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Notizen/Mathematik/FA 3 - Winkel- und Schwingungsfunktionen
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FA 3 - Winkel- und Schwingungsfunktionen

Sinus, Kosinus und Tangens als Funktionen reeller Argumente; allgemeine Schwingung f(x)=Asin⁡(ωx+φ)+df(x)=A\sin(\omega x+\varphi)+df(x)=Asin(ωx+φ)+d als Modell für Periodisches. Vgl. Thema AG 4 (Trigonometrie im Dreieck und am Einheitskreis), in dem Sinus, Kosinus und das Bogenmass am Einheitskreis eingeführt werden.

6 Abschnitte·~18 Min Lesezeit·3 Kompetenzen·Niveau Standard 4 · Vertiefung 2·Stand 06/2026

T·0777 / 13
Prüfungsprofil
FA 6.1 · Sinus- und Kosinusfunktion in RFA 6.2 · Werte(paare) aus Graphen und Gleichungen ermitteln und deutenFA 6.5 · Zusammenhang \cos x=\sin(x+\tfrac{π}{2})
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Lesetiefe: Vertiefung

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Inhalt · 6 Abschnitte▾
  1. FA 3 - Winkel- und Schwingungsfunktionen
    • 01Sinus- und Kosinusfunktion◐
    • 02Amplitude, Periode, Phase, Verschiebung◐
    • 03Trigonometrische Gleichungen●
    • 04Tangensfunktion◐
    • 05Transformationen von Winkelfunktionen◐
    • 06Periodische Vorgänge modellieren●
§ 01

Sinus- und Kosinusfunktion#

●●○StandardLPFA-6.1

Kernpunkte

Am Einheitskreis ordnet man jedem Winkel den yyy-Wert (Sinus) und den xxx-Wert (Kosinus) des zugehörigen Kreispunktes zu. Lässt man den Winkel im Bogenmaß nicht nur über [0, 2π)[0,\,2\pi)[0,2π), sondern über alle reellen Zahlen laufen, so werden aus den beiden Seitenverhältnissen zwei auf ganz R\mathbb{R}R definierte Funktionen sin⁡\sinsin und cos⁡\coscos. Genau dieser Schritt - vom Winkel im Dreieck zur Funktion einer reellen Variablen - ist der Kern des Themas und die Brücke von der Trigonometrie (AG 4) zur Beschreibung periodischer Vorgänge.
Beide Funktionen sind auf ganz R\mathbb{R}R definiert und periodisch mit der Periode 2π2\pi2π: Nach einem vollen Umlauf wiederholt sich jeder Wert, formal sin⁡(x+2π)=sin⁡x\sin(x+2\pi)=\sin xsin(x+2π)=sinx. Der Graph ist die vertraute Wellenlinie, die zwischen den Werten −1-1−1 und 111 pendelt; der Wertebereich ist also das abgeschlossene Intervall [−1, 1][-1,\,1][−1,1] (). Höher oder tiefer kommt eine reine Sinus- oder Kosinuskurve nie - eine Tatsache, die jede spätere Amplitudenbetrachtung trägt.

Sinus-Schwingung f(x)=\sin x

Sinus-Schwingung f(x) = sin xSchaubild von f(x) = sin x, Nullstellen bei x = 0, 3.142, 6.283, Hochpunkt bei (1.571, 1), Tiefpunkt bei (4.712, -1), y-Achsenabschnitt bei y = 0, im Bereich x von 0 bis 6.283123456−1−0.50.51+1−1W = [−1, 1]f(x) = sin xsin(x)x (rad)
Abb. 1Periode 2π2\pi2π, Amplitude 111.
Die Nullstellen verraten den Rhythmus der Welle: sin⁡x\sin xsinx wird bei allen ganzzahligen Vielfachen von π\piπ null, also bei x=kπx=k\pix=kπ mit k∈Zk\in\mathbb{Z}k∈Z, während cos⁡x\cos xcosx um eine Viertelperiode versetzt bei x=π2+kπx=\tfrac{\pi}{2}+k\pix=2π​+kπ verschwindet. Dazwischen liegen die Extrema: sin⁡x\sin xsinx erreicht sein Maximum 111 bei x=π2x=\tfrac{\pi}{2}x=2π​ und sein Minimum −1-1−1 bei x=3π2x=\tfrac{3\pi}{2}x=23π​. Wer diese markanten Stellen kennt, kann jede Sinuskurve ohne Wertetabelle skizzieren.
Die Symmetrie der beiden Funktionen ist gegensätzlich: Der Sinus ist eine ungerade Funktion, denn sin⁡(−x)=−sin⁡x\sin(-x)=-\sin xsin(−x)=−sinx, sein Graph ist also punktsymmetrisch zum Ursprung. Der Kosinus dagegen ist gerade, cos⁡(−x)=cos⁡x\cos(-x)=\cos xcos(−x)=cosx, und damit achsensymmetrisch zur yyy-Achse. Anschaulich folgt das aus dem Einheitskreis: Spiegelt man den Winkel an der xxx-Achse, kehrt sich die Höhe (sin⁡\sinsin) um, die waagrechte Lage (cos⁡\coscos) bleibt unverändert.
Sinus und Kosinus sind nicht zwei unabhängige Funktionen, sondern dieselbe Welle in zwei Phasen: Verschiebt man den Sinus um eine Viertelperiode nach links, erhält man genau den Kosinus, kurz sin⁡ ⁣(x+π2)=cos⁡x\sin\!\left(x+\tfrac{\pi}{2}\right)=\cos xsin(x+2π​)=cosx. Deshalb genügt es, eine der beiden Kurven wirklich zu beherrschen - die andere ist nur ihre um π2\tfrac{\pi}{2}2π​ verschobene Schwester. Ergänzend koppelt der trigonometrische Pythagoras sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^{2}x+\cos^{2}x=1sin2x+cos2x=1 beide Werte an jeder Stelle aneinander.
Der Einheitskreis bleibt das Anschauungsmodell: Dort liefern Sinus und Kosinus direkt die Koordinaten (cos⁡x ∣ sin⁡x)(\cos x\,|\,\sin x)(cosx∣sinx) des Winkelpunktes, und Wertebereich wie Symmetrie lassen sich ablesen statt auswendig lernen. In Anwendungen tritt diese reine Welle fast nie nackt auf, sondern in der allgemeinen Form f(x)=Asin⁡(ωx+φ)+df(x)=A\sin(\omega x+\varphi)+df(x)=Asin(ωx+φ)+d: Der Vorfaktor AAA streckt die Amplitude, ω\omegaω staucht die Periode gemäß T=2πωT=\tfrac{2\pi}{\omega}T=ω2π​, und φ\varphiφ wie ddd verschieben die Kurve. Diese vier Stellschrauben sind das Thema der folgenden Abschnitte.
f(x)=Asin⁡(ωx+φ)+df(x)=A\sin(\omega x+\varphi)+df(x)=Asin(ωx+φ)+d

