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Notizen/Angewandte Mathematik/B 11 - Wirtschaftsmathematik: Kosten, Erlös, Gewinn
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B 11 - Wirtschaftsmathematik: Kosten, Erlös, Gewinn

Kosten-, Erlös- und Gewinnfunktionen, Break-Even-Analyse, Preis-Absatz-Modelle und Deckungsbeitrag.

6 Abschnitte·~15 Min Lesezeit·4 Kompetenzen·Niveau Basis 1 · Standard 2 · Vertiefung 3·Stand 06/2026

T·111111 / 13
Prüfungsprofil
B-11.1 · Kosten- und Erlösfunktionen aufstellenB-11.2 · Gewinn- und DeckungsbeitragsanalyseB-11.3 · Break-Even-Punkt bestimmenB-11.4 · Preis-Absatz-Funktion und Gewinnmaximum
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Lesetiefe: Vertiefung

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Inhalt · 6 Abschnitte▾
  1. B 11 - Wirtschaftsmathematik: Kosten, Erlös, Gewinn
    • 01Kosten- und Erlösfunktion○
    • 02Break-Even-Analyse◐
    • 03Gewinnmaximierung mit Preis-Absatz●
    • 04Deckungsbeitrag und Sortimentsentscheidung◐
    • 05Stückkosten und Betriebsoptimum●
    • 06Preiselastizität der Nachfrage●
§ 01

Kosten- und Erlösfunktion#

●○○BasisLPB-11.1

Kernpunkte

Die Wirtschaftsmathematik modelliert betriebliche Entscheidungen mit Funktionen - Kosten, Erlös und Gewinn in Abhängigkeit der produzierten Menge xxx. Den Anfang machen die Kosten- und die Erlösfunktion, aus deren Zusammenspiel sich Gewinnschwelle und Gewinnmaximum ergeben ().

Kostenfunktion mit Fix- und variablen Kosten

Kostenfunktion K(x) = Kf + kv·xSchaubild von K(x), y-Achsenabschnitt bei y = 40, steigend, im Bereich x von 0 bis 1002040608010020406080100120KfFixkostenK(x)Kosten KStückzahl x
Abb. 1Gesamtkosten K(x)=Kf+kv⋅xK(x) = K_f + k_v \cdot xK(x)=Kf​+kv​⋅x; Achsenabschnitt = Fixkosten.
Die Kosten zerfallen in zwei Teile: Fixkosten KfK_fKf​ fallen unabhängig von der Stückzahl an (Miete, Maschinen), variable Kosten steigen mit der Produktion. Die lineare Kostenfunktion ist K(x)=Kf+kv⋅xK(x)=K_f+k_v\cdot xK(x)=Kf​+kv​⋅x - der Achsenabschnitt ist genau KfK_fKf​, die Steigung der variable Stückkostensatz kvk_vkv​. Fixkosten als variabel zu behandeln, ist ein klassischer Fehler.
Die Durchschnittskosten (Stückkosten) kˉ(x)=K(x)x\bar k(x)=\tfrac{K(x)}{x}kˉ(x)=xK(x)​ verteilen die Gesamtkosten auf jede Einheit. Bei Fixkosten sinken sie mit wachsender Stückzahl (Fixkostendegression) - genau das macht Massenproduktion günstiger pro Stück.
Der Erlös (Umsatz) ist E(x)=p⋅xE(x)=p\cdot xE(x)=p⋅x. Bei konstantem Stückpreis ppp ist er eine Ursprungsgerade. Sinkt der Preis hingegen mit der Menge (Preis-Absatz-Funktion p(x)p(x)p(x)), wird E(x)=p(x)⋅xE(x)=p(x)\cdot xE(x)=p(x)⋅x quadratisch - der Erlös steigt zunächst, erreicht ein Maximum und fällt wieder.
In technischen (HTL-)Kontexten treten oft kubische Kostenfunktionen K(x)=ax3+bx2+cx+dK(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+dK(x)=ax3+bx2+cx+d auf, die einen realistischen Verlauf abbilden: zunächst degressiv (sinkende Grenzkosten durch Einarbeitung), dann progressiv (steigende Grenzkosten durch Überlastung). Der Wendepunkt trennt beide Phasen.
In der Matura sind aus einer gegebenen Kostenfunktion die Bestandteile zu deuten (Operator „erläutern": was bedeuten KfK_fKf​ und kvk_vkv​?) und Kosten, Erlös sowie Durchschnittskosten zu berechnen. Preis und Stückpreis sauber zu unterscheiden und auf Einheiten zu achten, sichert die Punkte.
K(x)=Kf+Kv(x),Kv(x)=kv⋅xK(x)=K_{f}+K_{v}(x),\quad K_{v}(x)=k_{v}\cdot xK(x)=Kf​+Kv​(x),Kv​(x)=kv​⋅x

Kostenfunktion mit Fix- und variablen Kosten

E(x)=p⋅xE(x)=p\cdot xE(x)=p⋅x

Linearer Erlös bei konstantem Preis

Musterbeispiel

Lineare Kostenfunktion analysieren

Eine Bezeichnungsmaschine kostet 1 200 Euro1\,200\,\mathrm{Euro}1200Euro fix; pro Buch 0,45 Euro0{,}45\,\mathrm{Euro}0,45Euro variabel.

