Samenvattingen · Wiskunde CNL · VWO

Kwantificering van data

Kwantificering vat een dataset samen in kengetallen. Je leert de centrummaten gemiddelde, mediaan en modus berekenen en kiezen, en de spreidingsmaten bereik, kwartielafstand en standaardafwijking. Ook komen kwartielen en percentielen en hun verband met de boxplot aan bod, plus het effect van uitschieters, het gewogen gemiddelde en het bepalen van kengetallen met de grafische rekenmachine (1-Var Stats). Dit onderwerp hoort tot de centraal-examenstof (subdomein E3).

4 Onderdelen~14 min leestijd4 VaardighedenNiveau Basis 1 · Standaard 3

T·131313 / 17

Examenprofiel

E3 · Centrummaten (gemiddelde, mediaan, modus) berekenen en de passende maat kiezenE3 · Spreidingsmaten (bereik, kwartielafstand, standaardafwijking) berekenenE3 · Kwartielen en percentielen bepalen en aan de boxplot koppelenE3 · Het effect van uitschieters beoordelen, het gewogen gemiddelde en de GR (1-Var Stats) gebruiken

Operatoren:berekenbepaalkiesberedeneerinterpreteer

basisniveau

Centrum- en spreidingsmaten (subdomein E3) zijn centraal-examenstof en het rekenkundige hart van de beschrijvende statistiek.

verhoogd niveau

Verdieping: het beredeneren van het effect van uitschieters en het kiezen van de robuuste maat (mediaan/IQR) scherpt het statistisch inzicht aan.

Diepte

Tekst

Inhoud · 4 onderdelen

Kwantificering van data

Centrummaten: gemiddelde, mediaan en modus#

Basisexamenblad-wiskunde-c-domein-E3

Een centrummaat vat met één getal samen waar het « midden » van een dataset ligt. Er zijn drie, elk met een eigen betekenis. Het (rekenkundig) gemiddelde

\bar{x}

bereken je door alle waarden op te tellen en te delen door het aantal

n

\bar{x}=\frac{\sum x_{i}}{n}

. De mediaan is de middelste waarde als je de data op volgorde zet (bij een even aantal het gemiddelde van de twee middelste). De modus is de waarde die het vaakst voorkomt. Afb. 1 toont de cijferverdeling van

10

leerlingen, waarvoor deze drie maten samenvallen bij ongeveer dezelfde plek, maar dat is niet altijd zo.

Afb. 1 — Cijferverdeling van 10 leerlingen

Afb. 1Afb. 1 — De cijfers

4,5,5,6,6,6,7,7,8,9

. Gemiddelde

6{,}3

, mediaan

6

, modus

6

: bij deze redelijk symmetrische verdeling liggen de centrummaten dicht bijeen.

Voor de dataset in Afb. 1 — de cijfers

4,5,5,6,6,6,7,7,8,9

— reken je de drie maten uit. Het gemiddelde is

\frac{4+5+5+6+6+6+7+7+8+9}{10}=\frac{63}{10}=6{,}3

. De mediaan is het gemiddelde van de

5

e en

6

e waarde in de gesorteerde rij, dus

\frac{6+6}{2}=6

. En de modus is

6

, want dat cijfer komt het vaakst voor (

3

keer). Bij deze redelijk symmetrische verdeling liggen de drie maten dicht bij elkaar; bij een scheve verdeling lopen ze juist uiteen, en dan wordt de keuze tussen de maten belangrijk.

Welke centrummaat het meest geschikt is, hangt af van de data. Het gemiddelde gebruikt alle waarden en is daardoor gevoelig voor uitschieters: één extreem grote waarde trekt het gemiddelde flink mee. De mediaan kijkt alleen naar de middelste positie en is dus robuust: uitschieters laten haar vrijwel ongemoeid. De modus is de enige maat die ook voor kwalitatieve (categorische) data werkt — je kunt de « modale kleur » bepalen, maar niet het « gemiddelde ». Bij scheve verdelingen of data met uitschieters (zoals inkomens of huizenprijzen) geeft de mediaan daarom vaak een eerlijker beeld dan het gemiddelde.

