B 12 - Modellierung und lineare Optimierung — Angewandte Mathematik · Matura-Zusammenfassung

Wachstums- und Zerfallsmodelle#

StandardB-12.1

Die Modellierung ist der Kern der angewandten Mathematik: Ein realer Vorgang wird durch eine Funktion beschrieben, mit ihr berechnet und prognostiziert. Bei Wachstums- und Zerfallsprozessen stehen vier Grundmodelle zur Wahl, deren richtige Auswahl der erste und wichtigste Schritt ist.

Lineares Wachstum

N(t)=N_0+a\cdot t

addiert in gleichen Zeiten denselben Betrag

a

(konstanter Zuwachs); sein Graph ist eine Gerade. Es passt, wenn die Daten gleiche Differenzen aufweisen - etwa eine feste Sparrate ohne Verzinsung.

Exponentielles Wachstum

N(t)=N_0\cdot q^{t}

multipliziert in gleichen Zeiten mit demselben Faktor

q

(konstante Quotienten, ). Es beschreibt Zinsen, Populationen und Zerfall - kennt aber keine Obergrenze und wächst daher langfristig unrealistisch stark.

Exponentielles Wachstum vs. Zerfall

Abb. 1Wachstumsfaktor

a > 1

liefert J-Kurve,

a < 1

asymptotischen Zerfall.

Beschränktes Wachstum

N(t)=K-(K-N_0)\,\mathrm{e}^{-kt}

nähert sich einer Sättigungsgrenze

K

von unten und wächst dabei stetig langsamer - typisch für Abkühlung oder das Befüllen eines Behälters. Es hat keinen Wendepunkt.

Logistisches Wachstum verbindet beide Welten zur S-Kurve: anfangs nahezu exponentiell, dann mit einem Wendepunkt bei halber Kapazität abflachend gegen die Grenze

K

(). Es ist das realistischste Modell für begrenzte Ressourcen und der Hauptunterschied zum beschränkten Wachstum (das keine S-Form hat).

Logistisches Wachstum gegen Kapazität K=1000

Abb. 2S-foermige Kurve - exponentiell am Anfang, gesättigt am Ende.

Die Modellwahl prüft man am Datenmuster: gleiche Differenzen deuten auf linear, gleiche Quotienten auf exponentiell, eine erkennbare Sättigung auf beschränktes oder logistisches Wachstum. Häufige Fehler sind, ein Exponentialmodell über realistische Grenzen zu extrapolieren oder den Wachstumsfaktor

q

mit der Wachstumsrate

p=q-1

zu verwechseln.

N(t)=N_{0}\cdot \mathrm{e}^{kt}\;\text{oder}\;N(t)=N_{0}\cdot q^{t}

Exponentielles Wachstum / Zerfall

N(t)=K-(K-N_{0})\mathrm{e}^{-kt}

Beschränktes Wachstum (Sattigung)

N(t)=\dfrac{K}{1+\left(\tfrac{K-N_{0}}{N_{0}}\right)\mathrm{e}^{-kt}}

Logistisches Wachstum mit Kapazität K

Interaktive Grafik lädt…

Musterbeispiel

Logistisches Wachstum modellieren

Eine Tierpopulation wird durch $N(t)=\tfrac{800}{1+15\mathrm{e}^{-0{,}3t}}$ beschrieben. Bestimme Anfangs- und Sättigungswert sowie den Wendepunkt.

Anfangswert
$N(0)=\tfrac{800}{1+15}=\tfrac{800}{16}=50$ .
Sättigung
$\lim_{t\to\infty}N(t)=800$ .
Wendepunkt
Beim logistischen Modell ist Wendepunkt bei halber Kapazität: $N=400$ . Aus $400=\tfrac{800}{1+15\mathrm{e}^{-0{,}3t}}$ folgt $1+15\mathrm{e}^{-0{,}3t}=2$ , also $\mathrm{e}^{-0{,}3t}=\tfrac{1}{15}$ , $t=\tfrac{\ln 15}{0{,}3}\approx 9{,}03$ .