  1. 01Funktion

    K(x)=1 200+0,45 xK(x)=1\,200+0{,}45\,xK(x)=1200+0,45x.

  2. 02K(2000)

    K(2 000)=1 200+900=2 100K(2\,000)=1\,200+900=2\,100K(2000)=1200+900=2100 Euro.

  3. 03Durchschnittskosten

    kˉ(2 000)=2 1002 000=1,05\bar k(2\,000)=\tfrac{2\,100}{2\,000}=1{,}05kˉ(2000)=20002100​=1,05 Euro/Buch.

Ergebnis: K(2 000)=2 100 EuroK(2\,000)=2\,100\,\mathrm{Euro}K(2000)=2100Euro, kˉ=1,05 Euro/Buch\bar k=1{,}05\,\mathrm{Euro/Buch}kˉ=1,05Euro/Buch.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte
  1. 1

    Die Kostenfunktion zerlegt sich in Fix- und variable Kosten.

    Kostenfunktion mit Fix- und variablen Kosten

    Kostenfunktion K(x) = Kf + kv·xSchaubild von K(x), y-Achsenabschnitt bei y = 40, steigend, im Bereich x von 0 bis 1002040608010020406080100120KfFixkostenK(x)Kosten KStückzahl x
    Abb.Gesamtkosten K(x)=Kf+kv⋅xK(x) = K_f + k_v \cdot xK(x)=Kf​+kv​⋅x; Achsenabschnitt = Fixkosten.
  2. 2

    Erlös ist Preis mal Menge - bei sinkendem Preis quadratisch.

  3. 3

    Achte auf Einheiten und Achsenabschnitte.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank2 Punkte

Aufgabenstellung

Die Kostenfunktion ist K(x)=2 500+18xK(x)=2\,500+18xK(x)=2500+18x. Erläutere die Bedeutung von 2 5002\,5002500 und 181818 im Sachkontext. (HAK)

Maturafokus

  • Erkennen, ob lineare oder nichtlineare Funktion vorliegt.
  • Fixkosten korrekt vom Achsenabschnitt ablesen.
  • Durchschnittliche vs. variable Stückkosten.

Typische Fehler

  • Fixkosten als variabel behandelt.
  • Preis und Stückpreis verwechselt.
  • Erlös bei sinkendem Preis falsch berechnet.

Aktive Wiederholung

Eine Werkstatt hat Fixkosten von 3 200 Euro3\,200\,\mathrm{Euro}3200Euro/Monat und variable Kosten von 15 Euro/Stu¨ck15\,\mathrm{Euro/Stück}15Euro/Stu¨ck. Berechne K(180)K(180)K(180) und die durchschnittlichen Stückkosten.

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS) (BMBWF) · SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik (IQS / BMBWF)

§ 02

Break-Even-Analyse#

●●○StandardLPB-11.3

Kernpunkte

Die Break-Even-Analyse beantwortet die Existenzfrage jedes Betriebs: Ab welcher Menge deckt der Erlös die Kosten? Der Break-Even-Punkt (Gewinnschwelle) ist erreicht, wenn K(x)=E(x)K(x)=E(x)K(x)=E(x) bzw. G(x)=0G(x)=0G(x)=0 - grafisch der Schnittpunkt von Kosten- und Erlöskurve (, ).

Break-Even-Punkt — Kosten, Erlös, Gewinn

Break-Even: Kosten, Erlös, GewinnSchaubild von E(x), Nullstellen bei x = 0, y-Achsenabschnitt bei y = 0, steigend, im Bereich x von 0 bis 180, Schaubild von K(x), y-Achsenabschnitt bei y = 2000, steigend, im Bereich x von 0 bis 180501001502000400060008000Break-EvenE(x)K(x)EURx (Stück)
Abb. 2Schnittpunkt von K(x)K(x)K(x) und E(x)E(x)E(x) markiert die Gewinnschwelle.

Erlösgerade

Erlösgerade E(x) = 50·xSchaubild von E(x) = 50·x, Nullstellen bei x = 0, y-Achsenabschnitt bei y = 0, steigend, im Bereich x von 0 bis 400501001502002503003504005000100001500020000200 StkE(x) = 50·xEURx (Stück)
Abb. 3Erlösgerade E(x)=50⋅xE(x)=50\cdot xE(x)=50⋅x; die Kostengerade und der Break-Even siehe Skizze oben.
Bei linearer Kostenstruktur ergibt sich die Schwelle direkt: xBE=Kfp−kvx_{BE}=\tfrac{K_f}{p-k_v}xBE​=p−kv​Kf​​. Anschaulich teilt man die Fixkosten durch das, was jedes Stück zu ihrer Deckung beiträgt.
Dieser Beitrag ist der Stückdeckungsbeitrag db=p−kvdb=p-k_vdb=p−kv​ - die Differenz aus Verkaufspreis und variablen Stückkosten. Jedes verkaufte Stück trägt dbdbdb zur Deckung der Fixkosten bei; erst wenn alle Fixkosten gedeckt sind, beginnt der Gewinn. Den Deckungsbeitrag nicht mit dem Stückgewinn zu verwechseln, ist hier wichtig.
Voraussetzung für einen Break-Even ist ein positiver Stückdeckungsbeitrag (p>kvp>k_vp>kv​): Ist db≤0db\leq 0db≤0, deckt kein noch so großer Absatz die Fixkosten, und es gibt keine Gewinnschwelle. Diese Prüfung gehört an den Anfang jeder Aufgabe.
Über den Break-Even hinaus misst der Sicherheitsabstand die Differenz zwischen tatsächlicher Menge und Gewinnschwelle - der Puffer, bevor der Betrieb in die Verlustzone gerät. Je größer er ist, desto robuster ist das Geschäft gegen Absatzeinbrüche.
In der Matura ist der Break-Even eine häufige Teil-1-Berechnung und als Schwellenwert zu interpretieren („ab 100100100 Gästen pro Monat keine Verluste"). Häufig wird er auch zum Verfahrensvergleich genutzt - etwa Inhouse-Produktion gegen Outsourcing, wo der Schnittpunkt der beiden Kostenkurven die wirtschaftlichere Option markiert.
K(xBE)=E(xBE)  ⟺  G(xBE)=0K(x_{BE})=E(x_{BE})\;\Longleftrightarrow\;G(x_{BE})=0K(xBE​)=E(xBE​)⟺G(xBE​)=0

