Samenvattingen · Wiskunde CNL · VWO

Kansbegrip

Kansrekening maakt onzekerheid meetbaar. Je leert kans opvatten als relatieve frequentie (empirisch) en als theoretische kans volgens Laplace (gunstig gedeeld door mogelijk), en rekenen met de som-, complement- en productregel. Daarna komen kansbomen en wegendiagrammen om samengestelde kansen te berekenen, en de voorwaardelijke kans, mede met Venn-diagrammen. De combinatoriek uit een eerder onderwerp gebruik je om kansen te tellen. Dit onderwerp hoort tot de centraal-examenstof (subdomein E4).

4 Onderdelen~15 min leestijd4 VaardighedenNiveau Basis 1 · Standaard 2 · Verdieping 1

T·141414 / 17

Examenprofiel

E4 · Kans als relatieve frequentie (empirisch) en als theoretische kans volgens Laplace berekenenE4 · De som-, complement- en productregel toepassenE4 · Kansen berekenen met een kansboom (vermenigvuldigen langs takken, optellen over paden)E4 · Voorwaardelijke kansen berekenen en interpreteren, ook met Venn-diagrammen

Operatoren:berekenbepaalinterpreteertoon aanberedeneer

basisniveau

Het kansbegrip en de kansregels (subdomein E4) zijn centraal-examenstof en de basis voor de kansverdelingen.

verhoogd niveau

Verdieping: de voorwaardelijke kans en het redeneren met kansbomen en Venn-diagrammen vragen een zorgvuldige, gestructureerde aanpak.

Diepte

Tekst

Inhoud · 4 onderdelen

Kansbegrip

Kansbegrip: empirisch en theoretisch (Laplace)#

Basisexamenblad-wiskunde-c-domein-E4

Een kans is een getal tussen

0

1

dat aangeeft hoe waarschijnlijk een gebeurtenis is. Afb. 1 toont de kansenschaal:

0

betekent onmogelijk,

1

betekent zeker, en

0{,}5

betekent even waarschijnlijk als niet. Een kans van

0{,}25

ligt daar tussenin: de gebeurtenis treedt in ongeveer een kwart van de gevallen op. Kansen kun je als breuk, decimaal of percentage schrijven (

\frac{1}{4}=0{,}25=25\%

). Deze schaal legt meteen een handige grens vast: elke berekende kans die kleiner dan

0

of groter dan

1

uitvalt, is per definitie fout.

Afb. 1 — De kansenschaal van 0 tot 1

Afb. 1Afb. 1 — Elke kans ligt tussen

0

(onmogelijk) en

1

(zeker). Bij

0{,}5

is de gebeurtenis even waarschijnlijk als niet.

Er zijn twee manieren om een kans te bepalen. De empirische (experimentele) kans schat je uit waarnemingen: je voert het experiment vaak uit en neemt de relatieve frequentie van de gebeurtenis. Gooi je

200

keer met een punaise en valt hij

130

keer op zijn rug, dan schat je die kans op

\frac{130}{200}=0{,}65

. Hoe vaker je het experiment herhaalt, hoe stabieler die schatting wordt — dat heet de wet van de grote aantallen: de relatieve frequentie nadert op de lange duur de « echte » kans.

De theoretische kans bereken je zonder te experimenteren, als alle uitkomsten even waarschijnlijk zijn. Dan geldt de regel van Laplace:

P(A)=\frac{\text{aantal gunstige uitkomsten}}{\text{aantal mogelijke uitkomsten}}

. Bij een eerlijke dobbelsteen is de kans op een even aantal ogen

\frac{3}{6}=\frac{1}{2}

, want er zijn

3

gunstige uitkomsten (

2,4,6

) op

6

mogelijke. De voorwaarde « even waarschijnlijk » is essentieel: bij een oneerlijke dobbelsteen of ongelijke uitkomsten mag je Laplace níet gebruiken, en val je terug op de empirische kans of op een kansmodel.

De combinatoriek uit een eerder onderwerp is hier het telgereedschap. Bij Laplace moet je immers het aantal gunstige én het aantal mogelijke uitkomsten tellen, en juist bij grotere problemen doe je dat met het vermenigvuldigingsprincipe, permutaties of combinaties. De kans om bij het trekken van

2

kaarten uit

52

twee azen te krijgen bereken je bijvoorbeeld met combinaties:

\frac{\binom{4}{2}}{\binom{52}{2}}

. Zo vloeit het kansbegrip direct voort uit het tellen: eerst tellen hoeveel uitkomsten er zijn, dan de verhouding gunstig/mogelijk nemen.

