'obtiennent en une ligne. La capacité numérique exigible consiste à représenter l'évolution de

E_c

E_{pp}

E_m

au cours du mouvement et à y lire la conservation (somme horizontale) ou l'amortissement (somme décroissante).

Cohérence des unités et lien avec l'électrique : l'énergie est en joules, donc avant tout calcul la masse doit être en kilogrammes et la vitesse en mètres par seconde. Pour une particule accélérée par une tension

U

, le travail de la force électrique

W = qU

se convertit intégralement en énergie cinétique (poids négligé) :

\frac{1}{2}mv^2 = qU

, ce qui boucle avec le principe de l'accélérateur linéaire.

E_c = \dfrac{1}{2}mv^2\qquad \Delta E_c = \sum W(\overrightarrow{F_{ext}})

Énergie cinétique et théorème de l'énergie cinétique

L'énergie cinétique dépend de la masse et du carré de la vitesse ; sa variation entre deux instants égale la somme des travaux des forces extérieures dans un référentiel galiléen.

E_m = E_c + E_{pp} = \text{constante}\quad\text{(sans frottement)}

Conservation de l'énergie mécanique

En l'absence de forces dissipatives, l'énergie mécanique reste constante : $E_c$ et $E_{pp}$ s'échangent au cours du mouvement.

Exemple corrigé

Vitesse d'un électron accéléré : bilan d'énergie cinétique

Un électron, initialement quasiment au repos ( $v_0 \approx 0$ ), est accéléré par une différence de potentiel $U = 1{,}0~\mathrm{kV}$ dans un accélérateur linéaire (poids négligeable). Déterminer l'énergie cinétique acquise puis la vitesse finale de l'électron. Données : $e = 1{,}60\times 10^{-19}~\mathrm{C}$ , $m_e = 9{,}11\times 10^{-31}~\mathrm{kg}$ .

Théorème de l'énergie cinétique
Seule la force électrique travaille (le poids est négligeable). Son travail entre les deux points de différence de potentiel $U$ vaut $W = eU$ pour la charge élémentaire accélérée.
$\Delta E_c = W = eU$
Énergie cinétique acquise
Comme $v_0 \approx 0$ , $E_{c,0} = 0$ et $E_c = eU$ .
Vitesse finale
On isole $v$ dans $E_c = \frac{1}{2}m_e v^2$ , soit $v = \sqrt{\frac{2E_c}{m_e}}$ .
$v = \sqrt{\dfrac{2E_c}{m_e}}$
Cohérence (cadre non relativiste)
On vérifie que $v/c \approx 0{,}06$ , bien inférieur à 1 : le traitement classique (non relativiste) est légitime.

Résultat : L'électron acquiert une énergie cinétique $E_c = eU = 1{,}6\times 10^{-16}~\mathrm{J}$ et une vitesse finale $v \approx 1{,}9\times 10^{7}~\mathrm{m\cdot s^{-1}}$ (régime non relativiste vérifié).

Erreurs fréquentes

Inclure le travail de la réaction normale ou d'une force perpendiculaire au déplacement : son travail est nul ( $\cos 90^\circ = 0$ ), elle ne fait pas varier l'énergie cinétique.
Affirmer que l'énergie mécanique se conserve même en présence de frottements : la conservation n'est valable que si toutes les forces qui travaillent sont conservatives (pas de frottement).
Mélanger les unités : l'énergie est en joules, donc la masse doit être en kilogrammes et la vitesse en mètres par seconde avant tout calcul de $\frac{1}{2}mv^2$ .

Révision active

Un électron, initialement quasiment au repos, est accéléré par une différence de potentiel $U = 1{,}0~\mathrm{kV}$ dans un accélérateur linéaire. Par un bilan d'énergie, déterminer l'énergie cinétique acquise puis la vitesse finale de l'électron. Données : $e = 1{,}60\times 10^{-19}~\mathrm{C}$ , $m_e = 9{,}11\times 10^{-31}~\mathrm{kg}$ .

Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Sources : Programme de physique-chimie de terminale générale (spécialité) (Éduscol — Ministère de l'Éducation nationale)

Mouvement dans un champ de gravitation : satellites, planètes et lois de Kepler#

Approfondissementeduscol-programme-physique-chimie-terminale

Vérification de la troisième loi de Kepler : T² en fonction de a³ (système solaire)

Fig. 6Pour chaque corps du système solaire (Terre, Mars, Cérès), le point

(a^3, T^2)

se place sur la droite

T^2 = a^3

(en unités UA³ et années²) : alignement =

T^2 \propto a^3

Le champ de gravitation n'est plus uniforme : la force dépend de la distance à l'astre attracteur. C'est le cadre des satellites et des planètes, où la deuxième loi de Newton, appliquée dans le bon référentiel (géocentrique pour un satellite terrestre, héliocentrique pour une planète), conduit aux trois lois de Kepler — d'abord établies empiriquement, puis démontrées par Newton.

