Kernpunkte

• Die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots \}$ bilden die Grundlage des Zählens; ganze Zahlen $\mathbb{Z}$ ergänzen die negativen ganzen Zahlen.
• Rationale Zahlen $\mathbb{Q}$ sind die Menge aller Brüche $\frac{p}{q}$ mit $p\in \mathbb{Z}$, $q\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}$; jede rationale Zahl besitzt eine endliche oder periodische Dezimaldarstellung.
• Reelle Zahlen $\mathbb{R}$ füllen die Zahlengerade lückenlos und enthalten zusätzlich die irrationalen Zahlen wie $\sqrt{2}$, $\pi$, $\mathrm{e}$.
• Komplexe Zahlen $\mathbb{C}$ erweitern $\mathbb{R}$ um die imaginäre Einheit $\mathrm{i}$ mit ${\mathrm{i}}^2=-1$; im Abitur AHR-Standard nicht prüfungsrelevant, aber Hintergrund für Sonderaufgaben.
• Strenge Inklusionskette $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}\subset \mathbb{C}$; jede Erweiterung schließt die Operationslücke der vorigen.
• Bei Modellierungen muss der Zahlbereich zum Kontext passen: Personenanzahl in $\mathbb{N}$, Kontostand in $\mathbb{Q}$, Längen in ${\mathbb{R}}^{+}$.
• Irrationalität von $\sqrt{2}$ beweist man klassisch indirekt; dieser Beweis ist Standardbeispiel für die Beweistechnik „Widerspruch".

Kernpunkte

• Termumformungen wie Ausmultiplizieren, Faktorisieren, Kürzen und Erweitern sind Äquivalenzumformungen, sofern der Definitionsbereich beachtet wird.
• Die drei binomischen Formeln $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$, $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$, $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ ermöglichen schnelles Vereinfachen und Faktorisieren.
• Bei Bruchtermen ist der Definitionsbereich essentiell: Nenner darf nicht null werden; die Definitionslücken müssen explizit angegeben werden.
• Polynomdivision zerlegt $P(x)=(x-x_0)\cdot Q(x)+r$; bei bekannter Nullstelle $x_0$ folgt $r=0$, was Faktorzerlegung erlaubt.
• Faktorisieren ist Grundlage fast aller Nullstellenbestimmungen in der Analysis und Modellierung.
• Bei Summe mit gemeinsamen Faktoren stets ausklammern: $6x^3-9x^2=3x^2(2x-3)$.

Kernpunkte

• Eine Potenz $a^n$ mit $n\in \mathbb{N}$ bedeutet $n$-fache Multiplikation der Basis; per Konvention $a^0=1$ für $a\ne 0$.
• Negative Exponenten beschreiben Kehrwerte: $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$.
• Eine $n$-te Wurzel lässt sich als Potenz mit rationalem Exponenten ausdrücken: $\sqrt[n]{a^m}=a^{m/n}$ für $a>0$.
• Potenzgesetze gelten nur bei gleicher Basis oder gleichem Exponenten; häufiger Fehler ist $a^m+a^n=a^{m+n}$.
• Wachstumsfaktoren in Anwendungen sind Potenzen: 5 % Zinsen pro Jahr über 8 Jahre liefern den Faktor $1,05^8$.
• Bei negativer Basis und rationalem Exponenten ist Vorsicht geboten: $(-8{)}^{1/2}$ ist in $\mathbb{R}$ nicht definiert.

Kernpunkte

• Der Logarithmus ${\log }_a(x)$ ist der Exponent, mit dem die Basis $a$ potenziert werden muss, um $x$ zu erhalten: $a^{{\log }_a(x)}=x$.
• Der natürliche Logarithmus $\ln (x)={\log }_{\mathrm{e}}(x)$ ist Standard in Differentialrechnung, Wachstumsmodellen und Modellierung.
• Logarithmusgesetze entstehen aus den Potenzgesetzen: Produkt → Summe, Quotient → Differenz, Potenz → Faktor.
• Basiswechsel: ${\log }_a(x)=\frac{\ln x}{\ln a}$; jede Basis ist auf $\ln$ oder ${\log }_{10}$ zurückführbar.
• Logarithmen sind nur für positive Argumente definiert; das schränkt den Definitionsbereich oft ein.
• Halbwerts- und Verdopplungszeit bei stetigem Wachstum: $t_{1/2}=-\frac{\ln 2}{k}$ bzw. $t_2=\frac{\ln 2}{k}$.