Allgemeine Schwingung

T=2πωT=\dfrac{2\pi}{\omega}T=ω2π​

Periode

Musterbeispiel

Periode und Nullstellen von f(x)=sin⁡(2x)f(x)=\sin(2x)f(x)=sin(2x)

Bestimme für f(x)=sin⁡(2x)f(x)=\sin(2x)f(x)=sin(2x) die Periode, alle Nullstellen im Intervall [0, π][0,\,\pi][0,π] und die Lage des ersten Maximums.

  1. 01Periode

    Aus dem Argument folgt ω=2\omega=2ω=2, also T=2πω=2π2=πT=\dfrac{2\pi}{\omega}=\dfrac{2\pi}{2}=\piT=ω2π​=22π​=π. Die Kurve schwingt damit doppelt so schnell wie sin⁡x\sin xsinx.

  2. 02Nullstellen

    sin⁡(2x)=0\sin(2x)=0sin(2x)=0 gilt für 2x=kπ2x=k\pi2x=kπ, also x=kπ2x=\tfrac{k\pi}{2}x=2kπ​. Im Intervall [0, π][0,\,\pi][0,π] sind das x=0x=0x=0, x=π2x=\tfrac{\pi}{2}x=2π​ und x=πx=\pix=π.

  3. 03Erstes Maximum

    Der Sinus ist maximal, wenn sein Argument π2\tfrac{\pi}{2}2π​ beträgt: 2x=π2⇒x=π42x=\tfrac{\pi}{2}\Rightarrow x=\tfrac{\pi}{4}2x=2π​⇒x=4π​, dort ist der Funktionswert 111.

Ergebnis: Periode T=πT=\piT=π; Nullstellen bei x=0x=0x=0, x=π2x=\tfrac{\pi}{2}x=2π​ und x=πx=\pix=π; erstes Maximum bei x=π4x=\tfrac{\pi}{4}x=4π​ mit Funktionswert 111.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte
  1. 1

    Sinus und Kosinus sind periodische Funktionen mit Periode 2π2\pi2π.

    Sinus-Schwingung f(x)=\sin x

    Sinus-Schwingung f(x) = sin xSchaubild von f(x) = sin x, Nullstellen bei x = 0, 3.142, 6.283, Hochpunkt bei (1.571, 1), Tiefpunkt bei (4.712, -1), y-Achsenabschnitt bei y = 0, im Bereich x von 0 bis 6.283123456−1−0.50.51+1−1W = [−1, 1]f(x) = sin xsin(x)x (rad)
    Abb.Periode 2π2\pi2π, Amplitude 111.
  2. 2

    Sie unterscheiden sich nur durch eine Verschiebung um π2\tfrac{\pi}{2}2π​.

  3. 3

    Aus Einheitskreis und Bogenmass folgen direkt Wertebereich und Symmetrie.

Maturafokus

  • In Schwingungsaufgaben werden Parameter geometrisch interpretiert.
  • Bei Modellierung Periode aus dem Argument ableiten: ω=2πT\omega=\tfrac{2\pi}{T}ω=T2π​.
  • Phase und Verschiebung sind oft Anfangsbedingungen.

Typische Fehler

  • Periode T=ωT=\omegaT=ω statt T=2πωT=\tfrac{2\pi}{\omega}T=ω2π​.
  • Phase mit Periodenverschiebung vermischt.
  • Sinus und Kosinus in der Schwingungsmodellierung nicht klar getrennt.