Force d'interaction gravitationnelle (rappel de première) : entre un astre attracteur de masse

M

et un objet de masse

m

distants de

r

\overrightarrow{F} = -\,G\dfrac{Mm}{r^2}\,\overrightarrow{u_r}

, attractive et dirigée vers l'astre attracteur (

G = 6{,}67\times 10^{-11}~\mathrm{N\cdot m^2\cdot kg^{-2}}

\overrightarrow{u_r}

unitaire de l'astre vers l'objet). C'est une force centrale : sa droite d'action passe toujours par l'astre attracteur.

Pour un satellite en orbite CIRCULAIRE, la force gravitationnelle joue le rôle de force centripète. La deuxième loi de Newton dans le référentiel géocentrique donne une accélération centripète

a = \frac{v^2}{r}

; en l'identifiant à l'accélération gravitationnelle

\frac{GM}{r^2}

, la masse

m

du satellite se simplifie et l'on obtient la vitesse

v = \sqrt{\frac{GM}{r}}

. Conséquence majeure : la vitesse orbitale ne dépend PAS de la masse du satellite, seulement de

M

et de

r

— et elle décroît quand

r

augmente.

Première loi de Kepler (loi des orbites) : dans le référentiel héliocentrique, chaque planète décrit une ellipse dont le Soleil occupe l'un des foyers (le cercle est le cas particulier d'une ellipse de foyers confondus). Deuxième loi (loi des aires) : le segment reliant l'astre attracteur au corps balaie des aires égales pendant des durées égales. Le corps va donc plus vite lorsqu'il est proche de l'astre (au périhélie) et plus lentement lorsqu'il en est loin (à l'aphélie).

Troisième loi de Kepler (loi des périodes) : le rapport

\frac{T^2}{a^3}

est le même pour tous les corps en orbite autour d'un même astre attracteur, et vaut

\frac{T^2}{a^3} = \frac{4\pi^2}{GM}

(

a

= demi-grand axe de l'ellipse ; pour une orbite circulaire

a = r

). Tracé en

T^2

en fonction de

a^3

, l'ensemble des corps d'un même système s'aligne sur une droite passant par l'origine, dont la pente donne accès à la masse

M

de l'astre.

Démonstration de la troisième loi (orbite circulaire, à savoir refaire) : on combine la vitesse

v = \sqrt{\frac{GM}{r}}

et la définition

v = \frac{2\pi r}{T}

(périmètre parcouru en une période). En élevant au carré et en éliminant

v

, on obtient directement

\frac{4\pi^2 r^2}{T^2} = \frac{GM}{r}

, soit

\frac{T^2}{r^3} = \frac{4\pi^2}{GM}

— la constante ne dépend que de l'astre attracteur.

Satellite géostationnaire : satellite qui paraît immobile vu de la Terre. Cela impose trois conditions simultanées : une orbite dans le plan équatorial, parcourue dans le sens de rotation de la Terre, et de période égale au jour sidéral (

T \approx 86\,164~\mathrm{s} \approx 24~\mathrm{h}

). La troisième loi de Kepler fixe alors l'altitude à environ

36\,000~\mathrm{km}

(capacité numérique : tester les 2ᵉ et 3ᵉ lois de Kepler sur des données astronomiques).

Aspect énergétique et satellisation : sur une orbite circulaire, la vitesse est fixée par le rayon ; pour changer d'orbite, il faut donc modifier l'énergie mécanique du satellite (manœuvres). Plus l'orbite est haute, plus la vitesse orbitale est faible mais plus l'énergie mécanique du satellite est grande — d'où le coût en carburant d'une mise sur orbite haute. Ces idées prolongent l'étude énergétique de la section précédente.

\overrightarrow{F} = -\,G\dfrac{Mm}{r^2}\,\overrightarrow{u_r}

Force d'interaction gravitationnelle

Force centrale attractive entre deux masses $M$ et $m$ distantes de $r$ ; le signe « − » indique qu'elle est dirigée vers l'astre attracteur.

v = \sqrt{\dfrac{G\,M}{r}}

Vitesse sur une orbite circulaire

Obtenue en identifiant l'accélération centripète $v^2/r$ à l'accélération gravitationnelle $GM/r^2$ . La vitesse ne dépend pas de la masse du satellite.

\dfrac{T^2}{a^3} = \dfrac{4\pi^2}{G\,M}

Troisième loi de Kepler

Le rapport du carré de la période au cube du demi-grand axe est constant pour tous les corps tournant autour d'un même astre attracteur de masse $M$ ; pour une orbite circulaire, $a = r$ .

Orbite circulaire dans le champ de gravitation

Fig. 7La force gravitationnelle

\overrightarrow{F}

, centripète, dévie en permanence la vitesse

\overrightarrow{v}

(tangente) : c'est elle qui « courbe » la trajectoire en cercle de rayon

r

Lois de Kepler : orbite elliptique et loi des aires

Fig. 81ʳᵉ loi : l'orbite est une ellipse, le Soleil à un foyer. 2ᵉ loi : les deux aires colorées, balayées en des durées égales, sont égales (A₁ = A₂) — le corps va plus vite au périhélie qu'à l'aphélie.