P(A)=\frac{\text{aantal gunstige uitkomsten}}{\text{aantal mogelijke uitkomsten}}

Regel van Laplace

De theoretische kans als alle uitkomsten even waarschijnlijk zijn.

P(A)\approx \frac{\text{aantal keer } A}{\text{aantal experimenten}}

Empirische kans

De relatieve frequentie; nadert op de lange duur de echte kans (wet van de grote aantallen).

Uitgewerkt voorbeeld

Theoretische en empirische kans

(a) Bereken de theoretische kans op precies één zes bij het gooien met twee dobbelstenen. (b) Een punaise valt in $200$ worpen $130$ keer op zijn rug — schat de kans. (c) Waarom mag je bij de punaise Laplace niet gebruiken?

(a) Tel gunstig en mogelijk
Er zijn $6\cdot 6=36$ mogelijke uitkomsten. Gunstig (precies één zes): zes staat op de eerste én niet op de tweede ( $1\cdot 5=5$ ) óf andersom ( $5$ ), samen $10$ .
$P=\frac{10}{36}=\frac{5}{18}\approx 0{,}278$
(b) Empirische schatting
Relatieve frequentie: $\frac{130}{200}=0{,}65$ .
(c) Geen gelijke uitkomsten
Een punaise valt niet met gelijke kans op rug of op zij (de uitkomsten zijn niet even waarschijnlijk), dus Laplace geldt niet; je moet de kans schatten uit waarnemingen.

Resultaat: (a) $\frac{10}{36}=\frac{5}{18}\approx 0{,}278$ ; (b) ongeveer $0{,}65$ ; (c) omdat de uitkomsten niet even waarschijnlijk zijn.

Veelgemaakte fouten

Laplace toepassen terwijl de uitkomsten niet even waarschijnlijk zijn.
Een kans groter dan $1$ of kleiner dan $0$ als antwoord accepteren; elke kans ligt tussen $0$ en $1$ .

Actieve herhaling

Bereken de theoretische kans om met één dobbelsteen minstens een $5$ te gooien. Een muntstuk wordt $50$ keer geworpen en valt $32$ keer op kop; schat de kans op kop en leg uit of dit muntstuk zuiver lijkt.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein E: Statistiek en kansrekening (CvTE / DUO)

Kansregels: som, complement en product#

Standaardexamenblad-wiskunde-c-domein-E4

Met een paar rekenregels bereken je kansen van samengestelde gebeurtenissen. De complementregel is de eenvoudigste: de kans dat een gebeurtenis níet optreedt, is

1

min de kans dat ze wél optreedt,

P(A^{c})=1-P(A)

. Deze regel is vaak een tijdbesparing, want « minstens één » bereken je meestal het snelst als

1

min « geen enkele ». De kans op minstens één zes bij drie worpen is bijvoorbeeld

1-P(\text{geen zes})=1-\left(\frac{5}{6}\right)^{3}

, veel korter dan alle gunstige gevallen los tellen.

De somregel gaat over de kans dat gebeurtenis

A

óf gebeurtenis

B

optreedt (of allebei):

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)

. Je telt de twee kansen op, maar trekt de overlap

P(A\cap B)

er weer af, omdat je die anders dubbel telt. Afb. 2 maakt dat zichtbaar met een Venn-diagram: het gebied

A

en het gebied

B

overlappen in

A\cap B

, en bij het optellen van beide cirkels tel je die overlap twee keer. Sluiten

A

B

elkaar uit (geen overlap), dan is

P(A\cap B)=0

en vereenvoudigt de somregel tot

P(A\cup B)=P(A)+P(B)

Afb. 2 — Venn-diagram voor de somregel

Afb. 2Afb. 2 — Onder

100

leerlingen doet

A

(sport) er

50

B

(muziek) er

45

, met

20

die beide doen.

P(A\cup B)=0{,}50+0{,}45-0{,}20=0{,}75

: de overlap wordt één keer geteld.

De productregel gaat over de kans dat

A

én

B

beide optreden. Voor onafhankelijke gebeurtenissen — waarbij de uitkomst van de een de kans op de ander niet beïnvloedt — geldt

P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)

. De kans op twee keer kop bij twee muntworpen is zo

\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}

. Zijn de gebeurtenissen níet onafhankelijk (bijvoorbeeld trekken zonder terugleggen, waarbij de tweede kans van de eerste trekking afhangt), dan gebruik je de productregel met een voorwaardelijke kans,

P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A)

— het onderwerp van de laatste paragraaf.

