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Fonctions trigonométriques

En terminale, le cercle trigonométrique, le radian, la parité, la périodicité 2π, les valeurs remarquables et les dérivées de sinus et cosinus sont des acquis de première que l'on réinvestit. Le cœur du chapitre porte sur deux capacités : résoudre une équation du type cos(x) = a et une inéquation du type cos(x) ⩽ a sur [−π ; π], et étudier une fonction simple définie à partir de sinus et cosinus pour en déterminer les variations et un optimum, notamment dans un problème géométrique.

5 sections~26 min de lecture4 compétencesNiveau Base 2 · Standard 2 · Approfondissement 1Vérifié · 06/2026

T·0555 / 12

Profil d’examen

Résoudre une équation du type cos(x) = a, ainsi qu'une inéquation de la forme cos(x) ⩽ a sur [−π ; π]Étudier une fonction simple définie à partir de fonctions trigonométriques, pour en déterminer les variations et un optimum (notamment dans le cadre d'un problème géométrique)Réinvestir les acquis de première : cercle trigonométrique, radian, parité, périodicité 2π, valeurs remarquables et angles associés (rappel)Réinvestir les acquis de première : dérivées de sin et cos, dont sin(ax + b) et cos(ax + b), pour mener variations et représentations graphiques (rappel)

Opérateurs :démontrerétudiercalculerrésoudrereprésenterinterpréterjustifier

niveau de base

Hors spécialité, on retient surtout les valeurs remarquables, la lecture sur le cercle et l'allure des courbes de sin et cos.

niveau approfondi

En spécialité (terminale), le programme n'exige aucune démonstration sur ce thème : les dérivées de sin et cos sont des outils acquis en première. L'attendu porte sur la résolution rigoureuse d'une équation cos(x) = a et d'une inéquation cos(x) ⩽ a sur [−π ; π], et sur l'étude d'une fonction définie à partir de sin et cos pour en déterminer un optimum, notamment dans un problème géométrique.

Profondeur

Texte

Sommaire · 5 sections

Fonctions trigonométriques

Rappel de première — cercle trigonométrique, radian, parité et périodicité#

BaseBO-2019-spe-maths-terminale-§Fonctions-trigonometriques

Cercle trigonométrique : abscisse = cosinus, ordonnée = sinus

Fig. 1Pour un réel x, le point M associé sur le cercle a pour coordonnées (cos x ; sin x). Le cosinus se lit en abscisse, le sinus en ordonnée.

Rappel de première (acquis réinvesti en terminale) : tout ce paragraphe relève du programme de première ; en terminale, ces notions sont supposées connues et servent d'outils. Le radian est l'unique unité d'angle pour laquelle la longueur de l'arc intercepté sur le cercle de rayon 1 est égale à la mesure de l'angle : un tour complet vaut 2π rad, un angle plat π rad, un angle droit π/2 rad. La conversion degrés ↔ radians se fait par proportionnalité : θ (rad) = θ (deg) × π/180.

Sur le cercle trigonométrique (cercle de centre O et de rayon 1 muni d'une orientation directe), à tout réel x on associe le point M obtenu en parcourant un arc de longueur x à partir du point de coordonnées (1 ; 0). Par définition, cos(x) est l'abscisse de M et sin(x) son ordonnée ; on a donc cos²(x) + sin²(x) = 1 et −1 ≤ cos(x) ≤ 1, −1 ≤ sin(x) ≤ 1.

Périodicité : pour tout réel x, cos(x + 2π) = cos(x) et sin(x + 2π) = sin(x). Les fonctions cosinus et sinus sont donc 2π-périodiques : il suffit de les connaître sur un intervalle de longueur 2π (par exemple [−π ; π]) pour les connaître partout.

Parité : pour tout réel x, cos(−x) = cos(x) (la fonction cosinus est paire, sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées) et sin(−x) = −sin(x) (la fonction sinus est impaire, sa courbe est symétrique par rapport à l'origine).

Ensemble de définition et bornes : cosinus et sinus sont définies sur ℝ tout entier, continues et dérivables sur ℝ, et à valeurs dans [−1 ; 1] ; il n'y a aucune valeur interdite, contrairement à la fonction tangente.

\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1

Identité fondamentale

Conséquence directe de M(cos x ; sin x) sur le cercle de rayon 1 (théorème de Pythagore).

\cos(x + 2\pi) = \cos(x) \qquad \sin(x + 2\pi) = \sin(x)

Périodicité 2π

Cosinus et sinus sont invariantes par x ↦ x + 2π : un tour complet ramène au même point.

