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Notizen/Angewandte Mathematik/B 9 - Schliessende Statistik: Konfidenz und Tests
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B 9 - Schliessende Statistik: Konfidenz und Tests

Stichproben, Konfidenzintervalle und Hypothesentests für Anteile und Mittelwerte - Standardwerkzeuge in Qualitätskontrolle und Marktforschung.

6 Abschnitte·~16 Min Lesezeit·3 Kompetenzen·Niveau Standard 3 · Vertiefung 3·Stand 06/2026

T·0999 / 13
Prüfungsprofil
B-9.1 · Konfidenzintervalle für Anteile und Mittelwerte berechnenB-9.2 · Hypothesentests durchführen und interpretierenB-9.3 · Fehler 1. und 2. Art unterscheiden
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Lesetiefe: Vertiefung

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Inhalt · 6 Abschnitte▾
  1. B 9 - Schliessende Statistik: Konfidenz und Tests
    • 01Konfidenzintervall für einen Anteil◐
    • 02Konfidenzintervall für den Mittelwert◐
    • 03Hypothesentests und Fehlerarten●
    • 04Stichprobenverteilung und zentraler Grenzwertsatz◐
    • 05p-Wert-Methode und Testentscheidung●
    • 06Fehler 2. Art und Teststärke●
§ 01

Konfidenzintervall für einen Anteil#

●●○StandardLPB-9.1

Kernpunkte

Die schließende Statistik schließt von einer Stichprobe auf die unbekannte Grundgesamtheit - vom Anteil der „Ja"-Stimmen in einer Umfrage auf den wahren Anteil aller Wähler. Der Stichprobenanteil p^\hat pp^​ ist dabei nur ein Punktschätzer; weil eine andere Stichprobe ein anderes p^\hat pp^​ liefern würde, braucht man ein Maß für seine Genauigkeit.
Genau das leistet das Konfidenzintervall: Es gibt einen Bereich um p^\hat pp^​ an, der den wahren Anteil mit einer vorgegebenen Sicherheit überdeckt (). Berechnet wird es als p^±z⋅p^(1−p^)n\hat p \pm z\cdot\sqrt{\tfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}p^​±z⋅np^​(1−p^​)​​ - Schätzer plus/minus dem zzz-fachen des Standardfehlers.

Konfidenzintervall um den Punktschätzer

p̂ Punktschätzer untere Grenze obere Grenze z · SE
Abb. 1Der Schätzer p^\hat pp^​ liegt mittig; die Fehlergrenze z⋅SEz\cdot SEz⋅SE legt die halbe Intervallbreite fest.
Der zzz-Wert legt das Konfidenzniveau fest und stammt aus der Standardnormalverteilung (B 8): 90 %90\,\%90% entsprechen z=1,645z=1{,}645z=1,645, 95 %95\,\%95% entsprechen z=1,96z=1{,}96z=1,96, 99 %99\,\%99% entsprechen z=2,576z=2{,}576z=2,576. Den zzz-Wert zum geforderten Niveau zu wählen, ist der erste Schritt - ein falsches zzz ist ein häufiger Fehler.
Der Standardfehler p^(1−p^)n\sqrt{\tfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}np^​(1−p^​)​​ hat das nnn im Nenner unter der Wurzel; ihn ohne diese Division durch nnn anzusetzen, verfälscht das Intervall. Voraussetzung für die Normal-Näherung ist eine hinreichend große Stichprobe (np^≥5n\hat p\geq 5np^​≥5 und n(1−p^)≥5n(1-\hat p)\geq 5n(1−p^​)≥5).
Zwei Stellschrauben bestimmen die Breite: Ein höheres Konfidenzniveau verbreitert das Intervall (mehr Sicherheit kostet Präzision), ein größeres nnn verschmälert es (mehr Daten schärfen die Schätzung). Weil nnn unter der Wurzel steht, muss man nnn vervierfachen, um das Intervall zu halbieren.
Entscheidend ist die korrekte Deutung: „Mit 95 %95\,\%95% Sicherheit liegt der wahre Anteil im Bereich [… ][\dots][…]" bezieht sich auf das Verfahren, nicht auf einen Zufallsparameter. Das Intervall ist keine Wahrscheinlichkeitsaussage über den festen, aber unbekannten wahren Anteil - diese Fehldeutung ist der subtilste Fehler des Themas.
p^±z⋅p^(1−p^)n,z0,95=1,96\hat p \pm z\cdot\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\quad z_{0{,}95}=1{,}96p^​±z⋅np^​(1−p^​)​​,z0,95​=1,96

Konfidenzintervall für einen Anteil

Musterbeispiel

Konfidenzintervall für einen Anteil

In einer Befragung von 250250250 Personen geben 757575 an, das Produkt zu kennen. Berechne ein 95 %95\,\%95%-Konfidenzintervall.

