Fiches · MathématiquesFR · Bac

Géométrie dans l'espace

Cette fiche organise toute la géométrie analytique de l'espace : on étend les vecteurs du plan à l'espace (combinaisons linéaires, colinéarité, coplanarité), on repère points et vecteurs dans un repère (O ; i, j, k), puis on décrit droites et plans par des représentations paramétriques pour étudier leurs positions relatives. On introduit ensuite le produit scalaire dans l'espace, ses expressions géométrique et analytique et ses propriétés, qui caractérisent l'orthogonalité et donnent le vecteur normal à un plan. On termine par l'équation cartésienne d'un plan et la résolution de problèmes d'intersection, de distance et d'orthogonalité.

5 sections~28 min de lecture4 compétencesNiveau Base 1 · Standard 3 · Approfondissement 1Vérifié · 06/2026

T·0888 / 12

Profil d’examen

Décomposer un vecteur de l'espace, étudier la colinéarité ou la coplanarité de vecteurs, et repérer points et vecteurs par leurs coordonnées.Déterminer une représentation paramétrique d'une droite ou d'un plan et étudier les positions relatives de droites et de plans (parallélisme, intersection).Calculer un produit scalaire dans l'espace par ses expressions géométrique et analytique, et en exploiter les propriétés.Caractériser l'orthogonalité de vecteurs et de droites, déterminer un vecteur normal à un plan, son équation cartésienne, et résoudre des problèmes d'intersection et de distance.

Opérateurs :déterminerdémontrercalculerétudierjustifierinterpréter

niveau de base

Maîtriser d'abord les coordonnées dans un repère de l'espace, la colinéarité et la coplanarité, puis savoir écrire la représentation paramétrique d'une droite et calculer un produit scalaire par ses coordonnées.

niveau approfondi

Aller jusqu'à l'équation cartésienne d'un plan à partir d'un vecteur normal, l'intersection droite/plan et plan/plan par paramètre, et le calcul de distances (point à un plan, point à une droite) dans les problèmes à prise d'initiative.

Profondeur

Texte

Sommaire · 5 sections

Géométrie dans l'espace

Vecteurs de l'espace : repérage, coordonnées, colinéarité et coplanarité#

BaseBO-2019-spe-maths-terminale-§Geometrie-dans-l-espace

Repérage d'un point dans le repère (O ; i, j, k)

Fig. 1Le point M(2 ; 3 ; 2) se construit à partir de O en avançant de 2 selon i, 3 selon j et 2 selon k : OM = 2·i + 3·j + 2·k.

Vecteurs de l'espace : toutes les notions du plan se prolongent à l'espace — somme de deux vecteurs, multiplication par un réel, relation de Chasles AB + BC = AC, et opposé. Un vecteur de l'espace est entièrement déterminé par une direction, un sens et une longueur (norme).

Combinaison linéaire : un vecteur w est combinaison linéaire de u et v lorsqu'il existe deux réels a et b tels que w = a·u + b·v. C'est l'outil central pour « décomposer » un vecteur sur une famille donnée.

Repère de l'espace : un repère (O ; i, j, k) est formé d'un point O (l'origine) et de trois vecteurs i, j, k non coplanaires. Tout point M s'écrit de façon unique OM = x·i + y·j + z·k ; le triplet (x ; y ; z) donne les coordonnées de M, et le vecteur OM a les mêmes coordonnées.

Coordonnées et opérations : pour A(x_A ; y_A ; z_A) et B(x_B ; y_B ; z_B), le vecteur AB a pour coordonnées (x_B − x_A ; y_B − y_A ; z_B − z_A). On additionne les vecteurs et on multiplie par un réel coordonnée par coordonnée. Le milieu de [AB] a pour coordonnées la moyenne de celles de A et B.

Colinéarité : deux vecteurs u et v (v non nul) sont colinéaires lorsqu'il existe un réel k tel que u = k·v ; en coordonnées, leurs composantes sont proportionnelles. Deux vecteurs colinéaires ont la même direction (ils dirigent une même droite).

Coplanarité : trois vecteurs sont coplanaires lorsqu'ils appartiennent à un même plan vectoriel, ce qui équivaut à : l'un d'eux est combinaison linéaire des deux autres (à condition que ces deux-là ne soient pas colinéaires). Quatre points A, B, C, D sont coplanaires lorsque les vecteurs AB, AC, AD sont coplanaires.

