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Analysis — Funktionen und Modelle

Ganzrationale, gebrochenrationale, trigonometrische und Exponentialfunktionen sowie deren Modellbildung. Eigenschaften wie Definitionsbereich, Symmetrie, Monotonie, Nullstellen und Asymptoten bilden die Grundlage für Differential- und Integralrechnung. Eigene Abschnitte behandeln die Exponential- und Logarithmusfunktion (e-Funktion, natürlicher Logarithmus) sowie die trigonometrischen Funktionen (Sinus, Kosinus, Tangens; Einheitskreis, Bogenmaß, Amplitude, Periode, Phase).

7Abschnitteca. 11Min Lesezeit3Kompetenzen

L4 · Leitidee Funktionaler ZusammenhangK3 · Mathematisch modellierenK4 · Mathematische Darstellungen verwenden

Operatoren:untersuchen · beschreiben · modellieren · interpretieren · vergleichen

grundlegendes Niveau

gA: Standardfunktionstypen (lineare, quadratische, Polynom dritten Grades, Exponential- und Sinusfunktion) erkennen, charakterisieren und in Sachkontexten interpretieren. Modellanpassung über zwei bis drei gegebene Bedingungen.

erhöhtes Niveau

eA: Funktionenscharen, allgemeine Symmetrie- und Verschiebungssätze, Verkettungen (Komposition), Umkehrfunktionen und detaillierte Modellkritik. Aufstellen vollständiger Funktionsgleichungen aus Steckbriefaufgaben.

Funktionsbegriff, Definitions- und Wertebereich#

BasisL4

Kernpunkte

Eine Funktion $f: D\to W$ ordnet jedem $x$ aus dem Definitionsbereich $D$ genau ein $y=f(x)$ aus dem Wertebereich $W$ zu.
Der maximale Definitionsbereich ergibt sich aus den arithmetischen Beschränkungen (Nullstellen im Nenner, negative Argumente unter Wurzeln, Logarithmen).
Wertebereich kann oft erst nach Kurvendiskussion oder Symmetrieüberlegung präzise angegeben werden.
Graph einer Funktion: $G_{f} = \{(x, f(x)) \mid x \in D\}\subseteq \mathbb{R}^{2}$ .
Zwischen Funktionsterm, Wertetabelle und Graph muss flüssig gewechselt werden können — Grundkompetenz K4.
Verkettung $f\circ g$ definiert durch $(f\circ g)(x)=f(g(x))$ ist nur für $g(x)\in D_{f}$ erlaubt.

SYMMETRIEKRITERIEN FÜR FUNKTIONSGRAPHEN

f(-x) = f(x)\;\text{(Achsensymmetrie),}\quad f(-x) = -f(x)\;\text{(Punktsymmetrie zum Ursprung)}

Typische Fehler

Polstellen bei Bruchfunktionen werden nicht aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen.
Wertebereich wird mit Definitionsbereich verwechselt.
Verkettung wird in falscher Reihenfolge gelesen; $f(g(x))$ wird als $g(f(x))$ interpretiert.
Bei Wurzelfunktion wird die Bedingung $\text{Argument}\geq 0$ vergessen.

LK-Vertiefung

eA: Untersuchen Sie die Verkettung $h(x)=f(g(x))$ mit $f(u)=\sqrt{u}$ und $g(x)=4-x^{2}$ auf Definitionsbereich und Wertebereich; geben Sie die Umkehrfunktion explizit an.

Quadratische Funktionen und Scheitelpunktform#

BasisL4

Kernpunkte

Quadratische Funktion in Normalform: $f(x)=ax^{2}+bx+c$ ; in Scheitelpunktform $f(x)=a(x-d)^{2}+e$ mit Scheitel $S(d\mid e)$ .
Vorzeichen des Streckfaktors $a$ bestimmt die Öffnungsrichtung: $a>0$ nach oben, $a<0$ nach unten; $|a|>1$ schmaler, $|a|<1$ weiter als Normalparabel.
Aus Normalform gewinnt man die Scheitelpunktform durch quadratische Ergänzung.
Nullstellen via pq- oder abc-Formel; Diskriminante entscheidet über Anzahl reeller Lösungen.
Anwendungen: Wurfparabel, Maximierung von Flächen oder Gewinnen, Eingrenzung von Wertebereichen.
Symmetrieachse der Parabel ist die senkrechte Gerade $x=d$ .

