Primitives et équations différentielles

Primitive d'une fonction : définition, unicité à une constante près, condition initiale#

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Faisceau de primitives translatées verticalement

Fig. 1Pour une même fonction f, les primitives forment un faisceau de courbes qui se déduisent les unes des autres par translation verticale (la constante k). En un point d'abscisse donnée, elles ont toutes la même pente, égale à f(x).

Définition : soit f une fonction continue sur un intervalle I. Une primitive de f sur I est une fonction F dérivable sur I telle que, pour tout x de I, F′(x) = f(x). Calculer une primitive, c'est donc « remonter » la dérivation.

Existence : toute fonction continue sur un intervalle admet au moins une primitive sur cet intervalle (résultat admis). La continuité sur un intervalle est essentielle : sans elle, l'existence n'est plus garantie.

Unicité à une constante près : si F est une primitive de f sur I, alors les primitives de f sur I sont exactement les fonctions de la forme x ↦ F(x) + k, où k est une constante réelle. Réciproquement, deux primitives d'une même fonction sur un intervalle diffèrent d'une constante (car leur différence a une dérivée nulle sur un intervalle, donc est constante).

Condition initiale : pour tout point x₀ de I et tout réel y₀, il existe une unique primitive F de f telle que F(x₀) = y₀. On la détermine en écrivant F(x) = (une primitive) + k, puis en résolvant l'équation F(x₀) = y₀ pour trouver la valeur de k.

Lien fondamental : déterminer une primitive est l'opération réciproque de la dérivation ; on vérifie toujours un résultat en dérivant la primitive trouvée et en retrouvant f.

F \text{ primitive de } f \text{ sur } I \iff F \text{ est dérivable sur } I \text{ et } \forall x \in I,\; F'(x) = f(x)

Définition d'une primitive

Une primitive inverse la dérivation : sa dérivée redonne f.

\{\text{primitives de } f \text{ sur } I\} = \{\, x \mapsto F(x) + k \mid k \in \mathbb{R} \,\}

Ensemble des primitives

Deux primitives d'une même fonction sur un intervalle diffèrent d'une constante : à partir d'une primitive F, on les obtient toutes en ajoutant une constante k.

\exists !\, F \text{ primitive de } f \text{ sur } I \text{ telle que } F(x_0) = y_0

Primitive avec condition initiale

La condition F(x₀) = y₀ fixe la constante k et sélectionne une unique primitive.

Exemple corrigé

Déterminer la primitive vérifiant une condition initiale

Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = 3x² − 4x + 1. Déterminer l'ensemble des primitives de f sur ℝ, puis l'unique primitive F vérifiant F(1) = 5.

Reconnaître les formes usuelles
f est une somme de fonctions puissances : 3x², −4x et 1. On primitive chaque terme à l'aide de la règle x^n ↦ x^(n+1)/(n+1).
$3x^2 \mapsto 3\cdot\frac{x^3}{3} = x^3,\quad -4x \mapsto -4\cdot\frac{x^2}{2} = -2x^2,\quad 1 \mapsto x$
Écrire l'ensemble des primitives
On somme les primitives de chaque terme et on ajoute la constante d'intégration k.
$F(x) = x^3 - 2x^2 + x + k,\quad k \in \mathbb{R}$
Vérifier en dérivant
On contrôle : F′(x) = 3x² − 4x + 1 = f(x). Le calcul est correct.
$F'(x) = 3x^2 - 4x + 1 = f(x)$
Utiliser la condition initiale
On écrit F(1) = 5 et on résout en k.
$F(1) = 1 - 2 + 1 + k = k = 5 \;\Rightarrow\; k = 5$
Conclure
On reporte la valeur de k trouvée dans l'expression de F.
$F(x) = x^3 - 2x^2 + x + 5$

Résultat : L'ensemble des primitives est F(x) = x³ − 2x² + x + k (k ∈ ℝ) ; l'unique primitive vérifiant F(1) = 5 est F(x) = x³ − 2x² + x + 5.

Erreurs fréquentes

Oublier la constante d'intégration : écrire « une primitive de f » comme si elle était unique, ce qui fausse toute condition initiale.
Confondre primitive et dérivée (remonter au lieu de dériver, ou l'inverse).
Travailler hors d'un intervalle : sur un domaine en deux morceaux (par exemple x < 0 et x > 0 pour 1/x), la constante peut différer sur chaque intervalle.

