Samenvattingen · Wiskunde CNL · VWO

Telproblemen

Bij telproblemen bepaal je op hoeveel manieren iets kan gebeuren. Je leert tellen structureren met boomdiagrammen, wegenschema's en roosters, en berekenen met de vermenigvuldigingsregel en de somregel. Daarna komen de permutaties (rangschikkingen, met de faculteit n!) en de combinaties (ongeordend kiezen, met de binomiaalcoëfficiënt C(n,k)) aan bod — teltechnieken die je bij de kansrekening en de binomiale verdeling weer nodig hebt. Dit onderwerp hoort tot de centraal-examenstof (subdomein B2).

4 Onderdelen~16 min leestijd4 VaardighedenNiveau Basis 1 · Standaard 2 · Verdieping 1

T·0222 / 17

Examenprofiel

B2 · Telproblemen structureren met boomdiagrammen, wegenschema's en roostersB2 · Het aantal mogelijkheden bepalen met de vermenigvuldigingsregel en de somregelB2 · Permutaties (n!) en combinaties C(n,k) berekenen, ook met de grafische rekenmachineB2 · De juiste telaanpak kiezen op grond van orde (geordend/ongeordend) en terugleggen

Operatoren:berekenbepaalleg uitberedeneertoon aan

basisniveau

Systematisch tellen, de vermenigvuldigings- en somregel en de faculteit horen tot de centraal-examenstof (subdomein B2) van wiskunde C.

verhoogd niveau

Verdieping: de combinatie C(n,k) en de symmetrie ervan vormen de opstap naar de binomiale verdeling in de statistiek (domein E).

Diepte

Tekst

Inhoud · 4 onderdelen

Telproblemen

Systematisch tellen: boomdiagram, wegenschema en rooster#

Basisexamenblad-wiskunde-c-domein-B2

Een telprobleem los je op door het keuzeproces overzichtelijk in kaart te brengen, zodat je geen enkele mogelijkheid dubbel telt of overslaat. Het meest sprekende hulpmiddel is het boomdiagram. In Afb. 1 zie je hoe je een outfit samenstelt uit

3

shirts (rood, groen, blauw) en

2

broeken (spijkerbroek, zwarte broek). Vanuit de start vertakt de keuze zich eerst in drie shirts, en bij elk shirt weer in twee broeken. Elke tak van links naar rechts is één volledige keuze, en je telt het aantal mogelijkheden door de eindpunten — de bladeren — te tellen:

3\cdot 2=6

outfits. Het boomdiagram maakt zichtbaar dat je opeenvolgende deelkeuzes met elkaar combineert.

Afb. 1 — Boomdiagram: 3 shirts × 2 broeken

Afb. 1Afb. 1 — Elke tak is één deelkeuze; de zes bladeren zijn de

3\times 2=6

outfits. Het boomdiagram laat zien waarom je de aantallen met elkaar combineert.

Voor precies twee deelkeuzes is een rooster (een tabel) vaak nog overzichtelijker dan een boom. Zet de ene keuze langs de rijen en de andere langs de kolommen; elk vakje in de tabel is dan één combinatie. Gooi je met twee dobbelstenen, dan geeft een

6\times 6

-rooster alle

36

mogelijke uitkomsten, netjes geordend. Het rooster is bovendien handig als je een deelverzameling wilt tellen: het aantal worpen met een som van

7

zie je meteen als de cellen op één diagonaal. Een wegenschema, ten slotte, is een boom- of netwerkweergave waarin je langs pijlen van een startpunt naar een eindpunt loopt; het aantal routes is dan het aantal mogelijkheden.

Welke weergave je ook kiest, het onderliggende idee is telkens hetzelfde: je knipt een ingewikkelde keuze op in overzichtelijke deelkeuzes en telt systematisch. Begin bij het opstellen altijd met de deelkeuze die het meest is vastgelegd of het meest beperkt; van daaruit werk je verder. Zo voorkom je dat een beperking je halverwege verrast. Bij kleine aantallen kun je ook gewoon systematisch turven — alle mogelijkheden ordelijk opschrijven — maar zodra de aantallen groeien, wordt dat onwerkbaar en heb je de rekenregels uit de volgende paragraaf nodig.