\cos(-x) = \cos(x) \qquad \sin(-x) = -\sin(x)

Parité

Cosinus est paire (courbe symétrique par rapport à l'axe Oy) ; sinus est impaire (courbe symétrique par rapport à O).

\theta_{\text{rad}} = \theta_{\text{deg}} \times \dfrac{\pi}{180}

Conversion degrés → radians

Par proportionnalité : 180° ↔ π rad. Ainsi 60° ↔ π/3, 45° ↔ π/4.

Exemple corrigé

Réduire grâce à la périodicité et à la parité

Calculer la valeur exacte de cos(−13π/6) et de sin(−13π/6).

Utiliser la périodicité 2π
On ajoute des multiples de 2π pour ramener l'argument dans un intervalle commode. Comme 2π = 12π/6, on a −13π/6 + 2 × (12π/6) = −13π/6 + 24π/6 = 11π/6, mais il est plus simple d'écrire −13π/6 = −π/6 − 12π/6 = −π/6 − 2π.
$-\dfrac{13\pi}{6} = -\dfrac{\pi}{6} - 2\pi$
Appliquer la périodicité
Puisque cos et sin sont 2π-périodiques, ôter 2π ne change rien : cos(−13π/6) = cos(−π/6) et sin(−13π/6) = sin(−π/6).
$\cos\!\left(-\dfrac{13\pi}{6}\right) = \cos\!\left(-\dfrac{\pi}{6}\right), \quad \sin\!\left(-\dfrac{13\pi}{6}\right) = \sin\!\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)$
Appliquer la parité
Cosinus est paire et sinus impaire, donc cos(−π/6) = cos(π/6) = √3/2 et sin(−π/6) = −sin(π/6) = −1/2.
$\cos\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \sin\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2}$

Résultat : cos(−13π/6) = √3/2 et sin(−13π/6) = −1/2.

Erreurs fréquentes

Confondre degrés et radians : écrire cos(30) au lieu de cos(π/6) ; sur la plupart des calculatrices le mode doit être réglé sur « radian » pour l'analyse au Bac.
Croire que cosinus est impaire ou sinus paire : c'est l'inverse — cos est paire (cos(−x) = cos(x)), sin est impaire (sin(−x) = −sin(x)).

Révision active

Placer sur le cercle trigonométrique les points images de 0, π/6, π/4, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6 et π, puis lire les valeurs exactes de leur cosinus et de leur sinus.

Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Sources : Programme de spécialité mathématiques — classe terminale (voie générale) (Ministère de l'Éducation nationale — Éduscol)

Rappel de première — valeurs remarquables et angles associés#

BaseBO-2019-spe-maths-terminale-§Fonctions-trigonometriques

Angles associés sur le cercle trigonométrique

Fig. 2À partir d'un angle x du premier quadrant, les symétries du cercle donnent −x, π − x et π + x, et donc tous les angles associés.

Rappel de première (acquis réinvesti en terminale) : valeurs remarquables et angles associés sont au programme de première ; on les mobilise ici comme outils pour résoudre équations et inéquations. Valeurs remarquables à connaître par cœur sur le premier quart de tour : cos(0) = 1, cos(π/6) = √3/2, cos(π/4) = √2/2, cos(π/3) = 1/2, cos(π/2) = 0 ; et symétriquement sin(0) = 0, sin(π/6) = 1/2, sin(π/4) = √2/2, sin(π/3) = √3/2, sin(π/2) = 1. On remarque que cos(π/2 − x) = sin(x) : les colonnes de cosinus et de sinus se lisent en miroir.

Angles supplémentaires : cos(π − x) = −cos(x) et sin(π − x) = sin(x). Ces relations donnent les valeurs au deuxième quadrant à partir du premier (ex. cos(2π/3) = −1/2, sin(2π/3) = √3/2).

Angles opposés et complémentaires : cos(−x) = cos(x), sin(−x) = −sin(x) (parité) ; cos(π/2 − x) = sin(x), sin(π/2 − x) = cos(x) (complémentaires) ; cos(π/2 + x) = −sin(x), sin(π/2 + x) = cos(x).

Angles décalés de π : cos(x + π) = −cos(x) et sin(x + π) = −sin(x). Le point image est diamétralement opposé, ses deux coordonnées changent donc de signe.

