Samenvattingen · Wiskunde CNL · VWO

Visualisatie van data

Data worden pas begrijpelijk als je ze goed weergeeft. Je leert data ordenen in frequentietabellen met relatieve en cumulatieve frequenties, en de juiste grafiek kiezen bij het soort data: staafdiagram en cirkeldiagram voor categorieën, lijndiagram voor een tijdreeks, histogram voor gegroepeerde getallen, en de boxplot als vijf-getallensamenvatting om verdelingen te vergelijken. Ook leer je de vorm van een verdeling aflezen en misleidende grafieken herkennen. Dit onderwerp hoort tot de centraal-examenstof (subdomein E2).

4 Onderdelen~15 min leestijd4 VaardighedenNiveau Basis 1 · Standaard 3

T·121212 / 17

Examenprofiel

E2 · Data ordenen in frequentietabellen met relatieve en cumulatieve frequentiesE2 · De juiste grafiek kiezen en tekenen: staaf-, cirkel-, lijndiagram, histogramE2 · Een boxplot lezen en tekenen en verdelingen ermee vergelijkenE2 · De vorm van een verdeling aflezen en misleidende grafieken herkennen

Operatoren:tekenlees afbepaalvergelijkbeoordeel

basisniveau

Het ordenen en weergeven van data (subdomein E2) is centraal-examenstof en de eerste stap in elke statistische analyse.

verhoogd niveau

Verdieping: het kiezen van de passende grafiek en het herkennen van misleiding vragen een kritische, beargumenteerde blik op datavisualisatie.

Diepte

Tekst

Inhoud · 4 onderdelen

Visualisatie van data

Frequentietabellen en frequenties#

Basisexamenblad-wiskunde-c-domein-E2

Een frequentietabel ordent ruwe data door bij elke waarde te tellen hoe vaak hij voorkomt: die telling heet de frequentie. Afb. 1 hoort bij een enquête onder

26

gezinnen naar het aantal huisdieren:

0

huisdieren komt

8

keer voor,

1

komt

10

keer voor,

2

komt

5

keer,

3

komt

2

keer en

4

komt

1

keer. De som van alle frequenties is het totale aantal waarnemingen

n=26

. Zo'n tabel maakt een onoverzichtelijke lijst getallen in één oogopslag begrijpelijk, en vormt de basis voor grafieken en kengetallen.

Afb. 1 — Frequentieverdeling aantal huisdieren

Afb. 1Afb. 1 — Aantal huisdieren onder

26

gezinnen. De frequenties

8, 10, 5, 2, 1

tellen op tot

n=26

; de meeste gezinnen hebben

0

1

huisdier.

Naast de gewone (absolute) frequentie werk je vaak met de relatieve frequentie: het aandeel van elke waarde in het geheel, als breuk of percentage. Je berekent hem door de frequentie te delen door het totaal

n

. Voor «

1

huisdier » is dat

\frac{10}{26}\approx 0{,}385

, oftewel ongeveer

38{,}5\%

. Relatieve frequenties zijn handig om datasets van verschillende grootte eerlijk te vergelijken: percentages zijn onderling vergelijkbaar, absolute aantallen niet. De relatieve frequenties samen zijn altijd

1

(of

100\%

), want alle waarnemingen samen vormen het geheel.

De cumulatieve frequentie telt op « tot en met » een bepaalde waarde: je somt de frequenties van alle waarden tot en met die waarde op. Voor het aantal huisdieren is de cumulatieve frequentie « t/m

1

» gelijk aan

8+10=18

(gezinnen met

0

1

huisdier), « t/m

2

» is

18+5=23

, enzovoort tot « t/m

4

» gelijk aan het totaal

26

. Cumulatieve frequenties beantwoorden vragen als « hoeveel gezinnen hebben hoogstens

2

huisdieren? » in één keer, en leiden — gedeeld door

n

— tot de cumulatieve relatieve frequentie, die je bij percentielen en de mediaan gebruikt.

Bij continue of sterk uiteenlopende data groepeer je de waarnemingen eerst in klassen (intervallen van gelijke breedte), voordat je telt. In plaats van elke afzonderlijke lengte tel je dan bijvoorbeeld hoeveel personen tussen

160

170

cm vallen. De keuze van de klassenbreedte is een afweging: te brede klassen verbergen detail, te smalle maken de tabel weer rommelig. Een handige vuistregel is om ongeveer

5

tot

10

klassen te gebruiken. Gegroepeerde frequentietabellen zijn de opstap naar het histogram uit een latere paragraaf, waarin de klassen als aaneengesloten staven verschijnen.