Ergebnis: Anfangswert 50, Sättigung 800, Wendepunkt $(9{,}03\,|\,400)$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Prüfe zuerst Datenmuster: gleiche Differenzen oder gleiche Quotienten?
2
Bei Sättigung kommt beschränktes oder logistisches Modell in Frage.
Logistisches Wachstum gegen Kapazität K=1000
Abb.S-foermige Kurve - exponentiell am Anfang, gesättigt am Ende.
3
Extrapoliere nur über sinnvolle Zeiträume.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank3 Punkte

Aufgabenstellung

Eine Stadt wächst exponentiell von

80\,000

Einwohnern im Jahr 2010 auf

95\,000

im Jahr 2020. Bestimme die jährliche Wachstumsrate und prognostiziere die Bevölkerung 2030. (HUM)

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Typische Fehler

Exponentialmodell über realistische Grenzen extrapoliert.
Beschränktes Wachstum mit logistischem verwechselt.
Wachstumsfaktor mit Wachstumsrate verwechselt.

Aktive Wiederholung

Eine Bakterienkultur verdoppelt sich alle 4 Stunden. Stelle ein Wachstumsmodell auf und bestimme die Anzahl nach 10 Stunden, wenn anfangs 200 Bakterien vorhanden sind.

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS) (BMBWF) · SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik (IQS / BMBWF)

Lineare Optimierung (grafisches Verfahren)#

StandardB-12.3

Die lineare Optimierung löst Planungsprobleme mit knappen Ressourcen: Welche Produktmengen maximieren den Gewinn, wenn Arbeitszeit und Material begrenzt sind? Gesucht wird das Maximum (oder Minimum) einer linearen Zielfunktion

z=a\,x+b\,y

unter mehreren linearen Nebenbedingungen.

Jede Restriktion ist eine Ungleichung (etwa

2x+3y\leq 60

für die Arbeitszeit), nicht eine Gleichung - sie als Gleichheit zu formulieren, ist ein häufiger Fehler. Hinzu kommen stets die Nichtnegativitätsbedingungen

x,y\geq 0

, da keine negativen Stückzahlen produziert werden.

Alle Ungleichungen zusammen begrenzen im Koordinatensystem den zulässigen Bereich - ein Polygon, dessen Punkte alle Bedingungen erfüllen (). Jede Restriktion „schneidet" eine Halbebene weg; was übrig bleibt, ist die Menge der realisierbaren Produktionspläne.

Lineare Optimierung - zulässiger Bereich

Abb. 3Der zulässige Bereich ist das Polygon aller Restriktionen; die Zielfunktion verschiebt sich parallel, ihr Optimum liegt stets in einer Ecke.

Das Eckenprinzip ist der Schlüssel: Das Optimum einer linearen Zielfunktion liegt stets in einem Eckpunkt des zulässigen Bereichs (oder auf einer ganzen Kante). Man muss also nicht unendlich viele Punkte prüfen, sondern nur die endlich vielen Ecken.

Praktisch berechnet man daher die Eckpunkte als Schnittpunkte je zweier Restriktionsgeraden, wertet die Zielfunktion in jeder Ecke aus und wählt den besten Wert. Die grafische Alternative zeichnet die Zielfunktion als Geradenschar und verschiebt sie parallel bis zur letzten Ecke des Bereichs.

Häufige Fehler sind, den Eckpunkt am Schnitt der „falschen" Geraden zu wählen oder die Nichtnegativität zu vergessen. Weiterführend geben Schattenpreise an, wie stark sich das Optimum ändert, wenn man eine Ressourcengrenze lockert - in der Matura genügt meist das saubere Eckenverfahren mit Interpretation des optimalen Produktionsplans.

z=ax+by \to \max, \quad \text{u.B.d.N.}\;A\vec x\leq \vec b,\;\vec x\geq \vec 0

Lineares Programm

Musterbeispiel

Lineare Optimierung - Produktion zweier Produkte

Ein Betrieb stellt Produkte A und B her. Pro Stück $A$ Deckungsbeitrag $40\,\mathrm{Euro}$ , pro $B$ $30\,\mathrm{Euro}$ . Restriktionen: Maschine $2\,A+B\leq 100$ , Material $A+B\leq 80$ , $A,B\geq 0$ . Maximiere den Deckungsbeitrag.

