Calcul intégral

Intégrale d'une fonction continue : aire et signe#

BaseBO-2019-spe-maths-terminale-§Calcul-integral

Aire sous la courbe d'une fonction positive

Fig. 1Pour f ≥ 0 sur [a ; b], l'intégrale ∫_a^b f(t) dt est l'aire de la région colorée, comprise entre la courbe, l'axe des abscisses et les bords verticaux x = 1 et x = 4.

Cas positif (définition fondatrice) : soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a ; b] (avec a ≤ b). L'intégrale de f de a à b, notée ∫_a^b f(t) dt, est l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe représentative de f, l'axe des abscisses et les droites verticales d'équations x = a et x = b. Cette aire est un nombre réel positif ou nul.

Vocabulaire et notation : a et b sont les bornes (inférieure et supérieure) ; f(t) est l'intégrande ; la lettre t est une variable muette (on peut écrire ∫_a^b f(t) dt = ∫_a^b f(x) dx, le résultat ne dépend pas du nom de la variable). Le symbole « dt » indique la variable d'intégration. Le résultat est un nombre, pas une fonction.

Unité d'aire : si le repère a pour unités OI sur l'axe des abscisses et OJ sur l'axe des ordonnées, une unité d'aire (u.a.) est l'aire du rectangle de côtés OI et OJ. L'intégrale donne l'aire en unités d'aire ; pour une aire en cm² (ou en unités physiques), on multiplie par l'aire d'une unité.

Cas d'une fonction de signe quelconque (aire algébrique) : pour une fonction continue qui n'est pas de signe constant, l'intégrale ∫_a^b f compte POSITIVEMENT l'aire des portions situées AU-DESSUS de l'axe des abscisses et NÉGATIVEMENT l'aire des portions situées EN DESSOUS. C'est donc une aire algébrique : si f ≤ 0 sur [a ; b], alors ∫_a^b f ≤ 0, et l'aire géométrique (toujours positive) du domaine vaut −∫_a^b f.

Conventions sur les bornes : on pose ∫_a^a f = 0 (intervalle réduit à un point) et, lorsqu'on inverse les bornes, ∫_b^a f = −∫_a^b f. Ces conventions rendent les formules valables quel que soit l'ordre de a et b.

\int_a^b f(t)\,dt = \text{aire du domaine } \{\,(x,y) : a \le x \le b,\ 0 \le y \le f(x)\,\} \quad (f \ge 0)

Intégrale d'une fonction positive : aire sous la courbe

Pour f continue et positive sur [a ; b], l'intégrale est l'aire (en unités d'aire) comprise entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites x = a et x = b.

f \le 0 \text{ sur } [a;b] \;\Rightarrow\; \int_a^b f(t)\,dt \le 0,\qquad \mathcal{A}_{\text{géom}} = -\int_a^b f(t)\,dt

Aire algébrique et fonction négative

Une portion située sous l'axe compte négativement : l'intégrale est alors négative, et l'aire géométrique du domaine s'obtient en prenant l'opposé.

\int_a^a f(t)\,dt = 0,\qquad \int_b^a f(t)\,dt = -\int_a^b f(t)\,dt

Conventions sur les bornes

Un intervalle réduit à un point donne une intégrale nulle ; inverser les bornes change le signe de l'intégrale.

Aire algébrique : portions positives et négatives

Fig. 2Pour une fonction de signe quelconque, l'intégrale est une aire algébrique : la partie au-dessus de l'axe (entre 0 et 2) compte positivement, la partie en dessous (entre 2 et 3,5) compte négativement.

Exemple corrigé

Lire une intégrale comme une aire (cas positif et cas signé)

Le repère est orthonormé. 1) Soit f(x) = x sur [0 ; 3]. En reconnaissant un domaine triangulaire sous la courbe, déterminer ∫_0^3 x dx. 2) Soit g(x) = x − 2 sur [0 ; 3]. Déterminer ∫_0^3 (x − 2) dx en distinguant la portion en dessous de l'axe (sur [0 ; 2]) et la portion au-dessus (sur [2 ; 3]).

Identifier le domaine sous f
Sur [0 ; 3], f(x) = x est positive ; le domaine sous la courbe est le triangle de sommets (0, 0), (3, 0) et (3, 3).
$f(x) = x \ge 0 \text{ sur } [0;3]$
Calculer l'aire du triangle
Le triangle a une base de longueur 3 (sur l'axe des abscisses) et une hauteur de 3. Son aire vaut (base × hauteur)/2.
$\int_0^3 x\,dx = \frac{3 \times 3}{2} = \frac{9}{2} = 4{,}5$
Étudier le signe de g
g(x) = x − 2 s'annule en x = 2 : g ≤ 0 sur [0 ; 2] (portion sous l'axe) et g ≥ 0 sur [2 ; 3] (portion au-dessus).
$g(x) \le 0 \text{ sur } [0;2],\qquad g(x) \ge 0 \text{ sur } [2;3]$
Mesurer chaque portion (aires algébriques)
Sur [0 ; 2], le domaine sous l'axe est un triangle d'aire géométrique 2, compté négativement : −2. Sur [2 ; 3], le triangle au-dessus a une aire 1/2, compté positivement : +0,5.
$\text{sur } [0;2] : -\tfrac{2 \times 2}{2} = -2,\qquad \text{sur } [2;3] : +\tfrac{1 \times 1}{2} = +0{,}5$
Conclure par addition des aires algébriques
L'intégrale sur [0 ; 3] est la somme des deux aires algébriques.
$\int_0^3 (x - 2)\,dx = -2 + 0{,}5 = -1{,}5$

Résultat : ∫_0^3 x dx = 4,5 (aire d'un triangle) ; ∫_0^3 (x − 2) dx = −1,5 (aire algébrique : la portion sous l'axe l'emporte).