De keuze van de centrummaat hangt ook samen met het meetniveau uit een eerder hoofdstuk. Op nominaal niveau kun je alleen de modus bepalen; op ordinaal niveau ook de mediaan; en pas op interval- en rationiveau, waar optellen en delen zinvol zijn, mag je het gemiddelde berekenen. Op het examen wordt vaak gevraagd niet alleen een centrummaat te berekenen, maar ook te beargumenteren welke maat het meest passend is — bijvoorbeeld « waarom geeft de mediaan hier een beter beeld van een typisch salaris dan het gemiddelde? ». Dat argument leunt telkens op de robuustheid van de mediaan tegenover de gevoeligheid van het gemiddelde.

\bar{x}=\frac{\sum x_{i}}{n}

Gemiddelde

De som van alle waarden gedeeld door het aantal; gebruikt alle data, gevoelig voor uitschieters.

\text{mediaan} = \text{middelste waarde (gesorteerd)}

Mediaan

Bij een even aantal het gemiddelde van de twee middelste; robuust tegen uitschieters.

Uitgewerkt voorbeeld

Drie centrummaten berekenen en kiezen

De maandsalarissen (× €1000) in een klein bedrijf zijn: $2, 2, 2{,}5, 3, 3, 8$ . (a) Bereken gemiddelde, mediaan en modus. (b) Welke maat geeft het beste beeld van een « typisch » salaris, en waarom?

(a) Gemiddelde
$\frac{2+2+2{,}5+3+3+8}{6}=\frac{20{,}5}{6}\approx 3{,}42$ (× €1000).
$\bar{x}=\frac{20{,}5}{6}\approx 3{,}42$
(a) Mediaan en modus
Gesorteerd: $2,2,2{,}5,3,3,8$ . De twee middelste zijn $2{,}5$ en $3$ , dus mediaan $\frac{2{,}5+3}{2}=2{,}75$ . De modus is $2$ (en $3$ , beide twee keer).
(b) Keuze verantwoorden
Het salaris van $8$ is een uitschieter die het gemiddelde ( $3{,}42$ ) omhoog trekt. De mediaan ( $2{,}75$ ) is robuust en geeft een eerlijker beeld van een typisch salaris.

Resultaat: (a) gemiddelde $\approx 3{,}42$ , mediaan $2{,}75$ , modus $2$ en $3$ ; (b) de mediaan, omdat die niet door de uitschieter $8$ wordt vertekend.

Veelgemaakte fouten

Bij een even aantal waarnemingen de mediaan als één van de twee middelste nemen in plaats van hun gemiddelde.
Het gemiddelde berekenen op ordinale of nominale data, waar dat niet zinvol is.

Actieve herhaling

Een dataset is $3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 20$ . Bereken gemiddelde, mediaan en modus, en leg uit welke maat het meest representatief is voor een « typische » waarde.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein E: Statistiek en kansrekening (CvTE / DUO)

Spreiding: bereik, kwartielafstand en standaardafwijking#

Standaardexamenblad-wiskunde-c-domein-E3

Een centrummaat vertelt waar het midden ligt, maar niet hoe ver de waarnemingen daaromheen verspreid zijn. Daarvoor dienen spreidingsmaten. De eenvoudigste is het bereik (de spreidingsbreedte): het verschil tussen de grootste en de kleinste waarde,

\max-\min

. Het bereik is snel bepaald, maar erg gevoelig voor uitschieters, want het hangt volledig af van de twee uiterste waarden. Twee datasets met hetzelfde bereik kunnen bovendien heel verschillend verspreid zijn — het bereik zegt niets over de verdeling ertussen.