\text{relatieve frequentie}=\frac{\text{frequentie}}{n}

Relatieve frequentie

Het aandeel van een waarde in het geheel, als breuk of percentage; alle relatieve frequenties samen zijn 1.

\text{cumulatieve frequentie t/m } x = \text{som van de frequenties} \le x

Cumulatieve frequentie

Het aantal waarnemingen tot en met de waarde x.

Uitgewerkt voorbeeld

Relatieve en cumulatieve frequenties berekenen

Gebruik de tabel: aantal huisdieren $0,1,2,3,4$ met frequenties $8,10,5,2,1$ ( $n=26$ ). (a) Bereken de relatieve frequentie van « $2$ huisdieren ». (b) Hoeveel gezinnen hebben hoogstens $1$ huisdier? (c) Welk percentage heeft minstens $2$ huisdieren?

(a) Relatieve frequentie
$\frac{5}{26}\approx 0{,}192$ , oftewel ongeveer $19{,}2\%$ .
$\frac{5}{26}\approx 0{,}192$
(b) Cumulatief t/m 1
$8+10=18$ gezinnen hebben $0$ of $1$ huisdier.
(c) Minstens 2 (complement)
Minstens $2$ is $5+2+1=8$ gezinnen, dus $\frac{8}{26}\approx 0{,}308$ , oftewel ongeveer $30{,}8\%$ .
$\frac{8}{26}\approx 0{,}308$

Resultaat: (a) ongeveer $19{,}2\%$ ; (b) $18$ gezinnen; (c) ongeveer $30{,}8\%$ heeft minstens $2$ huisdieren.

Veelgemaakte fouten

Relatieve frequenties niet delen door het totaal $n$ (of vergeten dat ze samen $1$ zijn).
Bij cumulatieve frequenties « tot » en « tot en met » verwarren.

Actieve herhaling

Een klas van $25$ leerlingen behaalde de cijfers: vijf keer een $5$ , acht keer een $6$ , zes keer een $7$ , vier keer een $8$ en twee keer een $9$ . Maak een frequentietabel met relatieve en cumulatieve frequenties en bepaal het percentage leerlingen met een voldoende (≥ $6$ ).

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein E: Statistiek en kansrekening (CvTE / DUO)

Staaf-, cirkel- en lijndiagrammen#

Standaardexamenblad-wiskunde-c-domein-E2

Voor het weergeven van data kies je het diagram dat bij het soort data past. Een staafdiagram gebruik je voor categorische (kwalitatieve) data: elke categorie krijgt een losse staaf, met tussenruimte ertussen om te benadrukken dat het losse groepen zijn. De hoogte van de staaf is de frequentie. Een staafdiagram is ideaal om categorieën met elkaar te vergelijken — welke komt het meest voor, welke het minst — omdat het oog hoogtes makkelijk vergelijkt. De volgorde van de staven is bij nominale data vrij; bij ordinale data houd je de natuurlijke volgorde aan.

Een cirkeldiagram (taartdiagram) toont hoe een geheel is verdeeld over categorieën: elke categorie krijgt een sector waarvan de hoek evenredig is met haar aandeel. Afb. 2 toont de verdeling van

100

ondervraagden over vier muziekgenres. De grootte van een sector bereken je door de relatieve frequentie te vermenigvuldigen met

360^{\circ}

: het genre pop met

40

van de

100

krijgt

\frac{40}{100}\cdot 360^{\circ}=144^{\circ}

. Een cirkeldiagram benadrukt de aandelen binnen het geheel, maar is minder geschikt om precieze waarden af te lezen of veel categorieën te tonen.

Afb. 2 — Cirkeldiagram muziekgenres

Afb. 2Afb. 2 — Favoriete muziekgenre van

100

ondervraagden. Pop (

40

) beslaat

\frac{40}{100}\cdot 360^{\circ}=144^{\circ}

van de cirkel.

Een lijndiagram gebruik je bij data die een ontwikkeling in de tijd laten zien: een tijdreeks. De metingen worden als punten geplaatst en met lijnstukken verbonden, zodat de trend — stijging, daling, pieken en dalen — zichtbaar wordt. Afb. 3 toont de jaarlijkse bezoekersaantallen van een museum over zes jaar. De verbindingslijnen suggereren een doorlopend verloop, en zijn daarom alléén op hun plaats als de horizontale as een continue grootheid (zoals tijd) voorstelt; bij losse categorieën horen staven, geen lijnen. De helling van het lijndiagram laat in één oogopslag zien hoe snel iets verandert.