Zielfunktion
$D(A,B)=40A+30B$ , soll maximiert werden.
Eckpunkte des zulässigen Bereichs
$(0,\,0)$ , $(0,\,80)$ , $(20,\,60)$ , $(50,\,0)$ .
Werte berechnen
$D(0,\,0)=0$ , $D(0,\,80)=2400$ , $D(20,\,60)=800+1800=2600$ , $D(50,\,0)=2000$ .
Optimum
Maximaler Deckungsbeitrag $2\,600\,\mathrm{Euro}$ bei $A=20$ , $B=60$ .

Ergebnis: Optimum: $A=20$ , $B=60$ , $D=2\,600\,\mathrm{Euro}$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Markiere zuerst den zulässigen Bereich durch Schneiden aller Ungleichungen.
Lineare Optimierung - zulässiger Bereich
Abb.Der zulässige Bereich ist das Polygon aller Restriktionen; die Zielfunktion verschiebt sich parallel, ihr Optimum liegt stets in einer Ecke.
2
Berechne die Eckpunkte als Schnittpunkte je zweier Restriktionen.
3
Werte die Zielfunktion in allen Ecken aus und wähle das Optimum.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Eine Tischlerei stellt Stühle (

x

) und Bänke (

y

) her. Restriktionen:

2x+y\leq 12

,

x+2y\leq 10

,

x,y\geq 0

. Maximiere

z=30x+25y

. (HTL)

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Typische Fehler

Restriktion mit Gleichheitszeichen formuliert.
Eckpunkt am Schnitt der "falschen" Geraden gewählt.
Nichtnegativitätsbedingung ignoriert.

Aktive Wiederholung

Ein Betrieb produziert Sessel ( $x$ ) und Tische ( $y$ ). Pro Sessel 2 Stunden Arbeit, pro Tisch 3 Stunden; insgesamt 60 Stunden verfuegbar. Pro Sessel $1\,\mathrm{m}^{2}$ Holz, pro Tisch $2\,\mathrm{m}^{2}$ ; insgesamt $40\,\mathrm{m}^{2}$ . Deckungsbeitrag $50$ bzw. $80\,\mathrm{Euro}$ . Maximiere.

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Einfache Differentialgleichungen (HTL)#

VertiefungB-12.4

Eine Differentialgleichung (DGL) beschreibt einen Prozess nicht durch die Funktion selbst, sondern durch den Zusammenhang zwischen ihr und ihrer Ableitung - also durch das Änderungsgesetz. Sie ist die natürliche Sprache der Naturwissenschaften und im HTL-Cluster ein eigener Schwerpunkt.

Das wichtigste Beispiel ist

N'(t)=k\,N(t)

: „Die Änderungsrate ist proportional zum Bestand." Ihre Lösung ist das exponentielle Wachstum

N(t)=N_0\,\mathrm{e}^{kt}

- genau die Eigenschaft, die schon bei der Ableitung der Exponentialfunktion (B 5) auftrat. Das Vorzeichen von

k

entscheidet über Wachstum (

k>0

) oder Zerfall (

k<0

).

Das Newtonsche Abkühlungsgesetz

T'(t)=-k\,(T(t)-T_U)

besagt, dass die Abkühlrate proportional zur Temperaturdifferenz zur Umgebung ist. Seine Lösung

T(t)=T_U+(T_0-T_U)\,\mathrm{e}^{-kt}

nähert sich asymptotisch der Umgebungstemperatur

T_U

() - ein beschränkter Prozess.

Newtonsches Abkühlungsgesetz

Abb. 4Die Lösung

T(t)=T_{U}+(T_{0}-T_{U})\,\mathrm{e}^{-kt}

der Abkühl-DGL nähert sich asymptotisch der Umgebungstemperatur

T_{U}=20\,^{\circ}\mathrm{C}

.

Die logistische DGL

N'(t)=k\,N(t)\,\bigl(1-\tfrac{N(t)}{K}\bigr)

bremst das Wachstum, je näher der Bestand der Kapazität

K

kommt; ihre Lösung ist die S-Kurve. So entsteht aus einem einfachen Änderungsgesetz das realistische Sättigungsverhalten.

Im HTL-Unterricht werden diese Standard-DGL hauptsächlich erkannt, nicht hergeleitet: Man identifiziert den Lösungstyp anhand der Struktur der Gleichung, setzt die Anfangsbedingung ein und bestimmt den Parameter

k

aus einem weiteren Datenpunkt.

