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Notizen/Angewandte Mathematik/B 10 - Finanzmathematik
Notizen · Angewandte MathematikAT · Matura

B 10 - Finanzmathematik

Zinseszins, Renten, Tilgungsplan, Annuität und Investitionsrechnung - das Kernhandwerkszeug aller wirtschaftsorientierten BHS-Cluster.

6 Abschnitte·~16 Min Lesezeit·4 Kompetenzen·Niveau Basis 1 · Standard 2 · Vertiefung 3·Stand 06/2026

T·101010 / 13
Prüfungsprofil
B-10.1 · Zinseszins und SparformenB-10.2 · Renten- und AnnuitätenrechnungB-10.3 · Tilgungsplan und KreditberechnungB-10.4 · Investitionsrechnung und Kapitalwert
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Lesetiefe: Vertiefung

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Inhalt · 6 Abschnitte▾
  1. B 10 - Finanzmathematik
    • 01Zinseszins und Sparrechnung○
    • 02Renten- und Sparrechnung◐
    • 03Tilgungsplan und Annuität●
    • 04Investitionsrechnung und Kapitalwert●
    • 05Effektiver Jahreszins und Äquivalenzprinzip●
    • 06Abschreibung: linear und degressiv◐
§ 01

Zinseszins und Sparrechnung#

●○○BasisLPB-10.1

Kernpunkte

Die Finanzmathematik beschreibt, wie sich Kapital über die Zeit verändert - die Grundlage von Sparen, Krediten und Investitionen. Der entscheidende Unterschied ist der zwischen einfachem Zins (Zinsen wachsen linear, jedes Jahr derselbe Betrag) und Zinseszins (Zinsen werden mitverzinst, das Kapital wächst exponentiell, ).

Kapitalentwicklung bei Zinseszins (K₀=10 000, i=4 \%)

Kapitalentwicklung bei ZinseszinsSchaubild von K(t), y-Achsenabschnitt bei y = 10000, steigend, im Bereich x von 0 bis 2051015205000100001500020000t = 1820 000K(t)K(t) in EURt (Jahre)
Abb. 1Exponentielles Wachstum - nach 18 Jahren bereits über 20 000 EUR.
Beim Zinseszins gilt das Endkapital Kn=K0⋅qnK_n=K_0\cdot q^{n}Kn​=K0​⋅qn mit dem Zinsfaktor q=1+iq=1+iq=1+i. Diese Formel ist exponentielles Wachstum (B 4) in Reinform: Über 202020 Jahre macht der Zinseszins gegenüber dem einfachen Zins einen erheblichen Unterschied - der wahre Vorteil zeigt sich erst über lange Laufzeiten.
Stellt man die Formel um, beantwortet man die typischen Fragen: den Barwert K0=KnqnK_0=\tfrac{K_n}{q^{n}}K0​=qnKn​​ (Abzinsen - was ist eine zukünftige Summe heute wert?) und die Laufzeit über den Logarithmus n=ln⁡(Kn/K0)ln⁡qn=\tfrac{\ln(K_n/K_0)}{\ln q}n=lnqln(Kn​/K0​)​. Die Verdopplungszeit ist der Sonderfall t=ln⁡2ln⁡qt=\tfrac{\ln 2}{\ln q}t=lnqln2​.
Die Inflation π\piπ mindert die Kaufkraft und muss vom Nominalzins getrennt werden: Der reale Zins ist ir=1+i1+π−1i_r=\tfrac{1+i}{1+\pi}-1ir​=1+π1+i​−1. Bei 3 %3\,\%3% Nominalzins und 2 %2\,\%2% Inflation bleibt real nur etwa 1 %1\,\%1% - Nominal- und Realzins gleichzusetzen, ist ein häufiger Denkfehler.
Bei unterjähriger Verzinsung (monatlich, quartalsweise) wird der nominelle Jahreszins auf die Perioden verteilt: Pro Periode gilt der Zins inomm\tfrac{i_{\text{nom}}}{m}minom​​ bei mmm Perioden im Jahr. Wegen des Zinseszinseffekts innerhalb des Jahres ist der effektive Jahreszins dann höher als der nominelle (siehe Abschnitt Effektivzins).
In der Matura sind Endkapital, Barwert und Laufzeit sicher zu berechnen und die Verzinsungsdauer korrekt zu zählen (Anzahl der vollen Jahre/Perioden). Bei „wann erreicht?"-Fragen wird auf ganze Perioden aufgerundet, da Zinsen meist erst am Periodenende gutgeschrieben werden.
Kn=K0⋅(1+i)n,q=1+iK_{n}=K_{0}\cdot \left(1+i\right)^{n},\quad q=1+iKn​=K0​⋅(1+i)n,q=1+i

Zinseszinsformel (jährliche Verzinsung)

Kn=K0⋅(1+inomm)mn,ieff=(1+inomm)m−1K_{n}=K_{0}\cdot \left(1+\tfrac{i_{\text{nom}}}{m}\right)^{mn},\quad i_{\text{eff}}=\left(1+\tfrac{i_{\text{nom}}}{m}\right)^{m}-1Kn​=K0​⋅(1+minom​​)mn,ieff​=(1+minom​​)m−1

Unterjährige Verzinsung und effektiver Zinssatz

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Musterbeispiel

Endkapital bei jährlicher Verzinsung

Eine Anlage von K0=15 000 EuroK_{0}=15\,000\,\mathrm{Euro}K0​=15000Euro wird 777 Jahre lang mit 3,25 %3{,}25\,\%3,25% jährlich verzinst. Bestimme das Endkapital.