SCHEITELPUNKTFORM EINER QUADRATISCHEN FUNKTION

f(x) = a(x - d)^{2} + e\quad \Longleftrightarrow \quad S(d \mid e)

Interaktive Grafik lädt…

Musterlösung

Scheitelpunkt durch quadratische Ergänzung

Bestimmen Sie den Scheitelpunkt der Funktion $f(x) = 2x^{2} - 8x + 3$ und interpretieren Sie das Ergebnis als globales Extremum.

Schritt 1 — Streckfaktor ausklammern
$f(x) = 2(x^{2} - 4x) + 3$ .
Schritt 2 — Quadratische Ergänzung
In der Klammer ergänze $(-4/2)^{2}=4$ : $x^{2}-4x = (x-2)^{2}-4$ .
$f(x) = 2\left[(x-2)^{2}-4\right] + 3 = 2(x-2)^{2} - 5$
Schritt 3 — Scheitelpunkt ablesen
Vergleich mit $a(x-d)^{2}+e$ : $d=2$ , $e=-5$ , also $S(2\mid -5)$ .
Schritt 4 — Interpretieren
Da $a=2>0$ ist die Parabel nach oben geöffnet; $S(2\mid -5)$ ist globales Minimum mit $f(2)=-5$ .

Ergebnis: Scheitelpunkt $S(2\mid -5)$ ; globales Minimum bei $x=2$ , Funktionswert $-5$ .

Typische Fehler

Vorzeichenfehler beim Quadrieren von $(x-d)$ .
Streckfaktor $a$ wird vergessen, wenn er nicht 1 ist.
Verwechslung Scheitel- mit y-Achsenschnittpunkt: letzterer ist $f(0)$ .
Bei $a<0$ wird Scheitel fälschlich als Minimum interpretiert.

LK-Vertiefung

eA: Leiten Sie die allgemeine Scheitelpunktformel $S\!\left(-\tfrac{b}{2a}\;\Big|\;c-\tfrac{b^{2}}{4a}\right)$ aus der Normalform her und vergleichen Sie diese Herleitung mit der Anwendung der pq-Formel.

Ganzrationale Funktionen höheren Grades#

StandardL4

Kernpunkte

Polynome vom Grad $n$ haben höchstens $n$ reelle Nullstellen und höchstens $n-1$ Extremstellen.
Verhalten für $x\to\pm\infty$ ist durch Leitkoeffizient und Grad bestimmt: gerade Grade verhalten sich auf beiden Seiten gleich, ungerade Grade entgegengesetzt.
Symmetrieanalyse über Term: nur gerade Exponenten ⇒ Achsensymmetrie zur y-Achse; nur ungerade Exponenten und Absolutglied $a_{0}=0$ ⇒ Punktsymmetrie zum Ursprung.
Nullstellen können über Faktorzerlegung, Polynomdivision oder numerische Verfahren (Newton-Iteration) ermittelt werden.
Vielfachheit einer Nullstelle entscheidet über Berührung oder Durchgang des Graphen mit der x-Achse.
Steckbriefaufgaben verlangen Aufstellen des Polynoms aus Bedingungen wie Punkten, Steigungen oder Extremstellen mittels LGS.

GANZRATIONALE FUNKTION (POLYNOM) VOM GRAD N

f(x) = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_{1}x + a_{0}

POLYNOM DRITTEN GRADES F(X) = X³ − 3X

Punktsymmetrisch zum Ursprung; Extremstellen bei \pm 1; Wendepunkt im Ursprung.