Bei der Anwendung ist Sorgfalt mit dem Vorzeichen des Wachstumsfaktors und der Anfangsbedingung geboten; die Lösung darf nicht über ihren Gültigkeitsbereich hinaus extrapoliert werden. In der Matura folgt auf die Rechnung stets die Sachinterpretation der Lösung im jeweiligen Kontext.

N'(t)=kN(t)\Rightarrow N(t)=N_{0}\mathrm{e}^{kt}

Exponential-DGL

T'(t)=-k(T(t)-T_{U})\Rightarrow T(t)=T_{U}+(T_{0}-T_{U})\mathrm{e}^{-kt}

Newtonsches Abkühlungsgesetz

Musterbeispiel

Newtonsches Abkühlungsgesetz anwenden

Anfangstemperatur $80^{\circ}\mathrm{C}$ , Umgebung $20^{\circ}\mathrm{C}$ , nach 10 min $60^{\circ}\mathrm{C}$ .

Modell
$T(t)=20+60\mathrm{e}^{-kt}$ (mit $T_{0}-T_{U}=60$ ).
k bestimmen
$60=20+60\mathrm{e}^{-10k}\Rightarrow \mathrm{e}^{-10k}=\tfrac{40}{60}=\tfrac{2}{3}$ , also $k=\tfrac{\ln 1{,}5}{10}\approx 0{,}0405$ .
Temperatur nach 30 min
$T(30)=20+60\mathrm{e}^{-1{,}216}\approx 20+60\cdot 0{,}296\approx 37{,}8^{\circ}$ .

Ergebnis: Nach $30$ min ist die Temperatur ca. $37{,}8^{\circ}\mathrm{C}$ .

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte

1
Erkenne, welche Standard-DGL vorliegt - Exponential, Newton, logistisch.
2
Setze die Anfangsbedingung ein, um Parameter zu bestimmen.
3
Interpretiere die Lösung im Sachkontext.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank3 Punkte

Aufgabenstellung

Die Bestandsfunktion

N

erfüllt

N'(t)=-0{,}08\cdot N(t)

. Bestimme den Lösungstyp und gib bei

N(0)=500

die Funktion sowie den Wert nach 10 Zeiteinheiten an. (HTL)

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Typische Fehler

Zeichen des Wachstumsfaktors verwechselt.
Anfangsbedingung nicht berücksichtigt.
Lösung über Sättigung hinaus extrapoliert.

Aktive Wiederholung

Eine Tasse Kaffee kühlt von $80^{\circ}\mathrm{C}$ in einem $20^{\circ}\mathrm{C}$ -Raum ab. Nach $10$ Minuten ist die Temperatur $60^{\circ}\mathrm{C}$ . Bestimme $k$ und prognostiziere die Temperatur nach $30$ Minuten.

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Modellparameter aus Datenpunkten bestimmen#

StandardB-12.1

Ein Modell ist erst nutzbar, wenn seine Parameter bestimmt sind. Hat man den Modelltyp gewählt, legen gemessene Datenpunkte die freien Parameter eindeutig fest - ein Exponentialmodell etwa durch zwei Punkte (). Das ist die Brücke von der allgemeinen Funktionsklasse zur konkreten Prognosefunktion.

Modellkurve durch zwei Datenpunkte

Abb. 5Zwei Messpunkte legen das Exponentialmodell

N(t)=N_{0}\,q^{t}

eindeutig fest: aus dem Quotienten der Werte folgt

q

, aus einem Punkt dann

N_{0}

.

Beim linearen Modell

N(t)=N_0+a\,t

liefern zwei Datenpunkte alles: die Steigung

a=\tfrac{N_2-N_1}{t_2-t_1}

als Zuwachs pro Zeiteinheit und den Achsenabschnitt

N_0

durch Einsetzen eines Punktes.

Beim exponentiellen Modell

N(t)=N_0\cdot q^{t}

ergibt sich der Wachstumsfaktor aus dem Quotienten zweier Werte:

q=\bigl(\tfrac{N_2}{N_1}\bigr)^{1/(t_2-t_1)}

. Entscheidend ist der Quotient (nicht die Differenz!) und der Wurzelexponent

\tfrac{1}{t_2-t_1}

, der den Zeitabstand berücksichtigt - beides zu übersehen, sind die häufigsten Fehler.