Le signe de cos et sin se lit par quadrant : cos > 0 à droite de l'axe Oy (quadrants I et IV), sin > 0 au-dessus de l'axe Ox (quadrants I et II). Ce repérage évite d'apprendre toutes les valeurs : on combine une valeur remarquable du premier quadrant et le signe du quadrant visé.

\begin{array}{c|ccccc} x & 0 & \frac{\pi}{6} & \frac{\pi}{4} & \frac{\pi}{3} & \frac{\pi}{2} \\ \hline \cos x & 1 & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ \sin x & 0 & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \end{array}

Table des valeurs remarquables

Les valeurs du cosinus décroissent de 1 à 0 ; celles du sinus croissent de 0 à 1, en miroir.

\cos(\pi - x) = -\cos(x) \qquad \sin(\pi - x) = \sin(x)

Angles supplémentaires

Permet de passer du premier au deuxième quadrant.

\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2} - x\right) = \sin(x) \qquad \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2} - x\right) = \cos(x)

Angles complémentaires

Cosinus et sinus échangent leurs rôles par la complémentation π/2 − x.

\cos(x + \pi) = -\cos(x) \qquad \sin(x + \pi) = -\sin(x)

Décalage de π

Le point image est diamétralement opposé : les deux coordonnées changent de signe.

Exemple corrigé

Calculer une valeur via un angle associé

Donner la valeur exacte de cos(5π/6) et de sin(5π/6).

Reconnaître un angle supplémentaire
On écrit 5π/6 = π − π/6 : l'angle 5π/6 est l'angle supplémentaire de π/6, situé au deuxième quadrant.
$\dfrac{5\pi}{6} = \pi - \dfrac{\pi}{6}$
Appliquer les relations des angles supplémentaires
On utilise cos(π − x) = −cos(x) et sin(π − x) = sin(x) avec x = π/6.
$\cos\!\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) = -\cos\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right), \quad \sin\!\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) = \sin\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$
Substituer les valeurs remarquables
On remplace par cos(π/6) = √3/2 et sin(π/6) = 1/2.
$\cos\!\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \sin\!\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2}$

Résultat : cos(5π/6) = −√3/2 et sin(5π/6) = 1/2 (cohérent avec le deuxième quadrant : cosinus négatif, sinus positif).

Erreurs fréquentes

Inverser √2/2 et √3/2, ou se tromper de signe en passant d'un quadrant à l'autre (oublier que cos est négatif au deuxième quadrant).
Appliquer cos(π − x) = cos(x) (faux : c'est −cos(x)) en confondant la relation des angles supplémentaires pour le cosinus et pour le sinus.

Révision active

Sans calculatrice, donner les valeurs exactes de cos(2π/3), sin(3π/4), cos(5π/6), sin(7π/6) et cos(11π/6) en passant par un angle associé.

Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Sources : Programme de spécialité mathématiques — classe terminale (voie générale) (Ministère de l'Éducation nationale — Éduscol)

Rappel de première — dérivées de sin et cos, dérivée de sin(u) / cos(u)#

StandardBO-2019-spe-maths-terminale-§Fonctions-trigonometriques

La dérivée de sin est cos : la courbe dérivée

Fig. 3La courbe de la dérivée de sin (en pointillé) est exactement la courbe de cos : aux extrémums de sin (en ±π/2), cos s'annule.

Rappel de première (acquis réinvesti en terminale) : les dérivées de sin et cos, et la limite fondamentale qui les établit, relèvent du programme de première. En terminale, ce sont des OUTILS acquis — aucune démonstration n'est exigible sur ce thème ; on les utilise pour étudier des fonctions.

Limite fondamentale (rappel) : lim (x → 0) sin(x)/x = 1, et lim (x → 0) (cos(x) − 1)/x = 0. La première encadre sin(x) entre x et tan(x) sur ]0 ; π/2[ (comparaison d'aires sur le cercle) ; la seconde s'en déduit en multipliant par (cos x + 1) au numérateur et au dénominateur.

Dérivée des fonctions de référence : la fonction sinus est dérivable sur ℝ et (sin x)′ = cos x ; la fonction cosinus est dérivable sur ℝ et (cos x)′ = −sin x. En terminale, ces résultats sont admis comme outils.

Dérivée d'une fonction composée affine : pour a et b réels, (sin(ax + b))′ = a·cos(ax + b) et (cos(ax + b))′ = −a·sin(ax + b). On retient surtout le coefficient a qui apparaît en facteur (dérivée de l'argument).

Dérivée générale de sin(u) et cos(u) : si u est dérivable, alors (sin(u))′ = u′·cos(u) et (cos(u))′ = −u′·sin(u). C'est l'application directe de la formule de dérivation d'une composée (g ∘ u)′ = u′ × g′(u).