Exemple corrigé

Satellite géostationnaire : rayon d'orbite, altitude et vitesse

On étudie un satellite géostationnaire de la Terre. Établir l'expression du rayon $r$ de son orbite à partir de la troisième loi de Kepler, puis le calculer, en déduire l'altitude et la vitesse orbitale. Données : $G = 6{,}67\times 10^{-11}~\mathrm{N\cdot m^2\cdot kg^{-2}}$ , $M_T = 5{,}97\times 10^{24}~\mathrm{kg}$ , $R_T = 6{,}37\times 10^{3}~\mathrm{km}$ , jour sidéral $T = 86\,164~\mathrm{s}$ .

Condition de géostationnarité
Le satellite paraît immobile depuis la Terre : son orbite est équatoriale, parcourue dans le sens de rotation terrestre, et sa période est égale au jour sidéral $T = 86\,164~\mathrm{s}$ .
Expression du rayon
On part de la troisième loi de Kepler appliquée à l'orbite circulaire ( $a = r$ ) et on isole $r$ .
$r = \left(\dfrac{G M_T\,T^2}{4\pi^2}\right)^{1/3}$
Calcul du rayon
Application numérique en unités SI : $r = \left(\frac{6{,}67\times10^{-11} \times 5{,}97\times10^{24} \times (86\,164)^2}{4\pi^2}\right)^{1/3}$ .
Altitude
L'altitude est la différence entre le rayon d'orbite et le rayon terrestre : $h = r - R_T$ .
Vitesse orbitale
On utilise $v = \sqrt{\frac{G M_T}{r}}$ (ou $v = \frac{2\pi r}{T}$ ).
$v = \sqrt{\dfrac{G M_T}{r}}$

Résultat : Le rayon d'orbite vaut $r \approx 4{,}22\times 10^{7}~\mathrm{m}$ , soit une altitude $h \approx 36\,000~\mathrm{km}$ , et la vitesse orbitale $v \approx 3{,}1~\mathrm{km\cdot s^{-1}}$ — caractéristiques d'un satellite géostationnaire.

Schritt-für-Schritt Erklärung4 Schritte

1
Pour un satellite en orbite circulaire, la seule force est l'attraction gravitationnelle, dirigée vers l'astre attracteur : elle joue le rôle de force centripète.
2
La deuxième loi de Newton donne l'accélération centripète. En projetant sur la direction radiale, on identifie l'accélération gravitationnelle à v² sur r.
3
On en tire la vitesse orbitale, indépendante de la masse du satellite : seuls comptent la masse de l'astre et le rayon de l'orbite.
4
Enfin, en remplaçant la vitesse par 2 pi r sur T, on élimine v et on retrouve la troisième loi de Kepler : le rapport T² sur r³ est une constante universelle pour l'astre attracteur.

Erreurs fréquentes

Croire que la vitesse orbitale ou la période dépendent de la masse du satellite : la masse $m$ se simplifie dans la deuxième loi de Newton, $v$ et $T$ ne dépendent que de $G$ , $M$ et $r$ .
Utiliser le rayon de l'orbite $r$ et l'altitude $h$ de manière interchangeable : $r = R_T + h$ (rayon de la Terre + altitude). Oublier $R_T$ fausse complètement le calcul.
Prendre $T = 24\,\mathrm{h} = 86\,400~\mathrm{s}$ (jour solaire) au lieu du jour sidéral $\approx 86\,164~\mathrm{s}$ pour le géostationnaire : la différence, bien que faible, est attendue dans les énoncés précis.

Révision active

On étudie un satellite géostationnaire de la Terre. Établir l'expression du rayon de son orbite à partir de la troisième loi de Kepler, puis le calculer ainsi que l'altitude correspondante et la vitesse orbitale. Données : $G = 6{,}67\times 10^{-11}~\mathrm{N\cdot m^2\cdot kg^{-2}}$ , $M_T = 5{,}97\times 10^{24}~\mathrm{kg}$ , $R_T = 6{,}37\times 10^{3}~\mathrm{km}$ , jour sidéral $T = 86\,164~\mathrm{s}$ .

Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Sources : Programme de physique-chimie de terminale générale (spécialité) (Éduscol — Ministère de l'Éducation nationale)

Références et sources

Sources

Éduscol — Ministère de l'Éducation nationale

Programme de physique-chimie de terminale générale (spécialité)

Lois de Newton et mouvement dans un champ

Points clés

Mouvement circulaire uniforme : accélération centripète et période

Points clés

Accélération d'un palet sur un plan incliné sans frottement

Points clés

Projectile dans le champ de pesanteur : trajectoire, hauteur maximale et portée

Points clés

Vitesse d'un électron accéléré : bilan d'énergie cinétique

Points clés

Satellite géostationnaire : rayon d'orbite, altitude et vitesse

Sources