Een belangrijk onderscheid dat door het hele hoofdstuk loopt, is dat tussen met en zonder terugleggen. Mag een keuze zich herhalen (met terugleggen), dan blijft het aantal mogelijkheden per stap gelijk. Mag dat niet (zonder terugleggen), dan daalt het aantal per stap met

1

, omdat een gebruikte optie afvalt. Kies je bijvoorbeeld een pincode van

4

cijfers waarbij cijfers herhaald mogen worden, dan zijn er per positie telkens

10

mogelijkheden; mogen de cijfers allemaal verschillend zijn, dan zijn het er

10

, dan

9

, dan

8

, dan

7

. Dit verschil bepaalt straks of je met machten, permutaties of combinaties rekent.

Uitgewerkt voorbeeld

Outfits tellen met een boomdiagram

Iemand kiest een outfit uit $3$ shirts en $2$ broeken. (a) Hoeveel outfits zijn er? (b) Hoeveel als er ook nog $4$ paar schoenen bijkomen?

(a) Benoem de deelkeuzes
Eerst een shirt (3 mogelijkheden), dan een broek (2 mogelijkheden).
(a) Combineer de aantallen
Elke shirtkeuze kan met elke broek, dus $3\cdot 2$ .
$3\cdot 2=6$
(b) Derde deelkeuze erbij
Bij elke van de 6 outfits kies je ook nog een van de 4 paar schoenen.
$3\cdot 2\cdot 4=24$

Resultaat: (a) $6$ outfits; (b) $24$ outfits.

Veelgemaakte fouten

Bij het opstellen van een boomdiagram niet systematisch te werk gaan, waardoor je een mogelijkheid dubbel telt of overslaat.
Met terugleggen rekenen terwijl herhaling verboden is (of andersom), zodat het aantal per stap verkeerd wordt gekozen.

Actieve herhaling

Een menu bestaat uit een voorgerecht (soep of salade), een hoofdgerecht (vis, vlees of pasta) en een toetje (ijs of taart). Teken een boomdiagram en bepaal het aantal verschillende menu's.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein B: Algebra en tellen (CvTE / DUO)

De vermenigvuldigingsregel en de somregel#

Standaardexamenblad-wiskunde-c-domein-B2

De vermenigvuldigingsregel (ook productregel of « en-regel ») is de rekenregel achter het boomdiagram. Bestaat een keuze uit

k

opeenvolgende, onafhankelijke deelkeuzes, met achtereenvolgens

n_{1}, n_{2}, \ldots, n_{k}

mogelijkheden, dan is het totale aantal mogelijkheden het product

n_{1}\cdot n_{2}\cdot\ldots\cdot n_{k}

. Je vermenigvuldigt omdat elke mogelijkheid van de eerste deelkeuze zich vertakt in álle mogelijkheden van de volgende — precies zoals in het boomdiagram elke tak zich opnieuw splitst. « Onafhankelijk » betekent dat het áántal mogelijkheden bij een deelkeuze niet verandert door de voorgaande keuzes; het aantal mag wél dalen doordat iets al gebruikt is (zonder terugleggen), maar dan pas je gewoon het aantal per stap aan.

De somregel (de « of-regel ») hoort bij gevallen die elkaar uitsluiten. Valt een telprobleem uiteen in situaties die niet tegelijk kunnen optreden — bijvoorbeeld « de code begint met een letter » tegenover « de code begint met een cijfer » — dan bereken je elk geval apart en tel je de uitkomsten aan het eind op. De kern is het onderscheid tussen « en dan » (opeenvolgende deelkeuzes in één opbouwend proces: vermenigvuldigen) en « of » (het ene geval óf het andere, elkaar uitsluitend: optellen). Dit onderscheid tussen vermenigvuldigen en optellen voorkomt de meest gemaakte telfout, en je maakt het expliciet door jezelf telkens af te vragen: bouw ik één keuze op, of splits ik in aparte gevallen?

In de praktijk gebruik je de twee regels vaak samen, en let je op beperkingen. Bij codes en kentekens liggen soms bepaalde posities vast, of mag een teken niet worden herhaald. De aanpak is dan: begin bij de meest beperkte positie, bepaal per positie het aantal mogelijkheden, en vermenigvuldig. Een toegangscode van

3

cijfers waarbij herhaling is toegestaan geeft

10\cdot 10\cdot 10=10^{3}=1000

mogelijkheden. Mag geen cijfer worden herhaald, dan is het

10\cdot 9\cdot 8=720

. Moet het eerste teken een letter (uit

26

) zijn en de rest cijfers, dan reken je

26\cdot 10\cdot 10=2600

Wanneer je « minstens één » of een verboden geval moet tellen, is de complementaire telling vaak sneller. In plaats van de gunstige gevallen rechtstreeks te tellen, tel je het totaal en trek je de ongunstige gevallen ervan af. Het aantal codes van

3

letters (uit

26

) met minstens één herhaalde letter bereken je bijvoorbeeld als « alle codes » min « codes zonder herhaling »:

26^{3}-26\cdot 25\cdot 24=17\,576-15\,600=1976

. Deze truc — het geheel min het complement — bespaart veel splitsen in gevallen en komt ook bij de kansrekening terug.