Afb. 3 — Lijndiagram museumbezoek

Afb. 3Afb. 3 — Jaarlijks museumbezoek (

\times 1000

) van

2019

t/m

2024

: een stijgende tijdreeks. De verbindingslijnen tonen de trend over de tijd.

De keuze van het juiste diagram is een examenvaardigheid op zich. Vraag jezelf af: gaat het om losse categorieën (staaf of cirkel), om aandelen binnen een geheel (cirkel), of om een verloop in de tijd (lijn)? En gaat het om gegroepeerde getalsdata, dan hoort er een histogram bij (volgende paragraaf), niet een staafdiagram. Bij het tekenen let je op een eerlijke, duidelijk gelabelde as die bij

0

begint, want juist met de asindeling worden grafieken vaak misleidend gemaakt — een valkuil die de laatste paragraaf van dit onderwerp behandelt.

\text{sectorhoek}=\frac{\text{frequentie}}{n}\cdot 360^{\circ}

Cirkeldiagram

De hoek van een sector is de relatieve frequentie maal 360°.

Uitgewerkt voorbeeld

Sectorhoeken en het juiste diagram kiezen

Van $100$ ondervraagden kiest $40$ pop, $25$ hiphop, $20$ rock en $15$ klassiek. (a) Bereken de sectorhoek voor hiphop. (b) Welk diagram past bij deze data? (c) En welk diagram zou je kiezen om het bezoek per jaar over tien jaar te tonen?

(a) Sectorhoek hiphop
$\frac{25}{100}\cdot 360^{\circ}=90^{\circ}$ .
$\frac{25}{100}\cdot 360^{\circ}=90^{\circ}$
(b) Diagram voor aandelen
Het gaat om de verdeling van een geheel over categorieën: een cirkeldiagram (of een staafdiagram).
(c) Diagram voor een tijdreeks
Bezoek per jaar is een ontwikkeling in de tijd: een lijndiagram.

Resultaat: (a) $90^{\circ}$ ; (b) een cirkel- of staafdiagram; (c) een lijndiagram.

Veelgemaakte fouten

Een lijndiagram gebruiken voor losse categorieën; verbindingslijnen suggereren ten onrechte een doorlopend verloop.
Bij een cirkeldiagram de sectorhoek berekenen zonder eerst de relatieve frequentie te bepalen.

Actieve herhaling

In een klas reist $12$ met de fiets, $6$ te voet, $4$ met de bus en $3$ met de auto. Bereken de sectorhoeken voor een cirkeldiagram. Welk diagram zou je kiezen om de gemiddelde temperatuur per maand te tonen?

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein E: Statistiek en kansrekening (CvTE / DUO)

Histogram en klassenindeling#

Standaardexamenblad-wiskunde-c-domein-E2

Een histogram is het staafdiagram voor gegroepeerde getalsdata: je verdeelt de waarnemingen in klassen (aaneengesloten intervallen) en tekent per klasse een staaf. Anders dan bij een gewoon staafdiagram staan de staven tégen elkaar aan, zonder tussenruimte, omdat de horizontale as een doorlopende getallenschaal is en de klassen naadloos op elkaar aansluiten. Afb. 4 toont een histogram van de reistijd naar school van

30

leerlingen, in klassen van

10

minuten breed. De aaneengesloten staven benadrukken dat elke waarde ergens in het continue bereik valt.

Afb. 4 — Histogram van de reistijd naar school

Afb. 4Afb. 4 — Reistijd naar school van

30

leerlingen, in klassen van

10

minuten. De aaneengesloten staven tonen een licht rechtsscheve verdeling met de meeste leerlingen tussen

10

30

minuten.

De hoogte van elke staaf is de frequentie van die klasse: het aantal waarnemingen dat erin valt. Bij het maken van een histogram kies je eerst een geschikte klassenbreedte en klassengrenzen, en spreek je af aan welke kant een waarde precies op de grens hoort (meestal telt de ondergrens wél mee en de bovengrens niet, zodat elke waarde in precies één klasse valt). Deze afspraak voorkomt dubbeltellingen. Uit het histogram lees je meteen af waar de meeste waarnemingen liggen: de hoogste staaf is de klasse die het vaakst voorkomt (de modale klasse).