  1. 01Stichprobenanteil

    p^=75250=0,30\hat p=\tfrac{75}{250}=0{,}30p^​=25075​=0,30.

  2. 02Standardfehler

    SE=0,30⋅0,70250≈0,029SE=\sqrt{\tfrac{0{,}30\cdot 0{,}70}{250}}\approx 0{,}029SE=2500,30⋅0,70​​≈0,029.

  3. 03Intervall

    0,30±1,96⋅0,029≈0,30±0,0570{,}30\pm 1{,}96\cdot 0{,}029\approx 0{,}30\pm 0{,}0570,30±1,96⋅0,029≈0,30±0,057, also [0,243;0,357][0{,}243; 0{,}357][0,243;0,357].

Ergebnis: Mit 95 %95\,\%95% Sicherheit liegt der Anteil zwischen 24,3 %24{,}3\,\%24,3% und 35,7 %35{,}7\,\%35,7%.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte
  1. 1

    Konfidenzintervall druckt die Unsicherheit deines Punktschätzers aus.

  2. 2

    Mit dem z-Wert legst du das Sicherheitsniveau fest.

  3. 3

    Größeres nnn liefert ein schmaleres Intervall.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Eine Umfrage unter 500500500 Studierenden zeigt, dass 260260260 an Online-Veranstaltungen interessiert sind. Berechne ein 95 %95\,\%95%-Konfidenzintervall für den Anteil aller Studierenden. (HAK/HUM)

Maturafokus

  • Standardfehler korrekt berechnen.
  • z-Wert dem geforderten Konfidenzniveau anpassen.
  • Interpretation als "mit X % Sicherheit liegt der wahre Anteil im Bereich..."

Typische Fehler

  • Falsches zzz verwendet.
  • Standardfehler ohne nnn im Nenner.
  • Konfidenzintervall als Wahrscheinlichkeit für den Parameter interpretiert.

Aktive Wiederholung

In einer Stichprobe von 400400400 Befragten antworten 969696 mit "Ja". Berechne ein 99 %99\,\%99%-Konfidenzintervall.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS) (BMBWF) · SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik (IQS / BMBWF)

§ 02

Konfidenzintervall für den Mittelwert#

●●○StandardLPB-9.1

Kernpunkte

Analog zum Anteil schätzt man auch einen unbekannten Mittelwert μ\muμ aus einer Stichprobe und gibt die Genauigkeit als Konfidenzintervall an (). Der Punktschätzer ist das Stichprobenmittel xˉ\bar xxˉ, die Unsicherheit steckt im Standardfehler des Mittels.

Konfidenzintervall um den Punktschätzer

p̂ Punktschätzer untere Grenze obere Grenze z · SE
Abb. 2Der Schätzer p^\hat pp^​ liegt mittig; die Fehlergrenze z⋅SEz\cdot SEz⋅SE legt die halbe Intervallbreite fest.
Bei bekannter Populationsstreuung σ\sigmaσ lautet das Intervall xˉ±z⋅σn\bar x \pm z\cdot \tfrac{\sigma}{\sqrt{n}}xˉ±z⋅n​σ​. Der Standardfehler σn\tfrac{\sigma}{\sqrt{n}}n​σ​ enthält die Wurzel von nnn - diese zu vergessen, ist der häufigste Rechenfehler.
Ist σ\sigmaσ unbekannt und die Stichprobe klein, ersetzt man die Normal- durch die t-Verteilung mit n−1n-1n−1 Freiheitsgraden und der Stichprobenstandardabweichung sss. Die t-Verteilung ist etwas breiter als die Normalverteilung und trägt so der zusätzlichen Unsicherheit Rechnung.
Bei großen Stichproben (n≥30n\geq 30n≥30) liegen t- und Normalverteilung praktisch übereinander, sodass die Normal-Approximation auch mit der Stichproben-sss tragbar ist. Wichtig ist, die Streuung der Daten nicht mit dem Standardfehler des Mittels zu verwechseln.
Die Stichprobenplanung kehrt die Formel um: Soll das Intervall höchstens die halbe Breite EEE haben, braucht man n=(z⋅σE)2n=\left(\tfrac{z\cdot \sigma}{E}\right)^{2}n=(Ez⋅σ​)2 Messungen - das Ergebnis wird stets aufgerundet. Wegen des Quadrats erfordert doppelte Genauigkeit den vierfachen Aufwand.
In der Praxis sind Konfidenzintervalle und Stichprobengröße im CAS direkt berechenbar (zTest, tTest). In der Matura tritt die Stichprobenplanung typisch als Teil-2-Aufgabe auf, die Berechnung des Intervalls als Standardanwendung in Marktforschung (HAK/HUM) oder Prozesskontrolle (HTL).
xˉ±z⋅σn,z0,99=2,576\bar x \pm z\cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\quad z_{0{,}99}=2{,}576xˉ±z⋅n​σ​,z0,99​=2,576

Konfidenzintervall für den Mittelwert (σbekannt)

Musterbeispiel

Stichprobengröße berechnen

Wie viele Messungen sind nötig, damit das 95 %95\,\%95%-Konfidenzintervall für den Mittelwert höchstens 0,5 mm0{,}5\,\mathrm{mm}0,5mm breit ist, wenn σ=2 mm\sigma=2\,\mathrm{mm}σ=2mm?