\text{aantal}=n_{1}\cdot n_{2}\cdot\ldots\cdot n_{k}

Vermenigvuldigingsregel

Bij k opeenvolgende, onafhankelijke deelkeuzes is het totale aantal het product van de aantallen per keuze.

\text{aantal}=A+B \quad (\text{A en B sluiten elkaar uit})

Somregel

Bij elkaar uitsluitende gevallen tel je de aantallen op.

Uitgewerkt voorbeeld

Codes tellen met de vermenigvuldigings- en somregel

Een code bestaat uit $4$ tekens. (a) Hoeveel codes zijn er als elk teken een cijfer 0–9 mag zijn (herhaling toegestaan)? (b) Hoeveel als alle vier de cijfers verschillend moeten zijn? (c) Hoeveel codes uit (a) beginnen met een even cijfer óf eindigen op een $0$ ? (neem aan dat een code beide mag)

(a) Vier posities, met terugleggen
Elk teken heeft 10 mogelijkheden, herhaling mag.
$10\cdot 10\cdot 10\cdot 10=10^{4}=10\,000$
(b) Zonder herhaling
Per positie daalt het aantal met 1.
$10\cdot 9\cdot 8\cdot 7=5040$
(c) Somregel met correctie voor dubbeltelling
Begint met even cijfer: $5\cdot 10^{3}=5000$ . Eindigt op 0: $10^{3}\cdot 1=1000$ . Beide (even begin én eind 0): $5\cdot 10^{2}\cdot 1=500$ . Trek de dubbeltelling af.
$5000+1000-500=5500$

Resultaat: (a) $10\,000$ ; (b) $5040$ ; (c) $5500$ codes (met de somregel, gecorrigeerd voor de codes die aan beide voorwaarden voldoen).

Veelgemaakte fouten

Aantallen optellen bij opeenvolgende deelkeuzes (« en dan » is vermenigvuldigen; alleen elkaar uitsluitende gevallen tel je op).
Bij een « of »-telling de dubbel getelde gevallen (die aan beide voorwaarden voldoen) niet aftrekken.

Actieve herhaling

Een kenteken bestaat uit $2$ letters (uit $26$ ) gevolgd door $3$ cijfers (0–9), met herhaling toegestaan. Hoeveel kentekens zijn er? En hoeveel als het eerste cijfer geen $0$ mag zijn?

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein B: Algebra en tellen (CvTE / DUO)

Permutaties en de faculteit#

Standaardexamenblad-wiskunde-c-domein-B2

Een permutatie is een rangschikking van objecten in een bepaalde volgorde. Het aantal manieren om

n

verschillende objecten op een rij te zetten, is de faculteit

n!

, uitgesproken als « n-faculteit ». Afb. 2 toont

n!

voor

n=0

tot en met

6

: de waarden

1, 1, 2, 6, 24, 120

720

. De staven schieten razendsnel omhoog — de faculteit groeit sneller dan elke machtsfunctie. Dat verklaart waarom er al bij bescheiden aantallen enorm veel volgordes mogelijk zijn:

10

boeken kun je op

10!=3\,628\,800

manieren op een plank zetten.

Afb. 2 — De faculteit n! groeit explosief

Afb. 2Afb. 2 —

n!

voor

n=0

t/m

6

1, 1, 2, 6, 24, 120, 720

. De faculteit telt de rangschikkingen (permutaties) van

n

objecten en groeit sneller dan elke machtsfunctie.

De faculteit van een geheel getal

n\ge 1

is het product van alle gehele getallen van

1

tot en met

n

n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\ldots\cdot 2\cdot 1

. Zo is

4!=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24

. Per afspraak geldt

0!=1

: er is precies één manier om niets te rangschikken (de lege rij), en die afspraak zorgt bovendien dat de combinatieformule verderop blijft kloppen. Op de grafische rekenmachine vind je de faculteit onder MATH → PRB → ! (typ eerst het getal, dan de toets).

Waarom is het aantal rangschikkingen precies

n!

