AN 1 - Änderungsmaße, Differentialquotient und Ableitungsregeln — Mathematik · Matura-Zusammenfassung

Mittlere und momentane Änderungsrate#

BasisAN-1.1

Viele Sachfragen lauten nicht „wie groß?", sondern „wie schnell ändert sich etwas?" - wie rasch ein Tank leerläuft, ein Kapital wächst oder ein Auto schneller wird. Das Änderungsmaß macht diese Frage präzise, indem es die Änderung des Funktionswerts

\Delta y

ins Verhältnis zur Änderung des Arguments

\Delta x

setzt - es misst also nicht einen Wert, sondern ein Tempo.

Über ein ganzes Intervall

[x_{1},\,x_{2}]

misst der mittlere Differenzenquotient

\bar m=\dfrac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}

die durchschnittliche Änderung. Geometrisch ist das genau die Steigung der Sekante durch die beiden Graphenpunkte (). Für

f(x)=x^{2}

auf

[1,\,4]

etwa ist

\bar m=\dfrac{16-1}{4-1}=5

: Im Mittel wächst

f

pro Einheit von

x

um

5

.

Mittlere Änderungsrate als Sekantensteigung

Abb. 1Die mittlere Änderungsrate auf

[1,\,4]

ist die Steigung der Sekante:

\bar m=\tfrac{16-1}{4-1}=5

.

Anschaulich verbindet die Sekante zwei Punkte und mittelt über alles, was dazwischen geschieht - ob die Funktion zwischendurch schneller oder langsamer anstieg, verschwindet in einem einzigen Mittelwert. Das genügt für eine Durchschnittsgeschwindigkeit oder einen Durchschnittsverbrauch, sagt aber nichts über einen einzelnen Augenblick aus.

Genau dort setzt die momentane Änderungsrate an: Lässt man das Intervall immer kleiner werden, bis

x_{2}

gegen

x_{1}

rückt, geht die Sekantensteigung in die Steigung in einem einzigen Punkt über - die Ableitung. Sie ist der Grenzwert der mittleren Änderungsraten und das Thema der nächsten Sektion.

Die Einheit jeder Änderungsrate ist „Einheit von

y

je Einheit von

x

": bei Weg in Metern und Zeit in Sekunden also Meter pro Sekunde, bei Kosten in Euro und Stückzahl eben Euro pro Stück. Diese Einheit IST bereits die Interpretation - sie im Sachkontext anzugeben gehört untrennbar zur vollständigen Antwort.

Das Vorzeichen der Rate verrät die Richtung: positiv bedeutet Zunahme, negativ Abnahme. Eine negative Rate bei einem sinkenden Bestand - etwa einer abnehmenden Wassermenge - ist also kein Fehler, sondern die korrekte Aussage „nimmt ab". Mit dieser Trennung von mittlerer und momentaner Änderung ist der Boden für den Ableitungsbegriff bereitet.

\overline{m}=\dfrac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}

Mittlerer Differenzenquotient (Sekantensteigung)

Musterbeispiel

Mittlere Änderungsrate berechnen und deuten

Berechne die mittlere Änderungsrate von $f(x)=x^{2}$ im Intervall $[1,\,4]$ und interpretiere sie.

Funktionswerte
$f(1)=1$ und $f(4)=16$ .
Differenzenquotient
$\bar m=\dfrac{f(4)-f(1)}{4-1}=\dfrac{16-1}{3}=5$ .
Deutung
Im Intervall $[1,\,4]$ wächst $f$ im Durchschnitt um $5$ Einheiten pro Einheit von $x$ ; die Sekante durch $(1\,|\,1)$ und $(4\,|\,16)$ hat die Steigung $5$ .

Ergebnis: Mittlere Änderungsrate $\bar m=5$ (Sekantensteigung).

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Die mittlere Änderungsrate ist die Steigung der Sekante durch zwei Punkte des Graphen.
2
Schrumpfst du das Intervall, erhältst du im Grenzfall die momentane Änderungsrate.
Differentialquotient als Grenzwert
Abb.Sekanten durch P(x0|f(x0)) wandern auf Tangente zu, wenn h gegen 0 geht.
3
Beide Raten haben die Einheit $y$ pro $x$ - vergiss diese Einheit im Sachkontext nie.