Révision active

On donne f(x) = 3x² − 4x + 1 sur ℝ. Déterminer l'ensemble des primitives de f, puis l'unique primitive F telle que F(1) = 5.

Rappel actif

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Primitives des fonctions usuelles et des formes composées#

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Tableau des primitives usuelles et des formes composées

Fig. 2Mémento des primitives : à gauche les fonctions usuelles, à droite les formes composées. Le facteur u′ (surligné) est le signal qui déclenche la reconnaissance d'une composée.

Primitives usuelles à connaître par cœur : x^n a pour primitive x^(n+1)/(n+1) (pour n entier ≠ −1) ; 1/x a pour primitive ln|x| (sur un intervalle ne contenant pas 0) ; e^x a pour primitive e^x ; cos x a pour primitive sin x ; sin x a pour primitive −cos x.

Linéarité : une primitive de a·f + b·g est a·F + b·G, où F et G sont des primitives de f et g. On primitive donc terme à terme et on sort les constantes multiplicatives.

Forme puissance composée : si u est dérivable, alors u′·u^n a pour primitive u^(n+1)/(n+1) (pour n entier ≠ −1). Le facteur u′ est exactement ce qui signale la composée — il faut le repérer (quitte à introduire un coefficient).

Forme logarithmique : u′/u a pour primitive ln|u| (là où u ne s'annule pas). C'est la clé pour primitiver les quotients dont le numérateur est, à un facteur près, la dérivée du dénominateur.

Forme exponentielle composée : u′·e^u a pour primitive e^u. Méthode générale de reconnaissance d'une forme u′·f(u) : on identifie la fonction intérieure u, on calcule u′, et on vérifie que l'expression est, à une constante multiplicative près, du type u′·f(u).

x^n \mapsto \frac{x^{n+1}}{n+1}\;(n \neq -1),\qquad \frac{1}{x} \mapsto \ln|x|,\qquad e^x \mapsto e^x

Primitives usuelles (puissances, inverse, exponentielle)

Trois primitives fondamentales : la règle puissance, le cas particulier de 1/x donnant le logarithme, et l'exponentielle qui est sa propre primitive.

\cos x \mapsto \sin x,\qquad \sin x \mapsto -\cos x

Primitives des fonctions trigonométriques

On retrouve ces primitives en dérivant : (sin x)′ = cos x et (−cos x)′ = sin x.

u'u^n \mapsto \frac{u^{n+1}}{n+1}\;(n \neq -1),\qquad \frac{u'}{u} \mapsto \ln|u|,\qquad u'e^{u} \mapsto e^{u}

Formes composées u′f(u)

Les trois formes composées au programme : la présence du facteur u′ (la dérivée de la fonction intérieure) signale qu'on peut primitiver « en chaîne ».

Exemple corrigé

Reconnaître une forme composée u′f(u)

Déterminer une primitive sur ℝ de la fonction f définie par f(x) = 2x·(x² + 1)³, puis une primitive de g définie sur ℝ par g(x) = (2x)/(x² + 1).

Identifier la fonction intérieure
On pose u(x) = x² + 1. Alors u′(x) = 2x. Pour f, on observe que f(x) = u′(x)·u(x)³ : c'est exactement la forme u′·u^n avec n = 3.
$u(x) = x^2 + 1,\quad u'(x) = 2x,\quad f(x) = u'(x)\,u(x)^3$
Primitiver la forme u′u^n
On applique u′u^n ↦ u^(n+1)/(n+1) avec n = 3.
$F(x) = \frac{u(x)^{4}}{4} = \frac{(x^2 + 1)^4}{4} \;(+\,k)$
Traiter g comme une forme u′/u
Avec le même u, g(x) = u′(x)/u(x), et u(x) = x² + 1 > 0 sur ℝ ; on applique u′/u ↦ ln|u|.
$g(x) = \frac{u'(x)}{u(x)} \;\Rightarrow\; G(x) = \ln\big(x^2 + 1\big) \;(+\,k)$
Vérifier en dérivant
On contrôle F′(x) = (4(x²+1)³·2x)/4 = 2x(x²+1)³ = f(x) et G′(x) = 2x/(x²+1) = g(x).
$F'(x) = f(x),\qquad G'(x) = g(x)$

Résultat : Une primitive de f est F(x) = (x² + 1)⁴/4 ; une primitive de g est G(x) = ln(x² + 1).