Het goed toepassen van deze regels begint bij het herkennen van de sleutelwoorden. « Of » wijst op de somregel (optellen, overlap eraf), « en » op de productregel (vermenigvuldigen), en « niet » of « minstens » op de complementregel. Combineer je de regels, dan werk je zorgvuldig van binnen naar buiten. Een veelgemaakte fout is de somregel gebruiken zonder de overlap af te trekken, of de productregel toepassen op afhankelijke gebeurtenissen zonder de voorwaardelijke kans. Wie de drie regels en hun voorwaarden scherp uit elkaar houdt, rekent kansen betrouwbaar uit.

P(A^{c})=1-P(A)

Complementregel

De kans dat A niet optreedt; handig bij « minstens één ».

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)

Somregel

Kans op A of B; trek de dubbel getelde overlap af.

P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B) \quad (\text{onafhankelijk})

Productregel

Kans op A en B bij onafhankelijke gebeurtenissen; anders met P(B|A).

Uitgewerkt voorbeeld

De drie kansregels toepassen

Onder $100$ leerlingen doet $50$ aan sport ( $A$ ), $45$ aan muziek ( $B$ ) en $20$ aan allebei. Er wordt aselect één leerling gekozen. (a) Bereken $P(A\cup B)$ . (b) Bereken de kans op geen van beide. (c) Bij twee onafhankelijke muntworpen: bereken de kans op twee keer munt.

(a) Somregel
$P(A)=0{,}50$ , $P(B)=0{,}45$ , $P(A\cap B)=0{,}20$ .
$P(A\cup B)=0{,}50+0{,}45-0{,}20=0{,}75$
(b) Complementregel
Geen van beide is het complement van $A\cup B$ : $1-0{,}75=0{,}25$ .
(c) Productregel
Onafhankelijk, elk $\frac{1}{2}$ : $\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$ .
$P=\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{4}$

Resultaat: (a) $P(A\cup B)=0{,}75$ ; (b) $0{,}25$ ; (c) $\frac{1}{4}$ .

Veelgemaakte fouten

Bij de somregel de overlap $P(A\cap B)$ vergeten af te trekken.
De productregel $P(A)\cdot P(B)$ toepassen op afhankelijke gebeurtenissen (dan moet je de voorwaardelijke kans gebruiken).

Actieve herhaling

Uit een kaartspel ( $52$ kaarten) wordt één kaart getrokken. Bereken de kans op « een harten óf een aas » met de somregel. Bereken daarna de kans op minstens één zes bij vier worpen met een dobbelsteen via het complement.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein E: Statistiek en kansrekening (CvTE / DUO)

Kansbomen en wegendiagrammen#

Standaardexamenblad-wiskunde-c-domein-E4

Een kansboom brengt een kansexperiment met meerdere stappen overzichtelijk in kaart. Elke vertakking staat voor een stap, en bij elke tak schrijf je de kans op die deelgebeurtenis. Afb. 3 toont een kansboom voor een weersituatie: eerst regent het met kans

0{,}3

of blijft het droog met kans

0{,}7

; daarna komt iemand te laat of op tijd, met kansen die van het weer afhangen. Bij elke splitsing tellen de takkansen samen op tot

1

, want er gebeurt met zekerheid iets. De kansboom is het natuurlijke gereedschap voor experimenten in stappen, met of zonder terugleggen.

Afb. 3 — Kansboom weer en te laat komen

Afb. 3Afb. 3 — Kansboom: regen (

0{,}3

) of droog (

0{,}7

), daarna te laat of op tijd. Langs elk pad vermenigvuldig je de kansen; de vier padkansen tellen op tot

1

Twee regels sturen het rekenen in een kansboom. Langs een pad (van de wortel naar een blad) vermenigvuldig je de takkansen: de kans op « regen én te laat » is

0{,}3\cdot 0{,}4=0{,}12

. Dit is de productregel in beeld. Wil je de kans op een gebeurtenis die via meerdere paden kan optreden, dan tel je de kansen van al die paden op: dat is de somregel. Zo vind je de kans om te laat te komen als

P(\text{te laat})=0{,}3\cdot 0{,}4+0{,}7\cdot 0{,}1=0{,}12+0{,}07=0{,}19

, door de twee paden die op « te laat » eindigen op te tellen.

