Samenvattingen · Wiskunde CNL · VWO

Verbanden en formules

Een verband beschrijft hoe twee grootheden samenhangen. Je leert eenzelfde verband weergeven als woordformule, formule, tabel en grafiek en vlot tussen die vormen wisselen. Daarbij horen het functiebegrip (domein, bereik en functiewaarden), het oplossen van vergelijkingen en ongelijkheden — exact of met de grafische rekenmachine — en het opstellen van een passende formule bij een situatie. Dit onderwerp hoort tot de centraal-examenstof (domein C).

4 Onderdelen~16 min leestijd4 VaardighedenNiveau Basis 1 · Standaard 3

T·0333 / 17

Examenprofiel

C · Een verband weergeven als woordformule, formule, tabel en grafiek en tussen deze representaties wisselenC · Het functiebegrip hanteren: domein, bereik en functiewaarden bepalen en een grafiek lezen en tekenenC · Vergelijkingen en ongelijkheden oplossen, exact of met de grafische rekenmachine (intersect, tekenverloop)C · Een passende formule opstellen bij een gegeven situatie (modelleren)

Operatoren:stel opberekenlos oplees afinterpreteerteken

basisniveau

Het functiebegrip en het werken met de vier representaties (woordformule, formule, tabel, grafiek) vormen de gemeenschappelijke basis van domein C.

verhoogd niveau

Verdieping: het opstellen van een formule bij een situatie (modelleren) en het oplossen met de grafische rekenmachine zijn de vaardigheden die in alle contextopgaven terugkeren.

Diepte

Tekst

Inhoud · 4 onderdelen

Verbanden en formules

Verbanden weergeven: woordformule, formule, tabel en grafiek#

Basisexamenblad-wiskunde-c-domein-C

Een verband tussen twee grootheden kun je op vier gelijkwaardige manieren weergeven, en het is de kunst om vlot tussen die vormen te wisselen. Afb. 1 zet ze op een rij: de woordformule beschrijft het verband in gewone taal (« de kosten zijn

20

euro plus

2

euro per uur »); de formule vertaalt dat naar symbolen (

K=20+2t

); de tabel geeft een aantal bij elkaar horende waarden; en de grafiek laat het verband in één oogopslag zien. Alle vier beschrijven precies hetzelfde verband — ze zijn slechts verschillende « talen » voor dezelfde informatie. In een examenopgave krijg je vaak de ene vorm en moet je naar een andere overstappen.

Afb. 1 — Vier representaties van hetzelfde verband

Afb. 1Afb. 1 — Woordformule, formule, tabel en grafiek beschrijven hetzelfde verband. Je wisselt naar behoefte tussen deze vier vormen.

Van een woordformule naar een formule vertaal je door de grootheden een letter te geven en de woorden om te zetten in bewerkingen. « Startbedrag plus prijs per stuk maal aantal » wordt bijvoorbeeld

K=b+p\cdot n

. Let daarbij goed op wat een vast getal is (de startwaarde) en wat met een variabele meegroeit. Van een formule naar een tabel ga je door voor gekozen waarden van de invoer telkens de uitkomst te berekenen; op de grafische rekenmachine gaat dat met de tabel-functie (Y= invullen, dan TABLE). Zo'n tabel is handig om snel een paar bij elkaar horende waarden te krijgen of om een grafiek te schetsen.

Van een tabel of formule naar een grafiek zet je de invoer horizontaal (de

x

-as) en de uitkomst verticaal (de

y

-as) uit, tekent de punten en verbindt ze wanneer het verband continu is. De grafiek toont in één beeld de belangrijke kenmerken: waar hij stijgt of daalt, hoe steil, waar hij de assen snijdt en of hij recht of gebogen is. Andersom kun je uit een grafiek een formule terughalen als je de kenmerken herkent — bijvoorbeeld het startpunt op de

y

-as en de steilheid bij een rechte lijn. Deze wisselwerking tussen grafiek en formule is de rode draad van domein C.

Het nut van vier representaties is dat elke vorm iets anders het beste laat zien. De formule is exact en rekenbaar; de tabel geeft concrete getallen; de grafiek toont het gedrag en maakt vergelijken makkelijk; en de woordformule verbindt alles met de context. Op het examen kies je bewust de vorm die bij de vraag past: voor « bereken » gebruik je de formule, voor « lees af » of « vergelijk » de grafiek, en voor « leg uit » keer je terug naar de betekenis in woorden. Wie soepel schakelt tussen de vier vormen, doorziet elk verband.