Erreurs fréquentes

Appliquer la règle puissance à 1/x : la primitive de 1/x est ln|x|, jamais x⁰/0 (la formule x^(n+1)/(n+1) exclut n = −1).
Oublier le facteur u′ ou le coefficient correctif : par exemple, une primitive de e^(2x) est ½e^(2x) (pas e^(2x)), car il faut diviser par la dérivée 2 de l'exposant.
Écrire ln(u) au lieu de ln|u| et ignorer le domaine où u ne s'annule pas.

Révision active

Déterminer une primitive de chacune des fonctions : a) f(x) = 2x·(x² + 1)³ ; b) g(x) = (2x)/(x² + 1) ; c) h(x) = 3·e^(3x). Préciser à chaque fois la forme composée reconnue.

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Équation différentielle y′ = ay : résolution et condition initiale#

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Solutions de y′ = ay : croissance (a > 0) et décroissance (a < 0)

Fig. 3Allure des solutions de y′ = ay avec la condition f(0) = 1 : pour a > 0 la solution croît exponentiellement (croissance) ; pour a < 0 elle décroît vers 0 (décroissance). L'axe y = 0 est asymptote horizontale dans le cas décroissant.

Vocabulaire : une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction y, reliée à sa (ou ses) dérivée(s). Résoudre l'équation, c'est trouver toutes les fonctions y, dérivables sur ℝ, qui la vérifient.

Résultat fondamental (au programme) : les solutions sur ℝ de l'équation y′ = ay (où a est un réel fixé) sont exactement les fonctions f définies par f(x) = C·e^(ax), où C est une constante réelle quelconque.

Interprétation de la constante : f(0) = C·e^0 = C, donc la constante C est la valeur de la solution en 0. Plus généralement, une condition initiale f(x₀) = y₀ détermine une unique solution en fixant la valeur de C.

Sens de variation et comportement : si a > 0 toutes les solutions non nulles sont strictement monotones et croissent (en valeur absolue) exponentiellement — croissance ; si a < 0 elles tendent vers 0 en +∞ — décroissance exponentielle. La fonction nulle (C = 0) est toujours solution.

Vérification : pour contrôler qu'une fonction f est solution, on calcule f′ et on vérifie l'égalité f′ = af. Pour f(x) = C·e^(ax), f′(x) = aC·e^(ax) = a·f(x), ce qui confirme directement le résultat.

y' = ay \iff y = f \text{ avec } f(x) = C\,e^{ax},\quad C \in \mathbb{R}

Solutions générales de y′ = ay

Toutes les solutions sont des exponentielles de la forme C·e^(ax) ; la constante C parcourt ℝ.

f(x_0) = y_0 \;\Rightarrow\; C = y_0\, e^{-a x_0}

Constante fixée par la condition initiale

Une condition initiale f(x₀) = y₀ détermine une unique solution en imposant la valeur de C. Si x₀ = 0, alors C = y₀.

f(x) = C\,e^{ax} \;\Rightarrow\; f'(x) = a\,C\,e^{ax} = a\,f(x)

Vérification que f est solution

On dérive la forme proposée et on retrouve f′ = af : la fonction est bien solution.

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Exemple corrigé

Résoudre y′ = ay avec condition initiale

Résoudre sur ℝ l'équation différentielle y′ = 2y, puis déterminer l'unique solution f telle que f(0) = 3. Donner le sens de variation de f.

Identifier le coefficient a
L'équation est de la forme y′ = ay avec a = 2.
$y' = 2y \quad\text{donc}\quad a = 2$
Écrire la forme générale des solutions
Les solutions sur ℝ sont les fonctions f(x) = C·e^(ax) = C·e^(2x), où C décrit ℝ.
$f(x) = C\,e^{2x},\quad C \in \mathbb{R}$
Utiliser la condition initiale
On impose f(0) = 3 ; or f(0) = C·e^0 = C, donc C = 3.
$f(0) = C = 3 \;\Rightarrow\; C = 3$
Conclure et étudier la variation
La solution cherchée est f(x) = 3·e^(2x). Comme a = 2 > 0 et 3 > 0, f est strictement croissante sur ℝ et tend vers +∞ en +∞ : c'est une croissance exponentielle.
$f(x) = 3\,e^{2x},\qquad f'(x) = 6\,e^{2x} > 0$

Résultat : Les solutions sont f(x) = C·e^(2x) (C ∈ ℝ) ; celle vérifiant f(0) = 3 est f(x) = 3·e^(2x), strictement croissante sur ℝ.