Aktive Wiederholung

Skizziere eine vollständige Periode der Funktion f(x)=sin⁡(2x)f(x)=\sin(2x)f(x)=sin(2x) und gib Periode und Nullstellen an.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: IQS Sinus Kosinus (IQS)

§ 02

Amplitude, Periode, Phase, Verschiebung#

●●○StandardLPFA-6.2LPFA-6.5

Kernpunkte

Eine reine Sinuskurve schwingt stets zwischen −1-1−1 und 111 mit der Periode 2π2\pi2π um die Nulllinie. Reale periodische Vorgänge - eine Temperatur, ein Wasserstand, eine Wechselspannung - haben aber eine eigene Höhe, einen eigenen Takt, eine eigene Mittellage und einen eigenen Startpunkt. Die allgemeine Schwingung f(x)=Asin⁡(ω(x−x0))+df(x)=A\sin(\omega(x-x_{0}))+df(x)=Asin(ω(x−x0​))+d stellt dafür vier Stellschrauben bereit: Amplitude AAA, Kreisfrequenz ω\omegaω, horizontale Verschiebung x0x_{0}x0​ und vertikale Verschiebung ddd.
Die Amplitude AAA ist die halbe Differenz zwischen Maximum und Minimum, A=ymax⁡−ymin⁡2A=\dfrac{y_{\max}-y_{\min}}{2}A=2ymax​−ymin​​ - also der maximale Ausschlag aus der Mittellage nach oben oder unten, nicht der Spitzenwert selbst. Pendelt eine Temperatur etwa zwischen 141414 und 262626 Grad, beträgt die Amplitude A=26−142=6A=\tfrac{26-14}{2}=6A=226−14​=6 und nicht 262626. Diese Verwechslung von Höchstwert und Amplitude ist der häufigste Fehler überhaupt.
Die Kreisfrequenz ω\omegaω steckt im Argument und bestimmt den Takt über T=2πωT=\dfrac{2\pi}{\omega}T=ω2π​: Ein größeres ω\omegaω presst mehr Schwingungen in dieselbe Strecke, die Periode wird also kürzer. Wichtig ist, dass ω\omegaω und die Periode TTT nicht dasselbe sind - der typische Patzer T=ωT=\omegaT=ω unterschlägt den Faktor 2π2\pi2π. Die Frequenz f=1T=ω2πf=\dfrac{1}{T}=\dfrac{\omega}{2\pi}f=T1​=2πω​ zählt die Schwingungen pro Zeiteinheit und ist damit der Kehrwert der Periode.
Der Summand ddd ist die Mittellage, also der Durchschnitt aus Maximum und Minimum: d=ymax⁡+ymin⁡2d=\dfrac{y_{\max}+y_{\min}}{2}d=2ymax​+ymin​​. Er hebt oder senkt die gesamte Schwingung parallel zur yyy-Achse, um die sie dann symmetrisch pendelt. Im Temperaturbeispiel liegt die Mittellage bei d=26+142=20d=\tfrac{26+14}{2}=20d=226+14​=20 Grad - die Welle schwingt mit Amplitude 666 um diese Ruhelage.
Die Phasen- oder Horizontalverschiebung x0x_{0}x0​ schiebt die Kurve im wörtlichen Sinn nach rechts (bei negativem Vorzeichen nach links): f(x)=Asin⁡(ω(x−x0))+df(x)=A\sin(\omega(x-x_{0}))+df(x)=Asin(ω(x−x0​))+d hat ihren ersten steigenden Nulldurchgang genau bei x=x0x=x_{0}x=x0​. Multipliziert man das Argument aus, entsteht die Form Asin⁡(ωx+φ)+dA\sin(\omega x+\varphi)+dAsin(ωx+φ)+d mit φ=−ω x0\varphi=-\omega\,x_{0}φ=−ωx0​ - der Phasenwinkel φ\varphiφ und die Verschiebung x0x_{0}x0​ sind also über den Faktor ω\omegaω verknüpft und dürfen nicht verwechselt werden.
Aus einer gemessenen Kurve liest man die vier Größen der Reihe nach ab: AAA und ddd aus Höchst- und Tiefstwert, ω\omegaω aus der Periode (Abstand zweier gleichartiger Punkte, etwa zweier Maxima) und x0x_{0}x0​ aus dem Zeitpunkt eines markanten Punktes wie des ersten Maximums. Mit dem Schieberegler lässt sich der Einfluss jeder Größe einzeln erproben. Dieses Aufstellen einer Schwingungsgleichung aus realen Daten ist die Standardaufgabe der Modellierung.
A=ymax⁡−ymin⁡2,d=ymax⁡+ymin⁡2A=\dfrac{y_{\max}-y_{\min}}{2},\quad d=\dfrac{y_{\max}+y_{\min}}{2}A=2ymax​−ymin​​,d=2ymax​+ymin​​

Amplitude und Mittelwert

Interaktive Grafik lädt…

Musterbeispiel

Tagesgang Temperatur modellieren

Die Temperatur eines Früh-Sommer-Tages schwingt zwischen 14∘14^{\circ}14∘C (Minimum um 555 Uhr) und 26∘26^{\circ}26∘C (Maximum um 171717 Uhr). Stelle eine Sinusfunktion auf.

  1. 01Amplitude und Mittelwert

    A=26−142=6A=\tfrac{26-14}{2}=6A=226−14​=6 und d=26+142=20d=\tfrac{26+14}{2}=20d=226+14​=20.

  2. 02Periode

    T=24T=24T=24 h, also ω=2π24=π12\omega=\tfrac{2\pi}{24}=\tfrac{\pi}{12}ω=242π​=12π​.

  3. 03Phase

    Maximum bei t=17t=17t=17 h: sin⁡(ω(17−x0))=1⇒ω(17−x0)=π2⇒x0=11\sin(\omega(17-x_{0}))=1\Rightarrow \omega(17-x_{0})=\tfrac{\pi}{2}\Rightarrow x_{0}=11sin(ω(17−x0​))=1⇒ω(17−x0​)=2π​⇒x0​=11.