Break-Even-Bedingung

xBE=Kfp−kvx_{BE}=\dfrac{K_{f}}{p-k_{v}}xBE​=p−kv​Kf​​

Break-Even bei linearer Kostenstruktur

Musterbeispiel

Break-Even-Punkt eines Produkts

Eine Firma verkauft Produkt zu 25 Euro/Stu¨ck25\,\mathrm{Euro/Stück}25Euro/Stu¨ck. Fixkosten Kf=4 000 EuroK_{f}=4\,000\,\mathrm{Euro}Kf​=4000Euro, variable Kosten kv=15 Euro/Stu¨ckk_{v}=15\,\mathrm{Euro/Stück}kv​=15Euro/Stu¨ck. Bestimme die Gewinnschwelle.

  1. 01Funktionen

    Kosten K(x)=4 000+15xK(x)=4\,000+15xK(x)=4000+15x, Erlös E(x)=25xE(x)=25xE(x)=25x.

  2. 02Gleichsetzen

    4 000+15x=25x⇒4 000=10x⇒x=4004\,000+15x=25x \Rightarrow 4\,000=10x \Rightarrow x=4004000+15x=25x⇒4000=10x⇒x=400.

  3. 03Interpretation

    Ab 400400400 Stück arbeitet das Unternehmen profitabel.

Ergebnis: Gewinnschwelle bei 400400400 Stück.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte
  1. 1

    Break-Even ist die Schwelle, ab der Erlös die Kosten deckt.

    Break-Even-Punkt — Kosten, Erlös, Gewinn

    Break-Even: Kosten, Erlös, GewinnSchaubild von E(x), Nullstellen bei x = 0, y-Achsenabschnitt bei y = 0, steigend, im Bereich x von 0 bis 180, Schaubild von K(x), y-Achsenabschnitt bei y = 2000, steigend, im Bereich x von 0 bis 180501001502000400060008000Break-EvenE(x)K(x)EURx (Stück)
    Abb.Schnittpunkt von K(x)K(x)K(x) und E(x)E(x)E(x) markiert die Gewinnschwelle.
  2. 2

    Bei linearen Funktionen ist es eine einfache Division durch den Stückdeckungsbeitrag.

  3. 3

    Prüfe, ob Deckungsbeitrag positiv ist - sonst gibt es keinen Break-Even.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank3 Punkte

Aufgabenstellung

Ein Catering-Service hat Fixkosten von 1 800 Euro1\,800\,\mathrm{Euro}1800Euro/Monat und variable Kosten von 12 Euro/Person12\,\mathrm{Euro/Person}12Euro/Person. Der Preis pro Person beträgt 30 Euro30\,\mathrm{Euro}30Euro. Bestimme die Mindestanzahl an Gästen pro Monat, um keine Verluste zu machen. (HUM)

Maturafokus

  • Standardberechnung in Teil-1.
  • Interpretation als Schwellenwert.
  • Vergleichsbreak-Even zwischen Tarifen oder Verfahren.

Typische Fehler

  • Stückdeckungsbeitrag wird verwechselt mit Stückgewinn.
  • Break-Even mit Maximum verwechselt.
  • Negativer Deckungsbeitrag übersehen (nie Break-Even).

Aktive Wiederholung

Fixkosten 9 000 Euro9\,000\,\mathrm{Euro}9000Euro, variable Stückkosten 8 Euro8\,\mathrm{Euro}8Euro, Verkaufspreis 14 Euro14\,\mathrm{Euro}14Euro. Bestimme die Gewinnschwelle.