Erreurs fréquentes

Se tromper de signe pour a : pour y′ + ay = 0 le coefficient est −a, pas a (réécrire d'abord sous la forme y′ = (−a)y).
Confondre C et a dans l'exponentielle : a est dans l'exposant (vitesse), C est le facteur multiplicatif (valeur en 0).
Oublier la constante C ou la fonction nulle comme solution, ou croire qu'il existe une seule solution sans condition initiale.

Révision active

Résoudre sur ℝ l'équation différentielle y′ = 2y, puis déterminer la solution f vérifiant f(0) = 3. Préciser le sens de variation de cette solution.

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Équation différentielle y′ = ay + b : solution particulière et solution générale#

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Solution de y′ = −2y + 6 tendant vers l'équilibre −b/a = 3

Fig. 4Solution de y′ = −2y + 6 vérifiant f(0) = 1 : f(x) = −2·e^(−2x) + 3. La courbe part de 1 et tend vers la valeur d'équilibre −b/a = 3 (asymptote horizontale, régime permanent).

Cadre : on considère l'équation y′ = ay + b avec a ≠ 0 et b réel fixé. C'est l'équation y′ = ay « perturbée » par le terme constant b.

Solution particulière constante : on cherche une solution constante f(x) = c. Une constante a une dérivée nulle, donc 0 = ac + b, d'où c = −b/a. La fonction constante x ↦ −b/a est donc une solution particulière de l'équation.

Solution générale : les solutions de y′ = ay + b sont exactement les fonctions f(x) = C·e^(ax) − b/a, où C est une constante réelle. On retrouve la structure « solution générale de y′ = ay » (le terme C·e^(ax)) à laquelle s'ajoute la solution particulière constante (−b/a).

Condition initiale : une condition f(x₀) = y₀ fixe la constante C. Si x₀ = 0, alors C = y₀ + b/a (car f(0) = C − b/a = y₀).

Régime permanent et asymptote : lorsque a < 0, e^(ax) tend vers 0 en +∞, donc toute solution tend vers la valeur d'équilibre −b/a : la droite horizontale y = −b/a est une asymptote (le « régime permanent » d'un système physique).

Cas général y′ = ay + f (second membre non constant) : si on connaît UNE solution particulière g de l'équation (souvent fournie par l'énoncé, par exemple une fonction affine ou polynomiale donnée), alors toutes les solutions s'obtiennent en ajoutant la solution générale de l'équation homogène y′ = ay : ce sont exactement les fonctions x ↦ g(x) + C·e^(ax), C ∈ ℝ. C'est la même structure que pour y′ = ay + b, où g est la solution constante −b/a. La condition initiale fixe ensuite C comme d'habitude.

y' = ay + b,\; a \neq 0 \;:\; \text{solution particulière constante } x \mapsto -\frac{b}{a}

Solution particulière constante

Une constante c vérifie l'équation si et seulement si 0 = ac + b, c'est-à-dire c = −b/a.

y' = ay + b \iff f(x) = C\,e^{ax} - \frac{b}{a},\quad C \in \mathbb{R}

Solution générale de y′ = ay + b

On somme la solution générale de y′ = ay (le terme C·e^(ax)) et la solution particulière constante (−b/a).

a < 0 \;\Rightarrow\; \lim_{x \to +\infty} f(x) = -\frac{b}{a}\quad(\text{régime permanent / asymptote})

Valeur d'équilibre quand a < 0

Lorsque a < 0, le terme C·e^(ax) s'efface en +∞ : la solution tend vers la valeur d'équilibre −b/a, qui est une asymptote horizontale.

y' = ay + f,\; g \text{ solution particulière} \;\Rightarrow\; \{\text{solutions}\} = \{\, x \mapsto g(x) + C\,e^{ax} \mid C \in \mathbb{R} \,\}

Solution générale de y′ = ay + f (g donnée)

Avec un second membre f quelconque, dès qu'une solution particulière g est connue, on obtient toutes les solutions en lui ajoutant la solution générale C·e^(ax) de l'équation homogène y′ = ay.