Uitgewerkt voorbeeld

Van woordformule naar formule, tabel en grafiekpunt

Een fietsenmaker rekent $15$ euro voorrijkosten plus $30$ euro per uur arbeid. (a) Stel een formule op voor de kosten $K$ (euro) bij $t$ uur werk. (b) Maak een tabel voor $t=0, 1, 2, 3$ . (c) Wat kost een klus van $2{,}5$ uur?

(a) Vertaal naar symbolen
Vast bedrag $15$ , plus $30$ per uur maal het aantal uren $t$ .
$K=15+30t$
(b) Vul waarden in
$t=0\to 15$ ; $t=1\to 45$ ; $t=2\to 75$ ; $t=3\to 105$ euro.
(c) Bereken voor t = 2,5
Vul $t=2{,}5$ in de formule in.
$K=15+30\cdot 2{,}5=15+75=90$

Resultaat: (a) $K=15+30t$ ; (b) de tabel geeft $15, 45, 75, 105$ euro; (c) een klus van $2{,}5$ uur kost $90$ euro.

Veelgemaakte fouten

Het vaste startbedrag en de variabele term door elkaar halen bij het opstellen van een formule.
Bij het maken van een grafiek de assen verwisselen (invoer hoort horizontaal, uitkomst verticaal).

Actieve herhaling

Een telefoonabonnement kost $8$ euro per maand plus $0{,}10$ euro per belminuut. Stel een formule op voor de maandkosten $K$ bij $m$ belminuten, maak een tabel voor $m=0, 50, 100, 200$ en bereken de kosten bij $m=150$ .

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein C: Verbanden (CvTE / DUO)

Functiebegrip: domein, bereik en functiewaarden#

Standaardexamenblad-wiskunde-c-domein-C

Een functie is een verband dat bij elke toegestane invoer precies één uitkomst geeft. Je schrijft

f(x)

voor de uitkomst bij invoer

x

; de invoer

x

heet de onafhankelijke variabele en de uitkomst

y=f(x)

de afhankelijke variabele. Een functiewaarde bereken je door de invoer in te vullen: voor

f(x)=-0{,}5x^{2}+4x

f(3)=-0{,}5\cdot 9+12=7{,}5

. Op de grafische rekenmachine bereken je een functiewaarde door de formule bij Y= in te voeren en met CALC → value een

x

in te vullen. Het functiebegrip maakt het mogelijk om over « de » uitkomst bij een invoer te praten, en dat is precies wat een verband tot een functie maakt.

Het domein is de verzameling van alle toegestane invoerwaarden (

x

-waarden), en het bereik de verzameling van alle bijbehorende uitkomsten (

y

-waarden). Soms legt de context het domein vast: een aantal uren of personen kan niet negatief zijn. Soms legt de formule een grens op: je mag niet delen door

0

en niet de wortel uit een negatief getal trekken. Afb. 2 toont de grafiek van

f(x)=-0{,}5x^{2}+4x

op het domein

[0,8]

: een parabool die opent naar beneden, met nulpunten in

(0,0)

(8,0)

en een top in

(4,8)

. Bij dit domein loopt de uitkomst van

0

(in de nulpunten) tot

8

(in de top), dus het bereik is

[0,8]

Afb. 2 — Domein en bereik van een parabool

Afb. 2Afb. 2 —

f(x)=-0{,}5x^{2}+4x

op domein

[0,8]

. De nulpunten liggen in

(0,0)

(8,0)

, de top in

(4,8)

. Het bereik is

[0,8]

: van de nulpunten (laagste

y=0

) tot de top (hoogste

y=8

Om domein en bereik af te lezen, kijk je hoe ver de grafiek horizontaal respectievelijk verticaal reikt. Het domein lees je op de

x

-as af: van de meest linkse tot de meest rechtse

x

-waarde die de grafiek beslaat. Het bereik lees je op de

y

-as af: van de laagste tot de hoogste

y

-waarde. Bij een naar beneden geopende parabool is de top het hoogste punt, dus die bepaalt de bovengrens van het bereik; bij een naar boven geopende parabool bepaalt de top juist de ondergrens. Voor een rechte lijn (zonder beperking) zijn zowel domein als bereik alle reële getallen.