? Redeneer met de vermenigvuldigingsregel: voor de eerste plaats heb je

n

keuzes, voor de tweede nog

n-1

(er is er al één gebruikt, dus zonder terugleggen), daarna

n-2

, enzovoort, tot de laatste plaats met

1

keuze. Het product

n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot 1

is per definitie

n!

. Zo rangschik je

5

verschillende boeken op

5!=120

manieren. Kies je uit

n

objecten er

k

in een bepaalde volgorde (geordend, zonder terugleggen), dan zijn dat

k

dalende factoren vanaf

n

, dus

n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot(n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!}

Als niet alle objecten verschillend zijn, telt

n!

te veel: het verwisselen van twee identieke objecten levert dezelfde rij op. Bij zo'n permutatie met herhaling deel je

n!

door de faculteiten van de groepen gelijke objecten. Voor de letters van het woord KANO (vier verschillende letters) zijn er gewoon

4!=24

rangschikkingen, maar voor het woord ABBA — met twee A's en twee B's — zijn het er

\frac{4!}{2!\,2!}=\frac{24}{4}=6

. Je deelt omdat de twee A's onderling op

2!

manieren te verwisselen zijn zonder dat het woord verandert, en de twee B's ook.

n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\ldots\cdot 2\cdot 1

Faculteit

Het aantal permutaties van n verschillende objecten; per afspraak 0!=1.

\frac{n!}{(n-k)!}=n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot(n-k+1)

Geordend kiezen (variatie)

Het aantal manieren om k uit n objecten in volgorde te kiezen, zonder terugleggen: k dalende factoren vanaf n.

Uitgewerkt voorbeeld

Rangschikken, ook met herhaalde letters

(a) Op hoeveel manieren kun je $6$ verschillende boeken op een plank zetten? (b) Op hoeveel manieren kun je de eerste $3$ prijzen (goud, zilver, brons) verdelen onder $8$ deelnemers? (c) Hoeveel verschillende letterrijen maak je met alle letters van het woord BANAAN?

(a) Permutatie van 6
Alle 6 boeken in een volgorde: $6!$ .
$6!=720$
(b) Geordend 3 uit 8
Drie dalende factoren vanaf 8 (of $\frac{8!}{5!}$ ).
$\frac{8!}{(8-3)!}=8\cdot 7\cdot 6=336$
(c) Permutatie met herhaling
BANAAN heeft 6 letters: 1×B, 3×A, 2×N. Deel $6!$ door $3!$ en $2!$ .
$\frac{6!}{3!\,2!}=\frac{720}{6\cdot 2}=\frac{720}{12}=60$

Resultaat: (a) $720$ ; (b) $336$ ; (c) $60$ verschillende letterrijen.

Veelgemaakte fouten

Denken dat $0!=0$ ; per afspraak is $0!=1$ .
Bij een woord met herhaalde letters niet delen door de faculteiten van die letters, waardoor je elke rij meerdere keren telt.

Actieve herhaling

Op hoeveel manieren kun je $5$ verschillende cd's in een rek zetten? En op hoeveel manieren kun je alle letters van het woord MISSISSIPPI ( $4\times$ S, $4\times$ I, $2\times$ P, $1\times$ M) herschikken?

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein B: Algebra en tellen (CvTE / DUO)

Combinaties en de binomiaalcoëfficiënt#

Verdiepingexamenblad-wiskunde-c-domein-B2

Een combinatie is het aantal manieren om

k

objecten te kiezen uit

n

verschillende objecten, ongeordend (de volgorde telt niet) en zonder terugleggen. Dit aantal is de binomiaalcoëfficiënt

\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}

, uitgesproken als « n boven k ». Twee vragen bepalen samen of je met een combinatie te maken hebt: telt de volgorde? en mag je herhalen? Het beslisschema in Afb. 3 vat dat samen: geordend zonder terugleggen geeft

\frac{n!}{(n-k)!}

, ongeordend zonder terugleggen geeft de combinatie

\binom{n}{k}

, en geordend mét terugleggen geeft

n^{k}

. Bij een combinatie sta je dus in het vak « ongeordend, zonder terugleggen ». Op de GR vind je hem onder MATH → PRB → nCr (bijvoorbeeld 10 nCr 3).

Afb. 3 — Beslisschema: orde × terugleggen

Afb. 3Afb. 3 — Twee vragen — telt de volgorde? en mag je herhalen? — leiden naar de telmethode. De combinatie

\binom{n}{k}

hoort bij « ongeordend, zonder terugleggen » (gemarkeerd).