Erreurs fréquentes

Croire qu'une intégrale est toujours positive : si la courbe passe sous l'axe des abscisses, l'intégrale peut être négative (aire algébrique).
Confondre l'aire géométrique du domaine (positive) avec la valeur de l'intégrale : pour une fonction négative, l'aire du domaine est −∫_a^b f, pas ∫_a^b f.
Oublier que le résultat d'une intégrale (bornes numériques) est un NOMBRE, et écrire une fonction de x à la place.

Révision active

On considère f(x) = x sur l'intervalle [0 ; 3]. À l'aide de l'aire du domaine sous la courbe (un triangle), conjecturer la valeur de ∫_0^3 x dx. Reprendre avec g(x) = x − 2 sur [0 ; 3] en distinguant les parties au-dessus et en dessous de l'axe des abscisses.

Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

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Lien primitive–intégrale : théorème fondamental et calcul#

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Du calcul d'aire au calcul de primitive

Fig. 3Le théorème fondamental relie l'aire (gauche) à une simple différence de valeurs d'une primitive (droite) : ∫_a^b f = F(b) − F(a). La constante de F disparaît dans la soustraction.

Théorème fondamental de l'analyse : soit f une fonction continue sur un intervalle I, et F une primitive de f sur I (c'est-à-dire F′ = f). Alors, pour tous réels a et b de I, l'intégrale de f entre a et b vaut F(b) − F(a). Ce théorème transforme un calcul d'aire en un simple calcul de primitive.

Notation pratique (le crochet) : on note F(b) − F(a) = [F(x)]_a^b. La méthode de calcul est donc : (1) déterminer une primitive F de f ; (2) évaluer F en b puis en a ; (3) faire la différence F(b) − F(a). Le choix de la constante de F est indifférent : elle disparaît dans la soustraction.

Fonction définie par une intégrale (cas du programme) : pour f continue et POSITIVE sur I et a fixé dans I, la fonction G définie par G(x) = ∫_a^x f(t) dt est dérivable sur I, de dérivée G′ = f, et s'annule en a (G(a) = 0) : c'est la primitive de f qui s'annule en a. Plus généralement, le programme admet que toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives ; on en déduit, pour f continue de signe quelconque, le théorème fondamental ∫_a^b f = F(b) − F(a).

Méthode de rédaction attendue au Bac : annoncer une primitive (en la justifiant si nécessaire), écrire le crochet [F(x)]_a^b, puis substituer soigneusement les bornes. On vérifie toujours une primitive en la dérivant pour retrouver l'intégrande f.

Intégration par parties (selon les ressources) : si u et v sont dérivables à dérivées continues sur [a ; b], alors ∫_a^b u(t) v′(t) dt = [u(t) v(t)]_a^b − ∫_a^b u′(t) v(t) dt. Elle sert lorsqu'on sait primitiver v′ mais pas directement u·v′ (par exemple x·e^x, x·cos x, ln x) ; on choisit u et v′ de sorte que la nouvelle intégrale soit plus simple.

\int_a^b f(t)\,dt = \big[F(t)\big]_a^b = F(b) - F(a) \quad\text{où } F'=f

Théorème fondamental de l'analyse

Pour calculer une intégrale, on détermine une primitive F de f, puis on évalue F(b) − F(a) : le calcul d'aire se ramène à un calcul de primitive.

f \ge 0 \text{ continue : } G(x) = \int_a^x f(t)\,dt \;\Rightarrow\; G'(x) = f(x) \text{ et } G(a) = 0

Fonction définie par une intégrale (cas positif)

Pour f continue positive, x ↦ ∫_a^x f est la primitive de f qui s'annule en a. Le programme admet par ailleurs que toute fonction continue admet des primitives, ce qui fonde le théorème fondamental pour une fonction de signe quelconque.

\int_a^b u(t)\,v'(t)\,dt = \big[u(t)\,v(t)\big]_a^b - \int_a^b u'(t)\,v(t)\,dt

Intégration par parties

On échange la dérivée d'un facteur contre celle de l'autre ; on choisit u et v′ de manière que la nouvelle intégrale soit plus facile à calculer.

Exemple corrigé

Calculer une intégrale par une primitive, puis par intégration par parties

1) Calculer I = ∫_0^2 (3x² − 2x + 1) dx en précisant une primitive. 2) Calculer J = ∫_0^1 x·e^x dx à l'aide d'une intégration par parties.