\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(x)}{x} = 1 \qquad \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos(x) - 1}{x} = 0

Limites fondamentales en 0

Ces deux limites servent à établir les dérivées de sin et cos et à lever des indéterminations.

(\sin x)' = \cos x \qquad (\cos x)' = -\sin x

Dérivées de référence

Sinus et cosinus sont dérivables sur ℝ ; dériver fait « tourner » d'un quart de tour.

\big(\sin(ax + b)\big)' = a\,\cos(ax + b) \qquad \big(\cos(ax + b)\big)' = -a\,\sin(ax + b)

Composée affine

Le coefficient a de l'argument apparaît en facteur dans la dérivée.

\big(\sin(u)\big)' = u'\cos(u) \qquad \big(\cos(u)\big)' = -u'\sin(u)

Composée générale

Cas général issu de la dérivation d'une composée (g ∘ u)′ = u′ × g′(u).

Exemple corrigé

Rappel de première (hors attendu de terminale) — démontrer que (sin x)′ = cos x

Cette démonstration relève du programme de première et n'est pas exigible en terminale ; elle est rappelée pour mémoire. En utilisant la limite lim (h → 0) sin(h)/h = 1 et la formule d'addition sin(x + h) = sin x cos h + cos x sin h, on retrouve que la dérivée de la fonction sinus est la fonction cosinus.

Former le taux d'accroissement
La dérivée en x est la limite, quand h tend vers 0, du taux d'accroissement [sin(x + h) − sin x] / h.
$\tau(h) = \dfrac{\sin(x + h) - \sin(x)}{h}$
Développer avec la formule d'addition
On remplace sin(x + h) par sin x cos h + cos x sin h, puis on regroupe les termes en sin x et en cos x.
$\tau(h) = \sin(x)\cdot\dfrac{\cos(h) - 1}{h} + \cos(x)\cdot\dfrac{\sin(h)}{h}$
Passer à la limite
Quand h → 0, (cos h − 1)/h → 0 et sin(h)/h → 1. Le premier terme tend vers sin(x) × 0 = 0, le second vers cos(x) × 1 = cos(x).
$\lim_{h \to 0} \tau(h) = \sin(x)\cdot 0 + \cos(x)\cdot 1 = \cos(x)$

Résultat : La fonction sinus est dérivable sur ℝ et (sin x)′ = cos x. Le même calcul avec cos(x + h) = cos x cos h − sin x sin h donne (cos x)′ = −sin x.

Schritt-für-Schritt Erklärung4 Schritte

1
On part du taux d'accroissement de sinus en x : c'est [sin(x + h) − sin(x)] divisé par h, dont on cherche la limite quand h tend vers 0.
$\dfrac{\sin(x + h) - \sin(x)}{h}$
2
La formule d'addition transforme ce taux en deux morceaux : un facteur (cos h − 1)/h devant sin x, et un facteur sin(h)/h devant cos x.
$\sin(x)\cdot\dfrac{\cos(h) - 1}{h} + \cos(x)\cdot\dfrac{\sin(h)}{h}$
3
Les deux limites clés font le travail : (cos h − 1)/h tend vers 0 et sin(h)/h tend vers 1, donc il ne reste que cos x.
$(\sin x)' = \cos x$
4
Graphiquement, la courbe de cosinus est bien la pente de la courbe de sinus : là où sinus culmine, sa pente — donc cosinus — vaut zéro.
sin et sa pente cos

Erreurs fréquentes

Oublier le facteur a : écrire (sin(2x))′ = cos(2x) au lieu de 2·cos(2x), ou oublier le signe moins dans (cos u)′ = −u′·sin u.
Confondre cos²(x) = (cos x)² avec cos(x²) : la dérivée de (cos x)² est 2·cos x·(−sin x) = −2 sin x cos x, alors que celle de cos(x²) est −2x·sin(x²).

Révision active

Dériver f(x) = sin(3x + π/4), g(x) = x²·cos(x) et k(x) = cos(2x) − 2 sin(x), puis déterminer les valeurs de x annulant f′(x) sur [0 ; π].

Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Sources : Programme de spécialité mathématiques — classe terminale (voie générale) (Ministère de l'Éducation nationale — Éduscol)

Variations et représentations graphiques de sin et cos#

StandardBO-2019-spe-maths-terminale-§Fonctions-trigonometriques

Les sinusoïdes de cos et sin sur [−2π ; 2π]

Fig. 4Sur [−2π ; 2π] : cos (trait plein, paire, maximum en 0) et sin (pointillé, impaire, passe par l'origine), toutes deux 2π-périodiques entre −1 et 1.