Ergebnis: T(t)=20+6sin⁡ ⁣(π12(t−11))T(t)=20+6\sin\!\left(\tfrac{\pi}{12}(t-11)\right)T(t)=20+6sin(12π​(t−11)).

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte
  1. 1

    Die Amplitude misst die halbe Spannweite zwischen Maximum und Minimum.

  2. 2

    Die Periode liest du aus der Zeit zwischen zwei gleichartigen Punkten - z.B. zwei Maxima.

  3. 3

    Phase und Mittelwert liefern Anfangsbedingungen, die exakt zur Realdatenkurve passen müssen.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Die Höhe der Gondel eines Riesenrades modelliert die Funktion h(t)=35−30cos⁡ ⁣(π10t)h(t)=35-30\cos\!\left(\tfrac{\pi}{10}t\right)h(t)=35−30cos(10π​t) (ttt in Minuten). Bestimme Periode, maximale Höhe und Zeitpunkt der ersten maximalen Höhe.

Maturafokus

  • Amplitude und Verschiebung aus Maximum und Minimum berechnen.
  • Periode oft aus Zeit zwischen zwei Maxima oder Nulldurchgängen.
  • Phase aus dem Zeitpunkt des ersten Maximums ableiten.

Typische Fehler

  • Amplitude als Maximum statt als halbe Spannweite genommen.
  • Frequenz und Periode verwechselt.
  • Phasenverschiebung mit der vertikalen Verschiebung addiert.

Aktive Wiederholung

Eine Schwingung erreicht Maximum 777, Minimum −1-1−1, Periode 444 s, erstes Maximum bei t=0,5t=0{,}5t=0,5. Stelle eine Funktionsgleichung auf.

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Mathago Schwingungsfunktionen (Mathago)

§ 03

Trigonometrische Gleichungen#

●●●VertiefungLPFA-6.1LPFA-6.5

Kernpunkte

Während 2x−1=02x-1=02x−1=0 genau eine Lösung hat, besitzt eine trigonometrische Gleichung wie sin⁡x=c\sin x=csinx=c unendlich viele: Weil die Sinuskurve periodisch ist, schneidet die waagrechte Gerade y=cy=cy=c sie in jeder Periode erneut. Eine einzelne Lösung anzugeben genügt daher nie - gefragt ist entweder die vollständige Lösungsmenge oder die Lösungen in einem vorgegebenen Intervall.
Der Taschenrechner liefert mit arcsin⁡c\arcsin carcsinc zunächst nur einen Wert im Bereich [−π2, π2]\left[-\tfrac{\pi}{2},\,\tfrac{\pi}{2}\right][−2π​,2π​]. Innerhalb einer Periode gibt es aber einen zweiten Schnittpunkt, der spiegelbildlich zur Stelle π2\tfrac{\pi}{2}2π​ liegt. Die vollständige Lösung lautet deshalb x=arcsin⁡c+2kπx=\arcsin c+2k\pix=arcsinc+2kπ oder x=π−arcsin⁡c+2kπx=\pi-\arcsin c+2k\pix=π−arcsinc+2kπ mit k∈Zk\in\mathbb{Z}k∈Z; das angehängte 2kπ2k\pi2kπ erzeugt durch die Periodizität alle weiteren Lösungen.
Für cos⁡x=c\cos x=ccosx=c verläuft alles analog, nur ist die Kosinuskurve symmetrisch zur yyy-Achse statt zur Stelle π2\tfrac{\pi}{2}2π​. Die beiden Lösungsäste fallen daher zu x=±arccos⁡c+2kπx=\pm\arccos c+2k\pix=±arccosc+2kπ zusammen. In beiden Fällen ist die Gleichung nur für −1≤c≤1-1\le c\le 1−1≤c≤1 lösbar, denn außerhalb des Wertebereichs [−1, 1][-1,\,1][−1,1] schneidet die Gerade y=cy=cy=c die Kurve gar nicht.
In Anwendungen ist meist ein Intervall vorgegeben, etwa [0, 2π)[0,\,2\pi)[0,2π) oder ein Zeitraum in Stunden. Dann setzt man in den allgemeinen Lösungen nacheinander k=0, 1, 2,…k=0,\,1,\,2,\dotsk=0,1,2,… (und nötigenfalls k=−1k=-1k=−1) ein und behält nur jene Werte, die im geforderten Bereich liegen. Alle Lösungen werden am Ende aufsteigend sortiert angegeben, damit keine übersehen wird.
Steht statt sin⁡x\sin xsinx ein ganzes Schwingungsmodell Asin⁡(ω(x−x0))+d=wA\sin(\omega(x-x_{0}))+d=wAsin(ω(x−x0​))+d=w da, isoliert man zuerst die Sinusfunktion: durch AAA dividieren und ddd subtrahieren, bis sin⁡(… )=c\sin(\dots)=csin(…)=c dasteht. Erst danach wendet man das Arcsinus-Schema auf das gesamte Argument ω(x−x0)\omega(x-x_{0})ω(x−x0​) an und löst zum Schluss nach xxx auf. So wird etwa aus 2,5+1,8sin⁡(… )=3,42{,}5+1{,}8\sin(\dots)=3{,}42,5+1,8sin(…)=3,4 zunächst sin⁡(… )=0,5\sin(\dots)=0{,}5sin(…)=0,5.
Häufig ist nur der erste Zeitpunkt gesucht, zu dem ein Wert auftritt - dann nimmt man die kleinste Lösung im Sachbereich. Ein CAS findet die Lösungen über den Befehl „solve", doch jede Lösung muss am Originalmodell und am Sachkontext geprüft werden: Ein negativer Zeitpunkt oder ein Wert jenseits des Beobachtungszeitraums scheidet aus, auch wenn er die Gleichung formal erfüllt.
sin⁡x=c⇒x=arcsin⁡c+2kπ  oder  x=π−arcsin⁡c+2kπ\sin x=c\Rightarrow x=\arcsin c+2k\pi\;\text{oder}\;x=\pi-\arcsin c+2k\pisinx=c⇒x=arcsinc+2kπoderx=π−arcsinc+2kπ