Base de l'espace : trois vecteurs i, j, k forment une base de l'espace lorsqu'ils ne sont pas coplanaires ; tout vecteur de l'espace s'écrit alors de façon unique comme combinaison linéaire a·i + b·j + c·k. Décider si trois vecteurs forment une base revient donc à étudier leur coplanarité : trois vecteurs forment une base si et seulement s'ils ne sont PAS coplanaires (aucun n'est combinaison linéaire des deux autres).

\vec{AB}\;(x_B - x_A\,;\,y_B - y_A\,;\,z_B - z_A)

Coordonnées d'un vecteur

Les coordonnées du vecteur reliant A à B s'obtiennent en soustrayant, composante par composante, les coordonnées de l'origine A à celles de l'extrémité B.

\vec{u} \text{ et } \vec{v} \text{ colinéaires} \iff \exists\, k \in \mathbb{R},\; \vec{u} = k\,\vec{v}

Caractérisation de la colinéarité

Deux vecteurs sont colinéaires si l'un est un multiple de l'autre : leurs coordonnées sont alors proportionnelles. Ils dirigent une même droite.

\vec{w} \text{ coplanaire à } (\vec{u},\vec{v}) \iff \exists\,(a,b) \in \mathbb{R}^2,\; \vec{w} = a\,\vec{u} + b\,\vec{v}

Coplanarité de trois vecteurs

Trois vecteurs sont coplanaires lorsque l'un est combinaison linéaire des deux autres (ces deux-là étant non colinéaires).

(\vec{u},\vec{v},\vec{w}) \text{ est une base} \iff \vec{u},\vec{v},\vec{w} \text{ ne sont pas coplanaires}

Base de l'espace

Trois vecteurs forment une base de l'espace exactement quand ils ne sont pas coplanaires : tout vecteur se décompose alors de manière unique sur cette base.

Décomposition d'un vecteur : combinaison linéaire

Fig. 2Le vecteur AD se décompose dans le plan (A ; AB, AC) : AD = a·AB + b·AC. Si une telle décomposition existe, les quatre points sont coplanaires.

Exemple corrigé

Étudier la coplanarité de quatre points

Dans un repère (O ; i, j, k), on considère A(1 ; 0 ; 2), B(2 ; 1 ; 1), C(0 ; 2 ; 3) et D(4 ; 1 ; 0). Les points A, B, C et D sont-ils coplanaires ?

Calculer trois vecteurs issus de A
On calcule AB, AC et AD en soustrayant les coordonnées de A.
$\vec{AB}(1\,;\,1\,;\,-1),\quad \vec{AC}(-1\,;\,2\,;\,1),\quad \vec{AD}(3\,;\,1\,;\,-2)$
Chercher une combinaison linéaire AD = a·AB + b·AC
On écrit le système obtenu coordonnée par coordonnée, en supposant AB et AC non colinéaires (ce qui est le cas car leurs composantes ne sont pas proportionnelles).
$\begin{cases} a - b = 3 \\ a + 2b = 1 \\ -a + b = -2 \end{cases}$
Résoudre les deux premières équations
En soustrayant la première de la deuxième : 3b = −2, donc b = −2/3, puis a = 3 + b = 7/3.
$a = \dfrac{7}{3}, \qquad b = -\dfrac{2}{3}$
Vérifier la troisième équation
On reporte dans −a + b : −7/3 − 2/3 = −9/3 = −3 ≠ −2. La troisième équation n'est pas vérifiée.
$-a + b = -\dfrac{7}{3} - \dfrac{2}{3} = -3 \neq -2$

Résultat : Le système n'a pas de solution : AD n'est pas combinaison linéaire de AB et AC. Les vecteurs AB, AC, AD ne sont donc pas coplanaires, et les quatre points A, B, C, D ne sont pas coplanaires. Comme ils ne sont pas coplanaires, les trois vecteurs AB, AC, AD forment une base de l'espace.

Erreurs fréquentes

Calculer les coordonnées de AB en faisant « A − B » au lieu de « B − A » : on prend toujours l'extrémité moins l'origine, soit (x_B − x_A ; y_B − y_A ; z_B − z_A).
Confondre colinéarité (DEUX vecteurs proportionnels, même direction) et coplanarité (TROIS vecteurs dans un même plan) : ce sont deux propriétés distinctes.

Révision active

Dans un repère (O ; i, j, k), on donne A(1 ; 2 ; −1), B(3 ; 0 ; 1) et C(0 ; 3 ; 1). Calculer les coordonnées de AB et AC, vérifier qu'ils ne sont pas colinéaires, puis déterminer si les points A, B, C, D sont coplanaires lorsque D(2 ; 5 ; −3) en cherchant à écrire AD comme combinaison linéaire de AB et AC.

Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Sources : Programme de spécialité mathématiques — classe terminale (BO spécial n° 8 du 25 juillet 2019) (Ministère de l'Éducation nationale) · Programmes et ressources en mathématiques — voie générale et technologique (Ministère de l'Éducation nationale — Éduscol)

Droites et plans : représentations paramétriques et positions relatives#

StandardBO-2019-spe-maths-terminale-§Geometrie-dans-l-espace

Une droite et un plan sécants en perspective

Fig. 3La droite d, de vecteur directeur u, perce le plan P en un unique point I : on le trouve en injectant la paramétrisation de d dans l'équation de P.

Représentation paramétrique d'une droite : la droite passant par A(x_A ; y_A ; z_A) et dirigée par u(α ; β ; γ) est l'ensemble des points M tels que AM = t·u, c'est-à-dire M = A + t·u avec t parcourant ℝ. Coordonnée par coordonnée : x = x_A + tα, y = y_A + tβ, z = z_A + tγ. Le vecteur u est un vecteur directeur de la droite.

Représentation paramétrique d'un plan : le plan passant par A et dirigé par deux vecteurs u et v non colinéaires est l'ensemble des points M tels que AM = t·u + s·v, soit M = A + t·u + s·v avec deux paramètres réels t et s. Les coordonnées s'écrivent x = x_A + tα + sα', etc. ; u et v sont deux vecteurs directeurs du plan.

Positions relatives de deux droites : on compare leurs vecteurs directeurs. Si les directeurs sont colinéaires, les droites sont parallèles (confondues si elles ont un point commun, strictement parallèles sinon). Si les directeurs ne sont pas colinéaires, les droites sont sécantes (un point commun) ou non coplanaires (aucun point commun, cas propre à l'espace).

Positions relatives d'une droite et d'un plan : la droite est parallèle au plan lorsque son vecteur directeur est une combinaison linéaire des vecteurs directeurs du plan (incluse dans le plan si un point de la droite y appartient). Sinon, la droite et le plan sont sécants en un unique point que l'on trouve en injectant la paramétrisation de la droite dans l'équation du plan.

Positions relatives de deux plans : deux plans sont parallèles lorsque leurs vecteurs normaux sont colinéaires (confondus s'ils ont un point commun). Sinon ils sont sécants suivant une droite, dont on obtient une représentation paramétrique en résolvant le système formé par leurs deux équations.

Méthode d'intersection : pour intersecter une droite (sous forme paramétrique) et un plan (sous forme cartésienne), on remplace x, y, z par leurs expressions en t dans l'équation du plan ; on obtient une équation en t. Aucune solution ⇒ parallèles disjoints ; une infinité ⇒ droite incluse ; une unique solution t₀ ⇒ point d'intersection en t = t₀.

\begin{cases} x = x_A + t\,\alpha \\ y = y_A + t\,\beta \\ z = z_A + t\,\gamma \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})

Représentation paramétrique d'une droite

Droite passant par A(x_A ; y_A ; z_A) de vecteur directeur u(α ; β ; γ) : chaque valeur du paramètre t donne un point de la droite.

\begin{cases} x = x_A + t\,\alpha + s\,\alpha' \\ y = y_A + t\,\beta + s\,\beta' \\ z = z_A + t\,\gamma + s\,\gamma' \end{cases} \quad (t, s \in \mathbb{R})

Représentation paramétrique d'un plan

Plan passant par A et dirigé par deux vecteurs non colinéaires u(α ; β ; γ) et v(α' ; β' ; γ') : deux paramètres t et s décrivent toute la surface.

Positions relatives de deux droites de l'espace

Fig. 4Dans l'espace, deux droites peuvent être confondues, strictement parallèles, sécantes, ou non coplanaires (gauches) — ce dernier cas n'existe pas dans le plan.

Exemple corrigé

Intersection d'une droite et d'un plan

On considère la droite d de représentation paramétrique x = 2 + t, y = 1 − t, z = t (t ∈ ℝ) et le plan P d'équation x + y + z = 6. Démontrer que d et P sont sécants et déterminer les coordonnées de leur point d'intersection I.