Étude de sinus sur [−π ; π] : sin′(x) = cos(x). Le signe de cos donne les variations — sinus décroît sur [−π ; −π/2], croît sur [−π/2 ; π/2], décroît sur [π/2 ; π]. Minimum −1 atteint en −π/2, maximum +1 atteint en π/2.

Étude de cosinus sur [0 ; 2π] (ou par parité sur [0 ; π]) : cos′(x) = −sin(x). Sur [0 ; π], sin ≥ 0 donc cos′ ≤ 0 : cosinus est décroissante de 1 (en 0) à −1 (en π) ; sur [π ; 2π] elle est croissante de −1 à 1.

Réduction de l'intervalle d'étude : grâce à la périodicité 2π, on étudie sur une période ; grâce à la parité, on étudie cos sur [0 ; π] puis on complète par symétrie axiale (axe Oy), et sin sur [0 ; π] puis par symétrie centrale (origine).

Représentation graphique : la courbe de sin (la sinusoïde) passe par l'origine, oscille entre −1 et 1 avec une période 2π ; la courbe de cos est la même courbe translatée de π/2 vers la gauche, car cos(x) = sin(x + π/2). Les deux courbes ont des tangentes horizontales à leurs extrémums.

Symétries des courbes : la courbe de cosinus est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (fonction paire) ; la courbe de sinus est symétrique par rapport à l'origine (fonction impaire). Ces symétries guident le tracé et la vérification.

\cos(x) = \sin\!\left(x + \dfrac{\pi}{2}\right)

Déphasage cos / sin

La courbe de cosinus est la sinusoïde translatée de π/2 vers la gauche.

\begin{array}{c|ccc} x & -\frac{\pi}{2} & & \frac{\pi}{2} \\ \hline \sin'(x)=\cos x & & + & \\ \hline \sin x & -1 & \nearrow & 1 \end{array}

Tableau de variations de sin (extrait sur [−π/2 ; π/2])

Sinus croît de −1 à 1 sur [−π/2 ; π/2] car sa dérivée cosinus y est positive.

Exemple corrigé

Variations d'une sinusoïde déphasée

Soit f définie sur ℝ par f(x) = sin(2x). Déterminer sa période, calculer f′(x) et étudier les variations de f sur l'intervalle [0 ; π].

Période
La fonction x ↦ sin(2x) est de la forme sin(ax) avec a = 2, donc de période 2π/a = π. Étudier sur [0 ; π] suffit pour connaître f partout.
$T = \dfrac{2\pi}{a} = \dfrac{2\pi}{2} = \pi$
Dérivée
On dérive la composée affine : (sin(2x))′ = 2·cos(2x). La dérivée a le signe de cos(2x).
$f'(x) = 2\cos(2x)$
Signe de la dérivée sur [0 ; π]
Sur [0 ; π], 2x parcourt [0 ; 2π]. cos(2x) > 0 quand 2x ∈ [0 ; π/2[ ∪ ]3π/2 ; 2π], c'est-à-dire x ∈ [0 ; π/4[ ∪ ]3π/4 ; π] ; cos(2x) < 0 pour x ∈ ]π/4 ; 3π/4[.
$f'(x) = 0 \iff x = \dfrac{\pi}{4} \ \text{ou} \ x = \dfrac{3\pi}{4}$
Tableau de variations
f croît sur [0 ; π/4] (de 0 à 1), décroît sur [π/4 ; 3π/4] (de 1 à −1), puis croît sur [3π/4 ; π] (de −1 à 0). Le maximum 1 est en π/4, le minimum −1 en 3π/4.
$f\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right) = \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right) = 1, \qquad f\!\left(\tfrac{3\pi}{4}\right) = \sin\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right) = -1$

Résultat : f(x) = sin(2x) est π-périodique ; sur [0 ; π] elle croît jusqu'à 1 en π/4, décroît jusqu'à −1 en 3π/4, puis remonte vers 0 — soit une oscillation complète de moitié de longueur par rapport à sin(x).