Wachstumsfaktor

q

und Wachstumsrate

p

hängen über

q=1+p

zusammen: Ein

q=1{,}03

bedeutet

3\,\%

Wachstum, ein

q=0{,}9

eine Abnahme um

10\,\%

. Die beiden zu verwechseln, verfälscht die Interpretation -

q

ist der Faktor,

p

die prozentuale Änderung.

Bei beschränkten und logistischen Modellen geht man zweistufig vor: Zuerst legt man die Kapazität

K

aus dem Sättigungsverhalten der Daten fest, dann bestimmt man

k

(und ggf.

c

) aus einem weiteren Punkt durch Logarithmieren. So braucht jedes Modell genau so viele Datenpunkte wie freie Parameter.

Die Plausibilitätsprüfung schließt jede Parameterbestimmung ab: Ein berechnetes

q<1

bedeutet Abnahme,

q>1

Zunahme, und dies muss zur Datenlage passen. In der Matura ist der Operator „bestimmen" wörtlich zu nehmen - die Parameter werden rechnerisch hergeleitet, nicht geraten, und die Modellwahl wird am Datenmuster begründet.

q=\left(\dfrac{N_{2}}{N_{1}}\right)^{1/(t_{2}-t_{1})},\quad p=q-1

Wachstumsfaktor aus zwei Datenpunkten

Musterbeispiel

Exponentialmodell aus zwei Werten

Bestand $N(2)=320$ und $N(6)=720$ . Bestimme $q$ , $N_{0}$ und das Modell.

Schritt 1 - Wachstumsfaktor
$q=\left(\tfrac{720}{320}\right)^{1/(6-2)}=\left(2{,}25\right)^{1/4}\approx 1{,}2247$ .
Schritt 2 - Anfangswert
Aus $N(2)=N_{0}\,q^{2}=320$ folgt $N_{0}=\tfrac{320}{1{,}2247^{2}}=\tfrac{320}{1{,}5}\approx 213{,}3$ .
Schritt 3 - Modell und Interpretation
Modell $N(t)\approx 213{,}3\cdot 1{,}2247^{t}$ ; jährliche Wachstumsrate $p=q-1\approx 22{,}5\,\%$ .

Ergebnis: Modell $N(t)\approx 213{,}3\cdot 1{,}2247^{t}$ mit rund $22{,}5\,\%$ Wachstum pro Zeiteinheit.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank2 Punkte

Aufgabenstellung

Eine Population beträgt im Jahr 0 genau

1\,200

und im Jahr 3 genau

1\,500

Tiere. Bestimme den jährlichen Wachstumsfaktor (auf vier Nachkommastellen). (HUM)

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Typische Fehler

Beim Exponentialmodell die Differenz statt des Quotienten der Werte gebildet.
Den Zeitabstand $t_{2}-t_{1}\neq 1$ beim Wurzelexponenten übersehen.
Wachstumsrate $p$ und Wachstumsfaktor $q$ verwechselt ( $p=q-1$ ).

Aktive Wiederholung

Ein Kapital wächst von $5\,000\,\mathrm{Euro}$ (Jahr 0) auf $6\,200\,\mathrm{Euro}$ (Jahr 5). Bestimme den jährlichen Wachstumsfaktor sowie die Wachstumsrate und gib das Modell $N(t)$ an.

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS) (BMBWF) · SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik (IQS / BMBWF)

Halbwertszeit und Verdopplungszeit#

StandardB-12.1

Verdopplungs- und Halbwertszeit sind die anschaulichen Kennzahlen exponentieller Prozesse (). Sie beantworten „wie lange dauert es, bis sich der Bestand verdoppelt (bzw. halbiert)?" und charakterisieren das Tempo eines Wachstums oder Zerfalls unabhängig vom Anfangswert.

Exponentielles Wachstum vs. Zerfall

Abb. 6Wachstumsfaktor

a > 1

liefert J-Kurve,

a < 1

asymptotischen Zerfall.

Genau diese Unabhängigkeit ist das Kennzeichen: Beim exponentiellen Wachstum vergeht zwischen jeder Verdopplung dieselbe Zeitspanne - egal, ob von

100

auf

200

oder von

1000

auf

2000

. Die Verdopplungszeit vom Anfangswert abhängig zu machen, ist ein typischer Denkfehler.