  1. 01Halbe Breite

    E=0,25 mmE=0{,}25\,\mathrm{mm}E=0,25mm.

  2. 02Formel

    n=(1,96⋅20,25)2=(15,68)2≈245,9n=\left(\tfrac{1{,}96\cdot 2}{0{,}25}\right)^{2}=\left(15{,}68\right)^{2}\approx 245{,}9n=(0,251,96⋅2​)2=(15,68)2≈245,9.

  3. 03Aufrunden

    n=246n=246n=246 Messungen erforderlich.

Ergebnis: Mindestens 246 Messungen erforderlich.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte
  1. 1

    Standardfehler σ/n\sigma/\sqrt{n}σ/n​ misst die Streuung des Stichprobenmittels.

  2. 2

    Mit höherem Niveau (z-Wert) wird das Intervall breiter.

  3. 3

    Stichprobengröße skaliert quadratisch mit der gewünschten Genauigkeit.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Bei einer Qualitätskontrolle wurden 50 Bauteile mit einem Mittelwert von 25,4 mm25{,}4\,\mathrm{mm}25,4mm vermessen (σ=0,8 mm\sigma=0{,}8\,\mathrm{mm}σ=0,8mm). Bestimme ein 99 %99\,\%99%-Konfidenzintervall. (HTL)

Maturafokus

  • In HUM/HAK Anwendungen in Marktforschung.
  • In HTL Anwendungen in Prozesskontrolle.
  • Stichprobenplanung als Teil-2-Aufgabe.

Typische Fehler

  • Standardabweichung der Stichprobe statt der Population verwendet.
  • Quadratwurzel von nnn vergessen.
  • Intervall mit Variabel statt Schätzer berechnet.

Aktive Wiederholung

Eine Stichprobe von 363636 Werkstücken hat xˉ=82,1 mm\bar x=82{,}1\,\mathrm{mm}xˉ=82,1mm bei σ=1,5 mm\sigma=1{,}5\,\mathrm{mm}σ=1,5mm. Bestimme ein 95 %95\,\%95%-Konfidenzintervall für den Mittelwert.

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS) (BMBWF) · SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik (IQS / BMBWF)

§ 03

Hypothesentests und Fehlerarten#

●●●VertiefungLPB-9.2LPB-9.3

Kernpunkte

Ein Hypothesentest prüft eine Behauptung über die Grundgesamtheit anhand einer Stichprobe - „weicht der Mittelwert vom Sollwert ab?", „ist der Ausschussanteil zu hoch?". Er ist das Entscheidungsverfahren der schließenden Statistik und folgt einem festen Ablauf.
Zuerst formuliert man zwei einander ausschließende Hypothesen: die Nullhypothese H0H_0H0​ (der Status quo, „keine Abweichung") und die Alternative H1H_1H1​ (der zu belegende Effekt). Dazu legt man das Signifikanzniveau α\alphaα fest - das tolerierte Risiko, H0H_0H0​ fälschlich zu verwerfen.
Die Richtung von H1H_1H1​ bestimmt die Testart: Ein zweiseitiger Test (H1:μ≠μ0H_1:\mu\neq\mu_0H1​:μ=μ0​) verteilt α\alphaα auf beide Verteilungsenden (), ein einseitiger Test (H1:μ>μ0H_1:\mu>\mu_0H1​:μ>μ0​ oder <μ0<\mu_0<μ0​) konzentriert es auf eine Seite. Die Testart an der Fragestellung falsch zu wählen, ist ein typischer Fehler.