Musterlösung

Steckbriefaufgabe — Funktionsgleichung aus Bedingungen

Bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion dritten Grades $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ , deren Graph durch $(0\mid 1)$ verläuft, dort eine waagrechte Tangente besitzt, bei $x=1$ einen Wendepunkt hat und durch $(1\mid 3)$ geht.

Schritt 1 — Ableitungen aufstellen
$f'(x)=3ax^{2}+2bx+c$ und $f''(x)=6ax+2b$ bereitstellen, um die Bedingungen zu übersetzen.
Schritt 2 — Bedingungen in Gleichungen übersetzen
$f(0)=1\Rightarrow d=1$ ; $f'(0)=0\Rightarrow c=0$ ; $f''(1)=0\Rightarrow 6a+2b=0$ ; $f(1)=3\Rightarrow a+b+c+d=3$ .
Schritt 3 — LGS lösen
Aus $6a+2b=0$ folgt $b=-3a$ . Einsetzen in $a+b+0+1=3$ gibt $a-3a=2$ , also $a=-1$ und $b=3$ .
$\begin{cases} d=1 \\ c=0 \\ 6a+2b=0 \\ a+b+c+d=3 \end{cases}\;\Rightarrow\; a=-1,\,b=3,\,c=0,\,d=1$
Schritt 4 — Probe
$f(x)=-x^{3}+3x^{2}+1$ : $f(0)=1$ ✓, $f'(0)=0$ ✓, $f''(1)=-6+6=0$ ✓, $f(1)=-1+3+1=3$ ✓.

Ergebnis: Gesuchte Funktion: $f(x)=-x^{3}+3x^{2}+1$ .

Typische Fehler

Symmetriebedingung nur an einigen Werten geprüft statt am Term — Fehlinterpretation.
Polynomdivision wird ohne Wissen einer Nullstelle versucht, statt zu raten oder zu faktorisieren.
Beim Steckbrief wird eine Bedingung doppelt verwendet oder eine Variable übersehen.
Verhalten im Unendlichen wird nur an einer Seite untersucht.

LK-Vertiefung

eA: Untersuchen Sie die Funktionenschar $f_{t}(x)=x^{3}-tx$ in Abhängigkeit vom Parameter $t\in\mathbb{R}$ : Nullstellen, Extrema, Wendepunkt; beschreiben Sie die Ortskurve der Extremstellen.

Gebrochenrationale Funktionen#

StandardL4

Kernpunkte

Gebrochenrationale Funktionen $f(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ mit Polynomen $P$ , $Q$ haben Definitionslücken an den Nullstellen von $Q$ .
Definitionslücken sind entweder Polstellen mit Vorzeichenwechsel oder hebbare Singularitäten — Faktorzerlegung entscheidet.
Asymptoten: Senkrechte Asymptoten an Polstellen; waagrechte oder schiefe Asymptote durch Vergleich der Polynomgrade von $P$ und $Q$ .
Verhalten an Polstellen: einseitige Grenzwerte $\lim_{x\to x_{0}^{\pm}}$ untersuchen.
Bei $\deg P = \deg Q$ ergibt sich eine waagrechte Asymptote $y = \tfrac{a_{n}}{b_{n}}$ (Quotient der Leitkoeffizienten).
Hebbare Definitionslücke bei gemeinsamer Nullstelle in Zähler und Nenner — beim Zeichnen Kreis statt Polstrich.

DEFINITIONSBEREICH EINER GEBROCHENRATIONALEN FUNKTION

f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)},\quad D_{f} = \{x\in\mathbb{R}\mid Q(x)\neq 0\}

Musterlösung

Kurvendiskussion einer gebrochenrationalen Funktion

Untersuchen Sie $f(x)=\dfrac{x^{2}-1}{x}$ auf Definitionsbereich, Symmetrie, Nullstellen, Polstellen und Asymptoten.