Tester le parallélisme avec n·u
La droite d a pour vecteur directeur u(1 ; −1 ; 1) et le plan P a pour vecteur normal n(1 ; 1 ; 1). On calcule n·u : s'il est nul, d est parallèle à P ; sinon, ils sont sécants.
$\vec{n}\cdot\vec{u} = 1\cdot 1 + 1\cdot(-1) + 1\cdot 1 = 1 \neq 0 \;\Rightarrow\; d \text{ et } P \text{ sécants}$
Injecter la droite dans l'équation du plan
On remplace x, y et z par leurs expressions en fonction de t dans x + y + z = 6.
$(2 + t) + (1 - t) + t = 6$
Résoudre l'équation en t
On développe et on regroupe : 2 + t + 1 − t + t = 3 + t. L'équation devient 3 + t = 6, d'où t = 3.
$3 + t = 6 \;\Longrightarrow\; t = 3$
Calculer les coordonnées de I
On reporte t = 3 dans la paramétrisation de d.
$I\,(2 + 3\,;\,1 - 3\,;\,3) = I\,(5\,;\,-2\,;\,3)$

Résultat : Comme n·u = 1 ≠ 0, le vecteur directeur de d n'est pas orthogonal au normal de P : la droite n'est pas parallèle au plan, donc d et P sont sécants. En injectant la paramétrisation dans l'équation du plan, on obtient t = 3, d'où le point d'intersection I(5 ; −2 ; 3). La méthode est toujours la même : tester d'abord n·u (nullité = parallélisme), puis résoudre l'équation en t.

Erreurs fréquentes

Oublier qu'une droite a une infinité de représentations paramétriques (tout point de la droite et tout vecteur directeur non nul conviennent) : deux paramétrisations différentes peuvent décrire la même droite.
Croire que deux droites de l'espace sans point commun sont forcément parallèles : dans l'espace, elles peuvent être non coplanaires (gauches), avec des vecteurs directeurs non colinéaires et aucune intersection.

Révision active

On donne la droite d : x = 1 + 2t, y = −t, z = 3 + t (t ∈ ℝ) et le plan P d'équation x + y + z = 6. Déterminer si d et P sont sécants ; si oui, calculer les coordonnées de leur point d'intersection.

Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Sources : Programme de spécialité mathématiques — classe terminale (BO spécial n° 8 du 25 juillet 2019) (Ministère de l'Éducation nationale) · Géométrie de l'espace — ressources pour la classe terminale (Ministère de l'Éducation nationale — Éduscol)

Produit scalaire dans l'espace : définition, expression analytique, propriétés#

StandardBO-2019-spe-maths-terminale-§Geometrie-dans-l-espace

Produit scalaire : projection orthogonale et angle θ

Fig. 5u·v = ‖u‖·‖v‖·cos θ : le facteur ‖v‖·cos θ est la mesure algébrique de la projection orthogonale de v sur la direction de u.

Définition géométrique : pour deux vecteurs non nuls u et v faisant un angle θ, le produit scalaire est u·v = ‖u‖·‖v‖·cos(θ), où ‖u‖ désigne la norme (longueur) de u. Si l'un des vecteurs est nul, le produit scalaire vaut 0. Le produit scalaire est un NOMBRE RÉEL, pas un vecteur.

Expression analytique : dans un repère orthonormé (O ; i, j, k), si u(x ; y ; z) et v(x' ; y' ; z'), alors u·v = xx' + yy' + zz'. On multiplie les composantes deux à deux et on additionne. C'est l'expression à privilégier pour calculer concrètement.

Norme et produit scalaire : la norme se calcule par ‖u‖ = √(u·u) = √(x² + y² + z²). La distance entre deux points A et B est AB = ‖AB‖ = √((x_B − x_A)² + (y_B − y_A)² + (z_B − z_A)²).

Propriétés algébriques : le produit scalaire est symétrique (u·v = v·u), bilinéaire (u·(v + w) = u·v + u·w et (k·u)·v = k·(u·v)) et u·u = ‖u‖² ≥ 0. Ces règles permettent de développer les expressions comme avec un produit ordinaire, par exemple ‖u + v‖² = ‖u‖² + 2 u·v + ‖v‖².

Calcul de l'angle : la définition géométrique se retourne en cos(θ) = (u·v) / (‖u‖·‖v‖), ce qui permet de calculer l'angle entre deux vecteurs (donc entre deux droites) à partir de leurs coordonnées.

\vec{u}\cdot\vec{v} = x x' + y y' + z z' = \lVert \vec{u}\rVert\,\lVert \vec{v}\rVert\,\cos\theta

Les deux expressions du produit scalaire

Égalité fondamentale : l'expression analytique (par coordonnées, en repère orthonormé) et l'expression géométrique (normes et angle) donnent le même nombre.

