Kernpunkte

• Mittlere Geschwindigkeit $\bar{v}=\Delta s/\Delta t$, momentane Geschwindigkeit $v(t)=ds/dt$.
• Beschleunigung $a(t)=dv/dt=d^{2}s/d{t}^2$ — bei konstantem $a$ gilt $v=v_0+at$ und $s=s_0+v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$.
• Vorzeichen unterscheiden Bewegungsrichtung; negatives $a$ bedeutet Bremsung, nicht zwingend Bewegung in negative Richtung.
• Im v-t-Diagramm entspricht die Steigung der Beschleunigung, die Fläche unter dem Graphen dem Weg.
• Konsistente SI-Einheiten ($\text{m},\text{m/s},{\text{m/s}}^2$) sind verpflichtend; Einheitenkontrolle vor Endergebnis.
• Im s-t-Diagramm zeigt die Steigung die Momentangeschwindigkeit; nichtlineare Verläufe verlangen Ableitung oder grafische Tangente.

Kernpunkte

• 1. Newton (Trägheitsgesetz): Ohne resultierende Kraft bleibt jeder Körper in Ruhe oder in gleichförmiger geradliniger Bewegung.
• 2. Newton (Aktionsgesetz): ${\vec{F}}_{\text{res}}=m\vec{a}$ — die resultierende Kraft erzeugt eine zur Masse proportionale Beschleunigung in Kraftrichtung.
• 3. Newton (Reaktionsgesetz): Wechselwirkende Körper üben gleich große, entgegengesetzte Kräfte aufeinander aus — die Kräfte greifen an verschiedenen Körpern an.
• SI-Einheit der Kraft: $1\text{N}=1\text{kg}{\text{m/s}}^2$; Gewichtskraft $F_g=mg$ mit $g\approx 9,81{\text{m/s}}^2$.
• Im Freikörperbild werden alle an einem Körper angreifenden Kräfte als Vektorpfeile eingezeichnet — Vektorsumme ergibt ${\vec{F}}_{\text{res}}$.
• Bezugssysteme: Newton-Gesetze gelten in Inertialsystemen; in beschleunigten Systemen treten Scheinkräfte auf.

Kernpunkte

• Der schiefe Wurf zerlegt sich in eine horizontale gleichförmige und eine vertikale gleichmäßig beschleunigte Bewegung.
• Komponenten: $v_x=v_0\cos \theta$ konstant; $v_y=v_0\sin \theta -gt$.
• Die Bahnkurve $y(x)=x\tan \theta -\frac{g{x}^2}{2v_0^2{\cos }^2\theta }$ ist eine Parabel.
• Maximale Wurfweite bei $\theta =45^{\circ }$, wenn Abwurf- und Auftreffhöhe gleich sind.
• Steighöhe $h_{\max }=\frac{v_0^2{\sin }^2\theta }{2g}$; Flugzeit $t_{\text{ges}}=\frac{2v_0\sin \theta }{g}$.
• Luftwiderstand reduziert Wurfweite und macht die Bahn asymmetrisch (steiler abfallender Ast); im Modell ohne Luftwiderstand bleibt sie symmetrisch.

Kernpunkte

• Winkelgeschwindigkeit $\omega =2\pi /T=2\pi f$; Bahngeschwindigkeit $v=\omega r$.
• Zentripetalbeschleunigung $a_z=v^2/r={\omega }^{2}r$ zeigt zum Mittelpunkt.
• Zentripetalkraft $F_z=m{v}^2/r$ ist die resultierende Kraft auf den Körper; sie ist keine eigenständige Kraftart.
• Beispiele für $F_z$: Reibung in der Kurve, Seilkraft beim Kettenkarussell, Gravitation auf der Erdumlaufbahn.
• Periode $T$ und Frequenz $f$ sind reziprok: $f=1/T$; Drehzahl $n$ häufig in Umdrehungen pro Minute angegeben.
• Die Zentrifugalkraft tritt nur in rotierenden Bezugssystemen auf — sie ist eine Scheinkraft.

Kernpunkte

• Impuls $\vec{p}=m\vec{v}$; Einheit $\text{kg}\text{m/s}$.
• 2. Newton-Gesetz in Impulsform: $\vec{F}=d\vec{p}/dt$ — gilt auch bei variablen Massen (z. B. Rakete).
• In einem abgeschlossenen System ist der Gesamtimpuls erhalten.
• Elastischer Stoß: kinetische Energie und Impuls erhalten; inelastischer Stoß: nur Impuls erhalten.
• Für zentralen elastischen Stoß zweier Körper: $v_1^{\prime }=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}{v}_1+\frac{2m_2}{m_1+m_2}{v}_2$.
• Vollkommen inelastischer Stoß: $v^{\prime }=(m_1{v}_1+m_2{v}_2)/(m_1+m_2)$.