Hergeleitet wird sie aus

N_0\,q^{t_2}=2N_0

: Nach Kürzen von

N_0

und Logarithmieren folgt

t_2=\tfrac{\ln 2}{\ln q}

, beim stetigen Modell

N_0\,\mathrm{e}^{kt}

entsprechend

t_2=\tfrac{\ln 2}{k}

. Das Logarithmusgesetz

\ln(q^{t})=t\ln q

ist hier der Schlüssel -

\tfrac{\ln 2}{\ln q}

und

\ln 2\cdot\ln q

nicht zu verwechseln.

Beim Zerfall heißt die analoge Größe Halbwertszeit

t_{1/2}=\tfrac{\ln 2}{|k|}

(bzw.

\tfrac{\ln 0{,}5}{\ln q}

mit

q<1

). Der Betrag bzw. das negative

\ln 0{,}5

sorgen dafür, dass eine positive Zeit herauskommt - mit positivem

k

zu rechnen, liefert fälschlich eine negative Halbwertszeit.

Zur schnellen Kontrolle dient die Faustregel „72": Die Verdopplungszeit in Jahren beträgt näherungsweise

72/p_\%

- bei

4\,\%

Zins also etwa

18

Jahre, sehr nahe am exakten Wert

17{,}67

. So lässt sich ein Logarithmus-Ergebnis ohne Rechner plausibilisieren.

Halbwerts- und Verdopplungszeit kennzeichnen exponentielle Prozesse eindeutig und treten fächerübergreifend auf: in der Physik beim radioaktiven Zerfall, in der Medizin beim Wirkstoffabbau, in der Finanzmathematik bei der Kapitalverdopplung. In der Matura sind sie exakt über den Logarithmus zu berechnen und im Kontext zu deuten.

t_{2}=\dfrac{\ln 2}{\ln q}=\dfrac{\ln 2}{k},\quad t_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{|k|}

Verdopplungs- und Halbwertszeit

Musterbeispiel

Halbwertszeit aus der Zerfallskonstante

Zerfall $N(t)=N_{0}\mathrm{e}^{-0{,}11t}$ ( $t$ in Tagen). Bestimme die Halbwertszeit.

Schritt 1 - Ansatz
Halbwertszeit: $N_{0}\mathrm{e}^{-0{,}11\,t_{1/2}}=\tfrac{1}{2}N_{0}$ .
Schritt 2 - Logarithmieren
$\mathrm{e}^{-0{,}11\,t_{1/2}}=0{,}5\Rightarrow -0{,}11\,t_{1/2}=\ln 0{,}5=-0{,}6931$ .
Schritt 3 - Auflösen und Deuten
$t_{1/2}=\tfrac{0{,}6931}{0{,}11}\approx 6{,}30$ Tage - nach gut sechs Tagen ist stets die Hälfte der jeweils vorhandenen Substanz zerfallen.

Ergebnis: Halbwertszeit $t_{1/2}\approx 6{,}3$ Tage.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank2 Punkte

Aufgabenstellung

Ein Kapital wird mit

4\,\%

p.a. verzinst. Berechne die Verdopplungszeit und vergleiche sie mit der Näherung der 72er-Regel. (HAK)

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Typische Fehler

Logarithmusgesetz falsch angewendet: $\ln 2/\ln q$ statt $\ln 2 \cdot \ln q$ verwechselt.
Beim Zerfall mit positivem $k$ gerechnet und so eine negative Halbwertszeit erhalten.
Verdopplungszeit fälschlich vom Anfangswert abhängig gemacht.

Aktive Wiederholung

Ein radioaktives Präparat zerfällt nach $N(t)=N_{0}\mathrm{e}^{-0{,}11t}$ ( $t$ in Tagen). Berechne die Halbwertszeit und interpretiere das Ergebnis.

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS) (BMBWF) · SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik (IQS / BMBWF)

Modellbewertung und Grenzen der Extrapolation#

VertiefungB-12.1B-12.2

Ein gutes Modellierungsergebnis endet nicht mit der Rechnung, sondern mit der Bewertung: Wie tragfähig ist das Modell, und wo liegen seine Grenzen? Jedes mathematische Modell ist eine Vereinfachung der Wirklichkeit, und seine Aussagekraft endet dort, wo seine Annahmen nicht mehr gelten.