Kernpunkte

• Die Normalform $x^2+px+q=0$ lässt sich mit der pq-Formel lösen; die allgemeine Form $a{x}^2+bx+c=0$ mit der abc-Formel.
• Die Diskriminante $D=b^2-4ac$ entscheidet über die Lösungsanzahl: $D>0$ zwei reelle, $D=0$ doppelte, $D<0$ keine reelle Lösung.
• Biquadratische Gleichungen $a{x}^4+b{x}^2+c=0$ werden durch Substitution $u=x^2$ auf quadratische Form gebracht.
• Satz von Vieta: $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ und $x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$ — hilfreich bei Plausibilitätsprüfungen.
• Quadratische Ergänzung gewinnt die Scheitelpunktform $a(x-d{)}^2+e$; sie ist gleichzeitig ein Beweis der pq-Formel.
• Wurzeln dürfen niemals aus negativen Diskriminanten reell gezogen werden; $\sqrt{-3}\notin \mathbb{R}$.

Kernpunkte

• Lineare Gleichungssysteme (LGS) mit zwei oder drei Unbekannten lassen sich durch Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren lösen.
• Das Gauß-Verfahren ist die systematische Methode: Zeilen werden zur Stufenform reduziert, dann rückwärts aufgelöst.
• Drei Lösungsfälle: eindeutige Lösung, Mehrdeutigkeit (unendlich viele Lösungen), Widerspruch (keine Lösung).
• Geometrische Interpretation in 3D: Drei Ebenen schneiden sich in einem Punkt, einer Geraden, einer Ebene oder gar nicht.
• Die Determinante einer Koeffizientenmatrix entscheidet bei quadratischem System über Eindeutigkeit der Lösung.
• Parameter im LGS führen zu Fallunterscheidungen — Parameter-LGS sind klassische LK-Aufgaben.

Kernpunkte

• Lineare Ungleichungen werden wie Gleichungen umgeformt; bei Multiplikation oder Division durch eine negative Zahl kehrt sich das Ungleichheitszeichen um.
• Quadratische Ungleichungen werden über die Nullstellen und das Vorzeichen der Parabel gelöst — Skizze hilfreich.
• Bruchungleichungen verlangen Fallunterscheidung nach Vorzeichen des Nenners; Multiplikation mit einer Variablen ist nur erlaubt, wenn deren Vorzeichen bekannt ist.
• Betragsungleichungen: $|x|<a$ entspricht $-a<x<a$; $|x|>a$ entspricht $x<-a$ oder $x>a$ (für $a>0$).
• Lösungsmengen werden als Intervalle oder Mengen geschrieben — saubere Notation ist beurteilungsrelevant.
• Geometrische Interpretation: $|x-a|<r$ beschreibt offenes Intervall der Länge $2r$ um $a$.

Kernpunkte

• Eine Funktion $f:D\to W$ ordnet jedem $x$ aus dem Definitionsbereich $D$ genau ein $y=f(x)$ aus dem Wertebereich $W$ zu.
• Der maximale Definitionsbereich ergibt sich aus den arithmetischen Beschränkungen (Nullstellen im Nenner, negative Argumente unter Wurzeln, Logarithmen).
• Wertebereich kann oft erst nach Kurvendiskussion oder Symmetrieüberlegung präzise angegeben werden.
• Graph einer Funktion: $G_f=\{(x,f(x))\mid x\in D\}\subseteq {\mathbb{R}}^2$.
• Zwischen Funktionsterm, Wertetabelle und Graph muss flüssig gewechselt werden können — Grundkompetenz K4.
• Verkettung $f\circ g$ definiert durch $(f\circ g)(x)=f(g(x))$ ist nur für $g(x)\in D_f$ erlaubt.