Typische Fehler

Mittlere Änderungsrate und Funktionswert verwechselt.
Einheit der Änderungsrate vergessen.
Vorzeichen falsch interpretiert.

Aktive Wiederholung

Berechne die mittlere Änderungsrate von $f(x)=x^{2}$ im Intervall $[1,\,4]$ und interpretiere das Ergebnis.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: BMBWF AN 1.1 Grundkompetenz (IQS)

Differentialquotient als Grenzwert#

StandardAN-1.2

Die vorige Sektion endete mit einer Idee: Schrumpft das Intervall einer Sekante auf einen einzigen Punkt zusammen, entsteht die Steigung in genau diesem Punkt. Der Differentialquotient gießt diese Idee in eine Definition und ist damit das Herzstück der gesamten Differentialrechnung.

Man hält die Stelle

x_{0}

fest und betrachtet einen zweiten Punkt im Abstand

h

. Der Differenzenquotient

\dfrac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}

ist die Sekantensteigung. Lässt man nun

h\to 0

gehen, wandert der zweite Punkt auf den ersten zu, und die Sekanten kippen in eine Grenzlage (). Existiert dieser Grenzwert, heißt er Differentialquotient

f'(x_{0})=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}

.

Differentialquotient als Grenzwert

Abb. 2Sekanten durch P(x0|f(x0)) wandern auf Tangente zu, wenn h gegen 0 geht.

Geometrisch ist

f'(x_{0})

die Steigung der Tangente an den Graphen im Punkt

(x_{0}\,|\,f(x_{0}))

- jener Geraden, die sich dem Graphen dort am besten anschmiegt. Während die Sekante zwei Punkte verbindet, berührt die Tangente nur einen einzigen; sie ist die „eingefrorene" Grenzlage der immer kürzeren Sekanten.

Konkret für

f(x)=3x^{2}

an der Stelle

x_{0}=2

: Der Differenzenquotient

\dfrac{3(2+h)^{2}-12}{h}=\dfrac{12h+3h^{2}}{h}=12+3h

lässt sich kürzen, und für

h\to 0

bleibt

f'(2)=12

. Das

h

im Nenner, das zunächst eine Division durch (fast) Null droht, hebt sich also weg - genau das macht den Grenzübergang überhaupt sauber durchführbar.

Inhaltlich ist der Differentialquotient die momentane Änderungsrate: die Momentangeschwindigkeit als Ableitung des Weges, die momentane Wachstumsrate als Ableitung des Bestands. Er beantwortet die Frage „wie schnell JETZT?" - im Gegensatz zum Differenzenquotienten, der über ein ganzes Intervall mittelt.

Bildet man

f'(x_{0})

an JEDER Stelle, so entsteht eine neue Funktion, die Ableitungsfunktion

f'

, die jeder Stelle die dortige Steigung zuordnet. In der Leibniz-Schreibweise steht dafür

\dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}

, die an den Differenzenquotienten

\dfrac{\Delta f}{\Delta x}

erinnert. Diese Ableitungsfunktion ist das Werkzeug, mit dem die nächste Sektion bequeme Ableitungsregeln entwickelt.

f'(x_{0})=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}

Differentialquotient (Ableitung an einer Stelle)

Musterbeispiel

Differentialquotient explizit auswerten

Berechne $f'(2)$ für $f(x)=3x^{2}$ .

Differenzenquotient
$\tfrac{f(2+h)-f(2)}{h}=\tfrac{3(2+h)^{2}-12}{h}=\tfrac{12h+3h^{2}}{h}=12+3h$ .
Grenzwert
Für $h\to 0$ : $f'(2)=12$ .

Ergebnis: Die Tangentensteigung an der Stelle $x=2$ ist $12$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Stell dir vor, dass der zweite Punkt der Sekante immer näher an den festen Punkt ruckt.
2
Der Grenzwert dieses Quotienten ergibt die Tangentensteigung.
3
So entsteht aus diskreten Werten ein Mass für die momentane Änderung.

Typische Fehler

Differentialquotient als Quotient von Werten interpretieren statt als Grenzwert.
Tangente und Sekante in Skizze verwechselt.
Limesnotation lückenhaft.

Aktive Wiederholung

Bestimme mit Hilfe des Differentialquotienten die Ableitung von $f(x)=3x^{2}$ an der Stelle $x_{0}=2$ .