Déterminer une primitive de l'intégrande de I
On primitive terme à terme : 3x² ↦ x³, −2x ↦ −x², 1 ↦ x. Une primitive est donc F(x) = x³ − x² + x.
$F(x) = x^3 - x^2 + x,\qquad F'(x) = 3x^2 - 2x + 1$
Appliquer le théorème fondamental pour I
On évalue F(2) − F(0) à l'aide du crochet.
$I = \big[x^3 - x^2 + x\big]_0^2 = (8 - 4 + 2) - 0 = 6$
Poser l'intégration par parties pour J
On choisit u(x) = x (donc u′ = 1) et v′(x) = e^x (donc v = e^x), de sorte que la nouvelle intégrale ∫ u′v = ∫ e^x soit immédiate.
$u = x,\ u' = 1,\qquad v' = e^x,\ v = e^x$
Écrire la formule d'intégration par parties
On applique ∫ u v′ = [u v] − ∫ u′ v sur [0 ; 1].
$J = \big[x\,e^x\big]_0^1 - \int_0^1 e^x\,dx$
Calculer chaque morceau et conclure
Le crochet vaut 1·e¹ − 0·e⁰ = e ; l'intégrale restante vaut [e^x]_0^1 = e − 1. On soustrait.
$J = e - \big[e^x\big]_0^1 = e - (e - 1) = 1$

Résultat : I = ∫_0^2 (3x² − 2x + 1) dx = 6 ; J = ∫_0^1 x·e^x dx = 1 (par intégration par parties).

Erreurs fréquentes

Se tromper dans l'ordre de la soustraction : c'est F(b) − F(a) (borne du HAUT moins borne du BAS), pas l'inverse.
Choisir une primitive incorrecte (oubli d'un coefficient de composée, par exemple primitive de e^(2x) qui est ½e^(2x) et non e^(2x)) : on doit toujours vérifier en dérivant.
En intégration par parties, mal choisir u et v′ (la nouvelle intégrale devient plus compliquée) ou oublier le crochet [u v]_a^b devant la nouvelle intégrale.

Révision active

Calculer les intégrales suivantes en précisant à chaque fois la primitive utilisée : a) ∫_1^3 (2x + 1) dx ; b) ∫_0^1 e^(2x) dx ; c) ∫_1^e (ln x) dx (on pourra utiliser une intégration par parties avec u = ln x et v′ = 1).

Rappel actif

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Propriétés de l'intégrale : linéarité, Chasles, positivité, comparaison#

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Relation de Chasles : découpage d'une aire

Fig. 4La relation de Chasles découpe l'aire de a à b en deux parts par la verticale x = c : l'aire de a à c (claire) plus l'aire de c à b (foncée).

Linéarité : pour f et g continues sur [a ; b] et α, β réels, ∫_a^b (αf + βg) = α∫_a^b f + β∫_a^b g. En pratique, on intègre terme à terme et on sort les facteurs constants devant le signe intégrale. C'est la propriété qui permet de découper une intégrale compliquée en intégrales plus simples.

Relation de Chasles : pour f continue sur un intervalle contenant a, b et c, ∫_a^b f = ∫_a^c f + ∫_c^b f. Géométriquement, elle traduit le découpage d'une aire en deux parts (de a à c, puis de c à b) ; elle est indispensable pour intégrer une fonction définie par morceaux ou changeant de signe.

Positivité : si f ≥ 0 sur [a ; b] (avec a ≤ b), alors ∫_a^b f ≥ 0. C'est la traduction directe de « aire ≥ 0 ». Attention : la condition a ≤ b est essentielle, car inverser les bornes change le signe.

Comparaison (ordre) : si f ≤ g sur [a ; b] (avec a ≤ b), alors ∫_a^b f ≤ ∫_a^b g. On l'obtient en appliquant la positivité à la fonction g − f ≥ 0. Cette propriété sert à ENCADRER une intégrale difficile à calculer en encadrant l'intégrande par des fonctions simples.

Inégalité de la moyenne (conséquence usuelle) : si m ≤ f(x) ≤ M pour tout x de [a ; b] (a < b), alors m(b − a) ≤ ∫_a^b f ≤ M(b − a). On encadre ainsi une intégrale par les aires de deux rectangles, ce qui prépare la notion de valeur moyenne.

\int_a^b \big(\alpha f + \beta g\big) = \alpha\int_a^b f + \beta\int_a^b g

Linéarité de l'intégrale

On intègre terme à terme et on sort les constantes ; cette propriété ne s'applique qu'aux sommes et multiples, jamais aux produits.

\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f \qquad (\text{relation de Chasles})

Relation de Chasles

L'aire de a à b est la somme de l'aire de a à c et de l'aire de c à b ; indispensable pour les fonctions définies par morceaux.

f \ge 0 \text{ sur } [a;b] \Rightarrow \int_a^b f \ge 0,\qquad f \le g \text{ sur } [a;b] \Rightarrow \int_a^b f \le \int_a^b g

Positivité et comparaison (a ≤ b)

Une fonction positive a une intégrale positive ; l'ordre se conserve par intégration. On applique la positivité à g − f pour obtenir la comparaison.

m \le f \le M \text{ sur } [a;b] \;\Rightarrow\; m(b - a) \le \int_a^b f \le M(b - a)

Inégalité de la moyenne

On encadre l'intégrale par les aires des rectangles de hauteurs m et M sur la largeur (b − a) : un outil d'encadrement direct.

Exemple corrigé

Linéarité, Chasles et encadrement par comparaison

1) Calculer A = ∫_0^1 (4x³ − 6x² + 2) dx en utilisant la linéarité. 2) Montrer, sans calculer la primitive, que 0 ≤ ∫_0^1 x²·e^(−x) dx ≤ 1/3.