\lVert \vec{u}\rVert = \sqrt{\vec{u}\cdot\vec{u}} = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}

Norme d'un vecteur

La norme est la racine carrée du produit scalaire du vecteur par lui-même ; en repère orthonormé, c'est la racine de la somme des carrés des coordonnées.

\cos\theta = \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\lVert \vec{u}\rVert\,\lVert \vec{v}\rVert}

Angle entre deux vecteurs

On isole le cosinus dans la définition géométrique pour obtenir l'angle entre deux vecteurs non nuls à partir de leurs coordonnées.

Angle entre deux vecteurs de l'espace

Fig. 6Le cosinus de l'angle θ entre u et v se calcule par cos θ = (u·v) / (‖u‖·‖v‖).

Exemple corrigé

Produit scalaire, norme et angle

Dans un repère orthonormé, on donne u(1 ; 2 ; −2) et v(2 ; 0 ; 1). 1) Calculer u·v. 2) Calculer ‖u‖ et ‖v‖. 3) En déduire la valeur de cos θ, où θ est l'angle entre u et v, puis l'arrondi de θ au degré.

Calculer le produit scalaire
On applique u·v = xx' + yy' + zz' avec les coordonnées données.
$\vec{u}\cdot\vec{v} = 1\times 2 + 2\times 0 + (-2)\times 1 = 2 + 0 - 2 = 0$
Calculer les normes
Chaque norme est la racine de la somme des carrés des coordonnées.
$\lVert\vec{u}\rVert = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3, \qquad \lVert\vec{v}\rVert = \sqrt{4 + 0 + 1} = \sqrt{5}$
Calculer le cosinus de l'angle
On reporte dans cos θ = (u·v) / (‖u‖·‖v‖).
$\cos\theta = \dfrac{0}{3\sqrt{5}} = 0$
Conclure sur l'angle
Un cosinus nul correspond à un angle droit.
$\cos\theta = 0 \;\Longrightarrow\; \theta = 90^\circ$

Résultat : On obtient u·v = 0, ‖u‖ = 3 et ‖v‖ = √5, d'où cos θ = 0 et θ = 90°. Les vecteurs u et v sont orthogonaux : c'est le pivot de la section suivante (u·v = 0 ⇔ u ⊥ v).

Erreurs fréquentes

Oublier que le repère doit être ORTHONORMÉ pour appliquer u·v = xx' + yy' + zz' : cette formule n'est valable que dans un repère orthonormé.
Traiter le produit scalaire comme un vecteur : u·v est un nombre réel ; il n'a ni direction ni sens, et on ne peut pas en calculer la norme.

Révision active

Dans un repère orthonormé, on donne u(2 ; −1 ; 3) et v(1 ; 4 ; 0). Calculer u·v, ‖u‖, ‖v‖, puis l'arrondi au degré de l'angle θ entre u et v.

Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Sources : Programme de spécialité mathématiques — classe terminale (BO spécial n° 8 du 25 juillet 2019) (Ministère de l'Éducation nationale)

Orthogonalité de vecteurs, de droites et vecteur normal à un plan#

StandardBO-2019-spe-maths-terminale-§Geometrie-dans-l-espace

Droite orthogonale à un plan : le vecteur normal

Fig. 7Le vecteur n est normal au plan P : il est orthogonal à tout vecteur du plan. Une droite dirigée par n est perpendiculaire à P.

Orthogonalité de deux vecteurs : deux vecteurs u et v sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul, u·v = 0. En coordonnées (repère orthonormé) : xx' + yy' + zz' = 0. C'est la caractérisation la plus utilisée en pratique.

Orthogonalité de deux droites : deux droites sont orthogonales lorsque leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux (u·v = 0). Attention : dans l'espace, deux droites orthogonales ne sont pas nécessairement sécantes (elles peuvent être orthogonales sans se couper) ; on parle alors de droites orthogonales mais non perpendiculaires.

Vecteur normal à un plan : un vecteur n non nul est normal à un plan P lorsqu'il est orthogonal à tout vecteur du plan, c'est-à-dire orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires de P. Un plan possède une infinité de vecteurs normaux, tous colinéaires entre eux.

Caractérisation d'un plan par un point et un vecteur normal : le plan P passant par A et de vecteur normal n est l'ensemble des points M tels que AM·n = 0. Cette équation vectorielle est le point de départ pour obtenir l'équation cartésienne (section suivante).

Droite orthogonale à un plan : une droite est orthogonale (perpendiculaire) à un plan lorsque son vecteur directeur est un vecteur normal au plan, donc colinéaire à n. Une telle droite est alors orthogonale à toutes les droites du plan.