Een handige controle is dat alle padkansen samen precies

1

opleveren, want de bladeren dekken alle mogelijke aflopen. Voor het weervoorbeeld:

0{,}12+0{,}18+0{,}07+0{,}63=1{,}00

. Klopt die som niet, dan zit er een fout in de takkansen of in de vermenigvuldiging. Deze rekencontrole is bijzonder nuttig bij grotere bomen, waar het gemakkelijk misgaat. Een wegendiagram werkt op dezelfde manier, maar tekent de mogelijke routes als een netwerk van pijlen; het aantal routes en de bijbehorende kansen bepaal je met dezelfde vermenigvuldig- en optelregels.

Kansbomen zijn onmisbaar bij het onderscheiden van « met » en « zonder terugleggen ». Trek je met terugleggen (je legt terug voor de volgende trekking), dan blijven de takkansen bij elke stap gelijk. Trek je zonder terugleggen, dan veranderen de takkansen per stap, omdat er een object minder in de vaas zit: de tweede takkansen zijn dan voorwaardelijk op de eerste trekking. In beide gevallen blijft de aanpak dezelfde — langs paden vermenigvuldigen, over paden optellen — maar je moet de takkansen zorgvuldig aanpassen aan de situatie. Het correct opstellen van de kansboom is daarmee de halve oplossing.

P(\text{pad})=\text{product van de takkansen}

Langs een pad vermenigvuldigen

De kans van één afloop is het product van de kansen op de takken van dat pad.

P(\text{gebeurtenis})=\text{som van de padkansen}

Over paden optellen

Kan een gebeurtenis via meerdere paden optreden, dan tel je hun kansen op.

Uitgewerkt voorbeeld

Rekenen met een kansboom

Gebruik de kansboom: regen $0{,}3$ (dan te laat $0{,}4$ ), droog $0{,}7$ (dan te laat $0{,}1$ ). (a) Bereken de kans op « regen én te laat ». (b) Bereken de kans om te laat te komen. (c) Controleer dat alle padkansen samen $1$ zijn.

(a) Langs het pad vermenigvuldigen
$0{,}3\cdot 0{,}4=0{,}12$ .
$P(\text{regen}\cap\text{te laat})=0{,}3\cdot 0{,}4=0{,}12$
(b) Over paden optellen
Te laat via regen ( $0{,}12$ ) of via droog ( $0{,}7\cdot 0{,}1=0{,}07$ ).
$P(\text{te laat})=0{,}12+0{,}07=0{,}19$
(c) Controle
$0{,}12+0{,}18+0{,}07+0{,}63=1{,}00$ : klopt.

Resultaat: (a) $0{,}12$ ; (b) $0{,}19$ ; (c) de padkansen sommeren tot $1{,}00$ .

Veelgemaakte fouten

Langs een pad de kansen optellen in plaats van vermenigvuldigen (en over paden vermenigvuldigen in plaats van optellen).
Bij trekken zonder terugleggen de takkansen niet aanpassen (de tweede kans hangt van de eerste af).

Actieve herhaling

In een vaas zitten $3$ rode en $2$ blauwe knikkers. Je trekt er twee zonder terugleggen. Teken de kansboom met de juiste takkansen en bereken de kans op twee rode knikkers en de kans op één rode en één blauwe.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein E: Statistiek en kansrekening (CvTE / DUO)

Voorwaardelijke kans en Venn-diagrammen#

Verdiepingexamenblad-wiskunde-c-domein-E4

Een voorwaardelijke kans is de kans op een gebeurtenis

A

als je al weet dat

B

is opgetreden; je noteert die als

P(A\mid B)

, « de kans op

A

gegeven

B

». Doordat je weet dat

B

heeft plaatsgevonden, verklein je de « ruimte » van mogelijke uitkomsten tot alleen die binnen

B

. De formule is

P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}

: van alle gevallen waarin

B

geldt, welk deel valt ook binnen

A

? Voorwaardelijke kansen zijn overal in het dagelijks leven — de kans dat een test positief is gegeven dat je ziek bent, de kans op regen gegeven dat het bewolkt is.

Een Venn-diagram of een kruistabel maakt voorwaardelijke kansen concreet. Afb. 4 verdeelt

200

leerlingen naar het dragen van een bril (

A

) en een beugel (

B

40

hebben alleen een bril,

30

alleen een beugel,

20

allebei, en de rest geen van beide. Wil je

P(A\mid B)

— de kans dat een leerling een bril draagt, gegeven dat hij een beugel heeft — dan kijk je alleen naar de

50

beugeldragers (

30+20

), en van hen dragen er

20

ook een bril:

P(A\mid B)=\frac{20}{50}=0{,}4

. Je « zoomt in » op de groep

B

en bepaalt daarbinnen het aandeel

A

Afb. 4 — Venn-diagram bril en beugel

Afb. 4Afb. 4 — Van

200

leerlingen:

40

alleen bril,

30

alleen beugel,

20

beide.