Aan de vorm van het histogram lees je het karakter van de verdeling af. Ligt de piek in het midden en zijn de flanken ongeveer even lang, dan is de verdeling symmetrisch (klokvormig) — de vorm die je bij de normale verdeling terugziet. Ligt de piek links met een lange staart naar rechts, dan is de verdeling rechtsscheef (bijvoorbeeld inkomens: veel lage, weinig zeer hoge); ligt de piek rechts met een staart naar links, dan is hij linksscheef. Ook zie je uitschieters (waarnemingen die ver van de rest liggen) en of er misschien twee pieken zijn. Deze vormkenmerken bepalen welke centrum- en spreidingsmaten passend zijn, het onderwerp van het volgende hoofdstuk.

Een histogram lijkt op een staafdiagram, maar de verschillen zijn wezenlijk en examenrelevant. Een staafdiagram hoort bij categorieën (losse staven, willekeurige volgorde mogelijk); een histogram hoort bij gegroepeerde getallen (aaneengesloten staven, vaste getalsvolgorde). Verwar je de twee, dan kies je de verkeerde weergave en trek je verkeerde conclusies over de vorm van de data. Bij het tekenen let je bovendien op een eerlijke, doorlopende horizontale schaal met gelijke klassenbreedtes, zodat de staafhoogtes onderling vergelijkbaar zijn en het histogram geen vertekend beeld geeft.

\text{staafhoogte} = \text{frequentie van de klasse}

Histogramstaaf

Bij gelijke klassenbreedte is de hoogte gelijk aan het aantal waarnemingen in de klasse.

Uitgewerkt voorbeeld

Een histogram lezen

Gebruik het histogram van de reistijd (klassen van $10$ min, frequenties $4, 9, 8, 6, 3$ ; $n=30$ ). (a) Wat is de modale klasse? (b) Hoeveel leerlingen reizen minder dan $30$ minuten? (c) Beschrijf de vorm van de verdeling.

(a) Modale klasse
De hoogste staaf is de klasse $[10,20)$ met $9$ leerlingen: de modale klasse.
(b) Minder dan 30 min
Klassen $[0,10)$ , $[10,20)$ en $[20,30)$ : $4+9+8=21$ leerlingen.
(c) Vorm
De piek ligt links van het midden met een aflopende staart naar rechts: de verdeling is licht rechtsscheef.

Resultaat: (a) de klasse $[10,20)$ minuten; (b) $21$ leerlingen; (c) een licht rechtsscheve verdeling.

Veelgemaakte fouten

Een histogram met tussenruimte tussen de staven tekenen; bij gegroepeerde getalsdata staan de staven tegen elkaar.
Een histogram en een staafdiagram verwarren; het eerste hoort bij gegroepeerde getallen, het tweede bij categorieën.

Actieve herhaling

De leeftijden van $40$ bezoekers zijn ingedeeld in klassen van $10$ jaar: $[0,10):3$ , $[10,20):11$ , $[20,30):9$ , $[30,40):8$ , $[40,50):6$ , $[50,60):3$ . Bepaal de modale klasse, het aantal bezoekers jonger dan $30$ jaar en beschrijf de vorm.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein E: Statistiek en kansrekening (CvTE / DUO)

Boxplot en het vergelijken van verdelingen#

Standaardexamenblad-wiskunde-c-domein-E2

Een boxplot vat een verdeling samen in vijf kengetallen — de vijf-getallensamenvatting — en toont die als een compacte figuur. De vijf getallen zijn: het minimum, het eerste kwartiel

Q_{1}

(de waarde waaronder een kwart van de data ligt), de mediaan

Q_{2}

(de middelste waarde, de helft eronder), het derde kwartiel

Q_{3}

(drie kwart eronder) en het maximum. Afb. 5 toont twee boxplots. De « box » loopt van

Q_{1}

tot

Q_{3}

en bevat dus de middelste

50\%

van de data; de streep in de box is de mediaan; en de « snorharen » (whiskers) reiken tot het minimum en het maximum.

Afb. 5 — Twee boxplots vergeleken

Afb. 5Afb. 5 — Cijfers van klas A en klas B. Klas B heeft een hogere mediaan (

7

tegen

6

) én een kleinere spreiding (kortere box): homogener en gemiddeld hoger.