\vec{u}\cdot\vec{v} = 0 \iff \vec{u} \perp \vec{v}

Caractérisation de l'orthogonalité

Deux vecteurs (non nuls) sont orthogonaux exactement quand leur produit scalaire est nul : c'est l'outil de toutes les démonstrations d'orthogonalité.

\vec{n} \text{ normal à } P \iff \vec{n}\cdot\vec{u} = 0 \;\text{ et }\; \vec{n}\cdot\vec{v} = 0

Vecteur normal à un plan

Un vecteur est normal au plan dirigé par u et v (non colinéaires) lorsqu'il est orthogonal à ces deux vecteurs directeurs.

M \in P \iff \vec{AM}\cdot\vec{n} = 0

Plan défini par un point et un vecteur normal

Le plan passant par A de vecteur normal n est l'ensemble des points M tels que AM soit orthogonal à n.

Exemple corrigé

Déterminer un vecteur normal à un plan

Un plan P est dirigé par les vecteurs u(2 ; −1 ; 1) et v(1 ; 0 ; 3). Déterminer un vecteur normal n(a ; b ; c) à P.

Écrire les conditions d'orthogonalité
Le vecteur n doit être orthogonal à u et à v, ce qui donne deux équations.
$\begin{cases} \vec{n}\cdot\vec{u} = 2a - b + c = 0 \\ \vec{n}\cdot\vec{v} = a + 3c = 0 \end{cases}$
Exprimer a en fonction de c
La deuxième équation donne a = −3c.
$a = -3c$
En déduire b
On reporte dans la première équation : 2(−3c) − b + c = 0, soit −6c − b + c = 0, donc b = −5c.
$2(-3c) - b + c = 0 \;\Longrightarrow\; b = -5c$
Choisir une valeur simple
On prend c = 1 (un vecteur normal est défini à un coefficient près, on choisit le plus simple).
$c = 1 \;\Rightarrow\; \vec{n}(-3\,;\,-5\,;\,1)$

Résultat : Un vecteur normal à P est n(−3 ; −5 ; 1). Vérification : n·u = −6 + 5 + 1 = 0 et n·v = −3 + 0 + 3 = 0 ; n est bien orthogonal aux deux directeurs, donc normal au plan.

Erreurs fréquentes

Croire que deux droites orthogonales se coupent forcément : dans l'espace, l'orthogonalité porte sur les directions ; deux droites peuvent être orthogonales sans point commun (non coplanaires).
Confondre vecteur directeur et vecteur normal d'un plan : les directeurs engendrent le plan, le vecteur normal lui est orthogonal — ils jouent des rôles opposés.

Révision active

Un plan P est dirigé par u(1 ; 1 ; 0) et v(0 ; 1 ; 1). Déterminer un vecteur normal n(a ; b ; c) à P en résolvant u·n = 0 et v·n = 0, puis vérifier que n est bien orthogonal à u et à v.

Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Équation cartésienne d'un plan, intersections et distances#

ApprofondissementBO-2019-spe-maths-terminale-§Geometrie-dans-l-espace

Projeté orthogonal d'un point sur un plan et distance

Fig. 8Le projeté orthogonal H de M sur P s'obtient en suivant la normale n depuis M. La distance d(M, P) est la longueur MH, mesurée le long de n.

Équation cartésienne d'un plan : tout plan de vecteur normal n(a ; b ; c) admet une équation de la forme ax + by + cz + d = 0, et réciproquement une telle équation (avec (a, b, c) ≠ (0, 0, 0)) est celle d'un plan dont n(a ; b ; c) est un vecteur normal. Les coefficients de x, y, z se lisent directement comme les coordonnées du vecteur normal.

Obtention à partir d'un point et d'un vecteur normal : le plan de vecteur normal n(a ; b ; c) passant par A(x_A ; y_A ; z_A) a pour équation a(x − x_A) + b(y − y_A) + c(z − z_A) = 0 ; en développant on obtient ax + by + cz + d = 0 avec d = −(a·x_A + b·y_A + c·z_A). On détermine donc le plan dès qu'on connaît un point et un vecteur normal.

Intersection droite/plan : pour intersecter une droite paramétrée et un plan ax + by + cz + d = 0, on injecte x(t), y(t), z(t) dans l'équation et on résout en t. Une solution unique donne le point d'intersection ; aucune solution = droite parallèle disjointe ; identité = droite incluse dans le plan.

Intersection plan/plan : deux plans non parallèles se coupent selon une droite. On résout le système de leurs deux équations cartésiennes : on exprime deux inconnues en fonction de la troisième (prise comme paramètre t), ce qui donne la représentation paramétrique de la droite d'intersection.

