DE-Abitur · PhysikT·099 / 10

Kernphysik, Radioaktivität und Spezielle Relativitätstheorie

Aufbau der Atomkerne, Zerfallsarten und ihre Gesetzmäßigkeiten, Kernbindungsenergie sowie Spaltung und Fusion. Erweitert um die Spezielle Relativitätstheorie mit Zeitdilatation, Längenkontraktion und Masse-Energie-Äquivalenz — die in der Kernphysik experimentell sichtbar wird.

6Abschnitteca. 10Min Lesezeit4Kompetenzen

S-9 · Kernprozesse und relativistische Effekte mit Erhaltungssätzen beschreibenE-10 · Halbwertszeit-Messungen und Spektrenanalysen quantitativ auswertenK-6 · Risiken und Nutzen ionisierender Strahlung sachlich kommunizierenB-3 · Energiequellen Kernkraft/Fusion und ihre Folgen bewerten

Operatoren:beschreiben · analysieren · berechnen · erklären · beurteilen · erläutern · begründen

grundlegendes Niveau

gA: Zerfallsgesetz, Halbwertszeit, Alpha-/Beta-/Gamma-Zerfall, Aufbau der Atomkerne, qualitative Vorstellung von Spaltung/Fusion; Konstanz der Lichtgeschwindigkeit und einfache Anwendung der Zeitdilatation.

erhöhtes Niveau

eA: Aktivität, Zerfallsreihen, Q-Wert von Kernreaktionen, Massendefekt-Bindungsenergie-Diagramm; Herleitung Zeitdilatation/Längenkontraktion, Energie-Impuls-Beziehung, Bedeutung von $E=mc^{2}$ in Kernreaktionen.

Inhalt · 6 Abschnitte

Kernphysik, Radioaktivität und Spezielle Relativitätstheorie

Atomkern, Nuklide und starke Wechselwirkung#

Basisphysik-kernphysik-und-radioaktivitaet

Kernpunkte

Kern besteht aus Protonen ( $Z$ ) und Neutronen ( $N$ ); Massenzahl $A = Z + N$ .
Nuklid-Notation: $^{A}_{Z}\text{X}$ . Isotope haben gleiches $Z$ , verschiedenes $N$ .
Kerne werden durch die starke Wechselwirkung zusammengehalten; ihre Reichweite beträgt nur etwa $1{,}5\,\text{fm}$ .
Kernradius skaliert gemäß $r = r_0 A^{1/3}$ mit $r_0 \approx 1{,}2\,\text{fm}$ — Kerndichte ist nahezu konstant.
Coulomb-Abstossung der Protonen wirkt der starken Kraft entgegen; bei schweren Kernen werden zusätzliche Neutronen zur Stabilisierung benötigt (Z/N-Verhältnis).
Stabilitätstal im Z-N-Diagramm: leichte Kerne mit $N \approx Z$ , schwere mit $N > Z$ .

KERNRADIUS (R₀ ≈1,2 FM)

r = r_0\,A^{1/3}

Typische Fehler

Massenzahl mit Ordnungszahl verwechselt.
Reichweite der starken WW als unbegrenzt angenommen.
Kernradius linear statt mit $A^{1/3}$ skaliert.
Isotop mit Isobar oder Isoton verwechselt.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Diskutieren Sie das Tropfenmodell von Weizsäcker und die semiempirische Massenformel; identifizieren Sie Volumen-, Oberflächen-, Coulomb-, Asymmetrie- und Paarungsenergie als physikalisch interpretierbare Terme.

Radioaktive Zerfallsarten und Strahlung#

Basisphysik-kernphysik-und-radioaktivitaet

Kernpunkte

Alpha-Zerfall: emittiert $^{4}_{2}\text{He}$ -Kern; $A$ sinkt um 4, $Z$ um 2. Geringe Reichweite (Papier), hohe Ionisationsdichte.
Beta-minus-Zerfall: Neutron wandelt sich in Proton + Elektron + Antineutrino; $Z$ steigt um 1, $A$ konstant.
Beta-plus-Zerfall: Proton wird zu Neutron + Positron + Neutrino; $Z$ sinkt um 1.
Gamma-Zerfall: angeregter Kern gibt hochenergetisches Photon ab; $A$ und $Z$ bleiben unverändert.
Reichweiten/Ionisation: $\alpha$ wenige cm in Luft (stark ionisierend), $\beta$ einige m (mittel), $\gamma$ stark durchdringend (Bleiabschirmung).
Erhaltungssätze bei Zerfällen: Massenzahl, Ladung, Energie, Impuls, Leptonen-/Baryonenzahl.

ALPHA-ZERFALL

^{A}_{Z}\text{X} \to {}^{A-4}_{Z-2}\text{Y} + {}^{4}_{2}\text{He}

BETA-MINUS-ZERFALL

^{A}_{Z}\text{X} \to {}^{A}_{Z+1}\text{Y} + e^{-} + \bar\nu_e

ZERFALLSREIHE — SCHEMATISCHE DARSTELLUNG

Welche drei Beschriftungen in "Zerfallsreihe — Schematische Darstellung" sind prüfungsrelevant?

Folgeaufgabe: Skizziere dasselbe Schema ohne Beschriftungen und ergänze sie aus dem Gedächtnis.

Alpha-Zerfall reduziert Massen- und Ordnungszahl, Beta-minus-Zerfall erhöht Ordnungszahl um eins.