  1. 01Zinsfaktor

    q=1+3,25100=1,0325q=1+\tfrac{3{,}25}{100}=1{,}0325q=1+1003,25​=1,0325.

  2. 02Potenz

    q7=1,03257≈1,2509q^{7}=1{,}0325^{7}\approx 1{,}2509q7=1,03257≈1,2509.

  3. 03Endkapital

    K7=15 000⋅1,03257≈15 000⋅1,2509≈18 763,84K_{7}=15\,000\cdot 1{,}0325^{7}\approx 15\,000\cdot 1{,}2509\approx 18\,763{,}84K7​=15000⋅1,03257≈15000⋅1,2509≈18763,84 Euro.

  4. 04Zinsertrag

    Der Zinsgewinn beträgt K7−K0≈18 763,84−15 000=3 763,84K_{7}-K_{0}\approx 18\,763{,}84-15\,000=3\,763{,}84K7​−K0​≈18763,84−15000=3763,84 Euro.

Ergebnis: Endkapital ca. 18 763,84 Euro18\,763{,}84\,\mathrm{Euro}18763,84Euro.

Musterbeispiel

Abzinsen: Barwert einer einzelnen Zahlung

Welcher Betrag muss heute bei 3 %3\,\%3% jährlicher Verzinsung angelegt werden, damit in 888 Jahren genau 10 000 Euro10\,000\,\mathrm{Euro}10000Euro zur Verfügung stehen?

  1. 01Formel umstellen

    Aus Kn=K0⋅qnK_{n}=K_{0}\cdot q^{n}Kn​=K0​⋅qn folgt der Barwert K0=KnqnK_{0}=\tfrac{K_{n}}{q^{n}}K0​=qnKn​​ (Abzinsen).

  2. 02Zinsfaktor

    q=1,03q=1{,}03q=1,03, q8=1,038≈1,26677q^{8}=1{,}03^{8}\approx 1{,}26677q8=1,038≈1,26677.

  3. 03Barwert berechnen

    K0=10 0001,26677≈7 894,09K_{0}=\tfrac{10\,000}{1{,}26677}\approx 7\,894{,}09K0​=1,2667710000​≈7894,09 Euro.

  4. 04Kontrolle

    Aufzinsen: 7 894,09⋅1,038≈10 0007\,894{,}09\cdot 1{,}03^{8}\approx 10\,0007894,09⋅1,038≈10000 Euro - passt.

Ergebnis: Es sind heute rund 7 894,09 Euro7\,894{,}09\,\mathrm{Euro}7894,09Euro anzulegen.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte
  1. 1

    Zinseszins ist exponentielles Wachstum mit Faktor q=1+iq=1+iq=1+i pro Periode.

    Kapitalentwicklung bei Zinseszins (K₀=10 000, i=4 \%)

    Kapitalentwicklung bei ZinseszinsSchaubild von K(t), y-Achsenabschnitt bei y = 10000, steigend, im Bereich x von 0 bis 2051015205000100001500020000t = 1820 000K(t)K(t) in EURt (Jahre)
    Abb.Exponentielles Wachstum - nach 18 Jahren bereits über 20 000 EUR.
  2. 2

    Bei unterjähriger Verzinsung Periode anpassen und den nominellen Zinssatz teilen.

  3. 3

    Mit höherem Zinssatz wird die Verdopplungszeit deutlich kürzer.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank2 Punkte

Aufgabenstellung

Ein Sparbuch mit 8 000 Euro8\,000\,\mathrm{Euro}8000Euro Anfangskapital wird mit 2 %2\,\%2% p.a. verzinst. Wie hoch ist das Kapital nach 101010 Jahren? (HAK/HUM)

Maturafokus

  • Endkapital und Barwert berechnen.
  • Vergleich verschiedener Verzinsungsperioden.
  • Realzins in Inflationsumgebungen.

Typische Fehler

  • Einfachen Zins mit Zinseszins verwechselt.
  • Inflation und Nominalzins gleichgesetzt.
  • Verzinsungsdauer falsch (Anzahl Jahre).

Aktive Wiederholung

Eine Spareinlage von 5 000 Euro5\,000\,\mathrm{Euro}5000Euro wird mit 2,8 %2{,}8\,\%2,8% p.a. verzinst. Wann ist sie auf 7 500 Euro7\,500\,\mathrm{Euro}7500Euro angewachsen?

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS) (BMBWF) · SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik (IQS / BMBWF)

§ 02

Renten- und Sparrechnung#

●●○StandardLPB-10.2

Kernpunkte

Eine Rente ist eine Folge regelmäßiger Zahlungen gleicher Höhe RRR über mehrere Perioden - ein Sparplan, eine Pensionsauszahlung, eine Leibrente. Statt jede Zahlung einzeln zu verzinsen, fasst die Rentenrechnung die ganze Folge in einer Formel zusammen ().