Exemple corrigé

Problème géométrique : aire maximale d'un trapèze inscrit

Un trapèze isocèle est inscrit dans un demi-disque de rayon 1 : sa grande base est le diamètre [PQ] (avec P(−1 ; 0) et Q(1 ; 0)), et ses deux autres sommets sont les points A(cos θ ; sin θ) et B(−cos θ ; sin θ) du demi-cercle supérieur, où θ ∈ ]0 ; π/2[. Déterminer la valeur de θ qui rend l'aire du trapèze maximale, et donner cette aire maximale.

Exprimer l'aire en fonction de θ
La grande base vaut PQ = 2, la petite base AB = 2 cos θ et la hauteur (l'ordonnée de A) vaut sin θ. L'aire d'un trapèze est la demi-somme des bases multipliée par la hauteur.
$A(\theta) = \dfrac{(2 + 2\cos\theta)}{2}\times \sin\theta = (1 + \cos\theta)\sin\theta$
Dériver A sur ]0 ; π/2[
On dérive un produit : A′(θ) = (−sin θ)·sin θ + (1 + cos θ)·cos θ = −sin²θ + cos θ + cos²θ. Avec sin²θ = 1 − cos²θ, on obtient A′(θ) = 2cos²θ + cos θ − 1, qui se factorise.
$A'(\theta) = 2\cos^2\theta + \cos\theta - 1 = (2\cos\theta - 1)(\cos\theta + 1)$
Étudier le signe et conclure à l'optimum
Sur ]0 ; π/2[, cos θ + 1 > 0, donc A′(θ) a le signe de 2cos θ − 1. Or 2cos θ − 1 > 0 ⇔ cos θ > 1/2 ⇔ θ < π/3, et < 0 pour θ > π/3. Ainsi A croît puis décroît : elle atteint son maximum en θ = π/3.
$A'(\theta) = 0 \iff \cos\theta = \dfrac{1}{2} \iff \theta = \dfrac{\pi}{3}$
Calculer l'aire maximale
On remplace θ par π/3 : cos(π/3) = 1/2 et sin(π/3) = √3/2.
$A\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \left(1 + \dfrac{1}{2}\right)\times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{3}{2}\times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{3\sqrt{3}}{4}$

Résultat : L'aire est maximale pour θ = π/3 ; elle vaut alors 3√3/4 ≈ 1,30. C'est l'archétype de la capacité attendue de terminale : étudier une fonction définie à partir de sin et cos pour déterminer un optimum dans un problème géométrique.

Erreurs fréquentes

Donner des variations « inversées » : oublier que cos′ = −sin (donc cosinus décroît là où sinus est positif), et croire que cosinus croît sur [0 ; π].
Tracer une courbe de période fausse (oublier que la période de sin(ax) est 2π/a) ou ne pas placer correctement les extrémums et les zéros.

Révision active

Étudier les variations de f(x) = sin(x) sur [−π ; π] (tableau de signes de cos, tableau de variations), puis tracer sa courbe en plaçant les points remarquables.

Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Sources : Programme de spécialité mathématiques — classe terminale (voie générale) (Ministère de l'Éducation nationale — Éduscol)

Équations et inéquations trigonométriques sur un intervalle#

ApprofondissementBO-2019-spe-maths-terminale-§Fonctions-trigonometriques

Résolution graphique de cos(x) = 1/2 sur [0 ; 2π]

Fig. 5On lit les solutions de cos(x) = 1/2 comme les abscisses des intersections de la courbe y = cos x avec la droite y = 1/2 : ici x = π/3 et x = 5π/3 sur [0 ; 2π].

Capacité attendue de terminale : résoudre une équation du type cos(x) = a, ET une inéquation de la forme cos(x) ⩽ a sur [−π ; π]. C'est l'attendu central de ce chapitre, à maîtriser sur le cercle comme par lecture graphique.

Équation cos(x) = cos(a) : ses solutions sur ℝ sont x = a + 2kπ ou x = −a + 2kπ, où k décrit ℤ. Géométriquement, les deux points du cercle ayant la même abscisse a sont symétriques par rapport à l'axe Ox, d'où les deux familles a et −a. (Le paramètre k sert à passer de l'intervalle [−π ; π] à ℝ ; au bac, on travaille essentiellement sur l'intervalle donné.)

Équation sin(x) = sin(a) : ses solutions sur ℝ sont x = a + 2kπ ou x = π − a + 2kπ, où k décrit ℤ. Les deux points du cercle ayant la même ordonnée sont symétriques par rapport à l'axe Oy, d'où les familles a et π − a.