Lösungsmenge der Sinusgleichung

Musterbeispiel

Erstes Auftreten eines Hochwasserstands

Der Wasserstand schwankt gemäß h(t)=2,5+1,8sin⁡ ⁣(π6(t−3))h(t)=2{,}5+1{,}8\sin\!\left(\tfrac{\pi}{6}(t-3)\right)h(t)=2,5+1,8sin(6π​(t−3)) (Stunden). Wann erreicht der Pegel zum ersten Mal 3,43{,}43,4 m?

  1. 01Gleichung

    2,5+1,8sin⁡(… )=3,4⇒sin⁡ ⁣(π6(t−3))=0,52{,}5+1{,}8\sin(\dots)=3{,}4\Rightarrow \sin\!\left(\tfrac{\pi}{6}(t-3)\right)=0{,}52,5+1,8sin(…)=3,4⇒sin(6π​(t−3))=0,5.

  2. 02Arcsinus

    π6(t−3)=π6⇒t−3=1⇒t=4\tfrac{\pi}{6}(t-3)=\tfrac{\pi}{6}\Rightarrow t-3=1\Rightarrow t=46π​(t−3)=6π​⇒t−3=1⇒t=4.

Ergebnis: Der Pegel erreicht den Wert erstmals nach 444 Stunden.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte
  1. 1

    Trigonometrische Gleichungen haben in der Regel unendlich viele Lösungen.

  2. 2

    Achte auf das Intervall und den symmetrischen zweiten Lösungsast.

  3. 3

    Prüfe in Anwendungen, ob die Lösung im Sachzusammenhang gültig ist.

Maturafokus

  • Achte bei Schwingungsaufgaben immer auf den geforderten Zeitraum.
  • Sortiere alle Lösungen aufsteigend; in CAS lassen sich Lösungen mit "solve" gewinnen.
  • Prüfe Lösungen am Originalmodell.

Typische Fehler

  • Nur eine Lösung im Intervall angegeben, obwohl mehrere existieren.
  • Periode falsch addiert (z.B. π\piπ statt 2π2\pi2π).
  • Lösung ausserhalb des Definitionsintervalls übernommen.

Aktive Wiederholung

Löse sin⁡ ⁣(π6t)=0,5\sin\!\left(\tfrac{\pi}{6}t\right)=0{,}5sin(6π​t)=0,5 für t∈[0, 24]t\in[0,\,24]t∈[0,24] und gib alle Lösungen an.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: IQS trigonometrische Gleichungen (IQS)

§ 04

Tangensfunktion#

●●○StandardLPFA-6.1

Kernpunkte

Der Tangens entsteht als Verhältnis der beiden Grundfunktionen, f(x)=tan⁡x=sin⁡xcos⁡xf(x)=\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}f(x)=tanx=cosxsinx​, und misst anschaulich, wie steil die Verbindung vom Ursprung zum Einheitskreispunkt ansteigt. Diese Steigungsdeutung macht ihn zum Bindeglied zwischen Winkel und Geradensteigung und damit zur wichtigsten Winkelfunktion der Geometrie.
Da durch cos⁡x\cos xcosx dividiert wird, ist der Tangens überall dort definiert, wo der Kosinus nicht null ist. An den Stellen x=π2+kπx=\tfrac{\pi}{2}+k\pix=2π​+kπ wird cos⁡x=0\cos x=0cosx=0, dort hat der Tangens Definitionslücken. Sein Definitionsbereich ist also R\mathbb{R}R ohne diese Stellen, R∖{π2+kπ}\mathbb{R}\setminus\left\{\tfrac{\pi}{2}+k\pi\right\}R∖{2π​+kπ}.
Anders als Sinus und Kosinus hat der Tangens die kürzere Periode π\piπ, nicht 2π2\pi2π. Der Grund: Verschiebt man xxx um π\piπ, wechseln Zähler und Nenner gleichzeitig das Vorzeichen, und im Quotienten heben sich die beiden Vorzeichen wieder auf - der Wert wiederholt sich also schon nach einer halben Sinusperiode.
An jeder Definitionslücke besitzt der Graph eine senkrechte Asymptote: Nähert sich xxx der Stelle π2\tfrac{\pi}{2}2π​, strebt tan⁡x\tan xtanx gegen +∞+\infty+∞ bzw. −∞-\infty−∞. Auf jedem einzelnen Ast ist der Tangens streng monoton steigend und durchläuft alle reellen Werte - sein Wertebereich ist ganz R\mathbb{R}R, nicht das beschränkte [−1, 1][-1,\,1][−1,1]. Zudem ist er ungerade, tan⁡(−x)=−tan⁡x\tan(-x)=-\tan xtan(−x)=−tanx, der Graph also punktsymmetrisch zum Ursprung.
Die geometrische Hauptanwendung ist der Steigungswinkel einer Geraden: Schließt eine Gerade mit der xxx-Achse den Winkel α\alphaα ein, so ist ihre Steigung k=tan⁡αk=\tan\alphak=tanα. Umgekehrt gewinnt man den Steigungswinkel aus der Steigung über die Umkehrfunktion, α=arctan⁡k\alpha=\arctan kα=arctank - eine Gerade mit k=1k=1k=1 steigt also unter arctan⁡1=45∘\arctan 1=45^{\circ}arctan1=45∘.
In der Matura wird der Tangens vor allem in zwei Rollen geprüft: als Funktion mit charakteristischen Definitionslücken und Asymptoten, deren Periode π\piπ klar von der Periode 2π2\pi2π der Sinusfunktion zu unterscheiden ist, und als Werkzeug für Steigungswinkel - derselbe Zusammenhang k=tan⁡αk=\tan\alphak=tanα deutet später auch die Steigung einer Tangente an einen Funktionsgraphen als Steigungswinkel (Thema AN).
tan⁡x=sin⁡xcos⁡x,k=tan⁡α\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x},\qquad k=\tan\alphatanx=cosxsinx​,k=tanα