Typische Fehler

Beta-Spektrum als Linienspektrum statt kontinuierlich gezeichnet.
Antineutrino beim Beta-Zerfall vergessen — Energieerhaltung scheinbar verletzt.
Reichweite und biologische Wirksamkeit verwechselt ( $\alpha$ aussen harmlos, intern gefährlich).
Gamma-Strahlung als „Teilchen mit Ruhemasse" beschrieben.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Erläutern Sie das Pauli-Postulat des Neutrinos historisch — warum war es 1930 notwendig, ein „undetektierbares" Teilchen zu fordern?

Zerfallsgesetz, Halbwertszeit und Aktivität#

Standardphysik-kernphysik-und-radioaktivitaet

Kernpunkte

Differenzialgleichung des Zerfalls: $dN/dt = -\lambda N$ — die Zerfallsrate ist proportional zur Anzahl der noch nicht zerfallenen Kerne.
Lösung: $N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}$ mit Zerfallskonstante $\lambda$ in $\text{s}^{-1}$ .
Halbwertszeit $T_{1/2} = \ln 2/\lambda$ — Zeit, in der die Hälfte der Kerne zerfallen ist.
Aktivität $A(t) = \lambda N(t)$ in Becquerel ( $1\,\text{Bq} = 1\,\text{Zerfall/s}$ ).
Mittlere Lebensdauer $\tau = 1/\lambda = T_{1/2}/\ln 2$ .
Beispiele: $^{14}\text{C}$ ( $T_{1/2} = 5\,730\,\text{a}$ , Altersbestimmung), $^{131}\text{I}$ ( $T_{1/2} = 8{,}02\,\text{d}$ , Medizin), $^{238}\text{U}$ ( $T_{1/2} = 4{,}47\cdot 10^{9}\,\text{a}$ , Geologie).

RADIOAKTIVES ZERFALLSGESETZ UND HALBWERTSZEIT

N(t) = N_{0}\,e^{-\lambda\,t},\quad T_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda}

AKTIVITÄT (EINHEIT: 1 BQ = 1 S⁻¹)

A(t) = \lambda\,N(t) = A_{0}\,e^{-\lambda\,t}

ZERFALLSREIHE — SCHEMATISCHE DARSTELLUNG

Welche drei Beschriftungen in "Zerfallsreihe — Schematische Darstellung" sind prüfungsrelevant?

Folgeaufgabe: Skizziere dasselbe Schema ohne Beschriftungen und ergänze sie aus dem Gedächtnis.

Alpha-Zerfall reduziert Massen- und Ordnungszahl, Beta-minus-Zerfall erhöht Ordnungszahl um eins.

EXPONENTIELLER ZERFALL N(T) = N₀ E⁻ΛT

Halbwertszeit T₁/₂ = \ln 2 / λ. Nach drei Halbwertszeiten verbleiben 12,5\% der Ausgangskerne.

Musterlösung

Restmenge nach drei Halbwertszeiten

Eine Probe enthält $N_0 = 8{,}0\cdot 10^{10}$ Atome eines Isotops mit Halbwertszeit $T_{1/2} = 5{,}0\,\text{a}$ . Berechne die Anzahl der Atome nach $t = 15\,\text{a}$ und die Aktivität zu diesem Zeitpunkt.

Schritt 1 — Zerfallskonstante
$\lambda = \ln 2 / T_{1/2} = 0{,}693/5{,}0\,\text{a} = 0{,}1386\,\text{a}^{-1} \approx 4{,}40\cdot 10^{-9}\,\text{s}^{-1}$ .
$\lambda = \dfrac{\ln 2}{T_{1/2}}$
Schritt 2 — Restmenge
Nach drei Halbwertszeiten: $N(15\,\text{a}) = N_0 \cdot (1/2)^{3} = N_0/8 = 1{,}0\cdot 10^{10}$ Atome.
$N = N_0\,(1/2)^{t/T_{1/2}}$
Schritt 3 — Aktivität
$A(15\,\text{a}) = \lambda N = 4{,}40\cdot 10^{-9} \cdot 1{,}0\cdot 10^{10} \approx 44\,\text{Bq}$ .
Schritt 4 — Interpretation
Nach drei Halbwertszeiten ( $12{,}5\%$ übrig) ist auch die Aktivität auf ein Achtel des Anfangswertes gefallen — Aktivität folgt demselben exponentiellen Gesetz wie die Atomzahl.

Ergebnis: $N \approx 1{,}0\cdot 10^{10}$ Atome, $A \approx 44\,\text{Bq}$ .

Typische Fehler

Halbwertszeiten falsch multipliziert (Restmenge nicht als Potenz $(1/2)^{n}$ behandelt).
Aktivität mit Zerfallskonstante verwechselt.
Zeit und Halbwertszeit in unterschiedlichen Einheiten eingesetzt.
Logarithmus zur falschen Basis genutzt — $\ln 2 \approx 0{,}693$ nicht $\log 2$ .

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Diskutieren Sie radioaktive Zerfallsreihen mit Mutter- und Tochternuklid mathematisch (Bateman-Gleichungen) im Grenzfall des säkularen Gleichgewichts ( $\lambda_M \ll \lambda_T$ ).