Renten-Zeitlinie - vorschüssig vs. nachschüssig

vorschüssig nachschüssig t=0 1 2 3 4
Abb. 2Vorschüssig: Zahlungen am Periodenanfang; nachschüssig: am Ende.
Der erste Schritt ist immer, den Zahlungszeitpunkt zu klären: nachschüssig (am Periodenende) oder vorschüssig (am Periodenanfang). Bei vorschüssigen Zahlungen wird jede Rate eine Periode länger verzinst - das erklärt den zusätzlichen Faktor qqq in den Formeln.
Der Endwert (Rentenendwert) summiert alle Zahlungen mit Zinsen auf das Laufzeitende auf: nachschüssig E=R⋅qn−1q−1E=R\cdot \tfrac{q^{n}-1}{q-1}E=R⋅q−1qn−1​, vorschüssig zusätzlich ⋅q\cdot q⋅q. Er beantwortet „wie viel habe ich am Ende angespart?".
Der Barwert diskontiert dieselben Zahlungen auf heute: nachschüssig B=R⋅qn−1qn(q−1)B=R\cdot \tfrac{q^{n}-1}{q^{n}(q-1)}B=R⋅qn(q−1)qn−1​. Er beantwortet „welcher Einmalbetrag heute ist gleichwertig zur ganzen Zahlungsreihe?". Bar- und Endwert nicht zu vertauschen, ist hier zentral - der eine bezieht sich auf das Ende, der andere auf den Anfang.
Der Spezialfall der ewigen Rente (unendliche Laufzeit) vereinfacht sich zu B=RiB=\tfrac{R}{i}B=iR​ - relevant etwa bei Stiftungen, die nur die Zinsen ausschütten und das Kapital erhalten. Hier reicht der jährliche Zinsertrag genau für die ewige Auszahlung.
Häufige Fehler sind das Vergessen des Faktors qqq bei vorschüssigen Renten und eine falsche Anzahl der Zahlungen (bei monatlicher Rente über 151515 Jahre sind es n=180n=180n=180, nicht 151515). In der Matura sind die Anwendungen Pensionsvorsorge, Sparplan und Auszahlplan - stets mit klarer Zuordnung von RRR, nnn und dem Periodenzins.
En=R⋅qn−1q−1,q=1+iE_{n}=R\cdot \dfrac{q^{n}-1}{q-1},\quad q=1+iEn​=R⋅q−1qn−1​,q=1+i

Endwert einer nachschüssigen Rente

B=R⋅qn−1qn⋅(q−1),q=1+iB=R\cdot \dfrac{q^{n}-1}{q^{n}\cdot (q-1)},\quad q=1+iB=R⋅qn⋅(q−1)qn−1​,q=1+i

Barwert einer nachschüssigen Rente

Envor=R⋅q⋅qn−1q−1E_{n}^{\text{vor}}=R\cdot q\cdot \dfrac{q^{n}-1}{q-1}Envor​=R⋅q⋅q−1qn−1​

Endwert vorschüssige Rente

Musterbeispiel

Endwert einer nachschüssigen Rente

Anlage 1 200 Euro1\,200\,\mathrm{Euro}1200Euro/Jahr nachschüssig, 101010 Jahre, i=3,5 %i=3{,}5\,\%i=3,5%.

  1. 01Zinsfaktor

    q=1,035q=1{,}035q=1,035, q10≈1,4106q^{10}\approx 1{,}4106q10≈1,4106.

  2. 02Endwert

    E=1 200⋅1,4106−10,035≈1 200⋅11,73≈14 076E=1\,200\cdot \tfrac{1{,}4106-1}{0{,}035}\approx 1\,200\cdot 11{,}73\approx 14\,076E=1200⋅0,0351,4106−1​≈1200⋅11,73≈14076 Euro.

Ergebnis: Endwert ca. 14 076 Euro14\,076\,\mathrm{Euro}14076Euro.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte
  1. 1

    Erkenne, ob Zahlung am Periodenanfang (vorschüssig) oder -ende (nachschüssig) erfolgt.

    Renten-Zeitlinie - vorschüssig vs. nachschüssig

    vorschüssig nachschüssig t=0 1 2 3 4
    Abb.Vorschüssig: Zahlungen am Periodenanfang; nachschüssig: am Ende.
  2. 2

    Endwert summiert alle Zahlungen mit Zinsen, Barwert diskontiert sie auf heute.

  3. 3

    Praktische Anwendung: Sparpläne, Pensionsmodelle, Auszahlpläne.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Eine Sparrate von 200 Euro200\,\mathrm{Euro}200Euro/Monat wird nachschüssig 151515 Jahre lang bei 0,25 %0{,}25\,\%0,25%/Monat angelegt. Berechne den Endwert. (HAK)

Maturafokus

  • Vor- vs. nachschüssig korrekt unterscheiden.
  • Barwert vs. Endwert.
  • Anwendungen: Pensionsvorsorge, Sparplan, Auszahlplan.

Typische Fehler

  • Faktor qqq vergessen bei vorschüssigen Renten.
  • Falsche Anzahl der Zahlungen.
  • Bar- und Endwert vertauscht.

Aktive Wiederholung

Es werden 101010 Jahre lang am Jahresende je 1 200 Euro1\,200\,\mathrm{Euro}1200Euro angelegt (i=3,5 %i=3{,}5\,\%i=3,5%). Bestimme den Endwert.