Zweiseitiger Test: Annahme- und Verwerfungsbereich

Zweiseitiger Test: Annahme- und VerwerfungsbereichSchaubild von φ(z), Hochpunkt bei (0, 0.399), y-Achsenabschnitt bei y = 0.399, im Bereich x von -3.6 bis 3.6−3−2−11230.10.20.30.4−z+z−z+zφ(z)φ(z)z
Abb. 3Liegt die Prüfgröße in einem der getönten Randbereiche, wird H0H_{0}H0​ verworfen.
Dann berechnet man die standardisierte Prüfgröße - etwa z=xˉ−μ0σ/nz=\tfrac{\bar x-\mu_0}{\sigma/\sqrt n}z=σ/n​xˉ−μ0​​ - und vergleicht sie mit dem kritischen Wert (oder den p-Wert mit α\alphaα). Liegt die Prüfgröße im Verwerfungsbereich, wird H0H_0H0​ verworfen, sonst beibehalten. Die Prüfgröße muss standardisiert sein, sonst ist der Vergleich sinnlos.
Jede Entscheidung kann irren: Der Fehler 1. Art verwirft H0H_0H0​, obwohl sie zutrifft (Wahrscheinlichkeit α\alphaα), der Fehler 2. Art behält H0H_0H0​, obwohl sie falsch ist (Wahrscheinlichkeit β\betaβ). Diese beiden nicht zu vertauschen, ist zentral; die Teststärke (Power) 1−β1-\beta1−β misst die Chance, einen echten Effekt aufzudecken, und wächst mit nnn.
Bei der Interpretation ist Sorgfalt gefragt: Ein Verwerfen von H0H_0H0​ heißt „statistisch signifikant", nicht „bewiesen wahr"; ein Beibehalten heißt „nicht genug Evidenz", nicht „H0H_0H0​ ist wahr". In der Matura sind die Hypothesen im Sachkontext zu formulieren und die Entscheidung entsprechend vorsichtig zu deuten.
z=xˉ−μ0σ/nz=\dfrac{\bar x-\mu_{0}}{\sigma/\sqrt{n}}z=σ/n​xˉ−μ0​​

Prüfgröße beim z-Test für den Mittelwert

Musterbeispiel

Hypothesentest für einen Mittelwert

Eine Limonadenflasche soll 500 mL500\,\mathrm{mL}500mL enthalten. In einer Stichprobe von 252525 Flaschen wurde xˉ=497 mL\bar x=497\,\mathrm{mL}xˉ=497mL (σ=4 mL\sigma=4\,\mathrm{mL}σ=4mL) gemessen. Teste auf dem 5 %5\,\%5%-Niveau, ob die Maschine unterfüllt.

  1. 01Hypothesen

    H0:μ=500H_{0}: \mu=500H0​:μ=500, H1:μ<500H_{1}: \mu<500H1​:μ<500 (einseitig).

  2. 02Prüfgröße

    z=497−5004/25=−30,8=−3,75z=\tfrac{497-500}{4/\sqrt{25}}=\tfrac{-3}{0{,}8}=-3{,}75z=4/25​497−500​=0,8−3​=−3,75.

  3. 03Kritischer Wert

    z0,05=−1,645z_{0{,}05}=-1{,}645z0,05​=−1,645.

  4. 04Entscheidung

    −3,75<−1,645-3{,}75<-1{,}645−3,75<−1,645 -> H0H_{0}H0​ verwerfen.

Ergebnis: Die Stichprobe spricht statistisch signifikant gegen die Soll-Füllmenge.

Schritt-für-Schritt Erklärung3 Schritte
  1. 1

    Formuliere klare Hypothesen und wähle ein Niveau.

  2. 2

    Prüfgröße berechnen und mit kritischem Wert oder p-Wert vergleichen.

  3. 3

    Interpretiere die Entscheidung im Sachkontext - "signifikant", nicht "wahr".

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank4 Punkte

Aufgabenstellung

Eine Tablettenproduktion soll im Mittel 250 mg250\,\mathrm{mg}250mg Wirkstoff enthalten (σ=4 mg\sigma=4\,\mathrm{mg}σ=4mg). Eine Stichprobe von 252525 Tabletten ergibt xˉ=252 mg\bar x=252\,\mathrm{mg}xˉ=252mg. Teste auf dem 5 %5\,\%5%-Niveau, ob der Mittelwert vom Sollwert abweicht. (HTL)

Maturafokus

  • Hypothesen klar formulieren mit Bezug zum Kontext.
  • Prüfgröße mit korrekter Standardfehler.
  • Entscheidung im Sachkontext interpretieren.

Typische Fehler

  • Falsche Richtung von H1H_{1}H1​ (one- vs. two-sided).
  • Prüfgröße mit unstandardisierten Werten.
  • α\alphaα- und β\betaβ-Fehler vertauscht.

Aktive Wiederholung

Ein Hersteller behauptet, dass weniger als 5 %5\,\%5% seiner Produkte fehlerhaft sind. In einer Stichprobe von 200200200 Produkten waren 151515 defekt. Teste die Behauptung auf dem 5 %5\,\%5%-Niveau.