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS) (BMBWF) · SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik (IQS / BMBWF)

§ 03

Gewinnmaximierung mit Preis-Absatz#

●●●VertiefungLPB-11.4

Kernpunkte

Die Gewinnmaximierung ist die zentrale unternehmerische Optimierungsaufgabe und verbindet Wirtschaft mit der Differentialrechnung (B 5). Sie nutzt aus, dass auf einem realen Markt der Preis mit der Absatzmenge fällt - was die Mengenwahl überhaupt erst zu einer Entscheidung macht.
Diesen Zusammenhang beschreibt die Preis-Absatz-Funktion p(x)p(x)p(x) (meist linear fallend). Aus ihr folgt die Erlösfunktion E(x)=p(x)⋅xE(x)=p(x)\cdot xE(x)=p(x)⋅x, die quadratisch wird, und mit den Kosten die Gewinnfunktion G(x)=E(x)−K(x)G(x)=E(x)-K(x)G(x)=E(x)−K(x). Den Erlös nicht aus p(x)⋅xp(x)\cdot xp(x)⋅x aufzustellen, ist der häufigste Anfangsfehler.
Das Gewinnmaximum findet man wie jedes Extremum (B 5): G′(x)=0G'(x)=0G′(x)=0 liefert die kritische Stelle, die hinreichende Bedingung G′′(x)<0G''(x)<0G′′(x)<0 sichert das Maximum. Bei linearen Bausteinen ist G(x)G(x)G(x) eine nach unten geöffnete Parabel, deren Scheitel das Maximum ist ().

Gewinnfunktion: Schwelle, Maximum, Grenze

GewinnfunktionSchaubild von G(x), Nullstellen bei x = 3.397, 176.603, Hochpunkt bei (90, 3750), y-Achsenabschnitt bei y = -300, im Bereich x von 0 bis 180501001501000200030004000Max(90, 3750)GewinnschwelleG(x)Gewinn (Euro)Menge x
Abb. 4Die Gewinnfunktion G(x)=E(x)−K(x)G(x)=E(x)-K(x)G(x)=E(x)−K(x) ist (bei linearer Kostenstruktur und linearer Preis-Absatz-Funktion) eine nach unten geöffnete Parabel: Nullstelle = Gewinnschwelle, Scheitel = Gewinnmaximum.
Ökonomisch gedeutet ist die Bedingung G′(x)=0G'(x)=0G′(x)=0 gleichbedeutend mit E′(x)=K′(x)E'(x)=K'(x)E′(x)=K′(x) - Grenzerlös gleich Grenzkosten. Solange eine zusätzliche Einheit mehr Erlös als Kosten bringt, lohnt die Ausweitung; im Optimum halten sich beide gerade die Waage.
Aus der optimalen Menge x∗x^{*}x∗ ergeben sich die vollständigen Antworten: der optimale Preis p(x∗)p(x^{*})p(x∗) (in die Preis-Absatz-Funktion einsetzen!) und der Maximalgewinn G(x∗)G(x^{*})G(x∗). Den optimalen Preis nicht anzugeben, ist ein typischer Punkteverlust.
Stets ist die Plausibilität zu prüfen (positive Stückzahl, Preis über den Stückkosten) und zu bedenken, dass das Gewinnmaximum auch durch Randpunkte begrenzt sein kann - etwa eine Kapazitätsgrenze oder Marktsättigung. In der Matura ist dies eine häufige Teil-2-Aufgabe der HAK.
G(x)=E(x)−K(x),G′(x)=0⇒E′(x)=K′(x)G(x)=E(x)-K(x),\quad G'(x)=0\Rightarrow E'(x)=K'(x)G(x)=E(x)−K(x),G′(x)=0⇒E′(x)=K′(x)

Gewinnfunktion und Grenzerlös = Grenzkosten

E′(x)=K′(x)E'(x)=K'(x)E′(x)=K′(x)

Notwendige Bedingung Gewinnmaximum

Interaktive Grafik lädt…

Musterbeispiel

Maximaler Gewinn bei linearer Preis-Absatz-Funktion

Preis-Absatz-Funktion p(x)=200−2xp(x)=200-2xp(x)=200−2x (xxx in Hundert Stück), Kosten K(x)=100+50xK(x)=100+50xK(x)=100+50x. Bestimme den gewinnoptimalen Absatz.

  1. 01Erlös

    E(x)=p⋅x=(200−2x)⋅x=200x−2x2E(x)=p\cdot x=(200-2x)\cdot x=200x-2x^{2}E(x)=p⋅x=(200−2x)⋅x=200x−2x2.

  2. 02Gewinn

    G(x)=E(x)−K(x)=200x−2x2−100−50x=−2x2+150x−100G(x)=E(x)-K(x)=200x-2x^{2}-100-50x=-2x^{2}+150x-100G(x)=E(x)−K(x)=200x−2x2−100−50x=−2x2+150x−100.

  3. 03Ableitung

    G′(x)=−4x+150=0⇒x=37,5G'(x)=-4x+150=0 \Rightarrow x=37{,}5G′(x)=−4x+150=0⇒x=37,5.

  4. 04Maximalgewinn

    G(37,5)=−2⋅1406,25+150⋅37,5−100=−2812,5+5625−100=2712,5G(37{,}5)=-2\cdot 1406{,}25+150\cdot 37{,}5-100=-2812{,}5+5625-100=2712{,}5G(37,5)=−2⋅1406,25+150⋅37,5−100=−2812,5+5625−100=2712,5.

Ergebnis: Optimum bei x=37,5x=37{,}5x=37,5 Hundert Stück, Maximalgewinn 2 712,50 Euro2\,712{,}50\,\mathrm{Euro}2712,50Euro.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte
  1. 1

    Erlösfunktion ergibt sich aus Preis mal Menge.