Schritt 1 — Definitionsbereich
Nenner $x=0$ ist ausgeschlossen: $D_{f}=\mathbb{R}\setminus\{0\}$ .
Schritt 2 — Symmetrie
$f(-x)=\dfrac{x^{2}-1}{-x}=-\dfrac{x^{2}-1}{x}=-f(x)$ — Punktsymmetrie zum Ursprung.
Schritt 3 — Nullstellen
Zähler null: $x^{2}-1=0\Rightarrow x=\pm 1$ (beide im Definitionsbereich).
Schritt 4 — Polstelle
Bei $x=0$ ist der Zähler $-1\neq 0$ , also echte Polstelle. Einseitige Grenzwerte: $\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=-\infty$ , $\lim_{x\to 0^{-}}f(x)=+\infty$ — Polstelle mit Vorzeichenwechsel.
Schritt 5 — Asymptote
Polynomdivision: $\dfrac{x^{2}-1}{x}=x-\dfrac{1}{x}$ . Da $-\tfrac{1}{x}\to 0$ für $x\to\pm\infty$ , ist $y=x$ schiefe Asymptote.
$f(x)=x-\dfrac{1}{x}\;\Rightarrow\; \text{schiefe Asymptote } y=x$

Ergebnis: $D_{f}=\mathbb{R}\setminus\{0\}$ ; punktsymmetrisch; Nullstellen $x=\pm 1$ ; Polstelle $x=0$ mit Vorzeichenwechsel; schiefe Asymptote $y=x$ .

Typische Fehler

Hebbare Lücke wird als Polstelle behandelt.
Schiefe Asymptote wird nicht durch Polynomdivision bestimmt, sondern „geraten".
Vorzeichen an Polstelle wird nicht geprüft — Sprung statt Pol wird suggeriert.
Bei $\deg P > \deg Q + 1$ wird die Asymptote als waagrecht angenommen.

LK-Vertiefung

eA: Bestimmen Sie die schiefe Asymptote von $f(x)=\dfrac{2x^{3}-x+1}{x^{2}+2}$ mittels Polynomdivision und untersuchen Sie das Annäherungsverhalten für $x\to\pm\infty$ .

Exponential- und Logarithmusfunktionen#

StandardL4

Kernpunkte

Allgemeine Exponentialfunktion $f(x)=c\cdot a^{x}$ mit $a>0$ , $a\neq 1$ ; in natürlicher Basis $f(x)=c\cdot \mathrm{e}^{kx}$ mit $k=\ln a$ .
Wachstum für $a>1$ bzw. $k>0$ ; Zerfall für $0<a<1$ bzw. $k<0$ .
Definitionsbereich $\mathbb{R}$ , Wertebereich $(0, \infty)$ ; waagrechte Asymptote $y=0$ .
Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist die Logarithmusfunktion mit Definitionsbereich $(0,\infty)$ .
Modelle: Bakterienwachstum, radioaktiver Zerfall, Verzinsung, Abkühlung (Newton), Sättigungsmodelle ( $a-b\mathrm{e}^{-kt}$ ).
Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion ist sie selbst: $(\mathrm{e}^{x})' = \mathrm{e}^{x}$ — fundamentale Eigenschaft der e-Funktion.

EXPONENTIALFUNKTION UND UMRECHNUNG IN BASIS E

f(x) = c\cdot a^{x} = c\cdot \mathrm{e}^{kx},\quad k = \ln a

UMRECHNUNG IN NATÜRLICHE BASIS

a^{x} = \mathrm{e}^{x\,\ln a}

EXPONENTIALFUNKTION UND NATÜRLICHER LOGARITHMUS

Welche drei Beschriftungen in "Exponentialfunktion und natürlicher Logarithmus" sind prüfungsrelevant?

Folgeaufgabe: Skizziere dasselbe Schema ohne Beschriftungen und ergänze sie aus dem Gedächtnis.

f(x) = eˣ wächst streng monoton; g(x) = ln(x) ist die Umkehrung mit Definitionsbereich (0, ∞).