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS) (BMBWF) · SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik (IQS / BMBWF)

§ 04

Stichprobenverteilung und zentraler Grenzwertsatz#

●●○StandardLPB-9.1

Kernpunkte

Die Stichprobenverteilung ist das theoretische Fundament hinter Konfidenzintervallen und Tests: Sie erklärt, warum die Formeln dieses Kompetenzbereichs überhaupt gelten. Ausgangspunkt ist die Einsicht, dass das Stichprobenmittel Xˉ\bar XXˉ selbst eine Zufallsgröße ist - jede Stichprobe liefert ein anderes xˉ\bar xxˉ.
Die Verteilung dieser möglichen Stichprobenmittel hat zwei zentrale Eigenschaften. Erstens ist sie erwartungstreu: E(Xˉ)=μE(\bar X)=\muE(Xˉ)=μ - im Mittel trifft das Stichprobenmittel den wahren Wert. Zweitens streut sie weniger als die Einzelwerte.
Der Standardfehler des Mittels ist σXˉ=σn\sigma_{\bar X}=\tfrac{\sigma}{\sqrt{n}}σXˉ​=n​σ​ - die Streuung des Mittels sinkt mit der Wurzel des Umfangs, nicht linear. Anschaulich mitteln sich Ausreißer in größeren Stichproben stärker heraus; um den Standardfehler zu halbieren, muss man nnn vervierfachen, nicht verdoppeln.
Der zentrale Grenzwertsatz ist das eigentliche Wunder: Für hinreichend großes nnn (Faustregel n≥30n\geq 30n≥30) ist Xˉ\bar XXˉ näherungsweise normalverteilt () - und zwar unabhängig davon, wie die Grundgesamtheit selbst verteilt ist. Selbst aus einer schiefen Verteilung wird das Mittel glockenförmig.

Normalverteilung - 68-95-99,7-Regel

Normalverteilung - 68-95-99,7-RegelSchaubild von φ(x), Hochpunkt bei (0, 0.399), y-Achsenabschnitt bei y = 0.399, im Bereich x von -4 bis 4−4−3−2−112340.10.20.30.4μμ − σμ + σμ − 2σμ + 2σμμ − σμ + σμ − 2σμ + 2σφ(x)φ(x)x
Abb. 4Anteile innerhalb 1, 2 und 3 Standardabweichungen um den Mittelwert.
Genau deshalb darf man Xˉ\bar XXˉ standardisieren und mit der Normalverteilung rechnen: z=xˉ−μσ/nz=\tfrac{\bar x-\mu}{\sigma/\sqrt n}z=σ/n​xˉ−μ​. Bei stark schiefen Grundgesamtheiten und kleinem nnn greift der Satz allerdings noch nicht - dann ist Vorsicht geboten.
Auch der Stichprobenanteil p^\hat pp^​ ist für große nnn näherungsweise normalverteilt, mit Standardfehler σp^=p(1−p)n\sigma_{\hat p}=\sqrt{\tfrac{p(1-p)}{n}}σp^​​=np(1−p)​​. Damit schließt sich der Kreis: Die Stichprobenverteilung begründet sowohl die Konfidenzintervall- als auch die Testformeln dieses Bereichs. Die häufigste Verwechslung ist die zwischen der Streuung σ\sigmaσ der Einzelwerte und dem Standardfehler σ/n\sigma/\sqrt nσ/n​ des Mittels.
σXˉ=σn,E(Xˉ)=μ\sigma_{\bar X}=\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\quad E(\bar X)=\muσXˉ​=n​σ​,E(Xˉ)=μ

Standardfehler des Stichprobenmittels

Musterbeispiel

Wahrscheinlichkeit für das Stichprobenmittel

Mit μ=1000\mu=1000μ=1000, σ=12\sigma=12σ=12, n=36n=36n=36: Wahrscheinlichkeit, dass Xˉ<996\bar X<996Xˉ<996.

  1. 01Schritt 1 - Standardfehler

    σXˉ=1236=126=2 mL\sigma_{\bar X}=\tfrac{12}{\sqrt{36}}=\tfrac{12}{6}=2\,\mathrm{mL}σXˉ​=36​12​=612​=2mL.

  2. 02Schritt 2 - Standardisieren

    z=996−10002=−2z=\tfrac{996-1000}{2}=-2z=2996−1000​=−2.

  3. 03Schritt 3 - Tabelle/CAS

    P(Z<−2)≈0,0228P(Z<-2)\approx 0{,}0228P(Z<−2)≈0,0228.

Ergebnis: Mit rund 2,3 %2{,}3\,\%2,3% Wahrscheinlichkeit liegt das Mittel der 36 Packungen unter 996 mL996\,\mathrm{mL}996mL.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank2 Punkte

Aufgabenstellung

Eine Stichprobe vom Umfang n=100n=100n=100 wird auf n=400n=400n=400 vervierfacht. Erkläre, wie sich der Standardfehler des Mittels verändert. (Alle Cluster)

Maturafokus

  • Operator "Erklären": begründen, warum der Standardfehler mit n\sqrt{n}n​ und nicht mit nnn abnimmt.
  • Operator "Berechnen": Wahrscheinlichkeit für Xˉ\bar XXˉ in einem Bereich über Standardisierung bestimmen.
  • Den Unterschied zwischen Streuung σ\sigmaσ der Einzelwerte und Standardfehler σ/n\sigma/\sqrt{n}σ/n​ des Mittels sauber benennen.