Das klassische Beispiel ist das Exponentialmodell: Es überschätzt langfristig dramatisch, weil es keine Sättigung kennt - eine Population kann nicht unbegrenzt wachsen, ein Umsatz nicht ewig exponentiell steigen. Bei begrenzten Ressourcen ist das logistische Modell mit seiner Kapazitätsgrenze realistischer ().

Logistisches Wachstum gegen Kapazität K=1000

Abb. 7S-foermige Kurve - exponentiell am Anfang, gesättigt am Ende.

Zentral ist die Unterscheidung von Interpolation und Extrapolation: Werte innerhalb des Datenbereichs (Interpolation) sind meist verlässlich, Vorhersagen über den Datenbereich hinaus (Extrapolation) werden mit wachsender Distanz zunehmend unsicher. Eine Prognose über

100

Jahre ist daher mit großer Vorsicht zu genießen.

Die Modellgüte lässt sich überprüfen, indem man Modellwerte mit weiteren, nicht zur Anpassung verwendeten Messdaten vergleicht, oder über das Bestimmtheitsmaß

R^{2}

der Regression (B 7). Ein hohes

R^{2}

belegt allerdings nur die Passung im Datenbereich, nicht die Gültigkeit der Extrapolation.

Die Sensitivität ist ein weiterer Bewertungsaspekt: Kleine Änderungen der Parameter - etwa der Wachstumsrate um wenige Zehntelprozent - können langfristige Prognosen stark verschieben. Diese Unsicherheit muss bei Entscheidungen offen kommuniziert werden, statt eine Scheingenauigkeit vorzutäuschen.

In der Matura ist die Modellkritik im Anforderungsbereich III gefragt: die Eignung und Grenzen eines Modells begründen, eine weit reichende Extrapolation kritisch hinterfragen und konkurrierende Modelle (exponentiell vs. logistisch) anhand der Daten abwägen. Reine Rechnung ohne diese Bewertung kostet Punkte - und „hohe Korrelation" ist nie ein Beweis für Kausalität.

N_{\text{exp}}(t)=N_{0}q^{t}\;\text{vs.}\;N_{\text{log}}(t)=\dfrac{K}{1+c\,\mathrm{e}^{-kt}}

Konkurrierende Wachstumsmodelle

Musterbeispiel

Exponentielles vs. logistisches Modell beurteilen

Eine Population folgt zunächst $N(t)=100\cdot 1{,}5^{t}$ . Beurteile, bis wann dieses Modell sinnvoll ist, wenn der Lebensraum höchstens $5\,000$ Individuen trägt.

Schritt 1 - Grenze bestimmen
Kapazitätsgrenze erreicht, wenn $100\cdot 1{,}5^{t}=5\,000\Rightarrow 1{,}5^{t}=50\Rightarrow t=\tfrac{\ln 50}{\ln 1{,}5}\approx 9{,}65$ .
Schritt 2 - Bewerten
Ab $t\approx 9{,}65$ liefert das Exponentialmodell unrealistisch hohe Werte, weil es die Kapazitätsgrenze ignoriert.
Schritt 3 - Alternative
Geeigneter ist ein logistisches Modell mit Kapazität $K=5\,000$ , das anfangs nahezu exponentiell verläuft und gegen $K$ sättigt.

Ergebnis: Das Exponentialmodell ist nur etwa für $t<9{,}65$ tragfähig; danach ist ein logistisches Modell vorzuziehen.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank3 Punkte

Aufgabenstellung

Ein Unternehmen modelliert seinen Umsatz exponentiell und prognostiziert daraus den Umsatz in 15 Jahren. Beurteile diese Prognose und nenne zwei Faktoren, welche die Aussagekraft begrenzen. (HAK)

Deine Antwortwird nicht automatisch bewertet

Typische Fehler

Ein gut passendes Modell unbegrenzt extrapoliert, ohne Saettigungs- oder Realitätsgrenzen zu nennen.
Hohe Korrelation als Beweis für Kausalität missdeutet.
Modellkritik fehlt vollständig - reine Rechnung ohne Bewertung kostet Punkte im Anforderungsbereich III.

Aktive Wiederholung

Ein exponentielles Modell sagt für eine Stadt in 100 Jahren mehr Einwohner voraus, als die Region beherbergen kann. Beurteile die Aussagekraft des Modells und schlage eine geeignetere Modellklasse vor.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS) (BMBWF) · SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik (IQS / BMBWF)