EXPONENTIELLES WACHSTUM F(T) = 100 · 1,08ᵗ

Anfangswert 100, Wachstumsfaktor 1,08 (8 % pro Periode); Verdopplungszeit ca. 9 Perioden.

Musterlösung

Exponentielles Wachstumsmodell anpassen

Eine Bakterienkultur enthält zu Beginn 1000 Zellen und verdoppelt sich alle 4 Stunden. Stellen Sie ein Wachstumsmodell $N(t)$ auf, bestimmen Sie die Wachstumsrate $k$ und berechnen Sie $N(10)$ .

Schritt 1 — Modellansatz
Stetiges Wachstum: $N(t) = 1000\cdot \mathrm{e}^{kt}$ .
Schritt 2 — Verdopplungsbedingung
$N(4)=2000$ liefert $\mathrm{e}^{4k}=2$ , also $k=\tfrac{\ln 2}{4}\approx 0{,}1733$ .
$k = \tfrac{\ln 2}{4} \approx 0{,}1733$
Schritt 3 — Auswertung bei t = 10
$N(10) = 1000\cdot \mathrm{e}^{0{,}1733\cdot 10} = 1000\cdot \mathrm{e}^{1{,}733}\approx 1000\cdot 5{,}657 \approx 5657$ .
Schritt 4 — Interpretieren
Nach 10 Stunden liegen rund 5650 Zellen vor; das Modell setzt unbeschränkte Ressourcen voraus, was biologisch nur kurzzeitig gilt.

Ergebnis: Modell $N(t)=1000\cdot \mathrm{e}^{(\ln 2/4)\cdot t}$ ; $N(10)\approx 5657$ Zellen.

Typische Fehler

Wachstumsrate $k$ und Wachstumsfaktor $a$ verwechselt — $a=\mathrm{e}^{k}$ , nicht $a=k$ .
$\ln 0$ wird ohne Kommentar verwendet.
Logarithmusfunktion wird mit Definitionsbereich $\mathbb{R}$ behandelt.
Bei Modellanpassung wird ein Zeitpunkt-Bedingung statt eine Rate-Bedingung verwendet.

LK-Vertiefung

eA: Untersuchen Sie das Sättigungsmodell $f(t)=K(1 - \mathrm{e}^{-kt})$ für $K=100$ , $k=0{,}2$ : Bestimmen Sie Grenzwert und Tangente an der Stelle $t=0$ und begründen Sie, dass die Funktion keinen Wendepunkt besitzt (streng konkav); interpretieren Sie die Bedeutung jedes Parameters.

Trigonometrische Funktionen#

StandardL4

Kernpunkte

Die Funktionen $\sin$ und $\cos$ sind 2π-periodisch und beschränkt auf $[-1, 1]$ ; $\tan$ hat Periode π und Polstellen bei $\tfrac{\pi}{2}+k\pi$ .
Allgemeine Sinusfunktion $f(x)=a\sin(b(x-c))+d$ : Amplitude $|a|$ , Periode $\tfrac{2\pi}{|b|}$ , Phasenverschiebung $c$ , Mittellage $d$ .
Bogenmaß ist die natürliche Einheit für Winkel in Analysis; Umrechnung $x_{\text{rad}} = x_{\text{deg}}\cdot \tfrac{\pi}{180}$ .
Symmetrieeigenschaften: $\sin$ punktsymmetrisch zum Ursprung, $\cos$ achsensymmetrisch zur y-Achse.
Wichtige Identitäten: $\sin^{2}x + \cos^{2}x = 1$ , Additionstheoreme, Doppelwinkelformeln.
Modelle: Tidenkurven, Tageslichtdauer, Wechselstrom, harmonische Schwingungen.

ALLGEMEINE SINUSFUNKTION MIT AMPLITUDE A, PERIODE 2Π/B, PHASE C, MITTELLAGE D

f(x) = a\cdot \sin(b(x - c)) + d

PYTHAGOREISCHE IDENTITÄT

\sin^{2}x + \cos^{2}x = 1

EINHEITSKREIS — SINUS, KOSINUS, TANGENS

Welche drei Beschriftungen in "Einheitskreis — Sinus, Kosinus, Tangens" sind prüfungsrelevant?

