Kernpunkte

• Der Grenzwert $\lim_{x\to a} f(x)$ beschreibt das Verhalten der Funktionswerte, wenn $x$ sich $a$ nähert; er existiert nur, wenn links- und rechtsseitiger Grenzwert übereinstimmen.
• Eine Funktion ist an $x_{0}$ stetig, wenn $\lim_{x\to x_{0}} f(x)=f(x_{0})$ gilt; ganzrationale, exponentielle und trigonometrische Funktionen sind auf ihrem Definitionsbereich überall stetig.
• Definitionslücken gebrochenrationaler Funktionen sind behebbar (Grenzwert existiert, Term kürzbar) oder Polstellen (Grenzwert $\pm\infty$).
• Verhalten im Unendlichen: Der Gradvergleich von Zähler- und Nennerpolynom liefert waagrechte Asymptote ($n=m$), Annäherung an $0$ ($n<m$) oder schiefe Asymptote ($n=m+1$).
• Senkrechte Asymptoten liegen an Polstellen; das Vorzeichenverhalten links und rechts entscheidet über $+\infty$ oder $-\infty$.
• Stetigkeit ist notwendige Voraussetzung für Differenzierbarkeit: jede differenzierbare Funktion ist stetig, aber nicht umgekehrt.

Kernpunkte

• Die mittlere Änderungsrate einer Funktion auf $[a, b]$ ist $\tfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ (Sekantensteigung).
• Die lokale Änderungsrate (momentane Steigung) bei $x_{0}$ ist der Grenzwert $f'(x_{0}) = \lim_{h\to 0} \tfrac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}$.
• Geometrisch ist $f'(x_{0})$ die Steigung der Tangente an den Graphen im Punkt $(x_{0}, f(x_{0}))$.
• Eine Funktion ist differenzierbar bei $x_{0}$, wenn der linksseitige und rechtsseitige Grenzwert existieren und übereinstimmen; an Knick- und Sprungstellen scheitert die Differenzierbarkeit.
• Physikalisch beschreibt die Ableitung Geschwindigkeit (Ort nach Zeit), Beschleunigung (Geschwindigkeit nach Zeit) oder Wachstumsrate.

Kernpunkte

• Faktor- und Summenregel: $(c\cdot f)' = c\cdot f'$, $(f+g)' = f'+g'$.
• Produktregel: $(fg)' = f'g + fg'$ — der Term mit der „abgeleiteten Funktion zuerst" ist Standard.
• Quotientenregel: $(f/g)' = (f'g - fg')/g^{2}$; Vorzeichen im Zähler beachten.
• Kettenregel: $(f\circ g)'(x) = f'(g(x))\cdot g'(x)$ — „äußere Ableitung mal innere Ableitung".
• Standardableitungen: $(x^{n})' = n\,x^{n-1}$, $(\mathrm{e}^{x})' = \mathrm{e}^{x}$, $(\ln x)' = 1/x$, $(\sin x)' = \cos x$, $(\cos x)' = -\sin x$.
• Bei Verkettungen mit drei Schichten (z. B. $\mathrm{e}^{\sin(x^{2})}$) Kettenregel zweimal verschachtelt anwenden.

Kernpunkte

• Notwendige Bedingung für lokales Extremum bei $x_{0}$: $f'(x_{0}) = 0$ (kritische Stelle).
• Hinreichende Bedingung: Vorzeichenwechsel von $f'$ oder $f''(x_{0}) \neq 0$ (Maximum bei $f'' < 0$, Minimum bei $f'' > 0$).
• Wendepunkt: $f''(x_{0}) = 0$ und $f'''(x_{0}) \neq 0$ (oder Vorzeichenwechsel von $f''$).
• Monotonie: $f' > 0$ → streng monoton wachsend; $f' < 0$ → streng monoton fallend.
• Krümmung: $f'' > 0$ → konvex (Linkskrümmung); $f'' < 0$ → konkav (Rechtskrümmung).
• Globales Extremum: Werte an Randpunkten des Definitionsbereichs und an allen kritischen Stellen vergleichen.

Kernpunkte

• Tangentengleichung an $x_{0}$: $t(x) = f'(x_{0})\cdot(x - x_{0}) + f(x_{0})$.
• Normalengleichung: $n(x) = -\tfrac{1}{f'(x_{0})}\cdot(x - x_{0}) + f(x_{0})$ (für $f'(x_{0}) \neq 0$).
• Lineare Approximation: $f(x) \approx f(x_{0}) + f'(x_{0})\cdot(x - x_{0})$ für $x$ nahe $x_{0}$.
• Wendetangente: Tangente an den Wendepunkt — wechselt zwischen konvexem und konkavem Bereich.
• Schnittwinkel zweier Kurven: Winkel zwischen den Tangenten an der Schnittstelle, $\tan\alpha = \left|\tfrac{m_{1} - m_{2}}{1 + m_{1} m_{2}}\right|$.

Kernpunkte

• Schritt 1: Hauptbedingung (Zielgröße) und Nebenbedingung aus dem Sachkontext aufstellen.
• Schritt 2: Nebenbedingung nach einer Variable auflösen und in die Hauptbedingung einsetzen — Zielfunktion mit einer Variablen.
• Schritt 3: Definitionsbereich der Zielfunktion aus dem Sachkontext ableiten (z. B. positive Längen).
• Schritt 4: Mit Differentialrechnung Extremstelle bestimmen (notwendige und hinreichende Bedingung).
• Schritt 5: Randwerte des Definitionsbereichs zusätzlich prüfen — globales Optimum kann am Rand liegen.
• Klassische Aufgabentypen: maximale Fläche bei festem Umfang, minimales Materialverbrauchsproblem, maximaler Gewinn.