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS) (BMBWF) · SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik (IQS / BMBWF)

§ 03

Tilgungsplan und Annuität#

●●●VertiefungLPB-10.3

Kernpunkte

Die Tilgungsrechnung ist die Umkehrung der Sparrechnung: Ein heute aufgenommener Kredit K0K_0K0​ wird durch regelmäßige Zahlungen über die Laufzeit zurückgeführt. Beim Annuitätenkredit - dem Standardfall - ist diese Zahlung konstant und heißt Annuität AAA.
Die Annuität setzt sich in jeder Periode aus zwei Teilen zusammen: dem Zinsanteil (Zinsen auf die aktuelle Restschuld) und dem Tilgungsanteil (der eigentlichen Schuldrückführung). Die Annuität ist der Barwert-Kehrwert: A=K0⋅qn(q−1)qn−1A=K_0\cdot \tfrac{q^{n}(q-1)}{q^{n}-1}A=K0​⋅qn−1qn(q−1)​.
Der Tilgungsplan macht den Verlauf transparent - Zeile für Zeile mit Restschuld, Zinsen, Tilgung und Annuität (). Die Reihenfolge ist entscheidend: Die Zinsen werden stets aus der Restschuld zu Periodenbeginn berechnet, erst dann ergibt sich aus A−ZinsenA-\text{Zinsen}A−Zinsen die Tilgung.

Tilgungsplan - Annuität, Zinsen, Tilgung

Tilgungsplan: Annuität = Zinsen + TilgungSäulendiagramm: Euro nach Jahr, Daten: Tilgung · J1: 9828; Tilgung · J2: 10811; Tilgung · J3: 11892; Tilgung · J4: 13081; Tilgung · J5: 14389; Zinsen · J1: 6000; Zinsen · J2: 5017; Zinsen · J3: 3936; Zinsen · J4: 2747; Zinsen · J5: 143902000400060008000100001200014000J1J2J3J4J5EuroJahrTilgungZinsen
Abb. 3Annuität bleibt konstant; Zinsanteil sinkt, Tilgungsanteil steigt.
Obwohl die Annuität konstant bleibt, verschiebt sich ihre Zusammensetzung systematisch: Der Zinsanteil sinkt von Jahr zu Jahr (die Restschuld schrumpft), während der Tilgungsanteil entsprechend steigt. Am Anfang zahlt man also überwiegend Zinsen, am Ende überwiegend Tilgung.
Das gesamte Zinsvolumen ergibt sich als Differenz n⋅A−K0n\cdot A-K_0n⋅A−K0​ - die Summe aller Annuitäten minus der ursprünglichen Schuld. Über lange Laufzeiten kann dieser Betrag beträchtlich sein und macht den Unterschied zwischen Laufzeiten anschaulich.
Sondertilgungen verkürzen die Laufzeit und senken das Zinsvolumen, variable Annuitäten erlauben Flexibilität. In der Matura sind die Annuität sicher zu berechnen, ein Tilgungsplan für kurze Laufzeiten manuell aufzustellen und die Anteile zu interpretieren - der häufigste Fehler ist, die Zinsen aus der Restschuld nach statt vor der Annuität zu berechnen.
A=K0⋅qn⋅(q−1)qn−1A=K_{0}\cdot \dfrac{q^{n}\cdot(q-1)}{q^{n}-1}A=K0​⋅qn−1qn⋅(q−1)​

Annuität bei Kreditrückzahlung

Musterbeispiel

Annuität eines Kredits

Ein Kredit von 100 000 Euro100\,000\,\mathrm{Euro}100000Euro wird mit 3,5 %3{,}5\,\%3,5% jährlich verzinst und über 151515 Jahre in nachschüssigen Annuitäten getilgt. Bestimme die jährliche Annuität.

  1. 01Zinsfaktor

    q=1,035q=1{,}035q=1,035, q15≈1,6753q^{15}\approx 1{,}6753q15≈1,6753.

  2. 02Annuitätenformel

    A=100 000⋅1,6753⋅0,0350,6753≈100 000⋅0,08683≈8 683A=100\,000\cdot \tfrac{1{,}6753\cdot 0{,}035}{0{,}6753}\approx 100\,000\cdot 0{,}08683\approx 8\,683A=100000⋅0,67531,6753⋅0,035​≈100000⋅0,08683≈8683 Euro.

Ergebnis: Jährliche Annuität rund 8 683 Euro8\,683\,\mathrm{Euro}8683Euro.

Musterbeispiel

Tilgungsplan für 3 Jahre

Kredit 10 000 Euro10\,000\,\mathrm{Euro}10000Euro, 5 %5\,\%5% p.a., Laufzeit 3 Jahre.

  1. 01Annuität

    q=1,05q=1{,}05q=1,05, q3=1,1576q^{3}=1{,}1576q3=1,1576. A=10 000⋅1,1576⋅0,050,1576≈3 672A=10\,000\cdot \tfrac{1{,}1576\cdot 0{,}05}{0{,}1576}\approx 3\,672A=10000⋅0,15761,1576⋅0,05​≈3672 Euro.

  2. 02Jahr 1

    Restschuld 10000, Zinsen 500, Tilgung 3172, neue Restschuld 6 8286\,8286828.

  3. 03Jahr 2

    Restschuld 6828, Zinsen 341,40, Tilgung 3330,60, Restschuld 3 497,403\,497{,}403497,40.

  4. 04Jahr 3

    Restschuld 3497,40, Zinsen 174,87, Tilgung 3497,13, Restschuld ≈0\approx 0≈0.

Ergebnis: Annuität 3 6723\,6723672 Euro; Gesamtzinsen ca. 1 0161\,0161016 Euro.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte
  1. 1

    Annuität bleibt konstant, aber Zins- und Tilgungsanteil verändern sich.