Décomposer A par linéarité
On intègre terme à terme et on sort les constantes : A = 4∫_0^1 x³ dx − 6∫_0^1 x² dx + 2∫_0^1 1 dx.
$A = 4\int_0^1 x^3\,dx - 6\int_0^1 x^2\,dx + 2\int_0^1 dx$
Calculer chaque intégrale élémentaire
∫_0^1 x³ = [x⁴/4]_0^1 = 1/4 ; ∫_0^1 x² = [x³/3]_0^1 = 1/3 ; ∫_0^1 1 = 1.
$A = 4\cdot\tfrac{1}{4} - 6\cdot\tfrac{1}{3} + 2\cdot 1 = 1 - 2 + 2 = 1$
Encadrer l'intégrande de la seconde intégrale
Sur [0 ; 1], on a 0 ≤ e^(−x) ≤ 1 (car −x ≤ 0). En multipliant par x² ≥ 0, on obtient 0 ≤ x²·e^(−x) ≤ x².
$0 \le e^{-x} \le 1 \;\Rightarrow\; 0 \le x^2 e^{-x} \le x^2 \quad\text{sur } [0;1]$
Intégrer l'encadrement (comparaison)
Comme l'ordre se conserve par intégration sur [0 ; 1], on intègre les trois membres.
$\int_0^1 0\,dx \le \int_0^1 x^2 e^{-x}\,dx \le \int_0^1 x^2\,dx$
Conclure l'encadrement
L'intégrale de 0 vaut 0 et celle de x² vaut 1/3.
$0 \le \int_0^1 x^2 e^{-x}\,dx \le \frac{1}{3}$

Résultat : A = 1 (par linéarité) ; et 0 ≤ ∫_0^1 x²·e^(−x) dx ≤ 1/3 (par comparaison, sans calculer l'intégrale).

Erreurs fréquentes

« Linéariser » un produit ou un quotient : la linéarité concerne les sommes et les multiples par une constante, jamais ∫(f·g) = ∫f · ∫g (qui est FAUX).
Appliquer la positivité ou la comparaison avec des bornes en désordre (b < a) : ces propriétés exigent a ≤ b.
Comparer des intégrales sur des intervalles différents : la comparaison ∫_a^b f ≤ ∫_a^b g suppose le MÊME intervalle [a ; b] pour les deux.

Révision active

1) À l'aide de la linéarité, calculer ∫_0^1 (4x³ − 6x² + 2) dx. 2) Une fonction f vérifie f(x) ≤ x² pour tout x de [0 ; 1] ; en déduire un majorant de ∫_0^1 f(x) dx. 3) Montrer que 0 ≤ ∫_0^1 x²·e^(−x) dx ≤ 1/3 en encadrant e^(−x).

Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

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Valeur moyenne et aires entre deux courbes#

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Valeur moyenne : rectangle d'aire égale à l'intégrale

Fig. 5La valeur moyenne μ est la hauteur de la droite horizontale telle que le rectangle de base [a ; b] et de hauteur μ a la même aire que le domaine sous la courbe : ∫_a^b f = μ·(b − a).

Valeur moyenne : la valeur moyenne d'une fonction continue f sur un intervalle [a ; b] (avec a < b) est le réel μ = (1/(b − a))·∫_a^b f(t) dt. C'est la hauteur d'un rectangle de base [a ; b] dont l'aire serait égale à l'intégrale de f : intégrer puis diviser par la longueur de l'intervalle revient à « moyenner » les valeurs de f.

Interprétation géométrique : le rectangle de hauteur μ et de largeur (b − a) a exactement la même aire que le domaine sous la courbe : ∫_a^b f = μ·(b − a). La droite horizontale y = μ « égalise » les creux et les bosses de la courbe.

Aire entre deux courbes : soient f et g continues sur [a ; b] avec f ≥ g sur tout l'intervalle. L'aire du domaine compris entre les deux courbes (et les droites x = a, x = b) vaut ∫_a^b (f(t) − g(t)) dt. On intègre toujours « la courbe du dessus moins la courbe du dessous ».

Méthode pour une aire entre courbes : (1) déterminer les points d'intersection (en résolvant f(x) = g(x)) qui donnent souvent les bornes ; (2) étudier la position relative pour savoir laquelle est au-dessus (étude du signe de f − g) ; (3) intégrer la différence (courbe du haut − courbe du bas). Si la position s'inverse, découper par la relation de Chasles et intégrer chaque morceau dans le bon ordre.

Cohérence avec le cas d'une seule courbe : l'aire entre une courbe et l'axe des abscisses sur une zone où f ≥ 0 est le cas particulier g = 0 ; et lorsque f ≤ 0, l'aire géométrique vaut ∫_a^b (0 − f) = −∫_a^b f, ce qui retrouve l'aire algébrique de la première section.

Interprétation dans un contexte issu d'une autre discipline : l'intégrale et la valeur moyenne se lisent selon la grandeur modélisée. Si f(t) est un débit (en m³/h), ∫_a^b f est le volume total écoulé entre les instants a et b et μ le débit moyen ; si v(t) est une vitesse (en m/s), ∫_a^b v est la distance parcourue et μ la vitesse moyenne ; si P(t) est une puissance (en W), ∫_a^b P est l'énergie consommée et μ la puissance moyenne. On veille toujours à donner l'unité du résultat (produit de l'unité de f par celle de t) et à formuler une phrase d'interprétation.

\mu = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(t)\,dt \qquad (a < b)

Valeur moyenne de f sur [a ; b]

On somme (intègre) les valeurs de f puis on divise par la longueur de l'intervalle : μ est la hauteur du rectangle d'aire égale à l'intégrale.

\int_a^b f(t)\,dt = \mu \cdot (b - a)

Rectangle d'aire égale à l'intégrale

L'aire sous la courbe est égale à celle du rectangle de base (b − a) et de hauteur μ : c'est l'interprétation géométrique de la valeur moyenne.