  2. 2

    Gewinnmaximum: Grenzerlös gleich Grenzkosten.

  3. 3

    Prüfe Hinreichendbedingung und interpretiere Ergebnis.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Eine Firma hat die Kostenfunktion K(x)=0,01x3−0,6x2+15x+200K(x)=0{,}01x^{3}-0{,}6x^{2}+15x+200K(x)=0,01x3−0,6x2+15x+200 und Preis-Absatz p(x)=50−0,1xp(x)=50-0{,}1xp(x)=50−0,1x. Bestimme das gewinnoptimale xxx und den Maximalgewinn (gerundet). (HAK)

Maturafokus

  • In HAK häufige Typ-2-Aufgabe.
  • Ableitungen sauber bilden und kritische Stellen prüfen.
  • Interpretation: optimaler Preis, optimale Menge, Maximalgewinn.

Typische Fehler

  • E(x)E(x)E(x) nicht aus p(x)⋅xp(x)\cdot xp(x)⋅x aufgestellt.
  • Hinreichende Bedingung vergessen.
  • Optimaler Preis nicht angegeben.

Aktive Wiederholung

Preis-Absatz p(x)=120−0,5xp(x)=120-0{,}5xp(x)=120−0,5x, Kostenfunktion K(x)=300+30xK(x)=300+30xK(x)=300+30x. Bestimme optimalen Absatz und Gewinn.

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS) (BMBWF) · SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik (IQS / BMBWF)

§ 04

Deckungsbeitrag und Sortimentsentscheidung#

●●○StandardLPB-11.2

Kernpunkte

Die Deckungsbeitragsrechnung ist das wichtigste Werkzeug der kurzfristigen Sortiments- und Produktionsplanung. Ihr Kern ist der Stückdeckungsbeitrag db=p−kvdb=p-k_vdb=p−kv​: der Betrag, den jeder verkaufte Artikel nach Abzug seiner variablen Kosten zur Deckung der Fixkosten und zum Gewinn beiträgt.
Sie beruht auf der Teilkostenrechnung - im Gegensatz zur Vollkostenrechnung werden die Fixkosten nicht auf einzelne Produkte umgelegt, da sie ohnehin anfallen. Diese beiden Sichtweisen zu vermischen, ist ein häufiger Fehler; für kurzfristige Entscheidungen zählt der Deckungsbeitrag.
Bei knappen Ressourcen (Maschinenzeit, Material) genügt der Stückdeckungsbeitrag allein nicht: Entscheidend ist der relative Deckungsbeitrag je beanspruchter Engpasseinheit, dbjrj\tfrac{db_j}{r_j}rj​dbj​​. Man priorisiert die Produkte mit dem höchsten Wert () - so erzielt der Engpass den größten Gesamtdeckungsbeitrag.

Engpasspriorisierung nach Deckungsbeitrag je Stunde

Engpasspriorisierung nach DB je StundeBalkendiagramm: DB je Stunde (Euro/h), Daten: DB je Stunde (Euro/h) · A (25/2): 12.5; DB je Stunde (Euro/h) · B (18/1,5): 12; DB je Stunde (Euro/h) · C (32/3): 10.7024681012A (25/2)B (18/1,5)C (32/3)12.51210.7DB je Stunde (Euro/h)
Abb. 5Bei knapper Maschinenzeit zählt nicht der Stückdeckungsbeitrag, sondern der Deckungsbeitrag je Engpassstunde (db/rdb/rdb/r): Produkt A führt vor B vor C.
Genau hier liegt die zentrale Einsicht: Ein Produkt mit hohem Stückdeckungsbeitrag, das aber viel Engpasszeit bindet, kann unattraktiver sein als eines mit kleinerem dbdbdb, das den Engpass sparsam nutzt. Den Engpass nicht zu erkennen, führt zu falscher Priorisierung.
Bei mehreren Produkten arbeitet man mit einer Mischkalkulation über den gewichteten Durchschnittsdeckungsbeitrag. Hat ein Produkt einen negativen Deckungsbeitrag (db<0db<0db<0), deckt es nicht einmal seine variablen Kosten und sollte kurzfristig aus dem Sortiment fallen.
Langfristig sind allerdings strategische Aspekte abzuwägen - Imagewirkung, Sortimentsverbund, Kundenbindung -, sodass ein kurzfristig unrentables Produkt im Programm bleiben kann. In der Matura ist daher die kurzfristige von der langfristigen Sicht zu trennen und der Engpass korrekt zu identifizieren.
db=p−kv,Engpassrang=dbrEngpassdb = p - k_{v},\quad \text{Engpassrang} = \dfrac{db}{r_{\text{Engpass}}}db=p−kv​,Engpassrang=rEngpass​db​

Deckungsbeitrag und Engpasspriorisierung

Musterbeispiel

Engpasskalkulation drei Produkte

A: db=25db=25db=25 Euro, 222 h. B: db=18db=18db=18 Euro, 1,51{,}51,5 h. C: db=32db=32db=32 Euro, 333 h.

  1. 01Rang berechnen

    A: 25/2=12,525/2=12{,}525/2=12,5 Euro/h. B: 18/1,5=1218/1{,}5=1218/1,5=12 Euro/h. C: 32/3≈10,732/3\approx 10{,}732/3≈10,7 Euro/h.