Inéquation cos(x) ⩽ a sur [−π ; π] : on cherche d'abord les bornes, c'est-à-dire les solutions de l'équation cos(x) = a sur [−π ; π], soit x = −α et x = α avec α = l'angle de [0 ; π] tel que cos(α) = a. Comme cosinus décroît sur [0 ; π] et croît sur [−π ; 0], on lit sur le cercle (ou sur la courbe) que cos(x) ⩽ a exactement pour x ∈ [−π ; −α] ∪ [α ; π]. Un tableau de signes de cos(x) − a, ou la lecture des arcs du cercle, donne le même résultat.

Cas particuliers à connaître : cos(x) = 1 ⇔ x = 2kπ ; cos(x) = −1 ⇔ x = π + 2kπ ; cos(x) = 0 ⇔ x = π/2 + kπ ; sin(x) = 0 ⇔ x = kπ ; sin(x) = 1 ⇔ x = π/2 + 2kπ ; sin(x) = −1 ⇔ x = −π/2 + 2kπ.

Existence des solutions : cos(x) = a et sin(x) = a n'ont de solution que si a ∈ [−1 ; 1] ; sinon l'ensemble des solutions est vide. Avant de résoudre, on cherche un angle a tel que cos(a) = a (ou sin(a) = a), de préférence une valeur remarquable.

Résolution sur un intervalle borné : après avoir trouvé les angles solutions de l'équation associée, on sélectionne ceux qui appartiennent à l'intervalle demandé ([0 ; 2π[ ou [−π ; π]). La lecture graphique (intersection avec la droite y = a pour l'équation, position relative courbe/droite pour l'inéquation) confirme le résultat.

\cos(x) = \cos(a) \iff x = a + 2k\pi \ \text{ou} \ x = -a + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Équation en cosinus

Deux familles : a et son opposé −a, modulo 2π.

\sin(x) = \sin(a) \iff x = a + 2k\pi \ \text{ou} \ x = \pi - a + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Équation en sinus

Deux familles : a et son supplémentaire π − a, modulo 2π.

\cos(x) = 0 \iff x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi \qquad \sin(x) = 0 \iff x = k\pi

Cas particuliers utiles

Annulations de cos et sin, à reconnaître immédiatement.

\text{Sur } [-\pi\,;\,\pi],\ \text{avec } \alpha \in [0\,;\,\pi] \text{ tel que } \cos(\alpha) = a : \quad \cos(x) \leqslant a \iff x \in [-\pi\,;\,-\alpha] \cup [\alpha\,;\,\pi]

Inéquation cos(x) ⩽ a sur [−π ; π]

Cosinus est maximal en 0 et décroît vers ±π : cos(x) ⩽ a près des bords ±π, d'où une réunion de deux intervalles symétriques.

Exemple corrigé

Résoudre cos(x) = 1/2 sur [0 ; 2π[

Résoudre dans l'intervalle [0 ; 2π[ l'équation cos(x) = 1/2.

Identifier un angle de référence
On cherche a tel que cos(a) = 1/2. Parmi les valeurs remarquables, cos(π/3) = 1/2, donc on écrit cos(x) = cos(π/3).
$\cos(x) = \dfrac{1}{2} = \cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$
Écrire les solutions générales
D'après la propriété cos(x) = cos(a) ⇔ x = a + 2kπ ou x = −a + 2kπ, on obtient deux familles avec a = π/3.
$x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = -\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$
Sélectionner les solutions dans [0 ; 2π[
Pour x = π/3 + 2kπ : k = 0 donne π/3 (dans l'intervalle), k = 1 donne 7π/3 (hors). Pour x = −π/3 + 2kπ : k = 0 donne −π/3 (hors, négatif), k = 1 donne −π/3 + 2π = 5π/3 (dans l'intervalle).
$\dfrac{\pi}{3} \in [0 ; 2\pi[ \qquad -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi = \dfrac{5\pi}{3} \in [0 ; 2\pi[$

Résultat : L'ensemble des solutions dans [0 ; 2π[ est S = { π/3 ; 5π/3 }, ce que confirme la lecture graphique (deux intersections de y = cos x avec y = 1/2).

Exemple corrigé

Résoudre sin(x) = √2/2 sur [0 ; 2π[

Résoudre dans l'intervalle [0 ; 2π[ l'équation sin(x) = √2/2.