\mathcal{A} = \int_a^b \big(f(t) - g(t)\big)\,dt \qquad (f \ge g \text{ sur } [a;b])

Aire entre deux courbes

Lorsque f est au-dessus de g sur [a ; b], l'aire entre les deux courbes est l'intégrale de la différence « du dessus moins du dessous ».

Aire entre deux courbes

Fig. 6Aire entre la droite f(x) = x + 2 (au-dessus) et la parabole g(x) = x² (en dessous) sur [−1 ; 2] : la région colorée vaut ∫ de −1 à 2 de (f − g). Les bornes sont les abscisses des points d'intersection.

Exemple corrigé

Valeur moyenne d'une fonction, puis aire entre deux courbes

1) Déterminer la valeur moyenne μ de la fonction f(x) = x² sur l'intervalle [0 ; 3]. 2) Calculer l'aire du domaine compris entre la droite d'équation y = x + 2 et la parabole d'équation y = x².

Calculer l'intégrale de f sur [0 ; 3]
Une primitive de x² est x³/3 ; on applique le théorème fondamental.
$\int_0^3 x^2\,dx = \Big[\tfrac{x^3}{3}\Big]_0^3 = \tfrac{27}{3} - 0 = 9$
Diviser par la longueur de l'intervalle
La valeur moyenne s'obtient en divisant l'intégrale par (b − a) = 3 − 0 = 3.
$\mu = \frac{1}{3 - 0}\int_0^3 x^2\,dx = \frac{9}{3} = 3$
Déterminer les bornes par intersection
On résout x + 2 = x², soit x² − x − 2 = 0, dont les solutions sont x = −1 et x = 2. Ce sont les abscisses des points d'intersection, donc les bornes.
$x^2 - x - 2 = 0 \;\Rightarrow\; x = -1 \text{ ou } x = 2$
Justifier la position relative
Sur [−1 ; 2], la différence (x + 2) − x² = −x² + x + 2 est positive (elle s'annule aux bornes et son coefficient dominant est négatif) : la droite est au-dessus de la parabole.
$(x + 2) - x^2 \ge 0 \text{ sur } [-1\,;2]$
Intégrer la différence (haut − bas)
L'aire est ∫ de −1 à 2 de (x + 2 − x²). Une primitive de −x² + x + 2 est −x³/3 + x²/2 + 2x.
$\mathcal{A} = \Big[-\tfrac{x^3}{3} + \tfrac{x^2}{2} + 2x\Big]_{-1}^{2} = \tfrac{10}{3} - \big(-\tfrac{7}{6}\big) = \frac{9}{2}$

Résultat : La valeur moyenne de x² sur [0 ; 3] est μ = 3 ; l'aire entre la droite y = x + 2 et la parabole y = x² vaut 9/2 = 4,5 unités d'aire.

Schritt-für-Schritt Erklärung5 Schritte

1
On veut comparer une droite et une parabole : f(x) = x + 2 et g(x) = x². L'aire « entre les deux courbes » est la région prise en sandwich entre elles. Première étape : trouver où les deux courbes se rencontrent, car ces points donnent les bornes d'intégration.
$f(x) = x + 2,\qquad g(x) = x^2$
2
On résout l'équation d'intersection f(x) = g(x). Cela donne x² − x − 2 = 0, qui se factorise en (x + 1)(x − 2) = 0. Les abscisses des points d'intersection sont donc x = −1 et x = 2 : ce seront nos bornes.
$x + 2 = x^2 \iff x^2 - x - 2 = 0 \iff x = -1 \text{ ou } x = 2$
3
Deuxième étape : savoir quelle courbe est au-dessus. Sur [−1 ; 2], la différence (x + 2) − x² est positive : c'est la droite qui domine la parabole. On intègre donc « le dessus moins le dessous », c'est-à-dire f − g.
$\mathcal{A} = \int_{-1}^{2} \big(x + 2 - x^2\big)\,dx$
4
On primitive : une primitive de −x² + x + 2 est −x³/3 + x²/2 + 2x. On applique le théorème fondamental entre −1 et 2, et le calcul donne une aire de neuf demis, soit 4,5 unités d'aire.
$\mathcal{A} = \Big[-\tfrac{x^3}{3} + \tfrac{x^2}{2} + 2x\Big]_{-1}^{2} = \frac{9}{2} = 4{,}5$
5
Visualisons enfin la région : la parabole et la droite délimitent un domaine en forme de lentille entre x = −1 et x = 2. Son aire, 4,5 unités d'aire, est exactement ce que mesure l'intégrale de la différence des deux fonctions.
Aire entre f(x) = x + 2 et g(x) = x²

Erreurs fréquentes

Oublier de diviser par (b − a) dans la valeur moyenne, ou diviser par b (au lieu de b − a).
Intégrer g − f au lieu de f − g (ou ignorer la position relative), ce qui donne une aire négative ; l'aire géométrique est toujours « du dessus moins du dessous ».
Ne pas découper quand les courbes se croisent dans l'intervalle : une seule intégrale f − g compte alors algébriquement et sous-estime l'aire réelle.

Révision active

1) Déterminer la valeur moyenne de f(x) = x² sur [0 ; 3]. 2) Déterminer l'aire du domaine compris entre les courbes de f(x) = x + 2 et g(x) = x² sur l'intervalle délimité par leurs points d'intersection (résoudre d'abord x + 2 = x²).

Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Sources : Programme de spécialité mathématiques — classe terminale (BO spécial n° 8 du 25 juillet 2019) (Ministère de l'Éducation nationale) · Programmes et ressources en mathématiques — voie GT (Ministère de l'Éducation nationale — Éduscol)

Suites d'intégrales et relation de récurrence#

ApprofondissementBO-2019-spe-maths-terminale-§Calcul-integral

Une suite d'intégrales : les aires décroissent avec n

Fig. 7Sur [0 ; 1], les courbes de x^n·e^x s'abaissent quand n augmente (de e^x à x²·e^x) : l'aire sous la courbe, c'est-à-dire I_n = ∫_0^1 x^n·e^x dx, décroît avec n. La région colorée est I_1 = ∫_0^1 x·e^x dx.

Suite d'intégrales : on définit fréquemment une suite (I_n) en faisant intervenir l'entier n dans l'intégrande, par exemple I_n = ∫_a^b f_n(t) dt où f_n dépend de n (souvent f_n(t) = t^n·g(t)). À chaque entier n correspond ainsi un nombre I_n, et l'on étudie la suite (I_n) comme une suite ordinaire (signe, sens de variation, limite).

Signe et monotonie par comparaison : on raisonne sur l'intégrande avant d'intégrer. Si f_n ≥ 0 sur [a ; b], alors I_n ≥ 0 (positivité). Si, pour tout t de [a ; b], f_{n+1}(t) ≤ f_n(t), alors I_{n+1} ≤ I_n (comparaison) : la suite est décroissante. Typiquement, sur [0 ; 1] on a 0 ≤ t^{n+1} ≤ t^n, ce qui rend la suite I_n = ∫_0^1 t^n·g(t) dt (avec g ≥ 0) positive et décroissante.

Relation de récurrence par intégration par parties : pour exprimer I_n en fonction de I_{n−1}, on intègre par parties en dérivant la puissance t^n. On obtient une relation du type I_n = (terme de bord) − n·I_{n−1}, qui permet de calculer les premiers termes de proche en proche à partir d'un terme initial calculé directement (souvent I_0).

Limite d'une suite d'intégrales : on encadre l'intégrande pour encadrer I_n, puis on conclut par le théorème des gendarmes. Par exemple, sur [0 ; 1], 0 ≤ t^n·e^t ≤ e·t^n donne 0 ≤ I_n ≤ e/(n + 1), donc I_n → 0 quand n → +∞. Une suite décroissante et minorée par 0 converge ; l'encadrement précise alors la valeur de la limite.

Démarche type au Bac : (1) justifier le signe et le sens de variation de (I_n) par positivité/comparaison sur l'intégrande ; (2) établir une relation de récurrence par intégration par parties ; (3) calculer un ou deux termes ; (4) déterminer la limite par encadrement. On ne calcule presque jamais I_n « en bloc » : on exploite la récurrence et les encadrements.

I_n = \int_a^b f_n(t)\,dt \quad\text{(une suite : un nombre } I_n \text{ par entier } n)

Suite d'intégrales

L'entier n intervient dans l'intégrande ; à chaque n correspond le réel I_n, et l'on étudie (I_n) comme une suite (signe, variation, limite).

0 \le t^{n+1} \le t^n \text{ sur } [0;1] \;\Rightarrow\; 0 \le I_{n+1} \le I_n \quad (f_n = t^n g,\ g \ge 0)

Positivité et décroissance par comparaison

On compare les intégrandes sur l'intervalle : une inégalité entre f_{n+1} et f_n donne l'inégalité correspondante entre les intégrales, d'où la monotonie de (I_n).

I_n = \int_0^1 x^n e^x\,dx \;\Rightarrow\; I_n = e - n\,I_{n-1} \quad (n \ge 1)

Relation de récurrence (par intégration par parties)

Une intégration par parties avec u = x^n et v′ = e^x fait baisser l'exposant et relie I_n à I_{n−1} : c'est la relation de récurrence.

0 \le I_n \le \frac{e}{n+1} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0 \;\Rightarrow\; \lim_{n \to +\infty} I_n = 0

Limite par encadrement (gendarmes)

Sur [0 ; 1], t^n e^t ≤ e·t^n donne I_n ≤ e/(n + 1) ; l'encadrement par 0 et e/(n + 1) entraîne, par le théorème des gendarmes, que I_n tend vers 0.

Exemple corrigé

Étudier la suite I_n = ∫_0^1 x^n·e^x dx (récurrence et limite)

Pour tout entier naturel n, on pose I_n = ∫_0^1 x^n·e^x dx. 1) Calculer I_0. 2) Établir, pour n ≥ 1, la relation I_n = e − n·I_{n−1} par une intégration par parties. 3) En déduire les valeurs exactes de I_1 et I_2. 4) Montrer que (I_n) est positive et décroissante, puis que 0 ≤ I_n ≤ e/(n + 1) ; en déduire la limite de (I_n).