Typische Fehler

  • Standardabweichung σ\sigmaσ der Einzelwerte mit dem Standardfehler σ/n\sigma/\sqrt{n}σ/n​ verwechselt.
  • Den zentralen Grenzwertsatz auf zu kleine Stichproben angewendet, obwohl die Grundgesamtheit stark schief ist.
  • Verdopplung statt Vervierfachung des Umfangs angesetzt, um den Standardfehler zu halbieren (richtig: nnn vervierfachen).

Aktive Wiederholung

Die Füllmenge von Saftpackungen ist normalverteilt mit μ=1000 mL\mu=1000\,\mathrm{mL}μ=1000mL und σ=12 mL\sigma=12\,\mathrm{mL}σ=12mL. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass das Mittel von 363636 Packungen unter 996 mL996\,\mathrm{mL}996mL liegt.

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS) (BMBWF) · SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik (IQS / BMBWF)

§ 05

p-Wert-Methode und Testentscheidung#

●●●VertiefungLPB-9.2

Kernpunkte

Die p-Wert-Methode ist die moderne, von Software und CAS bevorzugte Variante der Testentscheidung. Statt einen kritischen Wert nachzuschlagen, misst sie direkt, wie ungewöhnlich die beobachteten Daten unter der Nullhypothese sind, und liefert dieselbe Entscheidung auf einem feineren Maßstab.
Der p-Wert ist die Wahrscheinlichkeit, unter Gültigkeit von H0H_0H0​ einen mindestens so extremen Stichprobenwert wie den beobachteten zu erhalten (). Anschaulich ist es die Randfläche jenseits der Prüfgröße - je kleiner sie ist, desto schlechter passt H0H_0H0​ zu den Daten.

Zweiseitiger Test: Annahme- und Verwerfungsbereich

Zweiseitiger Test: Annahme- und VerwerfungsbereichSchaubild von φ(z), Hochpunkt bei (0, 0.399), y-Achsenabschnitt bei y = 0.399, im Bereich x von -3.6 bis 3.6−3−2−11230.10.20.30.4−z+z−z+zφ(z)φ(z)z
Abb. 5Liegt die Prüfgröße in einem der getönten Randbereiche, wird H0H_{0}H0​ verworfen.
Die Entscheidungsregel ist einfach: Ist p≤αp\leq \alphap≤α, wird H0H_0H0​ verworfen (die Daten sind signifikant); ist p>αp>\alphap>α, wird H0H_0H0​ beibehalten. Diese Richtung darf nicht vertauscht werden - ein kleiner p-Wert spricht gegen H0H_0H0​, nicht für sie.
Bei der Berechnung ist die Testart zu beachten: Beim einseitigen Test ist p=P(Z≥z)p=P(Z\geq z)p=P(Z≥z), beim zweiseitigen wird die Randfläche verdoppelt, p=2⋅P(Z≥∣z∣)p=2\cdot P(Z\geq |z|)p=2⋅P(Z≥∣z∣), weil eine Abweichung in beide Richtungen zählt. Die Verdopplung beim zweiseitigen Test zu vergessen, ist der häufigste Fehler.
Der p-Wert quantifiziert die Evidenz feiner als die bloße Annahme/Verwerfen-Aussage des kritischen-Wert-Verfahrens, führt aber zur identischen Entscheidung - er ist nur eine andere Sprache für dasselbe. Ein p-Wert von 0,0460{,}0460,046 etwa heißt „knapp signifikant auf dem 5 %5\,\%5%-Niveau".
Die wichtigste Warnung betrifft die Deutung: Der p-Wert ist nicht die Wahrscheinlichkeit, dass H0H_0H0​ wahr ist. Er ist eine Aussage über die Daten unter der Annahme H0H_0H0​, nicht über die Hypothese selbst - diese Fehldeutung ist in der Statistik berüchtigt und wird in der Matura gezielt geprüft.
peinseitig=P(Z≥z),pzweiseitig=2 P(Z≥∣z∣)p_{\text{einseitig}}=P(Z\geq z),\quad p_{\text{zweiseitig}}=2\,P(Z\geq |z|)peinseitig​=P(Z≥z),pzweiseitig​=2P(Z≥∣z∣)

p-Wert aus der Prüfgröße

Musterbeispiel

p-Wert bei einem zweiseitigen Test

Eine Maschine soll im Mittel 250 g250\,\mathrm{g}250g abfüllen (σ=5 g\sigma=5\,\mathrm{g}σ=5g). Stichprobe n=25n=25n=25, xˉ=252 g\bar x=252\,\mathrm{g}xˉ=252g. Berechne den p-Wert (zweiseitig) und entscheide bei α=0,05\alpha=0{,}05α=0,05.