Identifier un angle de référence
On cherche a tel que sin(a) = √2/2. Comme sin(π/4) = √2/2, on écrit sin(x) = sin(π/4).
$\sin(x) = \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \sin\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$
Écrire les solutions générales
D'après sin(x) = sin(a) ⇔ x = a + 2kπ ou x = π − a + 2kπ, avec a = π/4.
$x = \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \pi - \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi = \dfrac{3\pi}{4} + 2k\pi$
Sélectionner les solutions dans [0 ; 2π[
Pour k = 0 : la première famille donne π/4, la seconde 3π/4, toutes deux dans [0 ; 2π[. Pour k = 1 les valeurs (9π/4 et 11π/4) sortent de l'intervalle.
$\dfrac{\pi}{4} \in [0 ; 2\pi[ \qquad \dfrac{3\pi}{4} \in [0 ; 2\pi[$

Résultat : L'ensemble des solutions dans [0 ; 2π[ est S = { π/4 ; 3π/4 } : deux angles symétriques par rapport à l'axe Oy, comme l'impose sin(π − a) = sin(a).

Exemple corrigé

Résoudre l'inéquation cos(x) ⩽ 1/2 sur [−π ; π]

Résoudre dans l'intervalle [−π ; π] l'inéquation cos(x) ⩽ 1/2.

Résoudre d'abord l'équation associée
On cherche les bornes : cos(x) = 1/2 sur [−π ; π]. Comme cos(π/3) = 1/2 et cosinus est paire, les solutions sont x = π/3 et x = −π/3.
$\cos(x) = \dfrac{1}{2} \ \text{sur } [-\pi\,;\,\pi] \iff x = -\dfrac{\pi}{3} \ \text{ou} \ x = \dfrac{\pi}{3}$
Étudier la position de la courbe par rapport à y = 1/2
Sur [−π ; π], cosinus vaut 1 en 0 (son maximum) et −1 en ±π. Il décroît de 0 à π et croît de −π à 0 : cos(x) est donc supérieur à 1/2 autour de 0 (sur ]−π/3 ; π/3[) et inférieur ou égal à 1/2 vers les bords ±π.
$\cos(x) > \dfrac{1}{2} \ \text{sur } \left]-\dfrac{\pi}{3}\,;\,\dfrac{\pi}{3}\right[ \qquad \cos(x) \leqslant \dfrac{1}{2} \ \text{ailleurs}$
Conclure par une réunion d'intervalles
Les valeurs où cos(x) ⩽ 1/2 sont donc celles proches de ±π, bornes incluses (cos(±π/3) = 1/2 vérifie l'inégalité large).
$S = \left[-\pi\,;\,-\dfrac{\pi}{3}\right] \cup \left[\dfrac{\pi}{3}\,;\,\pi\right]$

Résultat : Sur [−π ; π], cos(x) ⩽ 1/2 ⇔ x ∈ [−π ; −π/3] ∪ [π/3 ; π] : une réunion de deux intervalles symétriques, ce que confirme la lecture des arcs du cercle (la partie du cercle où l'abscisse est ⩽ 1/2).

Erreurs fréquentes

N'écrire qu'une seule famille de solutions : oublier la branche −a + 2kπ pour cos, ou la branche π − a + 2kπ pour sin.
Mal sélectionner les solutions : en oublier une située dans l'intervalle, ou en garder une hors de l'intervalle (vérifier chaque candidat par encadrement).
Pour une inéquation cos(x) ⩽ a : confondre l'ensemble des solutions avec un seul intervalle, ou inverser le sens (donner cos(x) ⩾ a) — penser que cos est petit (⩽ a) du côté de x = ±π, et grand (⩾ a) autour de x = 0.

Révision active

Résoudre sur [0 ; 2π[ l'équation cos(x) = −1/2, puis sur [−π ; π] l'inéquation cos(x) ⩽ 1/2 ; pour chacune, vérifier le résultat par une lecture graphique.

Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Sources : Programme de spécialité mathématiques — classe terminale (voie générale) (Ministère de l'Éducation nationale — Éduscol)

Références et sources

Sources

Ministère de l'Éducation nationale — Éduscol

Programme de spécialité mathématiques — classe terminale (voie générale)

Fonctions trigonométriques

Points clés

Réduire grâce à la périodicité et à la parité

Points clés

Calculer une valeur via un angle associé

Points clés

Rappel de première (hors attendu de terminale) — démontrer que (sin x)′ = cos x

Points clés

Variations d'une sinusoïde déphasée

Problème géométrique : aire maximale d'un trapèze inscrit

Points clés

Résoudre cos(x) = 1/2 sur [0 ; 2π[

Résoudre sin(x) = √2/2 sur [0 ; 2π[

Résoudre l'inéquation cos(x) ⩽ 1/2 sur [−π ; π]

Sources