Tangensfunktion und Steigungswinkel

Musterbeispiel

Steigungswinkel aus der Steigung

Eine Gerade hat die Steigung k=1k=1k=1. Bestimme den Steigungswinkel.

  1. 01Ansatz

    tan⁡α=k=1\tan\alpha=k=1tanα=k=1.

  2. 02Arcustangens

    α=arctan⁡1\alpha=\arctan 1α=arctan1.

  3. 03Wert

    α=45∘\alpha=45^{\circ}α=45∘ bzw. π4\tfrac{\pi}{4}4π​.

Ergebnis: Die Gerade steigt unter 45∘45^{\circ}45∘.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte
  1. 1

    Der Tangens ist der Quotient aus Sinus und Kosinus und hat die Periode Pi.

  2. 2

    An den Nullstellen des Kosinus entstehen senkrechte Asymptoten.

  3. 3

    Der Tangens des Steigungswinkels ist genau die Steigung einer Geraden.

Maturafokus

  • Definitionslücken und Asymptoten der Tangensfunktion angeben.
  • Periode π\piπ von der Periode der Sinusfunktion unterscheiden.
  • Steigungswinkel über den Tangens berechnen.

Typische Fehler

  • Periode des Tangens fälschlich als 2π2\pi2π angenommen.
  • Asymptoten an den Nullstellen des Sinus statt des Kosinus vermutet.
  • Steigungswinkel ohne Arcustangens bestimmt.

Aktive Wiederholung

Bestimme den Steigungswinkel einer Geraden mit der Steigung k=1k=1k=1 und gib die Periode von tan⁡x\tan xtanx an.

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: IQS Winkelfunktionen AHS (IQS)

§ 05

Transformationen von Winkelfunktionen#

●●○StandardLPFA-6.2

Kernpunkte

Die allgemeine Sinusschwingung f(x)=Asin⁡(ωx+φ)+df(x)=A\sin(\omega x+\varphi)+df(x)=Asin(ωx+φ)+d entsteht aus der Grundkurve sin⁡x\sin xsinx durch vier Transformationen, die unabhängig voneinander wirken. Wer ihre Bedeutung kennt, kann jeden Funktionsterm sofort in eine Skizze übersetzen und umgekehrt aus einer Kurve die Gleichung rekonstruieren - beides sind klassische Maturaaufgaben.
Der Vorfaktor AAA steuert die Amplitude, also die halbe Schwingungshöhe: Er streckt die Kurve in yyy-Richtung, sodass sie zwischen d−Ad-Ad−A und d+Ad+Ad+A pendelt. Bei f(x)=3sin⁡(2x)+1f(x)=3\sin(2x)+1f(x)=3sin(2x)+1 etwa ist A=3A=3A=3, die Welle reicht also von −2-2−2 bis 444 (). Ein negatives AAA würde die Kurve zusätzlich an der Mittellage spiegeln.

Transformierte Sinuskurve f(x)=3\sin(2x)+1

Transformierte Sinuskurve f(x) = 3·sin(2x) + 1Schaubild von f(x) = 3·sin(2x) + 1, Nullstellen bei x = 1.741, 2.972, Hochpunkt bei (0.785, 4), Tiefpunkt bei (2.356, -2), y-Achsenabschnitt bei y = 1, im Bereich x von 0 bis 3.1420.511.522.53−2−11234Maxx = π/4Mittellage d = 1f(x) = 3·sin(2x)+ 1f(x)x (rad)
Abb. 2Amplitude 333, Periode T=πT=\piT=π, Mittellage y=1y=1y=1; Maximum bei x=π4x=\tfrac{\pi}{4}x=4π​.
Die Kreisfrequenz ω\omegaω staucht die Kurve in xxx-Richtung und bestimmt die Periode über T=2πωT=\dfrac{2\pi}{\omega}T=ω2π​: Ein größeres ω\omegaω bedeutet eine kürzere Periode, also mehr Schwingungen pro Strecke. Für ω=2\omega=2ω=2 ergibt sich T=2π2=πT=\dfrac{2\pi}{2}=\piT=22π​=π - die Kurve schwingt doppelt so schnell wie die Grundfunktion.
Die Phasenverschiebung φ\varphiφ schiebt den Graphen waagrecht, der Summand ddd verschiebt ihn senkrecht und legt die Mittellage y=dy=dy=d fest. Während ddd unmittelbar ablesbar ist, ist die tatsächliche waagrechte Verschiebung nicht φ\varphiφ selbst, sondern −φω-\dfrac{\varphi}{\omega}−ωφ​ - man muss φ\varphiφ erst durch die Kreisfrequenz teilen, um vom Phasenwinkel auf eine Strecke auf der xxx-Achse zu kommen.
Genau dieser Faktor 1ω\tfrac{1}{\omega}ω1​ ist die häufigste Falle: Eine Phase φ\varphiφ einfach als Verschiebung um den Betrag φ\varphiφ zu deuten ist falsch. Beim umgekehrten Weg - aus einem Graphen die Gleichung zu gewinnen - liest man zuerst Mittellage ddd und Amplitude AAA aus Höchst- und Tiefstwert ab, dann die Periode TTT und daraus ω=2πT\omega=\tfrac{2\pi}{T}ω=T2π​, und schließlich aus der waagrechten Lage eines markanten Punktes die Phase.
So liest man an f(x)=3sin⁡(2x)+1f(x)=3\sin(2x)+1f(x)=3sin(2x)+1 unmittelbar ab: Amplitude 333, Periode π\piπ, Mittellage y=1y=1y=1, keine Phasenverschiebung. Dieselben vier Kenngrößen bilden die Grundlage der periodischen Modellierung im folgenden Abschnitt, wo sie nicht aus einem fertigen Term, sondern aus gemessenen Daten bestimmt werden.
f(x)=Asin⁡(ωx+φ)+d,T=2πωf(x)=A\sin(\omega x+\varphi)+d,\qquad T=\dfrac{2\pi}{\omega}f(x)=Asin(ωx+φ)+d,T=ω2π​