Massendefekt, Bindungsenergie, Spaltung und Fusion#

Standardphysik-kernphysik-und-radioaktivitaet

Kernpunkte

Massendefekt $\Delta m$ = Differenz aus Summe der Nukleonenmassen und tatsächlicher Kernmasse.
Bindungsenergie $E_B = \Delta m\,c^{2}$ ist die Energie, die freigesetzt wird, wenn ein Kern aus seinen Nukleonen aufgebaut wird.
Bindungsenergie pro Nukleon $E_B/A$ hat Maximum bei Eisen ( $A \approx 56$ , ca. $8{,}8\,\text{MeV/Nukleon}$ ).
Kernspaltung: Schwere Kerne ( $U, Pu$ ) zerfallen in mittelschwere Bruchstücke; freiwerdende Energie typisch $200\,\text{MeV}$ pro Spaltung.
Kettenreaktion: pro Spaltung 2–3 Neutronen, die weitere Spaltungen auslösen können ( $k = 1$ : kritisch, $k > 1$ : überkritisch).
Kernfusion: leichte Kerne (D, T) verschmelzen — Sonne ( $pp$ -Zyklus), Wasserstoffbombe, ITER. Energie pro Fusion $\sim 17{,}6\,\text{MeV}$ bei D+T.

MASSENDEFEKT UND KERNBINDUNGSENERGIE

\Delta m = Z\,m_p + N\,m_n - m_{\text{Kern}},\quad E_B = \Delta m\,c^{2}

BEISPIEL-SPALTUNG (Q ≈200 MEV)

^{235}_{92}\text{U} + n \to {}^{141}_{56}\text{Ba} + {}^{92}_{36}\text{Kr} + 3 n + Q

BINDUNGSENERGIE PRO NUKLEON

Welche drei Beschriftungen in "Bindungsenergie pro Nukleon" sind prüfungsrelevant?

Folgeaufgabe: Skizziere dasselbe Schema ohne Beschriftungen und ergänze sie aus dem Gedächtnis.

Maximum bei Eisen (A ≈ 56); leichte Kerne fusionieren, schwere Kerne spalten Energie frei.

Musterlösung

Bindungsenergie pro Nukleon von $^{56}_{26}\text{Fe}$

Berechne den Massendefekt, die gesamte Bindungsenergie und die Bindungsenergie pro Nukleon von $^{56}_{26}\text{Fe}$ (Kernmasse $m_{\text{Kern}} = 55{,}9207\,\text{u}$ , $m_p = 1{,}00728\,\text{u}$ , $m_n = 1{,}00867\,\text{u}$ , $1\,\text{u} \hat{=} 931{,}5\,\text{MeV}/c^{2}$ ) und vergleiche mit $^{4}_{2}\text{He}$ ( $E_B/A \approx 7{,}07\,\text{MeV}$ ).

Schritt 1 — Nukleonenzahlen
$^{56}_{26}\text{Fe}$ besitzt $Z = 26$ Protonen und $N = A - Z = 56 - 26 = 30$ Neutronen.
Schritt 2 — Summe der freien Nukleonenmassen
$Z\,m_p + N\,m_n = 26\cdot 1{,}00728 + 30\cdot 1{,}00867 = 26{,}18928 + 30{,}26010 = 56{,}44938\,\text{u}$ .
Schritt 3 — Massendefekt
$\Delta m = (Z\,m_p + N\,m_n) - m_{\text{Kern}} = 56{,}44938 - 55{,}9207 = 0{,}52868\,\text{u}$ .
$\Delta m = Z\,m_p + N\,m_n - m_{\text{Kern}}$
Schritt 4 — Bindungsenergie
$E_B = \Delta m\,c^{2} = 0{,}52868\cdot 931{,}5\,\text{MeV} \approx 492{,}5\,\text{MeV}$ .
$E_B = \Delta m\,c^{2}$
Schritt 5 — Bindungsenergie pro Nukleon
$E_B/A = 492{,}5\,\text{MeV}/56 \approx 8{,}79\,\text{MeV/Nukleon}$ .
Schritt 6 — Interpretieren
Mit $\approx 8{,}8\,\text{MeV/Nukleon}$ liegt Eisen nahe am Maximum der $E_B/A$ -Kurve und ist deutlich stärker gebunden als $^{4}_{2}\text{He}$ ( $7{,}07\,\text{MeV/Nukleon}$ ). Daher gewinnt man Energie sowohl durch Fusion leichterer als auch durch Spaltung schwererer Kerne hin zu Massenzahlen um $A \approx 56$ .

Ergebnis: $\Delta m \approx 0{,}529\,\text{u}$ , $E_B \approx 492{,}5\,\text{MeV}$ , $E_B/A \approx 8{,}8\,\text{MeV/Nukleon}$ — nahe dem Maximum der Bindungsenergiekurve.

Typische Fehler

$E_B$ als Energie der Spaltung (statt des Aufbaus) interpretiert — Vorzeichen.
$E_B/A$ und Gesamtbindungsenergie verwechselt — Eisen hat maximales $E_B/A$ , Uran höchste Gesamt- $E_B$ .
Fusion und Spaltung als „dasselbe in zwei Richtungen" beschrieben, ohne die $E_B/A$ -Kurve zu nennen.
Kritikalität $k$ falsch interpretiert (z. B. $k > 1$ als „stabil").

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Erläutern Sie quantitativ die Voraussetzungen für Lawson-Kriterium ( $n\tau T \geq 5\cdot 10^{21}\,\text{keV}\,\text{s/m}^{3}$ ) und warum die kontrollierte Fusion bislang nicht netto Energie liefert.