P(\text{bril}\mid\text{beugel})=\frac{20}{50}=0{,}4

: je zoomt in op de

50

beugeldragers.

Voorwaardelijke kansen en de productregel horen bij elkaar. Uit de definitie

P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}

volgt namelijk direct de algemene productregel

P(A\cap B)=P(B)\cdot P(A\mid B)

, die óók geldt als de gebeurtenissen afhankelijk zijn. Dit is precies wat er in een kansboom gebeurt bij trekken zonder terugleggen: de tweede takkans is een voorwaardelijke kans, gegeven de eerste trekking. Zo verbindt de voorwaardelijke kans de kansregels met de kansbomen tot één samenhangend geheel.

Belangrijk is dat

P(A\mid B)

P(B\mid A)

in het algemeen verschillend zijn — ze verwarren is een klassieke en gevaarlijke denkfout. De kans dat iemand een beugel draagt gegeven dat hij een bril heeft,

P(B\mid A)=\frac{20}{60}\approx 0{,}33

, is niet gelijk aan

P(A\mid B)=0{,}4

, omdat de « gegeven » groep verschilt. Ook geldt dat

A

B

onafhankelijk zijn precies wanneer

P(A\mid B)=P(A)

: het weten van

B

verandert de kans op

A

dan niet. Deze begrippen scherp uit elkaar houden — de richting van de voorwaarde, en het verschil tussen afhankelijk en onafhankelijk — is de kern van dit gevorderde onderdeel.

P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}

Voorwaardelijke kans

De kans op A gegeven dat B is opgetreden; je beperkt je tot de gevallen binnen B.

P(A\cap B)=P(B)\cdot P(A\mid B)

Algemene productregel

Geldt ook voor afhankelijke gebeurtenissen; de tweede factor is een voorwaardelijke kans.

Uitgewerkt voorbeeld

Voorwaardelijke kansen berekenen

Van $200$ leerlingen dragen $40$ alleen een bril, $30$ alleen een beugel, $20$ allebei en $110$ geen van beide. Bereken (a) $P(\text{bril}\mid\text{beugel})$ , (b) $P(\text{beugel}\mid\text{bril})$ , (c) leg uit of bril en beugel onafhankelijk zijn.

(a) Gegeven beugel
Beugeldragers: $30+20=50$ ; daarvan met bril: $20$ .
$P(A\mid B)=\frac{20}{50}=0{,}40$
(b) Gegeven bril
Brildragers: $40+20=60$ ; daarvan met beugel: $20$ .
$P(B\mid A)=\frac{20}{60}\approx 0{,}33$
(c) Onafhankelijkheid toetsen
$P(A)=\frac{60}{200}=0{,}30$ , maar $P(A\mid B)=0{,}40\neq 0{,}30$ . Het weten van « beugel » verandert de kans op « bril », dus ze zijn níet onafhankelijk.

Resultaat: (a) $0{,}40$ ; (b) $\approx 0{,}33$ ; (c) niet onafhankelijk, want $P(A\mid B)\neq P(A)$ .

Veelgemaakte fouten

$P(A\mid B)$ en $P(B\mid A)$ verwarren; de « gegeven » groep bepaalt de noemer.
Bij een voorwaardelijke kans delen door het totaal in plaats van door $P(B)$ (de gegeven groep).

Actieve herhaling

In een groep van $150$ mensen sport $90$ regelmatig; van hen eet $60$ ook gezond. Van de niet-sporters eet $20$ gezond. Bereken de kans dat iemand gezond eet gegeven dat hij sport, en de kans dat iemand sport gegeven dat hij gezond eet.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein E: Statistiek en kansrekening (CvTE / DUO)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / DUO

Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein E: Statistiek en kansrekening

Kansbegrip

Kernpunten

Theoretische en empirische kans

Kernpunten

De drie kansregels toepassen

Kernpunten

Rekenen met een kansboom

Kernpunten

Voorwaardelijke kansen berekenen

Bronnen

Kansbegrip

Kernpunten

Theoretische en empirische kans

Kernpunten

De drie kansregels toepassen

Kernpunten

Rekenen met een kansboom

Kernpunten

Voorwaardelijke kansen berekenen

Bronnen