Allgemeine Sinusschwingung

Musterbeispiel

Kenngrößen ablesen

Bestimme Amplitude, Periode und Mittellage von f(x)=3sin⁡(2x)+1f(x)=3\sin(2x)+1f(x)=3sin(2x)+1.

  1. 01Amplitude

    Der Vorfaktor ist A=3A=3A=3, die Amplitude beträgt also 333.

  2. 02Periode

    ω=2\omega=2ω=2, somit T=2π2=πT=\dfrac{2\pi}{2}=\piT=22π​=π.

  3. 03Mittellage

    Der Summand d=1d=1d=1 verschiebt die Mittellage auf y=1y=1y=1.

Ergebnis: Amplitude 333, Periode π\piπ, Mittellage y=1y=1y=1.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte
  1. 1

    Der Vorfaktor vor dem Sinus ist die Amplitude und damit die halbe Schwingungshöhe.

  2. 2

    Die Periode berechnest du als zwei Pi geteilt durch die Kreisfrequenz.

  3. 3

    Der konstante Summand verschiebt die gesamte Schwingung senkrecht.

Maturafokus

  • Amplitude, Periode und Verschiebungen aus dem Funktionsterm bestimmen.
  • Aus einem Graphen die passende Funktionsgleichung rekonstruieren.
  • Periode korrekt über die Kreisfrequenz berechnen.

Typische Fehler

  • Periode mit der Kreisfrequenz gleichgesetzt.
  • Phasenverschiebung ohne den Faktor 1ω\tfrac{1}{\omega}ω1​ angegeben.
  • Senkrechte Verschiebung ddd mit der Amplitude verwechselt.

Aktive Wiederholung

Bestimme Amplitude, Periode und senkrechte Verschiebung von f(x)=3sin⁡(2x)+1f(x)=3\sin(2x)+1f(x)=3sin(2x)+1.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: BMBWF Formelheft Mathematik AHS (BMBWF)

§ 06

Periodische Vorgänge modellieren#

●●●VertiefungLPFA-6.2LPFA-6.3

Kernpunkte

Viele Vorgänge in Natur und Technik wiederholen sich in festem Takt: die Gezeiten, die Tageslänge im Jahresverlauf, die Wechselspannung im Stromnetz oder der Tagesgang der Temperatur. Solche periodischen Vorgänge lassen sich näherungsweise durch ein Sinus- oder Kosinusmodell der Form f(t)=Asin⁡(ω(t−t0))+df(t)=A\sin(\omega(t-t_{0}))+df(t)=Asin(ω(t−t0​))+d beschreiben (). Modellieren heißt hier, aus wenigen gemessenen Eckdaten die vier Parameter zu bestimmen.

Idealisiertes Gezeitenmodell H(t)=3+2\sin\!\left(\tfrac{π}{6}t\right)