SRT-Postulate, Zeitdilatation und Längenkontraktion#

Standardphysik-spezielle-relativitaetstheorie

Kernpunkte

Einsteins SRT-Postulate (1905): (1) Relativitätsprinzip — physikalische Gesetze identisch in allen Inertialsystemen; (2) Konstanz der Lichtgeschwindigkeit $c$ in allen Inertialsystemen.
Lorentz-Faktor $\gamma = (1 - v^{2}/c^{2})^{-1/2}$ bestimmt alle relativistischen Effekte; $\gamma \to \infty$ für $v \to c$ .
Zeitdilatation: bewegte Uhren gehen langsamer; $\Delta t = \gamma \Delta t_0$ ( $\Delta t_0$ = Eigenzeit im Ruhesystem).
Längenkontraktion: bewegte Längen erscheinen verkürzt; $L = L_0/\gamma$ (in Bewegungsrichtung).
Lorentz-Transformation ersetzt Galilei-Transformation: $x' = \gamma(x - v t)$ , $t' = \gamma(t - v x/c^{2})$ .
Klassisches Beispiel: Atmosphärische Myonen erreichen den Boden, obwohl ihre Halbwertszeit klassisch nicht ausreicht — quantitative Bestätigung der Zeitdilatation.

LORENTZ-FAKTOR

\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - v^{2}/c^{2}}}

ZEITDILATATION UND LÄNGENKONTRAKTION

\Delta t = \gamma\,\Delta t_{0},\quad L = \dfrac{L_{0}}{\gamma}

MINKOWSKI-DIAGRAMM — ZEITDILATATION

Welche drei Beschriftungen in "Minkowski-Diagramm — Zeitdilatation" sind prüfungsrelevant?

Folgeaufgabe: Skizziere dasselbe Schema ohne Beschriftungen und ergänze sie aus dem Gedächtnis.

Im bewegten Bezugssystem verlaufen Raum- und Zeitachsen schräg; gleiche Zeit-Striche werden gestreckt.

Musterlösung

Myonenzerfall in der Atmosphäre

Myonen ( $T_{1/2} = 1{,}52\,\mu\text{s}$ ) entstehen in $h \approx 15\,\text{km}$ Höhe und bewegen sich mit $v = 0{,}994\,c$ . Bestimme, welcher Anteil der Myonen die Erdoberfläche erreicht, einmal klassisch und einmal mit relativistischer Zeitdilatation.

Schritt 1 — Flugzeit im Erdsystem
$t = h/v = 15\,000/(0{,}994 \cdot 3{,}00\cdot 10^{8}) \approx 5{,}03\cdot 10^{-5}\,\text{s} = 50{,}3\,\mu\text{s}$ .
Schritt 2 — Klassische Erwartung
Halbwertszeiten während des Fluges: $n = t/T_{1/2} \approx 33$ . Restanteil $(1/2)^{33} \approx 10^{-10}$ — praktisch keine Myonen sollten ankommen.
Schritt 3 — Lorentz-Faktor
$\gamma = 1/\sqrt{1 - 0{,}994^{2}} \approx 9{,}14$ .
$\gamma = (1 - v^{2}/c^{2})^{-1/2}$
Schritt 4 — Relativistisch verlängerte Halbwertszeit
Im Erdsystem zerfällt das Myon mit $T_{1/2}^{*} = \gamma T_{1/2} \approx 13{,}9\,\mu\text{s}$ . Anzahl Halbwertszeiten während Flug: $n = 50{,}3/13{,}9 \approx 3{,}6$ . Restanteil $(1/2)^{3{,}6} \approx 8{,}3\%$ .
Schritt 5 — Interpretation
Klassisch wären Myonen unsichtbar; tatsächlich messbarer Anteil (etwa 8 Prozent) bestätigt die Zeitdilatation der Speziellen Relativitätstheorie quantitativ.

Ergebnis: Klassisch $\sim 10^{-10}$ , relativistisch $\sim 8\%$ — Bestätigung der SRT durch Myonenzerfall.

Typische Fehler

Zeitdilatation als „Uhren-Defekt" interpretiert — es handelt sich um echte physikalische Zeit.
Asymmetrische Anwendung der Formeln (Verwechslung von Eigenzeit und Beobachterzeit).
Längenkontraktion senkrecht zur Bewegung berechnet — wirkt nur parallel zur Bewegungsrichtung.
Galilei-Transformation noch bei $v > 0{,}1 c$ verwendet.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Diskutieren Sie das Zwillingsparadoxon und lösen Sie es konsistent auf, indem Sie betonen, dass nur der reisende Zwilling beschleunigt — die Symmetrie der SRT also nicht greift.

Masse-Energie-Äquivalenz und relativistische Dynamik#

Vertiefungphysik-spezielle-relativitaetstheoriephysik-kernphysik-und-radioaktivitaet

Kernpunkte

Berühmte Beziehung: $E = m c^{2}$ verknüpft Ruhmasse und Energie — gilt auch für Bindungsenergie in Atomkernen.
Relativistische Gesamtenergie: $E^{2} = (p c)^{2} + (m_0 c^{2})^{2}$ — für Photonen ( $m_0 = 0$ ) folgt $E = p c$ .
Relativistischer Impuls: $p = \gamma m_0 v$ — divergiert für $v \to c$ , daher können massive Teilchen niemals $c$ erreichen.
Kinetische Energie relativistisch: $E_{kin} = (\gamma - 1) m_0 c^{2}$ ; klassischer Grenzfall $\tfrac{1}{2}m v^{2}$ nur für $v \ll c$ .
Bindungsenergie in Kernen ( $\sim 8\,\text{MeV/Nukleon}$ ) entspricht einem Massendefekt von etwa $1\%$ — direkt experimentell überprüfbar (Massenspektrometer).
Teilchen-Antiteilchen-Paarbildung und -vernichtung: $\gamma + \gamma \leftrightarrow e^{+} + e^{-}$ — Mindestphotonenergie $> 2 m_e c^{2} = 1{,}022\,\text{MeV}$ .