Folgeaufgabe: Skizziere dasselbe Schema ohne Beschriftungen und ergänze sie aus dem Gedächtnis.

Punkt

P(\cos\varphi \mid \sin\varphi)

auf dem Einheitskreis;

\varphi

im Bogenmaß.

Musterlösung

Periodische Funktion an Datenpunkte anpassen

Die Wassertiefe an einer Küste schwankt zwischen 2 m (Niedrigwasser) und 6 m (Hochwasser) mit Periode 12 Stunden. Bestimmen Sie eine Funktion $h(t)=a\sin(b\,t)+d$ .

Schritt 1 — Mittellage und Amplitude
$d = \tfrac{2+6}{2}=4$ , $a=\tfrac{6-2}{2}=2$ .
Schritt 2 — Periode
Aus $T=12$ folgt $b=\tfrac{2\pi}{12}=\tfrac{\pi}{6}$ .
Schritt 3 — Funktion notieren
$h(t)=2\sin\!\left(\tfrac{\pi}{6}t\right)+4$ liefert bei $t=0$ den Wert 4 (Mittellage).
$h(t) = 2\sin\!\left(\tfrac{\pi}{6}\,t\right) + 4$

Ergebnis: Modellfunktion $h(t) = 2\sin(\tfrac{\pi}{6}t)+4$ (in Metern, t in Stunden).

Typische Fehler

Grad- und Bogenmaß werden gemischt.
Phasenverschiebung wird mit Periode verwechselt.
Identität $\sin(2x)=2\sin x$ statt $\sin(2x)=2\sin x \cos x$ .
Beim Modellieren wird Mittellage als „y-Achsenabschnitt" gleichgesetzt — nur korrekt, wenn $c=0$ .

LK-Vertiefung

eA: Beweisen Sie die Identität $\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$ mittels Einheitskreis und leiten Sie daraus die Doppelwinkelformel $\sin(2\alpha)=2\sin\alpha\cos\alpha$ ab.

Symmetrien und Transformationen#

StandardL4

Kernpunkte

Verschiebung um $c$ in x-Richtung: $f(x-c)$ ; in y-Richtung: $f(x)+d$ .
Streckung um Faktor $k$ in y-Richtung: $k\cdot f(x)$ ; in x-Richtung: $f\!\left(\tfrac{x}{k}\right)$ .
Spiegelung an der x-Achse: $-f(x)$ ; an der y-Achse: $f(-x)$ .
Symmetriebedingungen: $f(-x)=f(x)$ (Achsensymmetrie zur y-Achse), $f(-x)=-f(x)$ (Punktsymmetrie zum Ursprung).
Allgemeine Punktsymmetrie zum Punkt $(p, q)$ : $f(p+h)+f(p-h) = 2q$ für alle $h$ .
Periodizität: $f(x+T)=f(x)$ für alle $x$ , kleinste positive Periode heißt Grundperiode.

SYMMETRIEKRITERIEN FÜR FUNKTIONSGRAPHEN

f(-x) = f(x)\;\text{(Achsensymmetrie),}\quad f(-x) = -f(x)\;\text{(Punktsymmetrie zum Ursprung)}

Typische Fehler

Verschiebung um $c$ wird als $f(x)+c$ statt $f(x-c)$ in x-Richtung interpretiert.
Spiegelung an x- und y-Achse vertauscht.
Symmetrie wird durch Beispielwert „bewiesen" statt durch Termanalyse.
Punktsymmetrie zum Ursprung wird mit Achsensymmetrie verwechselt.

LK-Vertiefung

eA: Untersuchen Sie, ob die Funktion $h(x)=\sin(x)\cdot \mathrm{e}^{-x^{2}}$ Symmetrieeigenschaften besitzt; beweisen Sie Ihr Ergebnis.