Kernpunkte

• In Inertialsystemen gelten die Newtonschen Gesetze ohne Zusatzkräfte.
• Beschleunigte Bezugssysteme erfordern Trägheitskräfte (Scheinkräfte), z. B. Zentrifugalkraft und Corioliskraft.
• Galilei-Transformation: $x^{\prime }=x-vt$, $t^{\prime }=t$ — Geschwindigkeiten addieren sich klassisch.
• Coriolis-Effekt erklärt Ablenkung großräumiger Strömungen (Passatwinde, Meeresströmungen).
• Auf der rotierenden Erde gilt im Laborsystem in guter Näherung Newton, weil Erdrotation langsam.

Kernpunkte

• Arbeit $W=\int \vec{F}\cdot d\vec{s}$; bei konstanter Kraft längs der Bewegungsrichtung gilt $W=Fs$.
• Energie ist Fähigkeit, Arbeit zu verrichten; SI-Einheit $1\text{J}=1\text{N}\text{m}$.
• Kinetische Energie $E_{\text{kin}}=\frac{1}{2}m{v}^2$; potentielle Energie im Schwerefeld $E_{\text{pot}}=mgh$; Spannenergie der Feder $E_{\text{spann}}=\frac{1}{2}D{s}^2$.
• Leistung $P=dW/dt$; SI-Einheit $1\text{W}=1\text{J/s}$.
• Wirkungsgrad $\eta =W_{\text{nutz}}/W_{\text{zu}}$ ist stets $\le 1$.
• Energieerhaltung gilt in abgeschlossenen Systemen; mit Reibung wandelt sich mechanische Energie in Wärme um.

Kernpunkte

• Im konservativen Kraftfeld (Schwerkraft, Federkraft) ist die Gesamtenergie $E=E_{\text{kin}}+E_{\text{pot}}$ erhalten.
• Reibungskräfte sind nicht konservativ: die mechanische Energie nimmt zu Gunsten thermischer Energie ab.
• Im Zustand maximaler Auslenkung ist $v=0$, in der Ruhelage ist $v$ maximal — Energie verteilt sich um.
• Bei Achterbahnen, Pendeln, freiem Fall und Loopings ist Energieerhaltung Grundwerkzeug.
• Die Energie eines geschlossenen Systems ist im Rahmen der klassischen Physik strikt erhalten (Noether-Theorem: Folge der Zeitinvarianz).

Kernpunkte

• Impuls $\vec{p}=m\vec{v}$ ist im abgeschlossenen System erhalten; Folge der Translationsinvarianz (Noether).
• Elastischer Stoß: $E_{\text{kin}}$ und $\vec{p}$ erhalten — geeignete Modellsituationen sind Gasteilchen, Billardkugeln in erster Näherung.
• Vollkommen inelastischer Stoß: nur $\vec{p}$ erhalten, $E_{\text{kin}}$ verringert sich um Verformungs- und Wärmeenergie.
• Standardformeln zentral-elastisch: $v_1^{\prime }=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}{v}_1+\frac{2m_2}{m_1+m_2}{v}_2$ usw.
• Kraftstoß $\vec{J}=\int \vec{F}dt=\Delta \vec{p}$ — Stoßdauer und mittlere Kraft.

Kernpunkte

• Harmonische Schwingung: lineare Rückstellkraft $F=-Dx$ führt zu $\ddot{x}=-{\omega }_0^{2}x$ mit ${\omega }_0=\sqrt{D/m}$.
• Lösung $x(t)=A\sin ({\omega }_{0}t+{\phi }_0)$ mit Amplitude $A$, Phasenkonstante ${\phi }_0$.
• Federpendel: $T=2\pi \sqrt{m/D}$; mathematisches Pendel für kleine Auslenkungen: $T=2\pi \sqrt{l/g}$.
• Energieausgleich: kinetische und potenzielle Energie wandeln sich periodisch ineinander, Gesamtenergie $E=\frac{1}{2}D{A}^2$.
• Phasenraumdiagramm $(x,v)$ liefert eine Ellipse für ungedämpfte Bewegung.
• Bei gedämpften Schwingungen $\ddot{x}+2\gamma \dot{x}+{\omega }_0^{2}x=0$: Amplitude fällt exponentiell ab.