Calculer le terme initial I₀
Pour n = 0, x^0 = 1, donc I_0 = ∫_0^1 e^x dx = [e^x]_0^1 = e − 1.
$I_0 = \int_0^1 e^x\,dx = \big[e^x\big]_0^1 = e - 1$
Poser l'intégration par parties pour I_n
Pour n ≥ 1, on choisit u(x) = x^n (donc u′ = n·x^{n−1}) et v′(x) = e^x (donc v = e^x), afin de faire baisser l'exposant de la puissance.
$u = x^n,\ u' = n\,x^{n-1},\qquad v' = e^x,\ v = e^x$
Appliquer la formule et reconnaître In−₁
Le crochet vaut [x^n·e^x]_0^1 = 1·e − 0 = e ; l'intégrale restante est ∫_0^1 n·x^{n−1}·e^x dx = n·I_{n−1}.
$I_n = \big[x^n e^x\big]_0^1 - \int_0^1 n\,x^{n-1}e^x\,dx = e - n\,I_{n-1}$
Calculer I₁ et I₂ de proche en proche
Avec la récurrence : I_1 = e − 1·I_0 = e − (e − 1) = 1, puis I_2 = e − 2·I_1 = e − 2.
$I_1 = e - (e - 1) = 1,\qquad I_2 = e - 2\cdot 1 = e - 2$
Signe et sens de variation par comparaison
Sur [0 ; 1], x^n·e^x ≥ 0 donc I_n ≥ 0 ; et 0 ≤ x^{n+1} ≤ x^n entraîne x^{n+1}·e^x ≤ x^n·e^x, d'où I_{n+1} ≤ I_n : la suite (I_n) est positive et décroissante.
$0 \le x^{n+1}e^x \le x^n e^x \text{ sur } [0;1] \;\Rightarrow\; 0 \le I_{n+1} \le I_n$
Encadrer puis conclure sur la limite
Sur [0 ; 1], e^x ≤ e, donc x^n·e^x ≤ e·x^n ; en intégrant, I_n ≤ e·∫_0^1 x^n dx = e·1/(n + 1). Avec I_n ≥ 0, on a 0 ≤ I_n ≤ e/(n + 1) → 0 : par le théorème des gendarmes, I_n → 0.
$0 \le I_n \le e\int_0^1 x^n\,dx = \frac{e}{n+1} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0,\quad\text{donc } \lim_{n\to+\infty} I_n = 0$

Résultat : I_0 = e − 1 ; la relation de récurrence est I_n = e − n·I_{n−1} (n ≥ 1), d'où I_1 = 1 et I_2 = e − 2. La suite (I_n) est positive et décroissante, encadrée par 0 ≤ I_n ≤ e/(n + 1), donc lim I_n = 0.

Erreurs fréquentes

Vouloir « passer la limite sous l'intégrale » sans justification : on encadre d'abord l'intégrande, puis on intègre l'encadrement (théorème des gendarmes), on ne remplace pas n par +∞ dans l'intégrande.
Se tromper dans l'intégration par parties qui fournit la récurrence : il faut dériver la puissance t^n (u = t^n, donc u′ = n·t^{n−1}) pour faire baisser l'exposant et faire apparaître I_{n−1} ; choisir l'autre répartition ne simplifie rien.
Conclure « (I_n) décroissante donc tend vers 0 » : une suite décroissante minorée converge, mais pas nécessairement vers 0 ; la limite doit être obtenue par un encadrement, pas par la seule monotonie.

Révision active

Pour tout entier naturel n, on pose I_n = ∫_0^1 x^n·e^x dx. 1) Calculer I_0. 2) Montrer que pour tout n ≥ 1, I_n = e − n·I_{n−1} (intégration par parties). 3) En déduire I_1 et I_2. 4) Justifier que (I_n) est décroissante et que, pour tout n, 0 ≤ I_n ≤ e/(n + 1) ; en déduire la limite de (I_n).

Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Sources : Programme de spécialité mathématiques — classe terminale (BO spécial n° 8 du 25 juillet 2019) (Ministère de l'Éducation nationale) · Programmes et ressources en mathématiques — voie GT (Ministère de l'Éducation nationale — Éduscol)

Approximation d'une intégrale (méthode des rectangles, Python)#

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Méthode des rectangles : découpage de l'aire

Fig. 8Approximation de l'aire sous la courbe par des rectangles de largeur commune h : la somme de leurs aires approche ∫_a^b f, et l'approximation s'affine quand le nombre de rectangles augmente.

Idée des sommes de Riemann : pour une fonction continue positive, on approche l'aire sous la courbe en la découpant en n bandes verticales de même largeur, chaque bande étant remplacée par un rectangle. La somme des aires des rectangles approche l'intégrale, et l'approximation s'améliore quand n augmente : c'est la méthode des rectangles.

Subdivision régulière : on partage [a ; b] en n sous-intervalles de même longueur h = (b − a)/n. Les points de subdivision sont x_k = a + k·h pour k = 0, 1, …, n. La largeur commune des rectangles est h.

Rectangles à gauche / à droite : avec la hauteur prise au bord GAUCHE de chaque bande, la somme est S_g = h·Σ_{k=0}^{n−1} f(x_k) ; avec la hauteur au bord DROIT, S_d = h·Σ_{k=1}^{n} f(x_k). Pour une fonction croissante, S_g sous-estime et S_d sur-estime l'intégrale (et inversement pour une fonction décroissante), ce qui fournit un ENCADREMENT de ∫_a^b f.

Convergence : lorsque n tend vers +∞ (donc h tend vers 0), les sommes de rectangles à gauche et à droite tendent vers une même limite, égale à l'intégrale ∫_a^b f(t) dt. Au programme, l'intégrale est définie à partir de l'aire (cas d'une fonction positive) puis à l'aide des primitives ; les sommes de rectangles fournissent un encadrement qui converge vers l'intégrale et permet de l'approcher numériquement.