    Tilgungsplan - Annuität, Zinsen, Tilgung

    Tilgungsplan: Annuität = Zinsen + TilgungSäulendiagramm: Euro nach Jahr, Daten: Tilgung · J1: 9828; Tilgung · J2: 10811; Tilgung · J3: 11892; Tilgung · J4: 13081; Tilgung · J5: 14389; Zinsen · J1: 6000; Zinsen · J2: 5017; Zinsen · J3: 3936; Zinsen · J4: 2747; Zinsen · J5: 143902000400060008000100001200014000J1J2J3J4J5EuroJahrTilgungZinsen
    Abb.Annuität bleibt konstant; Zinsanteil sinkt, Tilgungsanteil steigt.
  2. 2

    Annuitätenformel ist standardisiert; nur Kapital, Zinssatz und Laufzeit einsetzen.

  3. 3

    Mit zunehmender Laufzeit sinkt der Zinsanteil, die Tilgung steigt.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Eine Familie nimmt einen Kredit von 200 000 Euro200\,000\,\mathrm{Euro}200000Euro zu 2,9 %2{,}9\,\%2,9% p.a. für 252525 Jahre auf. Bestimme die jährliche Annuität und das gesamte Zinsvolumen. (HAK)

Maturafokus

  • Annuitätenformel sauber anwenden.
  • Tilgungsplan für kurze Laufzeiten manuell aufstellen.
  • Interpretation der Anteile.

Typische Fehler

  • Annuitätenformel mit falschem Vorzeichen.
  • Zinsen aus Restschuld nach Annuität statt vorher berechnet.
  • Verwechslung Annuität vor- vs. nachschüssig.

Aktive Wiederholung

Ein Kredit von 50 000 Euro50\,000\,\mathrm{Euro}50000Euro wird mit 4 %4\,\%4% p.a. über 888 Jahre getilgt. Bestimme die jährliche Annuität und das gesamte Zinsvolumen.

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS) (BMBWF) · SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik (IQS / BMBWF)

§ 04

Investitionsrechnung und Kapitalwert#

●●●VertiefungLPB-10.4

Kernpunkte

Die Investitionsrechnung beurteilt, ob sich eine Anlage - eine Maschine, ein Projekt - finanziell lohnt. Das Grundproblem: Eine heutige Investition steht künftigen Erträgen gegenüber, und Geld zu verschiedenen Zeitpunkten ist nicht direkt vergleichbar. Die Lösung ist das Abzinsen aller Zahlungen auf einen gemeinsamen Stichtag (Äquivalenzprinzip).
Der Kapitalwert (Net Present Value) NPV=−I0+∑t=1nCtqtNPV=-I_0+\sum_{t=1}^{n}\tfrac{C_t}{q^{t}}NPV=−I0​+∑t=1n​qtCt​​ summiert die auf heute abgezinsten Cashflows und subtrahiert die Anfangsinvestition. Wichtig: I0I_0I0​ wird negativ angesetzt (es ist eine Auszahlung), und jeder Cashflow wird mit 1qt\tfrac{1}{q^{t}}qt1​ diskontiert () - spätere Zahlungen wiegen weniger.

Barwerte der Cashflows einer Investition

Barwerte der Cashflows einer InvestitionSäulendiagramm: Barwert (Euro), Daten: Barwert (Euro) · Jahr 1: 23585; Barwert (Euro) · Jahr 2: 22250; Barwert (Euro) · Jahr 3: 20991; Barwert (Euro) · Jahr 4: 1980205000100001500020000Jahr 1Jahr 2Jahr 3Jahr 423585222502099119802Barwert (Euro)
Abb. 4Vier Cashflows von je 25 00025\,00025000 Euro, auf heute abgezinst (6 %6\,\%6%): Spätere Zahlungen sind weniger wert; ihre Summe (≈86 628\approx 86\,628≈86628) übersteigt die Investition von 80 00080\,00080000.
Die Entscheidungsregel ist einfach: Ist NPV>0NPV>0NPV>0, übersteigen die abgezinsten Erträge die Investition, das Projekt lohnt sich; ist NPV<0NPV<0NPV<0, lohnt es nicht. Der NPV misst also den heutigen „Mehrwert" der Investition über die geforderte Verzinsung hinaus.
Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Kalkulationszinssatz, bei dem genau NPV=0NPV=0NPV=0 wird - die „Rendite" des Projekts. Übersteigt der IRR den geforderten Zinssatz, ist die Investition vorteilhaft. IRR und Kalkulationszinssatz sind dabei sauber zu trennen.
Der Kalkulationszinssatz wirkt stark auf das Ergebnis: Ein niedriger Zinssatz zinst künftige Cashflows weniger stark ab und erhöht damit den NPV; ein hoher Zinssatz kann ein Projekt unrentabel erscheinen lassen. Die Amortisationszeit ergänzt die Analyse - der Zeitpunkt, ab dem die kumulierten Cashflows die Investition decken.
Konkurrierende Projekte vergleicht man über NPV oder IRR. In der Matura ist der NPV mit gegebenen (oft konstanten) Cashflows zu berechnen - hier hilft die Rentenbarwertformel - und die Investition zu beurteilen; der häufigste Fehler ist, die Diskontierung ganz zu vergessen oder I0I_0I0​ positiv anzusetzen.
NPV=−I0+∑t=1nCtqtNPV=-I_{0}+\sum_{t=1}^{n}\dfrac{C_{t}}{q^{t}}NPV=−I0​+t=1∑n​qtCt​​

Kapitalwert (NPV)

Musterbeispiel

Kapitalwert eines Investitionsprojekts

Investition 80 00080\,00080000 Euro, vier jährliche Cashflows je 25 00025\,00025000 Euro, Kalkulationszinssatz 6 %6\,\%6%.