Projeté orthogonal et distance : le projeté orthogonal H d'un point M sur un plan P est le point d'intersection de P avec la droite passant par M et dirigée par le vecteur normal n. La distance de M à P est la longueur MH ; elle se calcule directement par d(M, P) = |a·x_M + b·y_M + c·z_M + d| / √(a² + b² + c²). De même, la distance d'un point M à une droite d (passant par A, de vecteur directeur u) est la longueur MH où H est le projeté orthogonal de M sur d : on écrit H = A + t·u, on traduit l'orthogonalité MH·u = 0 pour trouver t, puis on calcule la longueur MH (c'est la plus courte distance de M à d).

a(x - x_A) + b(y - y_A) + c(z - z_A) = 0 \;\Longrightarrow\; ax + by + cz + d = 0

Équation cartésienne d'un plan

Plan de vecteur normal n(a ; b ; c) passant par A : on développe l'équation vectorielle AM·n = 0 pour obtenir la forme cartésienne, avec d = −(a·x_A + b·y_A + c·z_A).

\vec{n}\,(a\,;\,b\,;\,c) \text{ est un vecteur normal au plan } ax + by + cz + d = 0

Vecteur normal lu sur l'équation

Les coefficients de x, y et z dans l'équation cartésienne sont exactement les coordonnées d'un vecteur normal au plan.

d(M, P) = \dfrac{\lvert a x_M + b y_M + c z_M + d\rvert}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}

Distance d'un point à un plan

Distance du point M(x_M ; y_M ; z_M) au plan ax + by + cz + d = 0 : valeur absolue de l'équation évaluée en M, divisée par la norme du vecteur normal.

Exemple corrigé

Équation d'un plan, projeté orthogonal et distance

Dans un repère orthonormé, on considère le point A(1 ; 2 ; −1) et le vecteur n(2 ; −1 ; 2). 1) Déterminer une équation cartésienne du plan P passant par A et de vecteur normal n. 2) Soit M(3 ; 1 ; 3). Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal H de M sur P. 3) En déduire la distance de M à P.

Écrire l'équation cartésienne de P
Le plan a pour équation 2(x − 1) − 1(y − 2) + 2(z + 1) = 0 ; on développe.
$2x - 2 - y + 2 + 2z + 2 = 0 \;\Longrightarrow\; 2x - y + 2z + 2 = 0$
Paramétrer la droite (MH) dirigée par n
Le projeté H est sur la droite passant par M et dirigée par le normal n. On la paramètre.
$x = 3 + 2t,\quad y = 1 - t,\quad z = 3 + 2t \quad (t \in \mathbb{R})$
Trouver t en injectant dans P
On reporte dans 2x − y + 2z + 2 = 0 : 2(3 + 2t) − (1 − t) + 2(3 + 2t) + 2 = 0.
$6 + 4t - 1 + t + 6 + 4t + 2 = 0 \;\Longrightarrow\; 13 + 9t = 0 \;\Longrightarrow\; t = -\dfrac{13}{9}$
Calculer les coordonnées de H
On reporte t = −13/9 dans la paramétrisation.
$H\left(3 - \tfrac{26}{9}\,;\,1 + \tfrac{13}{9}\,;\,3 - \tfrac{26}{9}\right) = H\left(\tfrac{1}{9}\,;\,\tfrac{22}{9}\,;\,\tfrac{1}{9}\right)$
Calculer la distance par la formule directe
On applique d(M, P) = |2·3 − 1 + 2·3 + 2| / √(4 + 1 + 4).
$d(M, P) = \dfrac{\lvert 6 - 1 + 6 + 2\rvert}{\sqrt{9}} = \dfrac{13}{3}$

Résultat : Le plan P a pour équation 2x − y + 2z + 2 = 0. Le projeté orthogonal de M(3 ; 1 ; 3) est H(1/9 ; 22/9 ; 1/9), et la distance de M à P vaut 13/3. On vérifie la cohérence : MH = |t|·‖n‖ = (13/9)·3 = 13/3, identique à la formule directe.

Exemple corrigé

Projeté orthogonal d'un point sur une droite et distance

Dans un repère orthonormé, on considère la droite d passant par A(0 ; 0 ; 0) et de vecteur directeur u(1 ; 2 ; 2), ainsi que le point M(3 ; 0 ; 0). Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal H de M sur d, puis calculer la distance de M à d.