Kernpunkte

• Quadratische Funktion in Normalform: $f(x)=a{x}^2+bx+c$; in Scheitelpunktform $f(x)=a(x-d{)}^2+e$ mit Scheitel $S(d\mid e)$.
• Vorzeichen des Streckfaktors $a$ bestimmt die Öffnungsrichtung: $a>0$ nach oben, $a<0$ nach unten; $|a|>1$ schmaler, $|a|<1$ weiter als Normalparabel.
• Aus Normalform gewinnt man die Scheitelpunktform durch quadratische Ergänzung.
• Nullstellen via pq- oder abc-Formel; Diskriminante entscheidet über Anzahl reeller Lösungen.
• Anwendungen: Wurfparabel, Maximierung von Flächen oder Gewinnen, Eingrenzung von Wertebereichen.
• Symmetrieachse der Parabel ist die senkrechte Gerade $x=d$.

Kernpunkte

• Polynome vom Grad $n$ haben höchstens $n$ reelle Nullstellen und höchstens $n-1$ Extremstellen.
• Verhalten für $x\to \pm \infty$ ist durch Leitkoeffizient und Grad bestimmt: gerade Grade verhalten sich auf beiden Seiten gleich, ungerade Grade entgegengesetzt.
• Symmetrieanalyse über Term: nur gerade Exponenten ⇒ Achsensymmetrie zur y-Achse; nur ungerade Exponenten und Absolutglied $a_0=0$ ⇒ Punktsymmetrie zum Ursprung.
• Nullstellen können über Faktorzerlegung, Polynomdivision oder numerische Verfahren (Newton-Iteration) ermittelt werden.
• Vielfachheit einer Nullstelle entscheidet über Berührung oder Durchgang des Graphen mit der x-Achse.
• Steckbriefaufgaben verlangen Aufstellen des Polynoms aus Bedingungen wie Punkten, Steigungen oder Extremstellen mittels LGS.

Kernpunkte

• Gebrochenrationale Funktionen $f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$ mit Polynomen $P$, $Q$ haben Definitionslücken an den Nullstellen von $Q$.
• Definitionslücken sind entweder Polstellen mit Vorzeichenwechsel oder hebbare Singularitäten — Faktorzerlegung entscheidet.
• Asymptoten: Senkrechte Asymptoten an Polstellen; waagrechte oder schiefe Asymptote durch Vergleich der Polynomgrade von $P$ und $Q$.
• Verhalten an Polstellen: einseitige Grenzwerte ${\lim }_{x\to x_0^{\pm }}$ untersuchen.
• Bei $\mathrm{deg}P=\mathrm{deg}Q$ ergibt sich eine waagrechte Asymptote $y=\frac{a_n}{b_n}$ (Quotient der Leitkoeffizienten).
• Hebbare Definitionslücke bei gemeinsamer Nullstelle in Zähler und Nenner — beim Zeichnen Kreis statt Polstrich.

Kernpunkte

• Allgemeine Exponentialfunktion $f(x)=c\cdot a^x$ mit $a>0$, $a\ne 1$; in natürlicher Basis $f(x)=c\cdot {\mathrm{e}}^{kx}$ mit $k=\ln a$.
• Wachstum für $a>1$ bzw. $k>0$; Zerfall für $0<a<1$ bzw. $k<0$.
• Definitionsbereich $\mathbb{R}$, Wertebereich $(0,\infty )$; waagrechte Asymptote $y=0$.
• Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist die Logarithmusfunktion mit Definitionsbereich $(0,\infty )$.
• Modelle: Bakterienwachstum, radioaktiver Zerfall, Verzinsung, Abkühlung (Newton), Sättigungsmodelle ($a-b{\mathrm{e}}^{-kt}$).
• Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion ist sie selbst: $({\mathrm{e}}^x{)}^{\prime }={\mathrm{e}}^x$ — fundamentale Eigenschaft der e-Funktion.

Kernpunkte

• Die Funktionen $\sin$ und $\cos$ sind 2π-periodisch und beschränkt auf $[-1,1]$; $\tan$ hat Periode π und Polstellen bei $\frac{\pi }{2}+k\pi$.
• Allgemeine Sinusfunktion $f(x)=a\sin (b(x-c))+d$: Amplitude $|a|$, Periode $\frac{2\pi }{|b|}$, Phasenverschiebung $c$, Mittellage $d$.
• Bogenmaß ist die natürliche Einheit für Winkel in Analysis; Umrechnung $x_{\text{rad}}=x_{\text{deg}}\cdot \frac{\pi }{180}$.
• Symmetrieeigenschaften: $\sin$ punktsymmetrisch zum Ursprung, $\cos$ achsensymmetrisch zur y-Achse.
• Wichtige Identitäten: ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$, Additionstheoreme, Doppelwinkelformeln.
• Modelle: Tidenkurven, Tageslichtdauer, Wechselstrom, harmonische Schwingungen.