MASSE-ENERGIE-ÄQUIVALENZ UND ENERGIE-IMPULS-RELATION

E = m\,c^{2},\quad E_{\text{rel}}^{2} = (p\,c)^{2} + (m_{0}\,c^{2})^{2}

Typische Fehler

Klassische Formel $E_{kin} = \tfrac{1}{2} m v^{2}$ bei relativistischen Geschwindigkeiten verwendet.
$m$ in $E = m c^{2}$ als relativistische (geschwindigkeitsabhängige) Masse statt Ruhmasse interpretiert.
Paarbildung ohne Anwesenheit eines dritten Stosspartners postuliert — verletzt Impulserhaltung.
Massendefekt mit Massendifferenz vor und nach einer Reaktion verwechselt.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Leiten Sie die relativistische Energie-Impuls-Beziehung $E^{2} = (p c)^{2} + (m_0 c^{2})^{2}$ aus $E = \gamma m_0 c^{2}$ und $p = \gamma m_0 v$ formal her und interpretieren Sie die beiden Grenzfälle $m_0 = 0$ und $v \ll c$ .

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Kernphysik, Radioaktivität und Spezielle Relativitätstheorie

6Abschnitteca. 10Min Lesezeit4Kompetenzen

Operatoren:beschreiben · analysieren · berechnen · erklären · beurteilen · erläutern · begründen

grundlegendes Niveau

erhöhtes Niveau

Atomkern, Nuklide und starke Wechselwirkung#

Basisphysik-kernphysik-und-radioaktivitaet

Kernpunkte

Kern besteht aus Protonen ( $Z$ ) und Neutronen ( $N$ ); Massenzahl $A = Z + N$ .
Nuklid-Notation: $^{A}_{Z}\text{X}$ . Isotope haben gleiches $Z$ , verschiedenes $N$ .
Kerne werden durch die starke Wechselwirkung zusammengehalten; ihre Reichweite beträgt nur etwa $1{,}5\,\text{fm}$ .
Kernradius skaliert gemäß $r = r_0 A^{1/3}$ mit $r_0 \approx 1{,}2\,\text{fm}$ — Kerndichte ist nahezu konstant.
Coulomb-Abstossung der Protonen wirkt der starken Kraft entgegen; bei schweren Kernen werden zusätzliche Neutronen zur Stabilisierung benötigt (Z/N-Verhältnis).
Stabilitätstal im Z-N-Diagramm: leichte Kerne mit $N \approx Z$ , schwere mit $N > Z$ .

KERNRADIUS (R₀ ≈1,2 FM)

r = r_0\,A^{1/3}

Typische Fehler

Massenzahl mit Ordnungszahl verwechselt.
Reichweite der starken WW als unbegrenzt angenommen.
Kernradius linear statt mit $A^{1/3}$ skaliert.
Isotop mit Isobar oder Isoton verwechselt.

LK-Vertiefung

Radioaktive Zerfallsarten und Strahlung#

Basisphysik-kernphysik-und-radioaktivitaet

Kernpunkte

Alpha-Zerfall: emittiert $^{4}_{2}\text{He}$ -Kern; $A$ sinkt um 4, $Z$ um 2. Geringe Reichweite (Papier), hohe Ionisationsdichte.
Beta-minus-Zerfall: Neutron wandelt sich in Proton + Elektron + Antineutrino; $Z$ steigt um 1, $A$ konstant.
Beta-plus-Zerfall: Proton wird zu Neutron + Positron + Neutrino; $Z$ sinkt um 1.
Gamma-Zerfall: angeregter Kern gibt hochenergetisches Photon ab; $A$ und $Z$ bleiben unverändert.
Reichweiten/Ionisation: $\alpha$ wenige cm in Luft (stark ionisierend), $\beta$ einige m (mittel), $\gamma$ stark durchdringend (Bleiabschirmung).
Erhaltungssätze bei Zerfällen: Massenzahl, Ladung, Energie, Impuls, Leptonen-/Baryonenzahl.

ALPHA-ZERFALL

^{A}_{Z}\text{X} \to {}^{A-4}_{Z-2}\text{Y} + {}^{4}_{2}\text{He}

BETA-MINUS-ZERFALL

^{A}_{Z}\text{X} \to {}^{A}_{Z+1}\text{Y} + e^{-} + \bar\nu_e

ZERFALLSREIHE — SCHEMATISCHE DARSTELLUNG

Welche drei Beschriftungen in "Zerfallsreihe — Schematische Darstellung" sind prüfungsrelevant?

Folgeaufgabe: Skizziere dasselbe Schema ohne Beschriftungen und ergänze sie aus dem Gedächtnis.

Alpha-Zerfall reduziert Massen- und Ordnungszahl, Beta-minus-Zerfall erhöht Ordnungszahl um eins.

Typische Fehler

Beta-Spektrum als Linienspektrum statt kontinuierlich gezeichnet.
Antineutrino beim Beta-Zerfall vergessen — Energieerhaltung scheinbar verletzt.
Reichweite und biologische Wirksamkeit verwechselt ( $\alpha$ aussen harmlos, intern gefährlich).
Gamma-Strahlung als „Teilchen mit Ruhemasse" beschrieben.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Erläutern Sie das Pauli-Postulat des Neutrinos historisch — warum war es 1930 notwendig, ein „undetektierbares" Teilchen zu fordern?