  1. 01Diskontfaktoren

    11,06t\tfrac{1}{1{,}06^{t}}1,06t1​ für t=1,...,4t=1,...,4t=1,...,4.

  2. 02Barwert

    25 000⋅1−1,06−40,06≈25 000⋅3,4651≈86 62825\,000\cdot \tfrac{1-1{,}06^{-4}}{0{,}06}\approx 25\,000\cdot 3{,}4651\approx 86\,62825000⋅0,061−1,06−4​≈25000⋅3,4651≈86628 Euro.

  3. 03NPV

    NPV=−80 000+86 628≈6 628NPV=-80\,000+86\,628\approx 6\,628NPV=−80000+86628≈6628 Euro.

Ergebnis: NPV ca. 6 628 Euro6\,628\,\mathrm{Euro}6628Euro - Investition lohnt sich.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte
  1. 1

    Diskontiere alle zukünftigen Cashflows auf den Anfangszeitpunkt.

  2. 2

    Subtrahiere die Investition; ist NPV positiv, lohnt sich das Projekt.

  3. 3

    IRR ist die Verzinsung, bei der NPV gleich Null ist.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank3 Punkte

Aufgabenstellung

Eine Maschine kostet 50 000 Euro50\,000\,\mathrm{Euro}50000Euro und liefert in den nächsten 5 Jahren je 14 000 Euro14\,000\,\mathrm{Euro}14000Euro Cashflow. Bestimme den Kapitalwert bei 5 %5\,\%5% und beurteile die Investition. (HAK)

Maturafokus

  • Kapitalwert mit unterschiedlichen Cashflows.
  • Vergleich von Investitionsalternativen.
  • Interner Zinsfuss als Schwellenwert.

Typische Fehler

  • Diskontierung nicht angewendet.
  • Investitionssumme nicht negativ angesetzt.
  • Interner Zinsfuss mit Zinssatz verwechselt.

Aktive Wiederholung

Eine Investition von 80 000 Euro80\,000\,\mathrm{Euro}80000Euro liefert in den nächsten 4 Jahren je 25 000 Euro25\,000\,\mathrm{Euro}25000Euro. Berechne den Kapitalwert bei einem Kalkulationszinssatz von 6 %6\,\%6%.

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS) (BMBWF) · SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik (IQS / BMBWF)

§ 05

Effektiver Jahreszins und Äquivalenzprinzip#

●●●VertiefungLPB-10.1

Kernpunkte

Das Äquivalenzprinzip ist das Fundament der gesamten Finanzmathematik: Zwei Zahlungen sind nur dann vergleichbar, wenn man sie auf denselben Stichtag (Bezugszeitpunkt) auf- oder abzinst. Geldbeträge zu verschiedenen Zeitpunkten ohne diese Umrechnung direkt zu vergleichen, ist der grundlegende Fehler - sie müssen erst „auf einen Nenner" gebracht werden.
Daraus erwächst die Notwendigkeit, Zinssätze fair zu vergleichen. Der nominelle Jahreszins inomi_{\text{nom}}inom​ ist der angeschriebene Satz, der die unterjährige Verzinsung ignoriert; der effektive Jahreszins ieffi_{\text{eff}}ieff​ berücksichtigt den Zinseszinseffekt innerhalb des Jahres und gibt die tatsächliche jährliche Verzinsung an.
Bei mmm-facher unterjähriger Verzinsung gilt ieff=(1+inomm)m−1i_{\text{eff}}=\left(1+\tfrac{i_{\text{nom}}}{m}\right)^{m}-1ieff​=(1+minom​​)m−1. Der Periodenzins inomm\tfrac{i_{\text{nom}}}{m}minom​​ wird also mit mmm potenziert, nicht durch mmm geteilt - dieser Exponent ist die häufigste Fehlerquelle. Der Effektivzins ist dadurch stets mindestens so groß wie der Nominalzins.
Je häufiger verzinst wird (größeres mmm), desto höher der Effektivzins - allerdings mit abnehmendem Zuwachs (). Im Grenzfall m→∞m\to\inftym→∞ (stetige Verzinsung) strebt er gegen einom−1\mathrm{e}^{i_{\text{nom}}}-1einom​−1; bei 6 %6\,\%6% nominal sind das nur rund 6,18 %6{,}18\,\%6,18%, also kaum mehr als bei monatlicher Verzinsung.