  2. 02Priorisierung

    Höchster Wert: A vor B vor C.

Ergebnis: Reihenfolge A > B > C bei knapper Maschinenzeit.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte
  1. 1

    Deckungsbeitrag misst, was nach Abzug der variablen Kosten an Fixkosten + Gewinn übrig bleibt.

  2. 2

    Bei knappen Ressourcen Engpasspriorisierung beachten.

  3. 3

    Negativen Deckungsbeitrag kurzfristig vermeiden.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank2 Punkte

Aufgabenstellung

Ein Produkt wird zu 45 Euro/Stu¨ck45\,\mathrm{Euro/Stück}45Euro/Stu¨ck verkauft, variable Kosten 28 Euro28\,\mathrm{Euro}28Euro. Berechne Stückdeckungsbeitrag und Deckungsbeitragsquote. (HAK)

Maturafokus

  • In HAK/HUM Schlüsselthema bei mehrproduktigen Sortimenten.
  • Engpass identifizieren und Produkte priorisieren.
  • Kurzfristige vs. langfristige Sicht trennen.

Typische Fehler

  • Vollkosten- und Teilkostenrechnung vermischt.
  • Engpass nicht erkannt - falsche Priorisierung.
  • Strategische Aspekte ignoriert (Imagewirkung).

Aktive Wiederholung

Drei Produkte A, B, C haben Deckungsbeiträge 25,18,32 Euro/Stu¨ck25, 18, 32\,\mathrm{Euro/Stück}25,18,32Euro/Stu¨ck und benötigen 2,1,5,3 h2, 1{,}5, 3\,\mathrm{h}2,1,5,3h Maschinenzeit. Welches sollte priorisiert werden, wenn Maschinenzeit der Engpass ist?

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS) (BMBWF) · SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik (IQS / BMBWF)

§ 05

Stückkosten und Betriebsoptimum#

●●●VertiefungLPB-11.1LPB-11.3

Kernpunkte

Die Stückkostenfunktion (Durchschnittskosten) Kˉ(x)=K(x)x\bar K(x)=\tfrac{K(x)}{x}Kˉ(x)=xK(x)​ gibt die Gesamtkosten je produzierter Einheit an. Bei Fixkosten ist ihr Verlauf typischerweise U-förmig: Erst sinken die Stückkosten (Fixkosten verteilen sich auf mehr Stücke), dann steigen sie wieder (variable Kosten dominieren) - der Tiefpunkt ist betriebswirtschaftlich besonders bedeutsam ().

Betriebsoptimum: Stückkosten und Grenzkosten

BetriebsoptimumSchaubild von Stückkosten, Tiefpunkt bei (10, 20), im Bereich x von 1 bis 25, Schaubild von Grenzkosten, steigend, im Bereich x von 1 bis 255101520251020304050OptimumStückkostenGrenzkostenEuro/StückMenge x
Abb. 6Die Stückkosten Kˉ(x)=x+100x\bar K(x)=x+\tfrac{100}{x}Kˉ(x)=x+x100​ haben ihr Minimum (Betriebsoptimum) genau dort, wo die Grenzkosten K′(x)K'(x)K′(x) sie schneiden - bei x=10x=10x=10 mit Kˉ=20\bar K=20Kˉ=20.
Dieser Tiefpunkt ist das Betriebsoptimum: die Menge mit den minimalen Stückkosten. Man findet es wie jedes Minimum über Kˉ′(x)=0\bar K'(x)=0Kˉ′(x)=0 und sichert es mit Kˉ′′(x)>0\bar K''(x)>0Kˉ′′(x)>0 ab - der Operator „bestimmen" verlangt genau diese beiden Schritte.
Bemerkenswert ist die ökonomische Gesetzmäßigkeit dahinter: Im Betriebsoptimum schneiden sich die Grenzkosten K′(x)K'(x)K′(x) und die Stückkosten Kˉ(x)\bar K(x)Kˉ(x) (). Solange die Grenzkosten unter den Stückkosten liegen, ziehen sie den Durchschnitt nach unten; sobald sie ihn übersteigen, steigt er - der Schnittpunkt ist genau das Minimum.
Der Wert der Stückkosten im Betriebsoptimum ist die langfristige Preisuntergrenze: Sinkt der Marktpreis dauerhaft darunter, kann der Betrieb nicht einmal seine Vollkosten decken und macht auf Dauer Verluste. Diese Interpretation ist der Kern der Aufgabe.
Davon zu unterscheiden ist das Betriebsminimum - die Menge mit minimalen variablen Stückkosten und damit die kurzfristige Preisuntergrenze. Solange der Preis wenigstens die variablen Kosten deckt, lohnt die Weiterproduktion kurzfristig; es liegt unterhalb des Betriebsoptimums.
Die wichtigste Abgrenzung lautet: Betriebsoptimum (minimale Stückkosten) und Gewinnmaximum (maximaler Gewinn) sind verschiedene Mengen - die kostengünstigste Menge ist nicht die gewinnträchtigste. Ebenso sind Stückkosten Kˉ(x)=K(x)x\bar K(x)=\tfrac{K(x)}{x}Kˉ(x)=xK(x)​ und Grenzkosten K′(x)K'(x)K′(x) sauber zu trennen.
Kˉ(x)=K(x)x,Kˉ′(x)=0  ⇒  Betriebsoptimum\bar K(x)=\dfrac{K(x)}{x},\quad \bar K'(x)=0\;\Rightarrow\;\text{Betriebsoptimum}Kˉ(x)=xK(x)​,Kˉ′(x)=0⇒Betriebsoptimum

Stückkosten und Betriebsoptimum

Musterbeispiel

Betriebsoptimum bestimmen

Kostenfunktion K(x)=x2+100K(x)=x^{2}+100K(x)=x2+100. Bestimme Betriebsoptimum und minimale Stückkosten.