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: IQS Differentialquotient (IQS)

Ableitungsregeln und Standardableitungen#

StandardAN-1.3

Den Differentialquotienten für jede Funktion mühsam als Grenzwert auszurechnen wäre unzumutbar. Stattdessen leitet man ihn EINMAL für die Bausteine her und gewinnt Regeln, mit denen sich jede zusammengesetzte Funktion fast mechanisch ableiten lässt - das ist der Grund, warum Ableiten in der Praxis so schnell geht.

Der wichtigste Baustein ist die Potenzregel

(x^{n})'=n\,x^{n-1}

: Der Exponent wandert als Faktor nach vorne, und der neue Exponent ist um

1

kleiner. Mit ihr leitet man jedes Polynom Glied für Glied ab - aus

x^{3}

wird

3x^{2}

, aus

x

wird

1

, und eine Konstante wird zu

0

.

Die Summenregel

(f+g)'=f'+g'

und die Faktorregel

(c\,f)'=c\,f'

besagen, dass man Summanden einzeln ableiten und konstante Faktoren einfach stehen lassen darf. Ableiten ist also „linear" - diese beiden Regeln machen aus der Potenzregel sofort die Ableitung beliebiger Polynome.

Bei einem Produkt darf man NICHT die Faktoren einzeln ableiten; stattdessen gilt die Produktregel

(f\cdot g)'=f'g+fg'

und die Quotientenregel

\left(\dfrac{f}{g}\right)'=\dfrac{f'g-fg'}{g^{2}}

. Bei der Quotientenregel ist die Reihenfolge im Zähler entscheidend (das Minuszeichen!), und der Nenner wird quadriert.

Verkettete Funktionen - eine Funktion in einer anderen,

f(g(x))

- leitet die Kettenregel ab:

\big(f(g(x))\big)'=f'(g(x))\cdot g'(x)

, kurz „äußere mal innere Ableitung". Für

g(x)=\ln(2x^{2}+1)

etwa ist die äußere Ableitung

\dfrac{1}{2x^{2}+1}

, mal der inneren

4x

, also

g'(x)=\dfrac{4x}{2x^{2}+1}

. Die innere Ableitung zu vergessen ist der häufigste Fehler überhaupt.

Daneben muss man die Standardableitungen auswendig parat haben:

(\mathrm{e}^{x})'=\mathrm{e}^{x}

(die einzige Funktion, die ihre eigene Ableitung ist),

(\ln x)'=\dfrac{1}{x}

,

(\sin x)'=\cos x

und

(\cos x)'=-\sin x

. Mit diesen Bausteinen und den vier Regeln ist jede maturarelevante Funktion ableitbar - die Voraussetzung für Tangenten und Kurvendiskussion.

(c\,f)'=c\,f',\;(f+g)'=f'+g',\;(f\cdot g)'=f'g+fg',\;\left(\tfrac{f}{g}\right)'=\dfrac{f'g-fg'}{g^{2}}

Faktor-, Summen-, Produkt- und Quotientenregel

(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)

Kettenregel

(\,x^{n}\,)'=n\,x^{n-1},\;(\,\mathrm{e}^{x}\,)'=\mathrm{e}^{x},\;(\,\ln x\,)'=\tfrac{1}{x},\;(\,\sin x\,)'=\cos x,\;(\,\cos x\,)'=-\sin x

Standard-Ableitungen

Musterbeispiel

Ableitung mit Produkt- und Kettenregel

Bilde $f(x)=x^{2}\cdot \mathrm{e}^{-x}$ ab.

Produktregel
$f'(x)=2x\cdot \mathrm{e}^{-x}+x^{2}\cdot \mathrm{e}^{-x}\cdot (-1)$ .
Zusammenfassen
$f'(x)=(2x-x^{2})\,\mathrm{e}^{-x}=x(2-x)\,\mathrm{e}^{-x}$ .

Ergebnis: $f'(x)=x(2-x)\,\mathrm{e}^{-x}$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Identifiziere zuerst die Struktur: Summe, Produkt, Quotient oder Verkettung?
2
Wende die passende Regel an und merke die innere Ableitung in der Kettenregel.
$(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$
Kettenregel
3
Prüfe dein Ergebnis an einer einfachen Stelle, etwa $x=0$ .