  1. 01Schritt 1 - Prüfgröße

    z=252−2505/25=21=2,0z=\tfrac{252-250}{5/\sqrt{25}}=\tfrac{2}{1}=2{,}0z=5/25​252−250​=12​=2,0.

  2. 02Schritt 2 - Randfläche

    P(Z≥2,0)≈0,0228P(Z\geq 2{,}0)\approx 0{,}0228P(Z≥2,0)≈0,0228.

  3. 03Schritt 3 - Verdoppeln (zweiseitig)

    p=2⋅0,0228=0,0456p=2\cdot 0{,}0228=0{,}0456p=2⋅0,0228=0,0456.

  4. 04Schritt 4 - Entscheiden

    p=0,0456<0,05=α⇒H0p=0{,}0456<0{,}05=\alpha\Rightarrow H_{0}p=0,0456<0,05=α⇒H0​ verwerfen: signifikante Abweichung.

Ergebnis: p-Wert ≈0,046<0,05\approx 0{,}046<0{,}05≈0,046<0,05; die Abweichung vom Sollwert ist statistisch signifikant.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank2 Punkte

Aufgabenstellung

Ein einseitiger Test ergibt die Prüfgröße z=2,33z=2{,}33z=2,33. Berechne den p-Wert und beurteile die Evidenz gegen die Nullhypothese auf dem 1 %1\,\%1%-Niveau. (HAK)

Maturafokus

  • Operator "Berechnen": p-Wert aus der Prüfgröße über die Standardnormalverteilung bestimmen.
  • Operator "Beurteilen": Testentscheidung anhand des Vergleichs ppp gegen α\alphaα begründen.
  • Ein- vs. zweiseitige Fragestellung an der Verdopplung der Randfläche erkennen.

Typische Fehler

  • p-Wert als Wahrscheinlichkeit interpretiert, dass die Nullhypothese stimmt.
  • Bei zweiseitigem Test die Randwahrscheinlichkeit nicht verdoppelt.
  • Entscheidungsrichtung umgekehrt (H0H_{0}H0​ bei kleinem p-Wert beibehalten).

Aktive Wiederholung

Ein einseitiger Test liefert die Prüfgröße z=1,80z=1{,}80z=1,80. Berechne den p-Wert und entscheide auf dem 5 %5\,\%5%-Niveau.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS) (BMBWF) · SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik (IQS / BMBWF)

§ 06

Fehler 2. Art und Teststärke#

●●●VertiefungLPB-9.3

Kernpunkte

Jede Testentscheidung kann auf zwei Arten danebenliegen, und beide Fehler haben in der Praxis sehr unterschiedliche Folgen. Diesen Abschnitt verstehen heißt, die Qualität eines Tests beurteilen zu können - nicht nur seine Entscheidung, sondern sein Risiko ().

Fehler 1. und 2. Art

Fehler 1. und 2. ArtSchaubild von H₀, Hochpunkt bei (0, 0.399), y-Achsenabschnitt bei y = 0.399, im Bereich x von -4 bis 7, Schaubild von H₁, Hochpunkt bei (3, 0.399), y-Achsenabschnitt bei y = 0.004, im Bereich x von -4 bis 7−4−22460.10.20.30.4krit. WertH₀H₁DichtePrüfgröße
Abb. 6Zwei Verteilungen - unter H0H_{0}H0​ und unter H1H_{1}H1​: rechts vom kritischen Wert liegt die Fehler-1.-Art-Fläche α\alphaα (unter H0H_{0}H0​), links davon die Fehler-2.-Art-Fläche β\betaβ (unter H1H_{1}H1​).
Der Fehler 1. Art (α\alphaα) verwirft H0H_0H0​, obwohl sie zutrifft - ein „Fehlalarm". Seine Wahrscheinlichkeit steuert man direkt über das Signifikanzniveau α\alphaα; sie ist die Fläche der Prüfgröße im Verwerfungsbereich unter H0H_0H0​.
Der Fehler 2. Art (β\betaβ) behält H0H_0H0​ bei, obwohl sie falsch ist - ein „übersehener Effekt". Anders als α\alphaα lässt sich β\betaβ nicht frei wählen: Er hängt vom wahren Parameter (der Effektgröße), vom Stichprobenumfang nnn und von α\alphaα ab.
Die Teststärke (Power) ist 1−β1-\beta1−β - die Wahrscheinlichkeit, eine tatsächlich vorhandene Abweichung auch aufzudecken. Ein nicht signifikantes Ergebnis bei geringer Power beweist daher nicht, dass H0H_0H0​ gilt; es kann auch heißen, dass der Test zu schwach war.
Bei festem nnn stehen die beiden Fehler im Konflikt: Senkt man α\alphaα (strengere Schwelle gegen Fehlalarme), steigt zwangsläufig β\betaβ, und umgekehrt - man verschiebt nur den kritischen Wert. α\alphaα und β\betaβ zu verwechseln oder beide gleichzusetzen, ist der häufigste Fehler.
Beide Fehler lassen sich nur gemeinsam senken, indem man nnn vergrößert: Mehr Daten verkleinern den Standardfehler, die beiden Verteilungen überlappen weniger, und bei festem α\alphaα sinkt β\betaβ - die Power steigt. Welcher Fehler schwerer wiegt, entscheidet der Kontext: In der Sicherheits- und Medizintechnik priorisiert man eine kleine Fehlerwahrscheinlichkeit 2. Art (kein übersehener Brand, keine übersehene Krankheit).
Power=1−β\text{Power}=1-\betaPower=1−β