Je noteert domein en bereik met intervallen. Een gesloten haakje (of vierkante haak) betekent dat de grenswaarde meedoet, een open haakje dat hij er net buiten valt. Zo is

[0,8]

het interval van

0

tot en met

8

(beide grenzen erbij) en

\langle 0,8\rangle

hetzelfde interval zonder de grenzen. Loopt een grens door tot in het oneindige, dan gebruik je het symbool

\infty

, altijd met een open haakje: het bereik van

f(x)=x^{2}

[0,\to\rangle

, oftewel alle

y\ge 0

. Correct noteren van domein en bereik met de juiste open of gesloten grenzen levert op het examen punten op.

y=f(x)

Functienotatie

f(x) is de uitkomst (afhankelijke variabele) bij invoer x (onafhankelijke variabele).

f(3)=-0{,}5\cdot 3^{2}+4\cdot 3=-4{,}5+12=7{,}5

Functiewaarde berekenen

Vul de invoer in de formule in.

Uitgewerkt voorbeeld

Functiewaarde, domein en bereik bepalen

Gegeven $f(x)=-0{,}5x^{2}+4x$ op het domein $[0,8]$ . (a) Bereken $f(2)$ en $f(6)$ . (b) Bepaal de coördinaten van de top. (c) Geef het bereik.

(a) Functiewaarden
$f(2)=-0{,}5\cdot 4+8=6$ en $f(6)=-0{,}5\cdot 36+24=-18+24=6$ (symmetrisch t.o.v. de top).
(b) Top van de parabool
De symmetrieas ligt bij $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2\cdot(-0{,}5)}=4$ ; dan $f(4)=-0{,}5\cdot 16+16=8$ .
$x_{\text{top}}=-\frac{4}{-1}=4,\quad f(4)=8$
(c) Bereik aflezen
Op $[0,8]$ loopt $y$ van de laagste waarde $0$ (in de nulpunten) tot de hoogste $8$ (in de top).

Resultaat: (a) $f(2)=6$ en $f(6)=6$ ; (b) top $(4,8)$ ; (c) bereik $[0,8]$ .

Veelgemaakte fouten

Domein en bereik verwisselen: domein hoort bij de $x$ -as (invoer), bereik bij de $y$ -as (uitkomst).
Bij het bereik van een parabool de top vergeten als grens (de top is het hoogste of laagste punt).

Actieve herhaling

Gegeven $g(x)=x^{2}-6x+5$ op domein $[0,6]$ . Bereken $g(1)$ en $g(5)$ , bepaal de top en de nulpunten, en geef het bereik.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein C: Verbanden (CvTE / DUO)

Vergelijkingen en snijpunten (exact en met de GR)#

Standaardexamenblad-wiskunde-c-domein-C

Twee verbanden vergelijken komt vaak neer op het zoeken van hun snijpunt: het punt waar beide grafieken door dezelfde plaats gaan. In Afb. 3 snijden de lijnen

y=2x-1

y=-x+5

elkaar in het punt

(2,3)

. Op dat snijpunt hebben beide functies dezelfde

x

- én dezelfde

y

-waarde, en dat is precies wat het snijpunt betekent: de invoer waarbij de twee verbanden hetzelfde opleveren. In een context is dat vaak het omslagpunt — het aantal waarbij twee aanbieders even duur zijn, of het moment waarop twee grootheden gelijk zijn.

Afb. 3 — Het snijpunt van twee lijnen

Afb. 3Afb. 3 — De lijnen

y=2x-1

y=-x+5

snijden elkaar in

(2,3)

: de invoer

x=2

waarbij beide dezelfde uitkomst

y=3

geven.

Exact bereken je een snijpunt door de twee formules aan elkaar gelijk te stellen en de vergelijking op te lossen. Voor

2x-1=-x+5

breng je de

x

-en naar één kant en de getallen naar de andere:

3x=6

, dus

x=2

. Vul die

x

in een van beide formules in om de

y

-coördinaat te vinden:

y=2\cdot 2-1=3

. Het snijpunt is dus

(2,3)

. Bij een snijpunt met de

x

-as (een nulpunt) stel je

f(x)=0

en los je op. Deze exacte aanpak werkt goed bij lineaire en eenvoudige kwadratische verbanden, waar je met algebra kunt oplossen.