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank3 Punkte

Aufgabenstellung

Gib die Ableitung der Funktion

f(x)=3x^{2}\cdot \sin x

an.

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Produktregel mit Quotientenregel verwechselt.
Kettenregel ohne innere Ableitung angewandt.
Vorzeichen bei Ableitung des Kosinus vergessen.

Aktive Wiederholung

Differenziere $g(x)=\ln(2x^{2}+1)$ .

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: BMBWF Formelheft Ableitungsregeln (BMBWF)

Tangentengleichung und Normalsteigung#

StandardAN-1.3

Die Tangente ist die Gerade, die einen Graphen in einem Punkt berührt und dort genau seine Steigung übernimmt. Da die Steigung an der Stelle

x_{0}

gerade

f'(x_{0})

ist, lautet ihre Gleichung

t(x)=f'(x_{0})\cdot(x-x_{0})+f(x_{0})

- eine Punkt-Steigungs-Form mit der Ableitung als Steigung ().

Tangente an f(x) = x³ − 2x bei x₀ = 1

Abb. 3Die Tangente berührt den Graphen in

B(1\,|\,{-1})

und hat dort die Steigung

f'(1)=1

.

Anschaulich ist die Tangente die beste lineare Näherung der Funktion in der Umgebung des Berührpunktes: In einem kleinen Bereich um

x_{0}

unterscheidet sich die gekrümmte Kurve kaum von ihrer Tangente. Auf dieser Idee beruht das „lineare Ersetzen" komplizierter Funktionen, etwa bei Näherungen und Fehlerabschätzungen.

Zum Aufstellen braucht man genau zwei Zutaten: den Funktionswert

f(x_{0})

(wo wird berührt?) und die Ableitung

f'(x_{0})

(wie steil?). Für

f(x)=x^{3}-2x

bei

x_{0}=1

etwa ist

f(1)=-1

und

f'(x)=3x^{2}-2

, also

f'(1)=1

; eingesetzt ergibt sich

t(x)=1\cdot(x-1)-1=x-2

.

Senkrecht zur Tangente steht im Berührpunkt die Normale. Da zueinander normale Geraden Steigungen mit dem Produkt

-1

haben, ist ihre Steigung der negative Kehrwert

-\dfrac{1}{f'(x_{0})}

(sofern

f'(x_{0})\neq 0

). Die Normale wird für Konstruktions- und optische Aufgaben (Reflexion an einer Kurve) gebraucht.

Ist

f'(x_{0})=0

, verläuft die Tangente waagrecht und die Normale senkrecht (deren Steigung ist nicht definiert). Sucht man umgekehrt alle Tangenten, die durch einen vorgegebenen Punkt verlaufen, setzt man die Tangentengleichung mit diesem Punkt an - das liefert eine Bestimmungsgleichung für die unbekannte Berührstelle

x_{0}

.

Auf der Tangente beruht auch das Newton-Verfahren: Man ersetzt die Funktion lokal durch ihre Tangente und nimmt deren Nullstelle als verbesserte Näherung für eine Nullstelle von

f

- schrittweise wiederholt liefert das sehr genaue Werte. Die Tangente ist damit nicht nur Anschauung, sondern ein praktisches Rechenwerkzeug, das zur Kurvendiskussion (Thema AN 2) überleitet.

t(x)=f'(x_{0})\,(x-x_{0})+f(x_{0})

Tangentengleichung

Musterbeispiel

Tangente an Kubikfunktion

Tangente an $f(x)=x^{3}-2x$ im Punkt $x_{0}=1$ .

Funktionswert
$f(1)=1-2=-1$ .
Ableitung
$f'(x)=3x^{2}-2$ , also $f'(1)=1$ .
Tangente
$t(x)=1\cdot(x-1)-1=x-2$ .

Ergebnis: Tangentengleichung: $t(x)=x-2$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Die Tangente ist die Gerade, die den Graphen genau in einem Punkt berührt und dort dieselbe Steigung hat.
2
Du brauchst Funktionswert und Ableitung an der Berührstelle.
3
Die Normale steht senkrecht auf der Tangente; ihre Steigung ist der negative Kehrwert.

Typische Fehler

Funktionswert $f(x_{0})$ statt Steigung in Tangentengleichung eingesetzt.
Normalsteigung mit positivem Reziprokum berechnet.
Tangente an Sekante verwechselt.