Exemple corrigé

Résoudre y′ = ay + b avec condition initiale

Résoudre sur ℝ l'équation différentielle y′ = −2y + 6. Déterminer ensuite l'unique solution f vérifiant f(0) = 1, puis donner la limite de f en +∞.

Identifier a et b
L'équation est de la forme y′ = ay + b avec a = −2 et b = 6.
$a = -2,\qquad b = 6$
Trouver la solution particulière constante
On cherche une constante c : sa dérivée est nulle, donc 0 = ac + b, soit c = −b/a = −6/(−2) = 3.
$0 = -2c + 6 \;\Rightarrow\; c = -\frac{b}{a} = 3$
Écrire la solution générale
On ajoute la solution générale de y′ = ay à la solution particulière.
$f(x) = C\,e^{-2x} + 3,\quad C \in \mathbb{R}$
Fixer C avec la condition initiale
On impose f(0) = 1 : f(0) = C·e^0 + 3 = C + 3 = 1, donc C = −2.
$C + 3 = 1 \;\Rightarrow\; C = -2$
Conclure et passer à la limite
La solution est f(x) = −2·e^(−2x) + 3. Comme a = −2 < 0, e^(−2x) → 0 en +∞, donc f(x) → 3 : la valeur d'équilibre −b/a est atteinte asymptotiquement.
$f(x) = -2\,e^{-2x} + 3,\qquad \lim_{x \to +\infty} f(x) = 3$

Résultat : Solutions : f(x) = C·e^(−2x) + 3 (C ∈ ℝ) ; celle vérifiant f(0) = 1 est f(x) = −2·e^(−2x) + 3, qui tend vers 3 en +∞.

Exemple corrigé

Second membre non constant : toutes les solutions à partir d'une solution particulière donnée

On considère l'équation différentielle (E) : y′ = y + x sur ℝ. On admet que la fonction g définie par g(x) = −x − 1 est une solution particulière de (E). 1) Vérifier que g est bien solution de (E). 2) En déduire l'ensemble des solutions de (E). 3) Déterminer la solution f vérifiant f(0) = 0.

Vérifier la solution particulière g
On dérive g(x) = −x − 1 : g′(x) = −1. Par ailleurs g(x) + x = (−x − 1) + x = −1. On a bien g′(x) = g(x) + x, donc g est solution de (E).
$g'(x) = -1,\qquad g(x) + x = (-x - 1) + x = -1 = g'(x)$
Reconnaître la forme y′ = ay + f
Ici (E) s'écrit y′ = ay + f avec a = 1 et f(x) = x (second membre non constant). L'équation homogène associée est y′ = y, dont la solution générale est C·e^x.
$a = 1,\quad f(x) = x,\qquad y' = y \;\Rightarrow\; y = C\,e^{x}$
Écrire l'ensemble des solutions
On ajoute à la solution particulière g la solution générale de l'équation homogène : les solutions de (E) sont les fonctions x ↦ g(x) + C·e^x.
$f(x) = -x - 1 + C\,e^{x},\quad C \in \mathbb{R}$
Fixer C avec la condition initiale
On impose f(0) = 0 : f(0) = −0 − 1 + C·e^0 = C − 1 = 0, donc C = 1.
$f(0) = -1 + C = 0 \;\Rightarrow\; C = 1$
Conclure et vérifier
La solution cherchée est f(x) = e^x − x − 1. Contrôle : f′(x) = e^x − 1 et f(x) + x = e^x − x − 1 + x = e^x − 1, donc f′ = f + x.
$f(x) = e^{x} - x - 1,\qquad f'(x) = e^{x} - 1 = f(x) + x$

Résultat : Les solutions de (E) sont f(x) = −x − 1 + C·e^x (C ∈ ℝ) ; celle vérifiant f(0) = 0 est f(x) = e^x − x − 1.

Erreurs fréquentes

Se tromper de signe dans la solution particulière : c'est −b/a, pas b/a (résoudre proprement ac + b = 0).
Calculer C avant d'avoir ajouté −b/a : il faut utiliser la condition initiale sur la solution COMPLÈTE f(x) = C·e^(ax) − b/a, donc f(0) = C − b/a.
Confondre la valeur d'équilibre −b/a avec la valeur initiale y₀ : la solution part de y₀ et tend vers −b/a (quand a < 0), ce sont deux choses distinctes.