Paramétrer la droite et écrire H
Tout point H de d s'écrit H = A + t·u, donc H(t ; 2t ; 2t). Le projeté orthogonal cherché correspond à une valeur particulière de t.
$H\,(t\,;\,2t\,;\,2t) \quad (t \in \mathbb{R})$
Traduire l'orthogonalité du projeté
H est le projeté orthogonal de M sur d lorsque le vecteur MH est orthogonal au vecteur directeur u, c'est-à-dire MH·u = 0 (de façon équivalente HM·u = 0).
$\vec{MH}\,(t - 3\,;\,2t\,;\,2t), \qquad \vec{MH}\cdot\vec{u} = 0$
Résoudre l'équation en t
On développe MH·u : (t − 3)·1 + 2t·2 + 2t·2 = t − 3 + 4t + 4t = 9t − 3. On annule : 9t − 3 = 0, donc t = 1/3.
$(t - 3) + 4t + 4t = 9t - 3 = 0 \;\Longrightarrow\; t = \dfrac{1}{3}$
Calculer les coordonnées de H
On reporte t = 1/3 dans H(t ; 2t ; 2t).
$H\left(\tfrac{1}{3}\,;\,\tfrac{2}{3}\,;\,\tfrac{2}{3}\right)$
Calculer la distance MH
La distance de M à d est la longueur MH, avec MH(1/3 − 3 ; 2/3 ; 2/3) = (−8/3 ; 2/3 ; 2/3).
$d(M, d) = \lVert\vec{MH}\rVert = \dfrac{1}{3}\sqrt{8^2 + 2^2 + 2^2} = \dfrac{\sqrt{72}}{3} = 2\sqrt{2}$

Résultat : Le projeté orthogonal de M(3 ; 0 ; 0) sur la droite d est H(1/3 ; 2/3 ; 2/3), et la distance de M à d vaut MH = 2√2 ≈ 2,83. La méthode est générale : on écrit H = A + t·u, on traduit MH·u = 0 (le projeté est le point de d le plus proche de M), on en tire t, puis on mesure la longueur MH.

Schritt-für-Schritt Erklärung4 Schritte

1
On part d'un point A et d'un vecteur normal n : ce sont les deux ingrédients qui suffisent à déterminer un plan dans l'espace.
$A(x_A\,;\,y_A\,;\,z_A), \quad \vec{n}(a\,;\,b\,;\,c)$
2
Un point M appartient au plan exactement quand le vecteur AM est orthogonal à n, c'est-à-dire quand leur produit scalaire est nul.
$M \in P \iff \vec{AM}\cdot\vec{n} = 0$
3
On développe ce produit scalaire en coordonnées : on obtient l'équation cartésienne du plan, où les coefficients de x, y, z sont les coordonnées du vecteur normal.
$a(x - x_A) + b(y - y_A) + c(z - z_A) = 0 \;\Rightarrow\; ax + by + cz + d = 0$
4
Enfin, pour mesurer l'écart d'un point M au plan, on évalue le premier membre de l'équation en M, en valeur absolue, divisé par la norme du vecteur normal : c'est la distance de M au plan.
$d(M, P) = \dfrac{\lvert a x_M + b y_M + c z_M + d\rvert}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

Erreurs fréquentes

Se tromper de signe dans le constant d : avec a(x − x_A) + … = 0, on a d = −(a·x_A + b·y_A + c·z_A), pas +. Le plus sûr est de remplacer les coordonnées de A dans ax + by + cz + d = 0 et de résoudre pour d.
Oublier la valeur absolue ou la racine dans la formule de distance : d(M, P) = |a·x_M + b·y_M + c·z_M + d| / √(a² + b² + c²), avec une valeur absolue au numérateur et la norme du vecteur normal au dénominateur.

Révision active

Soit P le plan d'équation 2x − y + 2z − 3 = 0 et le point M(1 ; 4 ; 2). Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal H de M sur P, puis calculer la distance de M à P par les deux méthodes (longueur MH et formule directe).

Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Références et sources

Sources

Ministère de l'Éducation nationale

Programme de spécialité mathématiques — classe terminale (BO spécial n° 8 du 25 juillet 2019)

Ministère de l'Éducation nationale — Éduscol

Programmes et ressources en mathématiques — voie générale et technologique

Géométrie dans l'espace

Points clés

Étudier la coplanarité de quatre points

Points clés

Intersection d'une droite et d'un plan

Points clés

Produit scalaire, norme et angle

Points clés

Déterminer un vecteur normal à un plan

Points clés

Équation d'un plan, projeté orthogonal et distance

Projeté orthogonal d'un point sur une droite et distance

Sources