De kwartielafstand (IQR, van « interkwartielafstand ») is een robuustere spreidingsmaat: het verschil tussen het derde en het eerste kwartiel,

\text{IQR}=Q_{3}-Q_{1}

. Dit is de breedte van het middendeel waarin de middelste

50\%

van de data ligt, en dus precies de lengte van de box in een boxplot. Omdat de kwartielafstand de uiterste kwart aan beide kanten wegsnijdt, is hij ongevoelig voor uitschieters — net als de mediaan. Voor scheve verdelingen of data met uitschieters is de combinatie mediaan (centrum) en kwartielafstand (spreiding) daarom de aangewezen samenvatting.

De meest gebruikte spreidingsmaat is de standaardafwijking

\sigma

, die meet hoe ver de waarnemingen gemiddeld van het gemiddelde af liggen. Je berekent hem in stappen: neem van elke waarde de afwijking tot het gemiddelde, kwadrateer die afwijkingen (zodat plus en min elkaar niet opheffen en grote afwijkingen zwaar meetellen), neem daarvan het gemiddelde (dat is de variantie), en trek ten slotte de wortel om weer in de oorspronkelijke eenheid te komen:

\sigma=\sqrt{\frac{\sum(x_{i}-\bar{x})^{2}}{n}}

. Een kleine

\sigma

betekent dat de data dicht om het gemiddelde liggen, een grote

\sigma

dat ze sterk uiteenlopen.

De standaardafwijking geeft een handige « typische afstand » tot het gemiddelde. Afb. 2 markeert op een getallenlijn het gemiddelde

\bar{x}=6{,}3

en de punten

\bar{x}\pm\sigma

(met

\sigma\approx 1{,}42

voor de cijferdataset uit de vorige paragraaf): het grootste deel van de waarnemingen ligt binnen die band. Bij de normale verdeling wordt dat later zelfs een precieze vuistregel (

68\%

binnen één

\sigma

). Het onderscheid tussen de spreidingsmaten is examenrelevant: gebruik het bereik voor een ruwe indruk, de kwartielafstand bij scheve data of uitschieters, en de standaardafwijking als je alle waarnemingen wilt meewegen bij een redelijk symmetrische verdeling.

Afb. 2 — Gemiddelde en x̄ ± σ op de getallenlijn

Afb. 2Afb. 2 — Voor de cijferdataset: gemiddelde

\bar{x}=6{,}3

en de band

\bar{x}\pm\sigma

(met

\sigma\approx 1{,}42

), van ongeveer

4{,}9

tot

7{,}7

. De meeste waarnemingen liggen binnen deze band.

\text{bereik}=\max-\min, \qquad \text{IQR}=Q_{3}-Q_{1}

Bereik en kwartielafstand

Bereik = grootste min kleinste; IQR = breedte van het middelste 50% (de box).

\sigma=\sqrt{\frac{\sum(x_{i}-\bar{x})^{2}}{n}}

Standaardafwijking

De wortel van de gemiddelde gekwadrateerde afwijking van het gemiddelde; een typische afstand tot x̄.

Uitgewerkt voorbeeld

Spreidingsmaten berekenen

Een dataset is $2, 4, 4, 6, 9$ ( $n=5$ ). (a) Bereken het bereik. (b) Bereken het gemiddelde en daarna de standaardafwijking. (c) Wat betekent de uitkomst?

(a) Bereik
$\max-\min=9-2=7$ .
(b) Gemiddelde
$\bar{x}=\frac{2+4+4+6+9}{5}=\frac{25}{5}=5$ .
(b) Standaardafwijking
Gekwadrateerde afwijkingen: $(2-5)^2=9$ , $(4-5)^2=1$ , $(4-5)^2=1$ , $(6-5)^2=1$ , $(9-5)^2=16$ . Som $=28$ ; variantie $\frac{28}{5}=5{,}6$ ; $\sigma=\sqrt{5{,}6}\approx 2{,}37$ .
$\sigma=\sqrt{\frac{28}{5}}=\sqrt{5{,}6}\approx 2{,}37$
(c) Betekenis
De waarnemingen liggen gemiddeld ongeveer $2{,}37$ van het gemiddelde $5$ af.