Révision active

Résoudre sur ℝ l'équation y′ = −2y + 6, déterminer la solution f vérifiant f(0) = 1, puis donner sa limite en +∞.

Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Sources : Programme de spécialité mathématiques — classe terminale (BO spécial n° 8 du 25 juillet 2019) (Ministère de l'Éducation nationale) · Programmes et ressources en mathématiques — voie GT (Ministère de l'Éducation nationale — Éduscol)

Modélisation par des équations différentielles (applications)#

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Charge d'un condensateur : schéma et courbe de tension

Fig. 5Charge d'un condensateur (circuit RC) : modèle u′ = au + b avec a < 0. La tension part de 0 et croît vers la tension limite −b/a (régime permanent), ici E. Le terme C·e^(at) décrit le régime transitoire qui s'efface.

Principe de modélisation : une équation différentielle traduit une loi d'évolution. Quand le taux de variation d'une grandeur est proportionnel à sa valeur, on obtient y′ = ay ; quand s'ajoute un apport ou une perte constante, on obtient y′ = ay + b.

Croissance et décroissance exponentielles (y′ = ay) : population à taux constant, intérêts composés en temps continu (a > 0) ; désintégration radioactive et refroidissement vers 0 (a < 0). La constante a est le taux d'évolution instantané ; sa demi-vie (cas a < 0) est le temps au bout duquel la quantité est divisée par 2.

Phénomènes avec apport/perte constant (y′ = ay + b) : charge d'un condensateur, refroidissement vers une température ambiante non nulle (loi de Newton), réservoir avec débit constant. La valeur d'équilibre −b/a (atteinte quand a < 0) est le régime permanent vers lequel le système tend.

Démarche attendue : (1) nommer la grandeur et la variable (souvent le temps t) ; (2) écrire l'équation à partir de l'énoncé physique ; (3) résoudre (forme générale C·e^(at) ou C·e^(at) − b/a) ; (4) utiliser la condition initiale ; (5) interpréter (limite, demi-vie, temps caractéristique, valeur d'équilibre).

Vérification systématique : on contrôle qu'une fonction proposée modélise bien le phénomène en vérifiant qu'elle satisfait l'équation différentielle (f′ = af ou f′ = af + b) ET la condition initiale donnée.

\text{Évolution proportionnelle :}\quad y'(t) = a\,y(t) \;\Rightarrow\; y(t) = y(0)\,e^{at}

Modèle de croissance / décroissance exponentielle

Quand la vitesse d'évolution est proportionnelle à la quantité présente, la solution est une exponentielle ; y(0) est la valeur initiale.

\text{Désintégration }(a<0)\;:\quad \frac{1}{2}\,y(0) = y(0)\,e^{a t_{1/2}} \;\Rightarrow\; t_{1/2} = \frac{\ln 2}{-a}

Demi-vie d'une décroissance exponentielle

La demi-vie est le temps au bout duquel la quantité est divisée par 2 ; elle se déduit de e^(a·t₁ᐟ₂) = 1/2.

\text{Apport constant }(a<0)\;:\quad y'(t) = a\,y(t) + b \;\Rightarrow\; y(t) \xrightarrow[t \to +\infty]{} -\frac{b}{a}

Régime permanent (charge, refroidissement)

Avec un apport ou une perte constante et a < 0, le système tend vers l'état d'équilibre −b/a (tension finale, température ambiante).

Exemple corrigé

Désintégration radioactive : modèle, résolution, demi-vie

La masse N(t) (en mg) d'un échantillon radioactif décroît selon N′(t) = −0,1·N(t), où t est le temps en jours, avec N(0) = 200 mg. 1) Déterminer N(t). 2) Calculer la masse au bout de 10 jours. 3) Déterminer la demi-vie t₁ᐟ₂ de cet échantillon.