Zerfallsgesetz, Halbwertszeit und Aktivität#

Standardphysik-kernphysik-und-radioaktivitaet

Kernpunkte

Differenzialgleichung des Zerfalls: $dN/dt = -\lambda N$ — die Zerfallsrate ist proportional zur Anzahl der noch nicht zerfallenen Kerne.
Lösung: $N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}$ mit Zerfallskonstante $\lambda$ in $\text{s}^{-1}$ .
Halbwertszeit $T_{1/2} = \ln 2/\lambda$ — Zeit, in der die Hälfte der Kerne zerfallen ist.
Aktivität $A(t) = \lambda N(t)$ in Becquerel ( $1\,\text{Bq} = 1\,\text{Zerfall/s}$ ).
Mittlere Lebensdauer $\tau = 1/\lambda = T_{1/2}/\ln 2$ .
Beispiele: $^{14}\text{C}$ ( $T_{1/2} = 5\,730\,\text{a}$ , Altersbestimmung), $^{131}\text{I}$ ( $T_{1/2} = 8{,}02\,\text{d}$ , Medizin), $^{238}\text{U}$ ( $T_{1/2} = 4{,}47\cdot 10^{9}\,\text{a}$ , Geologie).

RADIOAKTIVES ZERFALLSGESETZ UND HALBWERTSZEIT

N(t) = N_{0}\,e^{-\lambda\,t},\quad T_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda}

AKTIVITÄT (EINHEIT: 1 BQ = 1 S⁻¹)

A(t) = \lambda\,N(t) = A_{0}\,e^{-\lambda\,t}

ZERFALLSREIHE — SCHEMATISCHE DARSTELLUNG

Welche drei Beschriftungen in "Zerfallsreihe — Schematische Darstellung" sind prüfungsrelevant?

Folgeaufgabe: Skizziere dasselbe Schema ohne Beschriftungen und ergänze sie aus dem Gedächtnis.

Alpha-Zerfall reduziert Massen- und Ordnungszahl, Beta-minus-Zerfall erhöht Ordnungszahl um eins.

EXPONENTIELLER ZERFALL N(T) = N₀ E⁻ΛT

Halbwertszeit T₁/₂ = \ln 2 / λ. Nach drei Halbwertszeiten verbleiben 12,5\% der Ausgangskerne.

Musterlösung

Restmenge nach drei Halbwertszeiten

Schritt 1 — Zerfallskonstante
$\lambda = \ln 2 / T_{1/2} = 0{,}693/5{,}0\,\text{a} = 0{,}1386\,\text{a}^{-1} \approx 4{,}40\cdot 10^{-9}\,\text{s}^{-1}$ .
$\lambda = \dfrac{\ln 2}{T_{1/2}}$
Schritt 2 — Restmenge
Nach drei Halbwertszeiten: $N(15\,\text{a}) = N_0 \cdot (1/2)^{3} = N_0/8 = 1{,}0\cdot 10^{10}$ Atome.
$N = N_0\,(1/2)^{t/T_{1/2}}$
Schritt 3 — Aktivität
$A(15\,\text{a}) = \lambda N = 4{,}40\cdot 10^{-9} \cdot 1{,}0\cdot 10^{10} \approx 44\,\text{Bq}$ .
Schritt 4 — Interpretation
Nach drei Halbwertszeiten ( $12{,}5\%$ übrig) ist auch die Aktivität auf ein Achtel des Anfangswertes gefallen — Aktivität folgt demselben exponentiellen Gesetz wie die Atomzahl.

Ergebnis: $N \approx 1{,}0\cdot 10^{10}$ Atome, $A \approx 44\,\text{Bq}$ .

Typische Fehler

Halbwertszeiten falsch multipliziert (Restmenge nicht als Potenz $(1/2)^{n}$ behandelt).
Aktivität mit Zerfallskonstante verwechselt.
Zeit und Halbwertszeit in unterschiedlichen Einheiten eingesetzt.
Logarithmus zur falschen Basis genutzt — $\ln 2 \approx 0{,}693$ nicht $\log 2$ .

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Diskutieren Sie radioaktive Zerfallsreihen mit Mutter- und Tochternuklid mathematisch (Bateman-Gleichungen) im Grenzfall des säkularen Gleichgewichts ( $\lambda_M \ll \lambda_T$ ).

Massendefekt, Bindungsenergie, Spaltung und Fusion#

Standardphysik-kernphysik-und-radioaktivitaet

Kernpunkte

Massendefekt $\Delta m$ = Differenz aus Summe der Nukleonenmassen und tatsächlicher Kernmasse.
Bindungsenergie $E_B = \Delta m\,c^{2}$ ist die Energie, die freigesetzt wird, wenn ein Kern aus seinen Nukleonen aufgebaut wird.
Bindungsenergie pro Nukleon $E_B/A$ hat Maximum bei Eisen ( $A \approx 56$ , ca. $8{,}8\,\text{MeV/Nukleon}$ ).
Kernspaltung: Schwere Kerne ( $U, Pu$ ) zerfallen in mittelschwere Bruchstücke; freiwerdende Energie typisch $200\,\text{MeV}$ pro Spaltung.
Kettenreaktion: pro Spaltung 2–3 Neutronen, die weitere Spaltungen auslösen können ( $k = 1$ : kritisch, $k > 1$ : überkritisch).
Kernfusion: leichte Kerne (D, T) verschmelzen — Sonne ( $pp$ -Zyklus), Wasserstoffbombe, ITER. Energie pro Fusion $\sim 17{,}6\,\text{MeV}$ bei D+T.