Resultaat: (a) bereik $7$ ; (b) $\bar{x}=5$ en $\sigma\approx 2{,}37$ ; (c) de typische afstand tot het gemiddelde is ongeveer $2{,}37$ .

Veelgemaakte fouten

Bij de standaardafwijking vergeten de wortel te trekken; $\frac{\sum(x_{i}-\bar{x})^{2}}{n}$ is de variantie, niet de standaardafwijking.
De kwartielafstand berekenen als $\max-\min$ in plaats van $Q_{3}-Q_{1}$ .

Actieve herhaling

Een dataset is $10, 12, 12, 14, 22$ . Bereken het bereik, het gemiddelde en de standaardafwijking. Leg uit hoe de waarde $22$ het bereik en de standaardafwijking beïnvloedt.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein E: Statistiek en kansrekening (CvTE / DUO)

Kwartielen, percentielen en de boxplot#

Standaardexamenblad-wiskunde-c-domein-E3

Kwartielen verdelen een gesorteerde dataset in vier even grote delen. De mediaan (het tweede kwartiel

Q_{2}

) splitst de data in twee helften; het eerste kwartiel

Q_{1}

is de mediaan van de onderste helft, en het derde kwartiel

Q_{3}

de mediaan van de bovenste helft. Zo ligt onder

Q_{1}

ongeveer een kwart van de data, onder de mediaan de helft, en onder

Q_{3}

drie kwart. Samen met het minimum en het maximum vormen de kwartielen de vijf-getallensamenvatting, die precies de boxplot uit het vorige onderwerp voedt. Afb. 3 toont die koppeling voor een concrete dataset.

Afb. 3 — Vijf-getallensamenvatting als boxplot

Afb. 3Afb. 3 — De dataset

12,\ldots,40

heeft vijf-getallensamenvatting

12, 18, 25, 33, 40

. De box loopt van

Q_{1}=18

tot

Q_{3}=33

; de kwartielafstand is

15

Voor de dataset

12,15,18,20,22,25,28,30,33,35,40

(elf gesorteerde waarden) is de mediaan de

6

e waarde,

25

. De onderste helft is

12,15,18,20,22

, met mediaan

18

: dat is

Q_{1}

. De bovenste helft is

28,30,33,35,40

, met mediaan

33

: dat is

Q_{3}

. Met minimum

12

en maximum

40

krijg je de vijf-getallensamenvatting

12, 18, 25, 33, 40

— precies de kentallen die de boxplot in Afb. 3 tekenen. Merk op dat de kwartielafstand hier

Q_{3}-Q_{1}=33-18=15

is: de breedte van de box.

Percentielen veralgemenen dit idee naar honderd delen. Het

p

-de percentiel is de waarde waaronder ongeveer

p\%

van de data ligt: het

25

e percentiel is

Q_{1}

, het

50

e de mediaan, het

75

e is

Q_{3}

. Percentielen zijn handig om een individuele waarneming in de groep te plaatsen: scoort een leerling op het

90

e percentiel, dan doet hij het beter dan ongeveer

90\%

van de groep. Groeicurven van kinderen werken zo, en ook examenuitslagen worden er vaak mee beschreven. Je leest een percentiel af uit een cumulatieve frequentieverdeling.

De boxplot en de kwartielen vormen samen een krachtige, robuuste manier om een verdeling samen te vatten. Omdat kwartielen op posities zijn gebaseerd en niet op de precieze waarden, zijn ze — net als de mediaan — ongevoelig voor uitschieters. Daarom kies je bij scheve verdelingen of data met extreme waarden voor de samenvatting met mediaan en kwartielen (de boxplot), in plaats van gemiddelde en standaardafwijking. Het correct bepalen van de kwartielen (let op: eerst de mediaan, dan de mediaan van elke helft) en het koppelen ervan aan de boxplot is een klassiek en veelgetoetst examenonderdeel.