Teststärke

Musterbeispiel

Fehlerarten im Kontext zuordnen

Ein Rauchmelder testet H0H_{0}H0​: "kein Brand". Ordne die beiden Fehlerarten und ihre Folgen zu.

  1. 01Schritt 1 - Fehler 1. Art

    Der Melder schlägt Alarm, obwohl kein Brand vorliegt (H0H_{0}H0​ verworfen, obwohl wahr) - Fehlalarm.

  2. 02Schritt 2 - Fehler 2. Art

    Der Melder bleibt stumm, obwohl ein Brand vorliegt (H0H_{0}H0​ beibehalten, obwohl falsch) - verpasster Brand.

  3. 03Schritt 3 - Beurteilen

    Der Fehler 2. Art ist sicherheitskritisch; man senkt β\betaβ bewusst, indem man die Empfindlichkeit (und damit α\alphaα, also Fehlalarme) erhöht.

Ergebnis: Fehler 1. Art = Fehlalarm; Fehler 2. Art = unentdeckter Brand. Sicherheitstechnik priorisiert eine kleine Fehlerwahrscheinlichkeit 2. Art.

SRDP-Aufgaben

SelbsttestAus der Fragenbank3 Punkte

Aufgabenstellung

Eine Qualitätsprüfung testet H0H_{0}H0​: "Ausschussanteil höchstens 2 %2\,\%2%". Beschreibe Fehler 1. und 2. Art und beurteile, wie eine Vergrößerung der Stichprobe die Fehlerwahrscheinlichkeiten beeinflusst. (HTL)

Maturafokus

  • Operator "Unterscheiden": Fehler 1. und 2. Art im konkreten Sachkontext korrekt zuordnen.
  • Operator "Beurteilen": Konsequenzen der beiden Fehlerarten für eine Anwendung (z.B. Qualitätskontrolle, Medizin) abwägen.
  • Wirkung von nnn, α\alphaα und Effektgröße auf die Teststärke argumentieren.

Typische Fehler

  • α\alphaα und β\betaβ vertauscht oder beide mit demselben Wert angesetzt.
  • Annahme, ein nicht signifikantes Ergebnis beweise die Gültigkeit von H0H_{0}H0​.
  • Power mit dem Signifikanzniveau gleichgesetzt statt mit 1−β1-\beta1−β.

Aktive Wiederholung

Bei einer Eingangskontrolle bedeutet H0H_{0}H0​ "Charge in Ordnung". Ordne Fehler 1. und 2. Art den realen Folgen zu und beurteile, welcher Fehler für einen Pharmahersteller schwerer wiegt.

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS) (BMBWF) · SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik (IQS / BMBWF)

Inhalt

Abschnitt -- / 06

    • 01Konfidenzintervall für einen Anteil◐
    • 02Konfidenzintervall für den Mittelwert◐
    • 03Hypothesentests und Fehlerarten●
    • 04Stichprobenverteilung und zentraler Grenzwertsatz◐
    • 05p-Wert-Methode und Testentscheidung●
    • 06Fehler 2. Art und Teststärke●

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Aus den Notizen ins Training

B 9 - Schliessende Statistik: Konfidenz und Tests

Festige dieses Thema an passenden Aufgaben aus der Fragenbank.

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Kompetenzen
Üben
Beispielfrage

Eine Umfrage unter 500500500 Studierenden zeigt, dass 260260260 an Online-Veranstaltungen interessiert sind. Berechne ein 95 %95\,\%95%-Konfidenzintervall für den Anteil aller Studierenden. (HAK/HUM)

4 BE · 2022

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Belege & Quellen

Quellen

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  • Formelsammlung SRDP Angewandte Mathematik (BHS)

IQS / BMBWF

  • SRDP BHS - Aufgabenarchiv Angewandte Mathematik

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