MASSENDEFEKT UND KERNBINDUNGSENERGIE

\Delta m = Z\,m_p + N\,m_n - m_{\text{Kern}},\quad E_B = \Delta m\,c^{2}

BEISPIEL-SPALTUNG (Q ≈200 MEV)

^{235}_{92}\text{U} + n \to {}^{141}_{56}\text{Ba} + {}^{92}_{36}\text{Kr} + 3 n + Q

BINDUNGSENERGIE PRO NUKLEON

Welche drei Beschriftungen in "Bindungsenergie pro Nukleon" sind prüfungsrelevant?

Folgeaufgabe: Skizziere dasselbe Schema ohne Beschriftungen und ergänze sie aus dem Gedächtnis.

Maximum bei Eisen (A ≈ 56); leichte Kerne fusionieren, schwere Kerne spalten Energie frei.

Musterlösung

Bindungsenergie pro Nukleon von $^{56}_{26}\text{Fe}$

Schritt 1 — Nukleonenzahlen
$^{56}_{26}\text{Fe}$ besitzt $Z = 26$ Protonen und $N = A - Z = 56 - 26 = 30$ Neutronen.
Schritt 2 — Summe der freien Nukleonenmassen
$Z\,m_p + N\,m_n = 26\cdot 1{,}00728 + 30\cdot 1{,}00867 = 26{,}18928 + 30{,}26010 = 56{,}44938\,\text{u}$ .
Schritt 3 — Massendefekt
$\Delta m = (Z\,m_p + N\,m_n) - m_{\text{Kern}} = 56{,}44938 - 55{,}9207 = 0{,}52868\,\text{u}$ .
$\Delta m = Z\,m_p + N\,m_n - m_{\text{Kern}}$
Schritt 4 — Bindungsenergie
$E_B = \Delta m\,c^{2} = 0{,}52868\cdot 931{,}5\,\text{MeV} \approx 492{,}5\,\text{MeV}$ .
$E_B = \Delta m\,c^{2}$
Schritt 5 — Bindungsenergie pro Nukleon
$E_B/A = 492{,}5\,\text{MeV}/56 \approx 8{,}79\,\text{MeV/Nukleon}$ .
Schritt 6 — Interpretieren
Mit $\approx 8{,}8\,\text{MeV/Nukleon}$ liegt Eisen nahe am Maximum der $E_B/A$ -Kurve und ist deutlich stärker gebunden als $^{4}_{2}\text{He}$ ( $7{,}07\,\text{MeV/Nukleon}$ ). Daher gewinnt man Energie sowohl durch Fusion leichterer als auch durch Spaltung schwererer Kerne hin zu Massenzahlen um $A \approx 56$ .

Ergebnis: $\Delta m \approx 0{,}529\,\text{u}$ , $E_B \approx 492{,}5\,\text{MeV}$ , $E_B/A \approx 8{,}8\,\text{MeV/Nukleon}$ — nahe dem Maximum der Bindungsenergiekurve.

Typische Fehler

$E_B$ als Energie der Spaltung (statt des Aufbaus) interpretiert — Vorzeichen.
$E_B/A$ und Gesamtbindungsenergie verwechselt — Eisen hat maximales $E_B/A$ , Uran höchste Gesamt- $E_B$ .
Fusion und Spaltung als „dasselbe in zwei Richtungen" beschrieben, ohne die $E_B/A$ -Kurve zu nennen.
Kritikalität $k$ falsch interpretiert (z. B. $k > 1$ als „stabil").

LK-Vertiefung

SRT-Postulate, Zeitdilatation und Längenkontraktion#

Standardphysik-spezielle-relativitaetstheorie

Kernpunkte

Einsteins SRT-Postulate (1905): (1) Relativitätsprinzip — physikalische Gesetze identisch in allen Inertialsystemen; (2) Konstanz der Lichtgeschwindigkeit $c$ in allen Inertialsystemen.
Lorentz-Faktor $\gamma = (1 - v^{2}/c^{2})^{-1/2}$ bestimmt alle relativistischen Effekte; $\gamma \to \infty$ für $v \to c$ .
Zeitdilatation: bewegte Uhren gehen langsamer; $\Delta t = \gamma \Delta t_0$ ( $\Delta t_0$ = Eigenzeit im Ruhesystem).
Längenkontraktion: bewegte Längen erscheinen verkürzt; $L = L_0/\gamma$ (in Bewegungsrichtung).
Lorentz-Transformation ersetzt Galilei-Transformation: $x' = \gamma(x - v t)$ , $t' = \gamma(t - v x/c^{2})$ .
Klassisches Beispiel: Atmosphärische Myonen erreichen den Boden, obwohl ihre Halbwertszeit klassisch nicht ausreicht — quantitative Bestätigung der Zeitdilatation.

LORENTZ-FAKTOR

\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - v^{2}/c^{2}}}

ZEITDILATATION UND LÄNGENKONTRAKTION

\Delta t = \gamma\,\Delta t_{0},\quad L = \dfrac{L_{0}}{\gamma}

MINKOWSKI-DIAGRAMM — ZEITDILATATION

Welche drei Beschriftungen in "Minkowski-Diagramm — Zeitdilatation" sind prüfungsrelevant?