Aktive Wiederholung

Bestimme die Gleichung der Tangente an $f(x)=x^{3}-2x$ im Punkt $x_{0}=1$ .

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: IQS Tangentenproblem (IQS)

Anwendungen: Geschwindigkeit, Beschleunigung, Wachstumsraten#

StandardAN-1.1AN-1.3

Die Ableitung ist die Mathematik der Änderungsraten - und Änderungsraten stecken überall im Sachkontext. Ihr roter Faden ist einfach: Hat man eine Bestandsfunktion, so liefert deren Ableitung die zugehörige Rate, und das Vorzeichen der Rate sagt, ob der Bestand gerade wächst oder fällt.

In der Physik ist die Geschwindigkeit die Ableitung des Weges nach der Zeit,

v(t)=s'(t)

, und die Beschleunigung die Ableitung der Geschwindigkeit,

a(t)=v'(t)=s''(t)

. Aus einem Weg-Zeit-Gesetz

s(t)=5t^{2}+2t

folgt also

v(t)=10t+2

und

a(t)=10

- eine konstante Beschleunigung.

In Wachstumsmodellen ist die Wachstumsrate die Ableitung des Bestands. Für eine exponentielle Population

N(t)=120\,\mathrm{e}^{0{,}06t}

etwa ist

N'(t)=7{,}2\,\mathrm{e}^{0{,}06t}

- selbst wieder exponentiell, was die Besonderheit der

\mathrm{e}

-Funktion widerspiegelt: ihre Änderungsrate ist proportional zum Bestand.

In der Wirtschaftsmathematik heißt die Ableitung der Kostenfunktion Grenzkostenfunktion

K'(x)

: Sie gibt näherungsweise die Kosten der nächsten produzierten Einheit an. Analog gibt es Grenzerlös und Grenzgewinn - überall ist die Vorsilbe „Grenz-" das Stichwort für „Ableitung von".

Eine Maturaaufgabe verlangt fast immer Rechnung PLUS Interpretation im Sachkontext, samt Einheit. „

N'(5)\approx 9{,}7

" allein genügt nicht; es muss heißen: „Nach

5

Jahren wächst die Population um etwa

9{,}7

Tiere pro Jahr." Die Einheit der Ableitung ist stets Einheit-des-Bestands je Einheit-der-Variablen.

Schon das Vorzeichen der Ableitung erlaubt qualitative Aussagen:

f'>0

bedeutet Zunahme,

f'<0

Abnahme und

f'=0

einen stationären Augenblick mit waagrechter Tangente. Genau diese Vorzeichenbetrachtung systematisiert die nächste Sektion zur Untersuchung von Monotonie und Extrema.

v(t)=s'(t),\quad a(t)=v'(t)=s''(t)

Geschwindigkeit und Beschleunigung als Ableitungen

Musterbeispiel

Geschwindigkeit und Beschleunigung aus dem Weg-Zeit-Gesetz

Die zurückgelegte Wegstrecke eines Fahrzeugs ist $s(t)=5t^{2}+2t$ ( $s$ in Metern, $t$ in Sekunden). Bestimme Geschwindigkeit und Beschleunigung nach $t=3$ s.

Geschwindigkeit
Erste Ableitung: $v(t)=s'(t)=10t+2$ , also $v(3)=32$ (in m/s).
Beschleunigung
Zweite Ableitung: $a(t)=v'(t)=10$ - konstant (in m/s²).
Deutung
Nach $3$ s bewegt sich das Fahrzeug mit $32$ m/s und beschleunigt gleichmäßig mit $10$ m/s².

Ergebnis: $v(3)=32$ m/s und $a(3)=10$ m/s² (konstante Beschleunigung).

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Die Ableitung verbindet Bestandsmodelle direkt mit Änderungsraten.
2
In der Physik entspricht die erste Ableitung der Geschwindigkeit, die zweite der Beschleunigung.
3
Prüfe in der Wirtschaft, ob die Aufgabe Grenzkosten, Grenzerlöse oder Grenzgewinn verlangt.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank3 Punkte

Aufgabenstellung

Die Population eines geschützten Vogels wird durch

N(t)=120\,\mathrm{e}^{0{,}06\,t}

(

t

in Jahren ab Schutzbeginn) modelliert. Berechne die momentane Wachstumsrate nach

5

Jahren und interpretiere sie.