Effektivzins nach Verzinsungshäufigkeit

Effektivzins nach VerzinsungshäufigkeitSäulendiagramm: Effektivzins (%), Daten: Effektivzins (%) · jährlich: 6; Effektivzins (%) · halbjährl.: 6.09; Effektivzins (%) · quartal: 6.14; Effektivzins (%) · monatl.: 6.17; Effektivzins (%) · stetig: 6.185.95.9566.056.16.156.26.25jährlichhalbjährl.quartalmonatl.stetig66.096.146.176.18Effektivzins (%)
Abb. 5Bei 6 %6\,\%6% Nominalzins steigt der Effektivzins mit der Verzinsungshäufigkeit mmm und nähert sich der stetigen Verzinsung (e0,06−1≈6,18 %\mathrm{e}^{0{,}06}-1\approx 6{,}18\,\%e0,06−1≈6,18%).
Der praktische Nutzen ist die Vergleichbarkeit: Erst der Effektivzins macht Spar- oder Kreditangebote mit unterschiedlichen Verzinsungsperioden direkt vergleichbar und ist daher die zentrale Entscheidungsgröße - in Österreich für Kredite gesetzlich anzugeben.
In der Matura ist der Effektivzins aus Nominalzins und Verzinsungshäufigkeit zu berechnen und konkurrierende Angebote darüber zu vergleichen; beim Auf- und Abzinsen ist der Bezugszeitpunkt stets ausdrücklich festzulegen, damit der Vergleich dem Äquivalenzprinzip genügt.
ieff=(1+inomm)m−1i_{\text{eff}}=\left(1+\dfrac{i_{\text{nom}}}{m}\right)^{m}-1ieff​=(1+minom​​)m−1

Effektiver Jahreszins

Musterbeispiel

Effektivzins bei monatlicher Verzinsung

Nominalzins 6 %6\,\%6%, monatliche Verzinsung (m=12m=12m=12). Bestimme den Effektivzins.

  1. 01Schritt 1 - Periodenzins

    Monatszins 0,0612=0,005\tfrac{0{,}06}{12}=0{,}005120,06​=0,005.

  2. 02Schritt 2 - Aufzinsen

    ieff=(1+0,005)12−1=1,00512−1i_{\text{eff}}=(1+0{,}005)^{12}-1=1{,}005^{12}-1ieff​=(1+0,005)12−1=1,00512−1.

  3. 03Schritt 3 - Auswerten und Deuten

    1,00512≈1,061681{,}005^{12}\approx 1{,}061681,00512≈1,06168, also ieff≈6,17 %i_{\text{eff}}\approx 6{,}17\,\%ieff​≈6,17% - rund 0,170{,}170,17 Prozentpunkte über dem Nominalzins.

Ergebnis: Effektivzins ≈6,17 %\approx 6{,}17\,\%≈6,17%.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank2 Punkte

Aufgabenstellung

Ein Kredit hat einen Nominalzins von 8 %8\,\%8% bei vierteljährlicher Verzinsung. Berechne den effektiven Jahreszins. (HAK)

Maturafokus

  • Operator "Berechnen": Effektivzins aus Nominalzins und Verzinsungshäufigkeit bestimmen.
  • Operator "Vergleichen": konkurrierende Spar- oder Kreditangebote über den Effektivzins gegenüberstellen.
  • Bezugszeitpunkt beim Auf-/Abzinsen ausdrücklich festlegen.

Typische Fehler

  • Nominal- und Effektivzins gleichgesetzt.
  • Den Exponenten mmm in (1+inomm)m\left(1+\tfrac{i_{\text{nom}}}{m}\right)^{m}(1+minom​​)m vergessen oder durch mmm geteilt statt potenziert.
  • Zahlungen unterschiedlicher Zeitpunkte ohne Auf-/Abzinsen direkt verglichen.

Aktive Wiederholung

Eine Bank wirbt mit 6 %6\,\%6% nominellem Jahreszins bei monatlicher Verzinsung. Berechne den effektiven Jahreszins und beurteile den Unterschied.

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Quellen: Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS) (BMBWF) · SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik (IQS / BMBWF)

§ 06

Abschreibung: linear und degressiv#

●●○StandardLPB-10.1

Kernpunkte

Anlagegüter - Maschinen, Fahrzeuge, Gebäude - verlieren über die Jahre an Wert. Die Abschreibung (AfA) verteilt die Anschaffungskosten buchhalterisch über die Nutzungsdauer und hält den jeweiligen Buchwert fest. Zwei Methoden sind zu kennen, deren Verläufe sich deutlich unterscheiden ().