Reconnaître le modèle
Le taux de variation est proportionnel à la masse présente : c'est une équation y′ = ay avec a = −0,1 (a < 0 : décroissance).
$N'(t) = -0{,}1\,N(t),\qquad a = -0{,}1$
Résoudre avec la condition initiale
Les solutions sont N(t) = C·e^(−0,1t) ; la condition N(0) = 200 donne C = 200.
$N(t) = 200\,e^{-0{,}1\,t}$
Calculer N(10)
On évalue la masse à t = 10 jours.
$N(10) = 200\,e^{-1} \approx 200 \times 0{,}368 \approx 73{,}6\;\text{mg}$
Déterminer la demi-vie
La demi-vie t₁ᐟ₂ vérifie N(t₁ᐟ₂) = N(0)/2 = 100, soit e^(−0,1·t₁ᐟ₂) = 1/2 ; on passe au logarithme.
$e^{-0{,}1\,t_{1/2}} = \tfrac{1}{2} \;\Rightarrow\; t_{1/2} = \frac{\ln 2}{0{,}1} \approx 6{,}93\;\text{jours}$

Résultat : N(t) = 200·e^(−0,1t) ; N(10) ≈ 73,6 mg ; demi-vie t₁ᐟ₂ = ln 2 / 0,1 ≈ 6,93 jours.

Schritt-für-Schritt Erklärung5 Schritte

1
Partons d'une situation concrète : un liquide à 90 °C dans une pièce à 20 °C. La loi de refroidissement de Newton dit que la vitesse de refroidissement est proportionnelle à l'écart entre la température du liquide et celle de la pièce. On écrit donc T′(t) = −0,2·(T(t) − 20).
$T'(t) = -0{,}2\,\big(T(t) - 20\big)$
2
On développe pour reconnaître la forme du cours : T′ = ay + b. En distribuant le −0,2, on obtient a = −0,2 et b = 4. C'est bien une équation différentielle linéaire à coefficients constants.
$T' = -0{,}2\,T + 4,\qquad a = -0{,}2,\; b = 4$
3
On cherche d'abord la solution constante d'équilibre : −b/a vaut 20. C'est rassurant, c'est exactement la température de la pièce. La solution générale est donc C·e^(−0,2t) + 20.
$f_{\text{part}} = -\frac{b}{a} = 20,\qquad T(t) = C\,e^{-0{,}2t} + 20$
4
La condition initiale T(0) = 90 fixe la constante : C + 20 = 90, donc C = 70. La solution complète est T(t) = 70·e^(−0,2t) + 20.
$T(0) = C + 20 = 90 \;\Rightarrow\; C = 70,\quad T(t) = 70\,e^{-0{,}2t} + 20$
5
On visualise enfin la courbe : elle part de 90 °C et décroît en se rapprochant de l'asymptote horizontale y = 20. La valeur d'équilibre −b/a est le régime permanent, atteint lorsque le terme exponentiel s'est effacé.
Refroidissement T(t) = 70·e^(−0,2t) + 20

Erreurs fréquentes

Oublier de définir la variable et l'origine du temps, ce qui rend la condition initiale ambiguë.
Choisir un mauvais signe pour a : une décroissance impose a < 0, une croissance a > 0 ; un signe erroné inverse complètement le comportement.
Confondre le taux a (vitesse d'évolution) et la valeur d'équilibre −b/a (état final) lors de l'interprétation physique.

Révision active

Un condensateur se charge selon u′(t) = −5u(t) + 50, où u(t) est la tension (en V) à l'instant t (en s) et u(0) = 0. Déterminer u(t), la tension limite, et le sens de variation de u.

Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Sources : Programme de spécialité mathématiques — classe terminale (BO spécial n° 8 du 25 juillet 2019) (Ministère de l'Éducation nationale) · Programmes et ressources en mathématiques — voie GT (Ministère de l'Éducation nationale — Éduscol)

Points clés

Déterminer la primitive vérifiant une condition initiale

Points clés

Reconnaître une forme composée u′f(u)

Points clés

Résoudre y′ = ay avec condition initiale

Points clés

Résoudre y′ = ay + b avec condition initiale

Second membre non constant : toutes les solutions à partir d'une solution particulière donnée

Points clés

Désintégration radioactive : modèle, résolution, demi-vie

Sources

Primitives et équations différentielles

Points clés

Déterminer la primitive vérifiant une condition initiale

Points clés

Reconnaître une forme composée u′f(u)

Points clés

Résoudre y′ = ay avec condition initiale

Points clés

Résoudre y′ = ay + b avec condition initiale

Second membre non constant : toutes les solutions à partir d'une solution particulière donnée

Points clés

Désintégration radioactive : modèle, résolution, demi-vie

Sources