Uit een boxplot lees je in één oogopslag centrum en spreiding af. De mediaanstreep geeft het centrum; de lengte van de box (van

Q_{1}

tot

Q_{3}

, de kwartielafstand) geeft de spreiding van het middendeel; en de totale lengte van minimum tot maximum geeft het bereik. Elk van de vier stukken van de boxplot bevat ongeveer een kwart van de waarnemingen, dus een kort stuk betekent dat de data daar dicht op elkaar liggen en een lang stuk dat ze uiteenlopen. Ligt de mediaan niet in het midden van de box, dan is de verdeling scheef: een mediaan dicht bij

Q_{1}

wijst op een rechtsscheve verdeling.

De grote kracht van de boxplot is dat je er meerdere verdelingen mee vergelijkt door de boxplots boven elkaar te tekenen op dezelfde schaal. In Afb. 5 staan de cijfers van twee klassen. Je vergelijkt dan de medianen (welke klasse scoorde gemiddeld hoger?), de kwartielafstanden (welke klasse is homogener?) en de bereiken (waar liggen de uitersten?). Zo zie je bijvoorbeeld dat de ene klasse een hogere mediaan maar een grotere spreiding heeft dan de andere — een rijker beeld dan een enkel gemiddelde zou geven. Deze vergelijking van verdelingen is precies waarvoor de boxplot op het examen wordt ingezet.

Soms bevat een boxplot ook uitschieters: waarnemingen die ongewoon ver van de rest liggen. Die teken je als losse punten buiten de whiskers, zodat ze het beeld van de « gewone » spreiding niet vertekenen; de whiskers reiken dan tot de meest extreme waarde die géén uitschieter is. Een veelgebruikte regel merkt een waarneming als uitschieter aan wanneer hij meer dan

1{,}5

keer de kwartielafstand voorbij

Q_{1}

Q_{3}

ligt. Het apart weergeven van uitschieters maakt duidelijk of een extreme waarde het beeld beïnvloedt — een nuance die je bij het interpreteren van data altijd meeneemt.

\text{vijf-getallensamenvatting: } \min,\ Q_{1},\ \text{mediaan},\ Q_{3},\ \max

Boxplot

De box loopt van Q1 tot Q3 (middelste 50%), met de mediaan als streep; de whiskers reiken tot min en max.

Uitgewerkt voorbeeld

Een boxplot lezen en twee verdelingen vergelijken

Voor klas A geldt de vijf-getallensamenvatting $3, 5, 6, 8, 10$ ; voor klas B $5, 6, 7, 8, 9$ . (a) Wat is de kwartielafstand van klas A? (b) Welke klasse heeft de grootste spreiding? (c) Welke klasse scoorde gemiddeld hoger, en hoe zie je dat?

(a) Kwartielafstand A
$Q_{3}-Q_{1}=8-5=3$ .
$\text{IQR}_A=Q_{3}-Q_{1}=8-5=3$
(b) Spreiding vergelijken
Bereik A $=10-3=7$ ; bereik B $=9-5=4$ . Klas A heeft de grootste spreiding (langere box en whiskers).
(c) Centrum vergelijken
De mediaan van B ( $7$ ) ligt hoger dan die van A ( $6$ ): klas B scoorde gemiddeld hoger, af te lezen aan de hogere mediaanstreep.

Resultaat: (a) IQR $=3$ ; (b) klas A heeft de grootste spreiding; (c) klas B scoorde hoger (mediaan $7$ tegen $6$ ).

Veelgemaakte fouten

Denken dat een langere box meer waarnemingen bevat; elk deel van de boxplot bevat ongeveer een kwart van de data, ongeacht de lengte.
De mediaan voor het gemiddelde aanzien; de boxplot toont de mediaan, niet het rekenkundig gemiddelde.

Actieve herhaling

Twee steden hebben deze maandtemperaturen (vijf-getallensamenvatting, °C): stad X $=4, 9, 14, 19, 24$ en stad Y $=8, 11, 13, 16, 20$ . Teken beide boxplots op dezelfde schaal en vergelijk centrum en spreiding.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein E: Statistiek en kansrekening (CvTE / DUO)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / DUO

Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein E: Statistiek en kansrekening

Visualisatie van data

Kernpunten

Relatieve en cumulatieve frequenties berekenen

Kernpunten

Sectorhoeken en het juiste diagram kiezen

Kernpunten

Een histogram lezen

Kernpunten

Een boxplot lezen en twee verdelingen vergelijken

Bronnen

Visualisatie van data

Kernpunten

Relatieve en cumulatieve frequenties berekenen

Kernpunten

Sectorhoeken en het juiste diagram kiezen

Kernpunten

Een histogram lezen

Kernpunten

Een boxplot lezen en twee verdelingen vergelijken

Bronnen