Q_{1}=25\text{e percentiel}, \quad Q_{2}=\text{mediaan}=50\text{e}, \quad Q_{3}=75\text{e percentiel}

Kwartielen en percentielen

Kwartielen verdelen de data in vier gelijke delen; het p-de percentiel heeft p% eronder.

Uitgewerkt voorbeeld

Kwartielen bepalen

Gegeven de gesorteerde dataset $12, 15, 18, 20, 22, 25, 28, 30, 33, 35, 40$ ( $n=11$ ). (a) Bepaal de mediaan. (b) Bepaal $Q_{1}$ en $Q_{3}$ . (c) Bereken de kwartielafstand.

(a) Mediaan
De middelste (6e) waarde van $11$ getallen is $25$ .
(b) Kwartielen
Onderste helft $12,15,18,20,22$ : mediaan $Q_{1}=18$ . Bovenste helft $28,30,33,35,40$ : mediaan $Q_{3}=33$ .
(c) Kwartielafstand
$\text{IQR}=Q_{3}-Q_{1}=33-18=15$ .
$\text{IQR}=33-18=15$

Resultaat: (a) mediaan $25$ ; (b) $Q_{1}=18$ , $Q_{3}=33$ ; (c) kwartielafstand $15$ .

Veelgemaakte fouten

$Q_{1}$ en $Q_{3}$ bepalen zonder eerst de data te sorteren of zonder eerst de mediaan te vinden.
Bij een oneven aantal de middelste waarde meenemen in beide helften bij het bepalen van de kwartielen (afspraken kunnen verschillen; wees consistent).

Actieve herhaling

Bepaal voor de gesorteerde dataset $5, 7, 8, 10, 12, 15, 18, 20, 25$ de mediaan, $Q_{1}$ , $Q_{3}$ en de kwartielafstand, en geef de vijf-getallensamenvatting.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein E: Statistiek en kansrekening (CvTE / DUO)

Uitschieters, gewogen gemiddelde en de GR#

Standaardexamenblad-wiskunde-c-domein-E3

Een uitschieter is een waarneming die ver van de rest van de data ligt, en die de kengetallen sterk kan beïnvloeden. Afb. 4 toont acht maandsalarissen, waarvan één (van

120

× €1000) veel hoger is dan de rest. Het gemiddelde van deze dataset is

\frac{295}{8}\approx 36{,}9

(× €1000), maar dat getal is misleidend: zeven van de acht mensen verdienen tussen de

20

30

. De mediaan,

\frac{25+26}{2}=25{,}5

, geeft een veel eerlijker beeld van een typisch salaris. Dit is de kern van het uitschieterprobleem: het gemiddelde en het bereik zijn gevoelig, de mediaan en de kwartielafstand robuust.

Afb. 4 — Een uitschieter vertekent het gemiddelde

Afb. 4Afb. 4 — Acht salarissen (× €1000). Het gemiddelde (

\approx 36{,}9

) wordt omhoog getrokken door de uitschieter

120

; de mediaan (

25{,}5

) blijft dicht bij de meeste waarnemingen.

Bij het beoordelen van een uitschieter vraag je je twee dingen af: is het een echte, betekenisvolle waarde (een directeur met een hoog salaris) of een meet- of invoerfout, en welk effect heeft hij op je conclusie? Een echte uitschieter verwijder je niet zomaar, maar je kiest wél de robuuste maten (mediaan, IQR) om de « gewone » situatie te beschrijven. Een duidelijke fout mag je corrigeren of weglaten, mits je dat verantwoordt. Deze afweging — meenemen, apart benoemen, of corrigeren — hoort bij het kritisch omgaan met data en wordt op het examen expliciet gevraagd.