Folgeaufgabe: Skizziere dasselbe Schema ohne Beschriftungen und ergänze sie aus dem Gedächtnis.

Im bewegten Bezugssystem verlaufen Raum- und Zeitachsen schräg; gleiche Zeit-Striche werden gestreckt.

Musterlösung

Myonenzerfall in der Atmosphäre

Schritt 1 — Flugzeit im Erdsystem
$t = h/v = 15\,000/(0{,}994 \cdot 3{,}00\cdot 10^{8}) \approx 5{,}03\cdot 10^{-5}\,\text{s} = 50{,}3\,\mu\text{s}$ .
Schritt 2 — Klassische Erwartung
Halbwertszeiten während des Fluges: $n = t/T_{1/2} \approx 33$ . Restanteil $(1/2)^{33} \approx 10^{-10}$ — praktisch keine Myonen sollten ankommen.
Schritt 3 — Lorentz-Faktor
$\gamma = 1/\sqrt{1 - 0{,}994^{2}} \approx 9{,}14$ .
$\gamma = (1 - v^{2}/c^{2})^{-1/2}$
Schritt 4 — Relativistisch verlängerte Halbwertszeit
Im Erdsystem zerfällt das Myon mit $T_{1/2}^{*} = \gamma T_{1/2} \approx 13{,}9\,\mu\text{s}$ . Anzahl Halbwertszeiten während Flug: $n = 50{,}3/13{,}9 \approx 3{,}6$ . Restanteil $(1/2)^{3{,}6} \approx 8{,}3\%$ .
Schritt 5 — Interpretation
Klassisch wären Myonen unsichtbar; tatsächlich messbarer Anteil (etwa 8 Prozent) bestätigt die Zeitdilatation der Speziellen Relativitätstheorie quantitativ.

Ergebnis: Klassisch $\sim 10^{-10}$ , relativistisch $\sim 8\%$ — Bestätigung der SRT durch Myonenzerfall.

Typische Fehler

Zeitdilatation als „Uhren-Defekt" interpretiert — es handelt sich um echte physikalische Zeit.
Asymmetrische Anwendung der Formeln (Verwechslung von Eigenzeit und Beobachterzeit).
Längenkontraktion senkrecht zur Bewegung berechnet — wirkt nur parallel zur Bewegungsrichtung.
Galilei-Transformation noch bei $v > 0{,}1 c$ verwendet.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Diskutieren Sie das Zwillingsparadoxon und lösen Sie es konsistent auf, indem Sie betonen, dass nur der reisende Zwilling beschleunigt — die Symmetrie der SRT also nicht greift.

Masse-Energie-Äquivalenz und relativistische Dynamik#

Vertiefungphysik-spezielle-relativitaetstheoriephysik-kernphysik-und-radioaktivitaet

Kernpunkte

Berühmte Beziehung: $E = m c^{2}$ verknüpft Ruhmasse und Energie — gilt auch für Bindungsenergie in Atomkernen.
Relativistische Gesamtenergie: $E^{2} = (p c)^{2} + (m_0 c^{2})^{2}$ — für Photonen ( $m_0 = 0$ ) folgt $E = p c$ .
Relativistischer Impuls: $p = \gamma m_0 v$ — divergiert für $v \to c$ , daher können massive Teilchen niemals $c$ erreichen.
Kinetische Energie relativistisch: $E_{kin} = (\gamma - 1) m_0 c^{2}$ ; klassischer Grenzfall $\tfrac{1}{2}m v^{2}$ nur für $v \ll c$ .
Bindungsenergie in Kernen ( $\sim 8\,\text{MeV/Nukleon}$ ) entspricht einem Massendefekt von etwa $1\%$ — direkt experimentell überprüfbar (Massenspektrometer).
Teilchen-Antiteilchen-Paarbildung und -vernichtung: $\gamma + \gamma \leftrightarrow e^{+} + e^{-}$ — Mindestphotonenergie $> 2 m_e c^{2} = 1{,}022\,\text{MeV}$ .

MASSE-ENERGIE-ÄQUIVALENZ UND ENERGIE-IMPULS-RELATION

E = m\,c^{2},\quad E_{\text{rel}}^{2} = (p\,c)^{2} + (m_{0}\,c^{2})^{2}

Typische Fehler

Klassische Formel $E_{kin} = \tfrac{1}{2} m v^{2}$ bei relativistischen Geschwindigkeiten verwendet.
$m$ in $E = m c^{2}$ als relativistische (geschwindigkeitsabhängige) Masse statt Ruhmasse interpretiert.
Paarbildung ohne Anwesenheit eines dritten Stosspartners postuliert — verletzt Impulserhaltung.
Massendefekt mit Massendifferenz vor und nach einer Reaktion verwechselt.

LK-Vertiefung

Kernphysik, Radioaktivität und Spezielle Relativitätstheorie

Restmenge nach drei Halbwertszeiten

Bindungsenergie pro Nukleon von 2656Fe^{56}_{26}\text{Fe}2656​Fe

Myonenzerfall in der Atmosphäre

EuraStudy

Kernphysik, Radioaktivität und Spezielle Relativitätstheorie

Restmenge nach drei Halbwertszeiten

Bindungsenergie pro Nukleon von 2656Fe^{56}_{26}\text{Fe}2656​Fe

Myonenzerfall in der Atmosphäre

Bindungsenergie pro Nukleon von $^{56}_{26}\text{Fe}$

Bindungsenergie pro Nukleon von $^{56}_{26}\text{Fe}$