Kernpunkte

• Verschiebung um $c$ in x-Richtung: $f(x-c)$; in y-Richtung: $f(x)+d$.
• Streckung um Faktor $k$ in y-Richtung: $k\cdot f(x)$; in x-Richtung: $f\left(\frac{x}{k}\right)$.
• Spiegelung an der x-Achse: $-f(x)$; an der y-Achse: $f(-x)$.
• Symmetriebedingungen: $f(-x)=f(x)$ (Achsensymmetrie zur y-Achse), $f(-x)=-f(x)$ (Punktsymmetrie zum Ursprung).
• Allgemeine Punktsymmetrie zum Punkt $(p,q)$: $f(p+h)+f(p-h)=2q$ für alle $h$.
• Periodizität: $f(x+T)=f(x)$ für alle $x$, kleinste positive Periode heißt Grundperiode.

Kernpunkte

• Der Grenzwert ${\lim }_{x\to a}f(x)$ beschreibt das Verhalten der Funktionswerte, wenn $x$ sich $a$ nähert; er existiert nur, wenn links- und rechtsseitiger Grenzwert übereinstimmen.
• Eine Funktion ist an $x_0$ stetig, wenn ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$ gilt; ganzrationale, exponentielle und trigonometrische Funktionen sind auf ihrem Definitionsbereich überall stetig.
• Definitionslücken gebrochenrationaler Funktionen sind behebbar (Grenzwert existiert, Term kürzbar) oder Polstellen (Grenzwert $\pm \infty$).
• Verhalten im Unendlichen: Der Gradvergleich von Zähler- und Nennerpolynom liefert waagrechte Asymptote ($n=m$), Annäherung an $0$ ($n<m$) oder schiefe Asymptote ($n=m+1$).
• Senkrechte Asymptoten liegen an Polstellen; das Vorzeichenverhalten links und rechts entscheidet über $+\infty$ oder $-\infty$.
• Stetigkeit ist notwendige Voraussetzung für Differenzierbarkeit: jede differenzierbare Funktion ist stetig, aber nicht umgekehrt.

Kernpunkte

• Die mittlere Änderungsrate einer Funktion auf $[a,b]$ ist $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ (Sekantensteigung).
• Die lokale Änderungsrate (momentane Steigung) bei $x_0$ ist der Grenzwert $f^{\prime }(x_0)={\lim }_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$.
• Geometrisch ist $f^{\prime }(x_0)$ die Steigung der Tangente an den Graphen im Punkt $(x_0,f(x_0))$.
• Eine Funktion ist differenzierbar bei $x_0$, wenn der linksseitige und rechtsseitige Grenzwert existieren und übereinstimmen; an Knick- und Sprungstellen scheitert die Differenzierbarkeit.
• Physikalisch beschreibt die Ableitung Geschwindigkeit (Ort nach Zeit), Beschleunigung (Geschwindigkeit nach Zeit) oder Wachstumsrate.

Kernpunkte

• Faktor- und Summenregel: $(c\cdot f{)}^{\prime }=c\cdot f^{\prime }$, $(f+g{)}^{\prime }=f^{\prime }+g^{\prime }$.
• Produktregel: $(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$ — der Term mit der „abgeleiteten Funktion zuerst" ist Standard.
• Quotientenregel: $(f/g{)}^{\prime }=(f^{\prime }g-f{g}^{\prime })/g^2$; Vorzeichen im Zähler beachten.
• Kettenregel: $(f\circ g{)}^{\prime }(x)=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$ — „äußere Ableitung mal innere Ableitung".
• Standardableitungen: $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$, $({\mathrm{e}}^x{)}^{\prime }={\mathrm{e}}^x$, $(\ln x{)}^{\prime }=1/x$, $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$, $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$.
• Bei Verkettungen mit drei Schichten (z. B. ${\mathrm{e}}^{\sin (x^2)}$) Kettenregel zweimal verschachtelt anwenden.