  1. 01Schritt 1 - Stückkosten

    Kˉ(x)=x2+100x=x+100x\bar K(x)=\tfrac{x^{2}+100}{x}=x+\tfrac{100}{x}Kˉ(x)=xx2+100​=x+x100​.

  2. 02Schritt 2 - Ableiten und null setzen

    Kˉ′(x)=1−100x2=0⇒x2=100⇒x=10\bar K'(x)=1-\tfrac{100}{x^{2}}=0\Rightarrow x^{2}=100\Rightarrow x=10Kˉ′(x)=1−x2100​=0⇒x2=100⇒x=10 (positiv).

  3. 03Schritt 3 - Minimum und Wert

    Kˉ′′(x)=200x3>0\bar K''(x)=\tfrac{200}{x^{3}}>0Kˉ′′(x)=x3200​>0, also Minimum. Kˉ(10)=10+10010=20\bar K(10)=10+\tfrac{100}{10}=20Kˉ(10)=10+10100​=20.

Ergebnis: Betriebsoptimum bei x=10x=10x=10 Stück; minimale Stückkosten 20 Euro/Stu¨ck20\,\mathrm{Euro/Stück}20Euro/Stu¨ck (= langfristige Preisuntergrenze).

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Eine Kostenfunktion lautet K(x)=0,5x2+8x+200K(x)=0{,}5x^{2}+8x+200K(x)=0,5x2+8x+200. Bestimme das Betriebsoptimum (minimale Stückkosten) und interpretiere es als Preisuntergrenze. (HAK)

Maturafokus

  • Operator "Bestimmen": Betriebsoptimum über die Nullstelle von Kˉ′(x)\bar K'(x)Kˉ′(x) berechnen.
  • Operator "Interpretieren": Stückkostenminimum als langfristige Preisuntergrenze deuten.
  • Hinreichende Bedingung (Kˉ′′>0\bar K''>0Kˉ′′>0) für das Minimum prüfen.

Typische Fehler

  • Stückkosten mit Grenzkosten verwechselt (Kˉ(x)=K(x)x\bar K(x)=\tfrac{K(x)}{x}Kˉ(x)=xK(x)​ vs. K′(x)K'(x)K′(x)).
  • Hinreichende Bedingung für das Minimum nicht geprüft.
  • Betriebsoptimum (Stückkosten) und Gewinnmaximum (Gewinn) gleichgesetzt.

Aktive Wiederholung

Bestimme das Betriebsoptimum der Kostenfunktion K(x)=x2+100K(x)=x^{2}+100K(x)=x2+100 und gib die minimalen Stückkosten an.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS) (BMBWF) · SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik (IQS / BMBWF)

§ 06

Preiselastizität der Nachfrage#

●●●VertiefungLPB-11.4

Kernpunkte

Die Preiselastizität der Nachfrage misst, wie empfindlich die nachgefragte Menge auf Preisänderungen reagiert - die zentrale Kennzahl jeder Preispolitik. Sie beantwortet die Frage „Wenn ich den Preis ändere, wie stark ändert sich der Absatz, und was passiert mit dem Erlös?".
Definiert ist sie als Verhältnis relativer Änderungen (Bogenelastizität): ε=Δx/xΔp/p\varepsilon=\dfrac{\Delta x/x}{\Delta p/p}ε=Δp/pΔx/x​. Entscheidend ist „relativ" - es werden prozentuale, nicht absolute Änderungen ins Verhältnis gesetzt, und im Zähler steht die Menge, im Nenner der Preis. Beides zu vertauschen oder absolute Werte einzusetzen, sind die häufigsten Fehler.
Da die Nachfrage bei steigendem Preis fällt, ist ε\varepsilonε in der Regel negativ; meist betrachtet man den Betrag ∣ε∣|\varepsilon|∣ε∣. Aus dem negativen Vorzeichen auf einen Rechenfehler zu schließen, ist verfehlt - es ist die Regel, nicht die Ausnahme.
Der Betrag teilt die Nachfrage in zwei Regime: elastisch bei ∣ε∣>1|\varepsilon|>1∣ε∣>1 (die Menge reagiert überproportional stark - Luxusgüter, gut ersetzbare Produkte) und unelastisch bei ∣ε∣<1|\varepsilon|<1∣ε∣<1 (die Menge reagiert schwach - lebensnotwendige Güter ohne Ersatz). Bei ∣ε∣=1|\varepsilon|=1∣ε∣=1 spricht man von Einheitselastizität.
Die praktische Konsequenz ist die Erlöswirkung: Bei elastischer Nachfrage senkt eine Preiserhöhung den Erlös (der Mengenrückgang überwiegt), bei unelastischer Nachfrage erhöht sie ihn (der Mengenrückgang ist gering). Genau das macht die Elastizität zur Schlüsselgröße der Preisentscheidung.
Anschaulich ändert sich die Elastizität sogar entlang einer geraden Nachfragekurve: Die obere Hälfte (hoher Preis, kleine Menge) ist elastisch, die untere unelastisch, im Mittelpunkt gilt ∣ε∣=1|\varepsilon|=1∣ε∣=1 (). In der Matura ist die Bogenelastizität aus zwei Preis-Mengen-Paaren zu berechnen und daraus eine Preisstrategie zu begründen.