Algorithme Python (somme de rectangles à gauche) : on initialise une variable d'aire à 0, on calcule le pas h = (b − a)/n, puis on cumule dans une boucle for les aires h·f(a + k·h) pour k de 0 à n − 1. La fonction renvoie l'aire approchée. On augmente n pour gagner en précision.

h = \frac{b - a}{n},\qquad x_k = a + k\,h \quad (k = 0, 1, \dots, n)

Subdivision régulière de [a ; b]

On partage l'intervalle en n bandes de largeur commune h ; les x_k sont les bords des rectangles.

S_g = h\sum_{k=0}^{n-1} f(x_k) \;\le\; \int_a^b f \;\le\; h\sum_{k=1}^{n} f(x_k) = S_d \quad (f \text{ croissante})

Encadrement par rectangles à gauche et à droite

Pour une fonction croissante, la somme à gauche sous-estime et la somme à droite sur-estime l'intégrale : on obtient un encadrement.

\lim_{n \to +\infty} h\sum_{k=0}^{n-1} f(a + k\,h) = \int_a^b f(t)\,dt

Convergence des sommes de Riemann

Quand le nombre de rectangles tend vers l'infini (h → 0), la somme des aires tend vers l'intégrale : les sommes de rectangles convergent vers ∫_a^b f, ce qui permet de l'approcher numériquement.

Exemple corrigé

Approcher une intégrale par la méthode des rectangles (main + Python)

On veut approcher I = ∫_0^1 x² dx (valeur exacte 1/3 ≈ 0,3333). 1) Calculer la somme des rectangles à gauche avec n = 4 (pas h = 0,25). 2) Écrire une fonction Python rectangles_gauche(f, a, b, n) renvoyant cette approximation, et préciser si l'on sous-estime ou sur-estime I.

Déterminer le pas et les points de subdivision
Avec n = 4 sur [0 ; 1], le pas est h = (1 − 0)/4 = 0,25 ; les bords gauches sont x_0 = 0, x_1 = 0,25, x_2 = 0,5, x_3 = 0,75.
$h = \frac{1 - 0}{4} = 0{,}25,\qquad x_k = 0{,}25\,k$
Évaluer f aux bords gauches
Avec f(x) = x², on calcule les hauteurs : f(0) = 0 ; f(0,25) = 0,0625 ; f(0,5) = 0,25 ; f(0,75) = 0,5625.
$f(x_0)=0,\ f(x_1)=0{,}0625,\ f(x_2)=0{,}25,\ f(x_3)=0{,}5625$
Sommer les aires des rectangles
On multiplie la somme des hauteurs par la largeur commune h.
$S_g = 0{,}25\,(0 + 0{,}0625 + 0{,}25 + 0{,}5625) = 0{,}25 \times 0{,}875 = 0{,}21875$
Conclure sur l'encadrement
f(x) = x² est croissante sur [0 ; 1], donc la somme des rectangles à gauche SOUS-ESTIME l'intégrale : S_g = 0,21875 < 1/3 ≈ 0,3333. En augmentant n, l'approximation se rapproche de 1/3.
$S_g = 0{,}21875 \;<\; \int_0^1 x^2\,dx = \tfrac{1}{3} \approx 0{,}3333$
Écrire l'algorithme Python
On initialise l'aire à 0, on calcule h, puis on cumule h·f(a + k·h) pour k de 0 à n − 1. Code : def rectangles_gauche(f, a, b, n): | aire = 0 | h = (b - a) / n | for k in range(n): | aire = aire + h f(a + k h) | return aire. On appelle rectangles_gauche(lambda x: x**2, 0, 1, 4), qui renvoie 0,21875.
$\texttt{aire} \mathrel{+}= h \cdot f(a + k\,h),\quad k = 0,\dots,n-1$

Résultat : Avec n = 4, la somme des rectangles à gauche vaut S_g = 0,21875, qui sous-estime I = 1/3 (car x² est croissante). La fonction Python rectangles_gauche cumule h·f(a + k·h) sur k de 0 à n − 1 et converge vers 1/3 quand n augmente.

Erreurs fréquentes

Se tromper sur le pas : h = (b − a)/n (et non b/n), et il y a n rectangles (donc n + 1 points de subdivision).
Confondre les bornes de la boucle : la somme à gauche va de k = 0 à n − 1 (premières hauteurs), la somme à droite de k = 1 à n ; un décalage d'un cran fausse le résultat.
Ajouter f(a + k·h) sans multiplier par la largeur h : la somme doit cumuler des AIRES (largeur × hauteur), pas seulement des hauteurs.

Révision active

On veut approcher I = ∫_0^1 x² dx (dont la valeur exacte est 1/3). 1) Calculer à la main la somme des rectangles à gauche avec n = 4 (donc h = 0,25). 2) Écrire une fonction Python rectangles_gauche(n) qui renvoie l'approximation pour un n quelconque, et indiquer dans quel sens elle approche 1/3 (sous-estimation ou sur-estimation, f étant croissante sur [0 ; 1]).

Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

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Points clés

Lire une intégrale comme une aire (cas positif et cas signé)

Points clés

Calculer une intégrale par une primitive, puis par intégration par parties

Points clés

Linéarité, Chasles et encadrement par comparaison

Points clés

Valeur moyenne d'une fonction, puis aire entre deux courbes

Points clés

Étudier la suite I_n = ∫_0^1 x^n·e^x dx (récurrence et limite)

Points clés

Approcher une intégrale par la méthode des rectangles (main + Python)

Sources