Kernpunkte

• Die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}=\{0,\,1,\,2,\,\dots\}$ bilden die Grundlage des Zählens; ganze Zahlen $\mathbb{Z}$ ergänzen die negativen ganzen Zahlen.
• Rationale Zahlen $\mathbb{Q}$ sind die Menge aller Brüche $\tfrac{p}{q}$ mit $p\in\mathbb{Z}$, $q\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}$; jede rationale Zahl besitzt eine endliche oder periodische Dezimaldarstellung.
• Reelle Zahlen $\mathbb{R}$ füllen die Zahlengerade lückenlos und enthalten zusätzlich die irrationalen Zahlen wie $\sqrt{2}$, $\pi$, $\mathrm{e}$.
• Komplexe Zahlen $\mathbb{C}$ erweitern $\mathbb{R}$ um die imaginäre Einheit $\mathrm{i}$ mit $\mathrm{i}^{2}=-1$; im Abitur AHR-Standard nicht prüfungsrelevant, aber Hintergrund für Sonderaufgaben.
• Strenge Inklusionskette $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$; jede Erweiterung schließt die Operationslücke der vorigen.
• Bei Modellierungen muss der Zahlbereich zum Kontext passen: Personenanzahl in $\mathbb{N}$, Kontostand in $\mathbb{Q}$, Längen in $\mathbb{R}^{+}$.
• Irrationalität von $\sqrt{2}$ beweist man klassisch indirekt; dieser Beweis ist Standardbeispiel für die Beweistechnik „Widerspruch".

Kernpunkte

• Termumformungen wie Ausmultiplizieren, Faktorisieren, Kürzen und Erweitern sind Äquivalenzumformungen, sofern der Definitionsbereich beachtet wird.
• Die drei binomischen Formeln $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$, $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$, $(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$ ermöglichen schnelles Vereinfachen und Faktorisieren.
• Bei Bruchtermen ist der Definitionsbereich essentiell: Nenner darf nicht null werden; die Definitionslücken müssen explizit angegeben werden.
• Polynomdivision zerlegt $P(x)=(x-x_{0})\cdot Q(x)+r$; bei bekannter Nullstelle $x_{0}$ folgt $r=0$, was Faktorzerlegung erlaubt.
• Faktorisieren ist Grundlage fast aller Nullstellenbestimmungen in der Analysis und Modellierung.
• Bei Summe mit gemeinsamen Faktoren stets ausklammern: $6x^{3}-9x^{2}=3x^{2}(2x-3)$.

Kernpunkte

• Eine Potenz $a^{n}$ mit $n\in\mathbb{N}$ bedeutet $n$-fache Multiplikation der Basis; per Konvention $a^{0}=1$ für $a\neq 0$.
• Negative Exponenten beschreiben Kehrwerte: $a^{-n}=\tfrac{1}{a^{n}}$.
• Eine $n$-te Wurzel lässt sich als Potenz mit rationalem Exponenten ausdrücken: $\sqrt[n]{a^{m}}=a^{m/n}$ für $a>0$.
• Potenzgesetze gelten nur bei gleicher Basis oder gleichem Exponenten; häufiger Fehler ist $a^{m}+a^{n}=a^{m+n}$.
• Wachstumsfaktoren in Anwendungen sind Potenzen: 5 % Zinsen pro Jahr über 8 Jahre liefern den Faktor $1{,}05^{8}$.
• Bei negativer Basis und rationalem Exponenten ist Vorsicht geboten: $(-8)^{1/2}$ ist in $\mathbb{R}$ nicht definiert.

Kernpunkte

• Der Logarithmus $\log_{a}(x)$ ist der Exponent, mit dem die Basis $a$ potenziert werden muss, um $x$ zu erhalten: $a^{\log_{a}(x)}=x$.
• Der natürliche Logarithmus $\ln(x)=\log_{\mathrm{e}}(x)$ ist Standard in Differentialrechnung, Wachstumsmodellen und Modellierung.
• Logarithmusgesetze entstehen aus den Potenzgesetzen: Produkt → Summe, Quotient → Differenz, Potenz → Faktor.
• Basiswechsel: $\log_{a}(x)=\dfrac{\ln x}{\ln a}$; jede Basis ist auf $\ln$ oder $\log_{10}$ zurückführbar.
• Logarithmen sind nur für positive Argumente definiert; das schränkt den Definitionsbereich oft ein.
• Halbwerts- und Verdopplungszeit bei stetigem Wachstum: $t_{1/2}=-\tfrac{\ln 2}{k}$ bzw. $t_{2}=\tfrac{\ln 2}{k}$.

Kernpunkte

• Die Normalform $x^{2}+px+q=0$ lässt sich mit der pq-Formel lösen; die allgemeine Form $ax^{2}+bx+c=0$ mit der abc-Formel.
• Die Diskriminante $D=b^{2}-4ac$ entscheidet über die Lösungsanzahl: $D>0$ zwei reelle, $D=0$ doppelte, $D<0$ keine reelle Lösung.
• Biquadratische Gleichungen $ax^{4}+bx^{2}+c=0$ werden durch Substitution $u=x^{2}$ auf quadratische Form gebracht.
• Satz von Vieta: $x_{1}+x_{2}=-\tfrac{b}{a}$ und $x_{1}\cdot x_{2}=\tfrac{c}{a}$ — hilfreich bei Plausibilitätsprüfungen.
• Quadratische Ergänzung gewinnt die Scheitelpunktform $a(x-d)^{2}+e$; sie ist gleichzeitig ein Beweis der pq-Formel.
• Wurzeln dürfen niemals aus negativen Diskriminanten reell gezogen werden; $\sqrt{-3}\notin\mathbb{R}$.

Kernpunkte

• Lineare Gleichungssysteme (LGS) mit zwei oder drei Unbekannten lassen sich durch Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren lösen.
• Das Gauß-Verfahren ist die systematische Methode: Zeilen werden zur Stufenform reduziert, dann rückwärts aufgelöst.
• Drei Lösungsfälle: eindeutige Lösung, Mehrdeutigkeit (unendlich viele Lösungen), Widerspruch (keine Lösung).
• Geometrische Interpretation in 3D: Drei Ebenen schneiden sich in einem Punkt, einer Geraden, einer Ebene oder gar nicht.
• Die Determinante einer Koeffizientenmatrix entscheidet bei quadratischem System über Eindeutigkeit der Lösung.
• Parameter im LGS führen zu Fallunterscheidungen — Parameter-LGS sind klassische LK-Aufgaben.

Kernpunkte

• Lineare Ungleichungen werden wie Gleichungen umgeformt; bei Multiplikation oder Division durch eine negative Zahl kehrt sich das Ungleichheitszeichen um.
• Quadratische Ungleichungen werden über die Nullstellen und das Vorzeichen der Parabel gelöst — Skizze hilfreich.
• Bruchungleichungen verlangen Fallunterscheidung nach Vorzeichen des Nenners; Multiplikation mit einer Variablen ist nur erlaubt, wenn deren Vorzeichen bekannt ist.
• Betragsungleichungen: $|x|<a$ entspricht $-a<x<a$; $|x|>a$ entspricht $x<-a$ oder $x>a$ (für $a>0$).
• Lösungsmengen werden als Intervalle oder Mengen geschrieben — saubere Notation ist beurteilungsrelevant.
• Geometrische Interpretation: $|x-a|<r$ beschreibt offenes Intervall der Länge $2r$ um $a$.