Lukt exact oplossen niet netjes — bijvoorbeeld bij een exponentiële of een lastige kwadratische vergelijking — dan gebruik je de grafische rekenmachine. Voer beide functies in bij Y1 en Y2, teken de grafieken en gebruik CALC → intersect: je selecteert de twee grafieken en een punt in de buurt, en de rekenmachine geeft de coördinaten van het snijpunt. Voor een nulpunt gebruik je CALC → zero. De GR geeft benaderde waarden, dus rond je het antwoord zinvol af en let je op de vraagstelling. Deze methode is onmisbaar zodra de vergelijking niet met de hand op te lossen is.

Het idee « snijpunt = gelijkstellen » werkt voor elk type verband. Bij twee rechte lijnen is er hoogstens één snijpunt (tenzij ze evenwijdig zijn, dan geen, of samenvallen, dan oneindig veel). Bij een lijn en een parabool kunnen er twee, één of geen snijpunten zijn, net als bij een kwadratische vergelijking, en dat aantal hangt weer samen met de discriminant. Bij het aflezen uit een grafiek geef je altijd béíde coördinaten van het snijpunt, en controleer je of je antwoord in de context zinvol is (een negatief aantal personen kan niet).

f(x)=g(x)

Snijpunt: gelijkstellen

Los deze vergelijking op voor de x-coördinaat; vul die in om de y-coördinaat te vinden.

2x-1=-x+5 \ \Rightarrow\ 3x=6 \ \Rightarrow\ x=2,\ y=3

Voorbeeld (twee lijnen)

Het snijpunt van y=2x−1 en y=−x+5 is (2,3).

Uitgewerkt voorbeeld

Twee aanbieders vergelijken via het snijpunt

Verhuurder A vraagt $y=2x-1$ (tientallen euro's bij $x$ dagen), verhuurder B vraagt $y=-x+5$ . (a) Bij welk aantal dagen zijn ze even duur? (b) Wat is dan de prijs? (c) Wie is goedkoper bij $x=1$ dag?

(a) Stel gelijk en los op
$2x-1=-x+5\Rightarrow 3x=6\Rightarrow x=2$ dagen.
$2x-1=-x+5 \ \Rightarrow\ x=2$
(b) Vul in voor de prijs
$y=2\cdot 2-1=3$ , dus de gelijke prijs hoort bij $y=3$ .
(c) Vergelijk bij x = 1
A: $2\cdot 1-1=1$ ; B: $-1+5=4$ . Bij $1$ dag is A goedkoper.
$A(1)=1<B(1)=4$

Resultaat: (a) bij $2$ dagen; (b) de prijs is dan $3$ (tientallen euro's); (c) bij $1$ dag is A goedkoper.

Veelgemaakte fouten

Bij een snijpunt alleen de $x$ -coördinaat geven en de $y$ -coördinaat vergeten.
Vergeten dat evenwijdige lijnen (gelijke helling) geen snijpunt hebben.

Actieve herhaling

Bepaal het snijpunt van $y=3x-4$ en $y=x+2$ exact. Bepaal daarna met de grafische rekenmachine waar $y=2^{x}$ en $y=x+3$ elkaar snijden (rond af op één decimaal).

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein C: Verbanden (CvTE / DUO)

Ongelijkheden, intervallen en het opstellen van formules#

Standaardexamenblad-wiskunde-c-domein-C

Een ongelijkheid vraagt niet naar de plaats waar twee verbanden gelijk zijn, maar naar het gebied waar het ene groter (of kleiner) is dan het andere. De aanpak is: bepaal eerst de grens — dat is het snijpunt, waar

f(x)=g(x)

— en kijk daarna aan welke kant van die grens de gevraagde ongelijkheid geldt. Voor

2x-1<-x+5

is de grens

x=2

(het snijpunt uit de vorige paragraaf). Links van

x=2

ligt de lijn

y=2x-1

onder

y=-x+5

, dus daar geldt

2x-1<-x+5

. De oplossing is

x<2

. Afb. 4 toont die oplossing op een getallenlijn: alle waarden links van de open grens bij

2

Afb. 4 — Oplossing van een ongelijkheid op de getallenlijn

Afb. 4Afb. 4 — De ongelijkheid

2x-1<-x+5

geldt links van de grens

x=2

: het interval

x<2

(open grens).

De oplossing van een ongelijkheid noteer je als interval of met een ongelijkheidsteken. Een open grens (de grenswaarde doet niet mee, bij

<

>

) teken je als een open bolletje en noteer je met een open haakje; een gesloten grens (bij

\le

\ge

) als een dichte stip en met een gesloten haakje. Zo schrijf je

x<2

als

\langle\leftarrow,2\rangle

x\ge 1

als

[1,\to\rangle

. Ligt de oplossing tussen twee grenzen, dan krijg je een begrensd interval, zoals

1\le x\le 3

oftewel

[1,3]

. Het correct kiezen tussen open en gesloten grenzen is precies waar op het examen deelpunten aan hangen.