Idealisiertes Gezeitenmodell H(t) = 3 + 2·sin(π/6 · t)Schaubild von H(t) = 3 + 2·sin(π/6 · t), Hochpunkt bei (3, 5), Tiefpunkt bei (9, 1), Hochpunkt bei (15, 5), Tiefpunkt bei (21, 1), y-Achsenabschnitt bei y = 3, im Bereich x von 0 bis 245101520123456FlutH = 5 mMittellage 3 mH(t) = 3 +2·sin(π/6 · t)H (m)t (h)
Abb. 3Wasserstand über einen Tag; Mittellage 333 m, Amplitude 222 m, Periode T=12T=12T=12 h.
Den Anfang machen Höchst- und Tiefstwert: Aus ihnen ergeben sich Amplitude und Mittellage als A=max−min2A=\dfrac{\text{max}-\text{min}}{2}A=2max−min​ und d=max+min2d=\dfrac{\text{max}+\text{min}}{2}d=2max+min​. Schwankt etwa die Tageslänge zwischen 888 und 161616 Stunden, so ist A=16−82=4A=\tfrac{16-8}{2}=4A=216−8​=4 und d=16+82=12d=\tfrac{16+8}{2}=12d=216+8​=12 - die Mittellage ist also der Durchschnitt, die Amplitude die halbe Spannweite der Werte.
Die Kreisfrequenz folgt aus der bekannten Periode des Vorgangs über ω=2πT\omega=\dfrac{2\pi}{T}ω=T2π​. Bei einem Jahresrhythmus ist T=365T=365T=365 Tage, also ω=2π365\omega=\dfrac{2\pi}{365}ω=3652π​; bei einem Tagesrhythmus T=24T=24T=24 Stunden. Entscheidend ist, TTT in derselben Einheit wie die Variable ttt einzusetzen, damit das Modell maßstabsgetreu bleibt.
Die Phasenverschiebung t0t_{0}t0​ wird schließlich so gewählt, dass das Modell den beobachteten Hochpunkt trifft: In der Sinusform liegt das erste Maximum bei t=t0t=t_{0}t=t0​, sodass t0t_{0}t0​ direkt der Zeitpunkt des beobachteten Höchstwerts ist. Liegt umgekehrt schon zum Startzeitpunkt t=0t=0t=0 ein Maximum vor, ist die Kosinusform d+Acos⁡(ωt)d+A\cos(\omega t)d+Acos(ωt) oft die bequemere Wahl.
Ob man Sinus oder Kosinus ansetzt, hängt damit nur vom gewählten Nullpunkt der Zeit ab - beide Modelle beschreiben dieselbe Kurve, lediglich die Phasenkonstante unterscheidet sich. Nach dem Aufstellen gehört stets eine Probe dazu: Liefert das Modell zu den bekannten Zeitpunkten tatsächlich Höchst- und Tiefstwert?
Zur vollständigen Lösung gehört die Reflexion der Modellgrenzen: Reale Vorgänge sind selten exakt sinusförmig. Gezeiten werden durch Wetter und Küstenform verzerrt, die Tageslänge folgt nicht ganz einer reinen Sinuskurve, und Messdaten streuen. Das Sinusmodell ist eine bewusste Idealisierung - in der Matura wird ausdrücklich erwartet, dass man seine Aussagekraft im Sachkontext interpretiert und seine Grenzen benennt.
A=max−min2,d=max+min2,ω=2πTA=\dfrac{\text{max}-\text{min}}{2},\quad d=\dfrac{\text{max}+\text{min}}{2},\quad \omega=\dfrac{2\pi}{T}A=2max−min​,d=2max+min​,ω=T2π​

Kenngrößen eines periodischen Modells

Musterbeispiel

Tageslänge modellieren

Die Tageslänge schwankt zwischen 888 und 161616 Stunden. Bestimme Amplitude und Mittellage.

  1. 01Amplitude

    A=16−82=4A=\dfrac{16-8}{2}=4A=216−8​=4 Stunden.

  2. 02Mittellage

    d=16+82=12d=\dfrac{16+8}{2}=12d=216+8​=12 Stunden.

  3. 03Periode

    Ein Jahr, also T=365T=365T=365 Tage und ω=2π365\omega=\dfrac{2\pi}{365}ω=3652π​.

Ergebnis: Modell der Form L(t)=12+4sin⁡ ⁣(2π365(t−t0))L(t)=12+4\sin\!\left(\tfrac{2\pi}{365}(t-t_{0})\right)L(t)=12+4sin(3652π​(t−t0​)) mit passendem t0t_{0}t0​.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte
  1. 1

    Amplitude und Mittellage gewinnst du aus dem Höchst- und Tiefstwert des Vorgangs.

  2. 2

    Die Kreisfrequenz folgt aus der bekannten Periode des Vorgangs.

  3. 3

    Reflektiere am Ende, wie gut das idealisierte Sinusmodell die Realität trifft.

Maturafokus

  • Aus Maximal- und Minimalwert Amplitude und Mittellage bestimmen.
  • Kreisfrequenz aus der Periode ableiten.
  • Das Modell im Sachkontext interpretieren und seine Grenzen benennen.

Typische Fehler

  • Amplitude als Differenz statt halbe Differenz von Maximum und Minimum berechnet.
  • Periode und Kreisfrequenz verwechselt.
  • Modell ohne Reflexion auf seine Grenzen übernommen.

Aktive Wiederholung

Die Tageslänge schwankt zwischen 888 h und 161616 h über ein Jahr. Stelle ein Sinusmodell mit Amplitude und Mittellage auf.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: IQS periodische Modelle AHS (IQS)

Inhalt

Abschnitt -- / 06

    • 01Sinus- und Kosinusfunktion◐
    • 02Amplitude, Periode, Phase, Verschiebung◐
    • 03Trigonometrische Gleichungen●
    • 04Tangensfunktion◐
    • 05Transformationen von Winkelfunktionen◐
    • 06Periodische Vorgänge modellieren●

0/6 Gelesen

Aus den Notizen ins Training

FA 3 - Winkel- und Schwingungsfunktionen

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Beispielfrage

Die Höhe der Gondel eines Riesenrades modelliert die Funktion h(t)=35−30cos⁡ ⁣(π10t)h(t)=35-30\cos\!\left(\tfrac{\pi}{10}t\right)h(t)=35−30cos(10π​t) (ttt in Minuten). Bestimme Periode, maximale Höhe und Zeitpunkt der ersten maximalen Höhe.

4 BE · 2021

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Belege & Quellen

Quellen

IQS

  • IQS Sinus Kosinus

Mathago

  • Mathago Schwingungsfunktionen

BMBWF

  • BMBWF Formelheft Mathematik AHS

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