Preiselastizität entlang der Nachfragekurve

Elastizität entlang der NachfrageSchaubild von Nachfrage p(x), Nullstellen bei x = 800, y-Achsenabschnitt bei y = 20, fallend, im Bereich x von 0 bis 8001002003004005006007008005101520, ε, = 1Nachfrage p(x)Preis pMenge x
Abb. 7Auf einer linearen Nachfragekurve ist die obere Hälfte (hoher Preis) elastisch (∣ε∣>1|\varepsilon|>1∣ε∣>1), die untere unelastisch (∣ε∣<1|\varepsilon|<1∣ε∣<1); im Mittelpunkt gilt ∣ε∣=1|\varepsilon|=1∣ε∣=1.
ε=Δx/xΔp/p\varepsilon=\dfrac{\Delta x/x}{\Delta p/p}ε=Δp/pΔx/x​

Bogenelastizitaet der Nachfrage

Musterbeispiel

Preiselastizität beurteilen

Preis 20→18 Euro20\to 18\,\mathrm{Euro}20→18Euro, Menge 500→560500\to 560500→560. Bestimme ε\varepsilonε und beurteile.

  1. 01Schritt 1 - Relative Mengenänderung

    Δxx=560−500500=60500=0,12\tfrac{\Delta x}{x}=\tfrac{560-500}{500}=\tfrac{60}{500}=0{,}12xΔx​=500560−500​=50060​=0,12.

  2. 02Schritt 2 - Relative Preisänderung

    Δpp=18−2020=−220=−0,10\tfrac{\Delta p}{p}=\tfrac{18-20}{20}=\tfrac{-2}{20}=-0{,}10pΔp​=2018−20​=20−2​=−0,10.

  3. 03Schritt 3 - Elastizität und Urteil

    ε=0,12−0,10=−1,2\varepsilon=\tfrac{0{,}12}{-0{,}10}=-1{,}2ε=−0,100,12​=−1,2; da ∣ε∣=1,2>1|\varepsilon|=1{,}2>1∣ε∣=1,2>1, ist die Nachfrage elastisch - eine Preissenkung steigert hier den Erlös.

Ergebnis: Elastizität ε=−1,2\varepsilon=-1{,}2ε=−1,2; die Nachfrage ist elastisch.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank3 Punkte

Aufgabenstellung

Bei einer Preiserhöhung von 50 Euro50\,\mathrm{Euro}50Euro auf 55 Euro55\,\mathrm{Euro}55Euro sinkt die Nachfrage von 200200200 auf 190190190 Stück. Berechne die Preiselastizität und beurteile die Reaktion. (HAK)

Maturafokus

  • Operator "Berechnen": Bogenelastizitaet aus zwei Preis-Mengen-Paaren bestimmen.
  • Operator "Beurteilen": anhand von ∣ε∣|\varepsilon|∣ε∣ über eine Preisstrategie entscheiden.
  • Vorzeichen von ε\varepsilonε korrekt interpretieren.

Typische Fehler

  • Absolute statt relative Änderungen in den Quotienten eingesetzt.
  • Zähler und Nenner vertauscht (Preis und Menge verwechselt).
  • Aus dem negativen Vorzeichen fälschlich auf einen Rechenfehler geschlossen.

Aktive Wiederholung

Sinkt der Preis von 20 Euro20\,\mathrm{Euro}20Euro auf 18 Euro18\,\mathrm{Euro}18Euro, steigt die nachgefragte Menge von 500500500 auf 560560560. Berechne die Preiselastizität und beurteile, ob die Nachfrage elastisch ist.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS) (BMBWF) · SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik (IQS / BMBWF)

Inhalt

Abschnitt -- / 06

    • 01Kosten- und Erlösfunktion○
    • 02Break-Even-Analyse◐
    • 03Gewinnmaximierung mit Preis-Absatz●
    • 04Deckungsbeitrag und Sortimentsentscheidung◐
    • 05Stückkosten und Betriebsoptimum●
    • 06Preiselastizität der Nachfrage●

0/6 Gelesen

Aus den Notizen ins Training

B 11 - Wirtschaftsmathematik: Kosten, Erlös, Gewinn

Festige dieses Thema an passenden Aufgaben aus der Fragenbank.

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Beispielfrage

Die Kostenfunktion ist K(x)=2 500+18xK(x)=2\,500+18xK(x)=2500+18x. Erläutere die Bedeutung von 2 5002\,5002500 und 181818 im Sachkontext. (HAK)

2 BE · 2022

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Belege & Quellen

Quellen

BMBWF

  • Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS)

IQS / BMBWF

  • SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik

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