Soms tellen niet alle waarden even zwaar mee, en gebruik je een gewogen gemiddelde. Elke waarde

x_{i}

krijgt dan een gewicht

w_{i}

, en je berekent

\bar{x}=\frac{\sum w_{i}x_{i}}{\sum w_{i}}

. Het klassieke voorbeeld is een eindcijfer waarin toetsen verschillend wegen: telt een schriftelijk examen driemaal zo zwaar als een tussentoets, dan geef je het gewicht

3

tegenover

1

. Ook een frequentietabel is een gewogen gemiddelde in vermomming: de frequenties zijn de gewichten, want een waarde die vaker voorkomt, telt vaker mee. Het gewogen gemiddelde voorkomt dat je alle waarden ten onrechte even zwaar meetelt.

In de praktijk bereken je deze kengetallen met de grafische rekenmachine, wat veel rekenwerk bespaart en de kans op fouten verkleint. Je voert de data in een lijst in (bij een frequentietabel de waarden in één lijst en de frequenties in een tweede als « FreqList »), en kiest dan 1-Var Stats. De rekenmachine geeft in één keer het gemiddelde

\bar{x}

, de standaardafwijking

\sigma x

, en de vijf-getallensamenvatting (

\min

Q_{1}

\text{Med}

Q_{3}

\max

). Deze functie is onmisbaar bij grotere datasets; wel blijf je zelf verantwoordelijk voor de interpretatie — welke maat past, en wat betekent hij in de context.

\bar{x}=\frac{\sum w_{i}\,x_{i}}{\sum w_{i}}

Gewogen gemiddelde

Elke waarde telt mee met haar gewicht (of frequentie); deel door de som van de gewichten.

Uitgewerkt voorbeeld

Gewogen gemiddelde berekenen

Een eindcijfer bestaat uit drie toetsen: een schriftelijk examen (cijfer $7$ , weegt $3\times$ ), een praktische opdracht (cijfer $8$ , weegt $2\times$ ) en een tussentoets (cijfer $5$ , weegt $1\times$ ). Bereken het eindcijfer als gewogen gemiddelde.

Teller: gewicht maal cijfer
$3\cdot 7+2\cdot 8+1\cdot 5=21+16+5=42$ .
Noemer: som van de gewichten
$3+2+1=6$ .
Deel
$\frac{42}{6}=7{,}0$ .
$\bar{x}=\frac{3\cdot 7+2\cdot 8+1\cdot 5}{3+2+1}=\frac{42}{6}=7{,}0$

Resultaat: Het eindcijfer is $7{,}0$ .

Veelgemaakte fouten

Bij een gewogen gemiddelde delen door het aantal waarden in plaats van door de som van de gewichten.
Een uitschieter zonder verantwoording weglaten; beoordeel eerst of het een fout of een echte waarde is.

Actieve herhaling

Bereken het gewogen gemiddelde van de cijfers $6$ (weegt $1$ ), $7$ (weegt $2$ ) en $9$ (weegt $1$ ). Beredeneer daarna hoe de mediaan en het gemiddelde van de dataset $4, 5, 5, 6, 40$ veranderen als je de $40$ vervangt door $7$ .

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein E: Statistiek en kansrekening (CvTE / DUO)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / DUO

Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein E: Statistiek en kansrekening

Kwantificering van data

Kernpunten

Drie centrummaten berekenen en kiezen

Kernpunten

Spreidingsmaten berekenen

Kernpunten

Kwartielen bepalen

Kernpunten

Gewogen gemiddelde berekenen

Bronnen

Kwantificering van data

Kernpunten

Drie centrummaten berekenen en kiezen

Kernpunten

Spreidingsmaten berekenen

Kernpunten

Kwartielen bepalen

Kernpunten

Gewogen gemiddelde berekenen

Bronnen