Bij een lineaire ongelijkheid mag je, net als bij een vergelijking, aan beide kanten optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen — met één cruciale uitzondering: vermenigvuldig of deel je met een negatief getal, dan draait het ongelijkheidsteken om. Uit

-3x<12

volgt na delen door

-3

dat

x>-4

(niet

x<-4

). Bij een kwadratische of andere niet-lineaire ongelijkheid pak je het grafisch aan: bepaal de grenzen (snijpunten of nulpunten) en lees uit de grafiek of een tekenverloop af op welk interval de ongelijkheid geldt. De grafische rekenmachine helpt door beide grafieken te tekenen en de snijpunten te vinden.

Bij het opstellen van een formule (modelleren) vertaal je een situatie naar wiskunde. Zoek eerst uit welk soort verband past: een vast bedrag plus een vast bedrag per eenheid wijst op een lineair verband (

y=ax+b

); een vaste procentuele groei per periode op een exponentieel verband (

y=b\cdot g^{t}

). Bepaal daarna de kengetallen uit de gegevens: de startwaarde

b

(de uitkomst bij invoer

0

) en de verandering per stap

a

of de groeifactor

g

. Controleer je formule ten slotte met een paar gegeven waarden. Deze modelleerstap — van context naar formule — is de kern van bijna elke examenopgave bij domein C.

f(x)<g(x)

Ongelijkheid

Bepaal de grens f(x)=g(x) en kies daarna het gebied waar de ongelijkheid geldt.

-3x<12 \ \Rightarrow\ x>-4

Teken draait bij negatief delen

Delen door een negatief getal keert het ongelijkheidsteken om.

y=ax+b \quad\text{(lineair)},\qquad y=b\cdot g^{t}\quad\text{(exponentieel)}

Modelleren

Kies het passende verband en bepaal de kengetallen (startwaarde, verandering of groeifactor) uit de gegevens.

Uitgewerkt voorbeeld

Een ongelijkheid oplossen en een model opstellen

(a) Los op: $4-2x\ge 10$ . (b) Een sportschool vraagt $20$ euro inschrijfgeld plus $25$ euro per maand. Stel een formule op voor de totale kosten $K$ na $m$ maanden en bepaal na hoeveel maanden de kosten boven de $200$ euro komen.

(a) Isoleer x
$4-2x\ge 10\Rightarrow -2x\ge 6$ . Deel door $-2$ en draai het teken om.
$-2x\ge 6 \ \Rightarrow\ x\le -3$
(b) Stel het model op
Vast bedrag $20$ , plus $25$ per maand.
$K=20+25m$
(b) Los de ongelijkheid op
$20+25m>200\Rightarrow 25m>180\Rightarrow m>7{,}2$ . Omdat $m$ hele maanden zijn, geldt dit vanaf $m=8$ .

Resultaat: (a) $x\le -3$ ; (b) $K=20+25m$ ; de kosten komen vanaf de $8$ e maand boven de $200$ euro.

Veelgemaakte fouten

Bij delen of vermenigvuldigen met een negatief getal het ongelijkheidsteken niet omdraaien.
Open en gesloten grenzen verwisselen in de intervalnotatie.

Actieve herhaling

Los op: $3x+2\le 5x-4$ . Stel daarna een formule op voor de kosten van een taxi met $3{,}50$ euro starttarief plus $2{,}20$ euro per kilometer, en bepaal vanaf hoeveel kilometer de rit meer dan $25$ euro kost.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein C: Verbanden (CvTE / DUO)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / DUO

Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein C: Verbanden

Verbanden en formules

Kernpunten

Van woordformule naar formule, tabel en grafiekpunt

Kernpunten

Functiewaarde, domein en bereik bepalen

Kernpunten

Twee aanbieders vergelijken via het snijpunt

Kernpunten

Een ongelijkheid oplossen en een model opstellen

Bronnen

Verbanden en formules

Kernpunten

Van woordformule naar formule, tabel en grafiekpunt

Kernpunten

Functiewaarde, domein en bereik bepalen

Kernpunten

Twee aanbieders vergelijken via het snijpunt

Kernpunten

Een ongelijkheid oplossen en een model opstellen

Bronnen