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Interpretation fehlt, obwohl gefordert.
Einheit der Ableitung übersehen (z.B. m/s).
Verwendet die Funktion selbst statt ihrer Ableitung als Geschwindigkeit.

Aktive Wiederholung

Die zurückgelegte Wegstrecke eines Fahrzeugs ist $s(t)=5t^{2}+2t$ . Bestimme Geschwindigkeit und Beschleunigung nach $t=3$ s.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Mathago Anwendungen Differentialrechnung (Mathago)

Höhere Ableitungen und ihre Bedeutung#

StandardAN-1.3

Da die Ableitung

f'

selbst wieder eine Funktion ist, darf man sie erneut ableiten. So entsteht die zweite Ableitung

f''=(f')'

, durch nochmaliges Ableiten die dritte

f'''

und allgemein die

n

-te Ableitung

f^{(n)}

. Bei einem Polynom sinkt der Grad mit jeder Ableitung um

1

, bis schließlich eine Konstante und dann

0

übrig bleibt.

Während

f'

angibt, wie sich

f

ändert, gibt

f''

an, wie sich

f'

ändert - also wie sich die Steigung selbst verändert. Das ist die „Steigung der Steigung" und beschreibt das Krümmungsverhalten: Wächst die Steigung (

f''>0

), krümmt sich der Graph nach links (konvex); nimmt sie ab (

f''<0

), nach rechts (konkav).

Physikalisch ist die zweite Ableitung des Weges nach der Zeit die Beschleunigung,

a(t)=s''(t)

- die Änderungsrate der Geschwindigkeit. Eine konstante zweite Ableitung bedeutet also gleichmäßige Beschleunigung, eine verschwindende (

a=0

) eine konstante Geschwindigkeit.

Für

f(x)=x^{4}-2x^{2}

etwa ergibt sich

f'(x)=4x^{3}-4x

, dann

f''(x)=12x^{2}-4

und

f'''(x)=24x

- mit jeder Ableitung wird der Grad um eins kleiner. Die nächste Ableitung

f^{(4)}=24

ist konstant, danach folgt

0

.

Das praktisch Wichtigste: Die zweite Ableitung liefert das Kriterium zur Unterscheidung von Hoch- und Tiefpunkten. An einer Stelle mit waagrechter Tangente (

f'(x_{0})=0

) liegt bei

f''(x_{0})<0

ein Hochpunkt (der Graph ist dort rechtsgekrümmt), bei

f''(x_{0})>0

ein Tiefpunkt (linksgekrümmt).

Nullstellen der zweiten Ableitung wiederum markieren mögliche Wendepunkte, an denen die Krümmung umschlägt. Höhere Ableitungen sind damit kein Selbstzweck, sondern das Handwerkszeug der vollständigen Kurvendiskussion (nächstes Thema), in der

f'

über Monotonie und Extrema und

f''

über Krümmung und Wendepunkte entscheidet.

f''(x)=\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\big(f'(x)\big),\qquad a(t)=s''(t)

Zweite Ableitung und Beschleunigung

Musterbeispiel

Ableitungen eines Polynoms

Bestimme die ersten drei Ableitungen von $f(x)=x^{4}-2x^{2}$ .

Erste Ableitung
$f'(x)=4x^{3}-4x$ .
Zweite Ableitung
$f''(x)=12x^{2}-4$ .
Dritte Ableitung
$f'''(x)=24x$ .

Ergebnis: $f'(x)=4x^{3}-4x$ , $f''(x)=12x^{2}-4$ , $f'''(x)=24x$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Die zweite Ableitung erhältst du, indem du die erste Ableitung erneut ableitest.
2
Sie beschreibt, wie sich die Steigung selbst verändert, also die Krümmung.
3
In der Physik ist die zweite Ableitung des Weges nach der Zeit die Beschleunigung.

Typische Fehler

Beim wiederholten Ableiten einen Faktor aus der Kettenregel vergessen.
Zweite Ableitung mit dem Quadrat der ersten verwechselt.
Grad des Polynoms beim Ableiten falsch verringert.

Aktive Wiederholung

Bilde die erste, zweite und dritte Ableitung von $f(x)=x^{4}-2x^{2}$ .

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: IQS Differentialrechnung AHS (IQS)