Buchwertverlauf: linear vs. degressiv

Buchwertverlauf linear vs. degressivSchaubild von linear, y-Achsenabschnitt bei y = 24000, fallend, im Bereich x von 0 bis 5, Schaubild von degressiv, y-Achsenabschnitt bei y = 24000, fallend, im Bereich x von 0 bis 512345500010000150002000025000lineardegressivBuchwert (Euro)Jahr k
Abb. 6Die lineare Abschreibung lässt den Buchwert als Gerade fallen (konstanter Betrag), die degressive als Exponentialkurve mit anfangs höheren, später kleineren Abschreibungsbeträgen.
Die lineare Abschreibung verteilt den abzuschreibenden Betrag gleichmäßig: Der jährliche Betrag ist dlin=A−Rnd_{\text{lin}}=\tfrac{A-R}{n}dlin​=nA−R​ (Anschaffungswert AAA, Restwert RRR, Nutzungsdauer nnn). Wichtig ist, zuerst den Restwert abzuziehen - nur die Differenz A−RA-RA−R wird abgeschrieben. Der Buchwert fällt als Gerade.
Die degressive (geometrische) Abschreibung nimmt einen konstanten Prozentsatz ppp vom jeweiligen Restbuchwert: Bk=A⋅(1−p)kB_k=A\cdot(1-p)^{k}Bk​=A⋅(1−p)k. Der Prozentsatz wirkt also stets auf den aktuellen Buchwert, nicht auf den Anschaffungswert - dies zu verwechseln, ist der typische Fehler. Der Buchwert fällt als Exponentialkurve.
Der Unterschied im Verlauf ist der Kern des Themas: Linear schreibt jedes Jahr denselben Betrag ab; degressiv schreibt am Anfang viel mehr ab (hoher Restbuchwert) und gegen Ende immer weniger. Degressiv bildet den realen Wertverlust vieler Güter - etwa eines Neuwagens - besser ab.
Eine technische Eigenheit: Die rein degressive Abschreibung erreicht den Wert null nie exakt (Exponentialkurve), weshalb in der Praxis gegen Ende der Nutzungsdauer oft auf die lineare Methode gewechselt wird. Der Buchwert sinkt zudem nie unter den vereinbarten Restwert.
In der Matura ist der Buchwert nach kkk Jahren bei beiden Methoden zu berechnen und ihr Verlauf zu vergleichen; Anschaffungswert, Restwert und Nutzungsdauer müssen sauber zugeordnet werden. Die degressive Formel ist wieder exponentieller Zerfall (B 4) - dieselbe Mathematik wie beim radioaktiven Zerfall, nur im kaufmännischen Kontext.
dlin=A−Rn,Bk=A⋅(1−p)k  (degressiv)d_{\text{lin}}=\dfrac{A-R}{n},\quad B_{k}=A\cdot(1-p)^{k}\;(\text{degressiv})dlin​=nA−R​,Bk​=A⋅(1−p)k(degressiv)

Lineare und degressive Abschreibung

Musterbeispiel

Lineare Abschreibung und Buchwert

Maschine A=24 000A=24\,000A=24000, Restwert R=4 000R=4\,000R=4000, n=5n=5n=5 Jahre. Bestimme jährliche AfA und Buchwert nach 3 Jahren.

  1. 01Schritt 1 - Jährliche AfA

    d=24 000−4 0005=20 0005=4 000 Eurod=\tfrac{24\,000-4\,000}{5}=\tfrac{20\,000}{5}=4\,000\,\mathrm{Euro}d=524000−4000​=520000​=4000Euro pro Jahr.

  2. 02Schritt 2 - Buchwert nach 3 Jahren

    B3=24 000−3⋅4 000=24 000−12 000=12 000 EuroB_{3}=24\,000-3\cdot 4\,000=24\,000-12\,000=12\,000\,\mathrm{Euro}B3​=24000−3⋅4000=24000−12000=12000Euro.

  3. 03Schritt 3 - Deuten

    Nach 3 Jahren beträgt der Buchwert 12 000 Euro12\,000\,\mathrm{Euro}12000Euro; nach 5 Jahren ist der Restwert 4 000 Euro4\,000\,\mathrm{Euro}4000Euro erreicht.

Ergebnis: Jährliche Abschreibung 4 000 Euro4\,000\,\mathrm{Euro}4000Euro, Buchwert nach 3 Jahren 12 000 Euro12\,000\,\mathrm{Euro}12000Euro.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank2 Punkte

Aufgabenstellung

Ein Fahrzeug (A=30 000 EuroA=30\,000\,\mathrm{Euro}A=30000Euro) wird degressiv mit 20 %20\,\%20% pro Jahr abgeschrieben. Berechne den Buchwert nach 2 Jahren. (HAK)

Maturafokus

  • Operator "Berechnen": Buchwert nach kkk Jahren bei linearer und degressiver Abschreibung bestimmen.
  • Operator "Vergleichen": lineare und degressive Methode hinsichtlich des Buchwertverlaufs gegenüberstellen.
  • Anschaffungswert, Restwert und Nutzungsdauer korrekt zuordnen.

Typische Fehler

  • Bei linearer Abschreibung den Restwert nicht vom Anschaffungswert abgezogen.
  • Bei degressiver Abschreibung den Prozentsatz auf den Anschaffungswert statt auf den Restbuchwert angewendet.
  • Buchwert unter den Restwert sinken lassen.

Aktive Wiederholung

Eine Maschine kostet 24 000 Euro24\,000\,\mathrm{Euro}24000Euro, Restwert 4 000 Euro4\,000\,\mathrm{Euro}4000Euro, Nutzungsdauer 5 Jahre. Berechne die lineare jährliche Abschreibung und den Buchwert nach 3 Jahren.

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS) (BMBWF) · SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik (IQS / BMBWF)

Inhalt

Abschnitt -- / 06

    • 01Zinseszins und Sparrechnung○
    • 02Renten- und Sparrechnung◐
    • 03Tilgungsplan und Annuität●
    • 04Investitionsrechnung und Kapitalwert●
    • 05Effektiver Jahreszins und Äquivalenzprinzip●
    • 06Abschreibung: linear und degressiv◐

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Aus den Notizen ins Training

B 10 - Finanzmathematik

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Beispielfrage

Ein Sparbuch mit 8 000 Euro8\,000\,\mathrm{Euro}8000Euro Anfangskapital wird mit 2 %2\,\%2% p.a. verzinst. Wie hoch ist das Kapital nach 101010 Jahren? (HAK/HUM)

2 BE · 2022

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Belege & Quellen

Quellen

BMBWF

  • Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS)

IQS / BMBWF

  • SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik

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