Kernpunkte

• Schwache Dämpfung: Amplitude klingt wie $A(t)=A_0{e}^{-\gamma t}$, Schwingfrequenz $\omega =\sqrt{{\omega }_0^2-{\gamma }^2}$.
• Kritische Dämpfung $\gamma ={\omega }_0$ — schnellster aperiodischer Übergang.
• Überdämpfte Schwingung: keine echte Periode, exponentielle Annäherung an Ruhelage.
• Erzwungene Schwingung mit Anregung $F_0\cos (\Omega t)$: Amplitude im stationären Zustand $A(\Omega )=\frac{F_0/m}{\sqrt{({\omega }_0^2-{\Omega }^2{)}^2+4{\gamma }^2{\Omega }^2}}$.
• Resonanz bei $\Omega \approx {\omega }_0$; bei kleiner Dämpfung kann die Amplitude dramatisch wachsen (Tacoma Bridge).
• Phasendifferenz zwischen Anregung und Schwingung wechselt durch Resonanz von $0$ über $\pi /2$ zu $\pi$.

Kernpunkte

• Rotationskinematik: Winkelgeschwindigkeit $\omega =\dot{\phi }$, Winkelbeschleunigung $\alpha =\dot{\omega }$ — analog zur Translation.
• Trägheitsmoment $J=\sum m_i{r}_i^2$ ist das Rotationsanalogon der Masse und hängt von der Massenverteilung relativ zur Drehachse ab.
• Drehmoment $\vec{M}=\vec{r}\times \vec{F}$; das 2. Newton-Gesetz der Rotation lautet $\vec{M}=J\vec{\alpha }$.
• Drehimpuls $\vec{L}=J\vec{\omega }$; in einem System ohne äußeres Drehmoment ist $\vec{L}$ erhalten (Drehimpulserhaltung).
• Rotationsenergie $E_{\text{rot}}=\frac{1}{2}J{\omega }^2$; ein rollender Körper trägt $E_{\text{kin}}+E_{\text{rot}}$.
• Anwendungen: Pirouette der Eiskunstläuferin ($J$ klein $\Rightarrow \omega$ groß), Kreiselstabilisierung, 2. Kepler-Gesetz als Drehimpulserhaltung.

Kernpunkte

• Zwei Punktmassen ziehen sich mit $F_G=G{m}_1{m}_2/r^2$ an; $G=6,674\cdot 10^{-11}\text{N}{\text{m}}^2/{\text{kg}}^2$.
• Kraft entlang der Verbindungslinie; gilt auch für Massenkugeln (Newtonscher Schalensatz).
• Erdoberfläche: $g=G{M}_E/R_E^2\approx 9,81{\text{m/s}}^2$.
• Gravitationsfeldstärke $\vec{g}=-\nabla \Phi$ mit Potential $\Phi (r)=-GM/r$ (Bezugspunkt im Unendlichen).
• Gravitation ist immer attraktiv und gilt universell — Sterne, Planeten, Alltagsobjekte.

Kernpunkte

• 1. Gesetz: Planeten bewegen sich auf Ellipsen mit der Sonne in einem Brennpunkt.
• 2. Gesetz (Flächensatz): Der Fahrstrahl überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen — Folge der Drehimpulserhaltung.
• 3. Gesetz: $T^2/a^3=4{\pi }^2/(G{M}_{\odot })=\text{const.}$ für alle Planeten um dieselbe Sonne.
• Bei Kreisbahnen ($a=r$) reduziert sich Kepler 3 zu $T^2=4{\pi }^2{r}^3/(GM)$.
• Die Gesetze folgen aus Newtons Gravitationsgesetz plus Energieerhaltung.
• Anwendungen: Planetenbahnen, Monde, Doppelsterne (Bestimmung von Sternmassen).

Kernpunkte

• Auf Kreisbahn liefert Gravitation die Zentripetalkraft: $GMm/r^2=m{v}^2/r$.
• Bahngeschwindigkeit $v=\sqrt{GM/r}$; Umlaufzeit $T=2\pi \sqrt{r^3/(GM)}$.
• Geostationärer Satellit (GEO): $T=T_{\text{sid}}\approx 23\text{h}56\text{min}$; Bahnhöhe $\approx 35800\text{km}$.
• LEO (Low Earth Orbit) bei $\approx 300\text{–}500\text{km}$ Höhe, Umlaufzeit $\approx 90\text{min}$ (ISS).
• Energie im Orbit $E=-GMm/(2r)$ — negativ heisst gebunden.

Kernpunkte

• Potentielle Energie im Gravitationsfeld $E_{\text{pot}}(r)=-GMm/r$ mit Bezugspunkt im Unendlichen.
• Gesamtenergie auf Kreisbahn: $E=E_{\text{kin}}+E_{\text{pot}}=-GMm/(2r)$.
• Fluchtgeschwindigkeit (2. kosmische Geschwindigkeit): $v_{\text{esc}}=\sqrt{2GM/R}$.
• Erdoberfläche: $v_{\text{esc}}\approx 11,2\text{km/s}$; aus Sonnenoberfläche $\approx 617\text{km/s}$.
• Schwarzes Loch: $v_{\text{esc}}=c$ definiert den Schwarzschild-Radius $r_s=2GM/c^2$.