Het verband met het geordend tellen maakt de formule begrijpelijk. Tel je eerst geordend (dat zijn

\frac{n!}{(n-k)!}

manieren), dan heb je elke groep van

k

gekozen objecten

k!

keer geteld, want die

k

objecten kun je op

k!

volgordes zetten. Omdat de volgorde bij een combinatie niet meetelt, deel je door

k!

\binom{n}{k}=\frac{1}{k!}\cdot\frac{n!}{(n-k)!}

. Voor een commissie van

3

uit

10

leerlingen geeft dat

\binom{10}{3}=\frac{10\cdot 9\cdot 8}{3\cdot 2\cdot 1}=\frac{720}{6}=120

Twee eigenschappen besparen rekenwerk. De symmetrie

\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}

zegt dat

k

objecten kiezen om mee te doen hetzelfde is als

n-k

objecten kiezen om weg te laten; daarom is

\binom{20}{18}=\binom{20}{2}=190

snel te bepalen. En de binomiaalcoëfficiënten vormen samen de driehoek van Pascal: elke rij ontstaat uit de rij erboven door buren op te tellen. Afb. 4 toont rij

5

\binom{5}{0}

t/m

\binom{5}{5}

, oftewel

1, 5, 10, 10, 5, 1

. De rij is symmetrisch, en de waarden tellen op tot

2^{5}=32

— het totale aantal deelverzamelingen van

5

objecten.

Afb. 4 — Binomiaalcoëfficiënten C(5,k): rij 5 van Pascal

Afb. 4Afb. 4 —

\binom{5}{k}

voor

k=0

t/m

5

1, 5, 10, 10, 5, 1

. De rij is symmetrisch (

\binom{5}{k}=\binom{5}{5-k}

) en telt op tot

2^{5}=32

Combinaties zijn het rekenhart van veel kansproblemen. Trek je in één greep meerdere voorwerpen (ongeordend, zonder terugleggen), dan bereken je een kans met de regel van Laplace als

\frac{\text{aantal gunstige uitkomsten}}{\text{aantal mogelijke uitkomsten}}

, waarbij teller en noemer allebei combinaties zijn. Bovendien duikt

\binom{n}{k}

op als coëfficiënt in de binomiale kansverdeling

P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}

, die je bij de kansverdelingen (domein E) tegenkomt. Wie het onderscheid geordend/ongeordend goed beheerst, maakt daar geen fouten meer.

\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}

Binomiaalcoëfficiënt (combinatie)

Het aantal manieren om k uit n objecten te kiezen als de volgorde niet telt en zonder terugleggen.

\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}

Symmetrie

k kiezen om mee te doen is hetzelfde als n−k kiezen om weg te laten.

\binom{n}{k}=\frac{1}{k!}\cdot\frac{n!}{(n-k)!}

Verband met geordend tellen

Deel de geordende telling door k!, omdat elke keuze op k! volgordes is geteld.

Uitgewerkt voorbeeld

Een commissie kiezen en een kans berekenen

(a) Uit een groep van $10$ leerlingen wordt een commissie van $3$ gekozen. Op hoeveel manieren kan dat? (b) In een vaas zitten $7$ rode en $3$ blauwe knikkers. Je pakt in één greep $3$ knikkers. Bereken de kans op precies $2$ rode en $1$ blauwe.

(a) Ongeordend kiezen
Een commissie is een groep: de volgorde telt niet, niemand zit er twee keer in. Dus een combinatie.
$\binom{10}{3}=\frac{10\cdot 9\cdot 8}{3\cdot 2\cdot 1}=120$
(b) Aantal mogelijke uitkomsten (noemer)
Het aantal manieren om 3 uit 10 knikkers te kiezen.
$\binom{10}{3}=120$
(b) Aantal gunstige uitkomsten (teller)
Kies 2 rode uit 7 én 1 blauwe uit 3, en vermenigvuldig.
$\binom{7}{2}\cdot\binom{3}{1}=21\cdot 3=63$
(b) Kans = gunstig / mogelijk
Deel de teller door de noemer en vereenvoudig.
$P=\frac{63}{120}=\frac{21}{40}=0{,}525$

Resultaat: (a) $\binom{10}{3}=120$ commissies; (b) de kans op precies 2 rode en 1 blauwe is $\frac{63}{120}=0{,}525$ (ongeveer $52{,}5\%$ ).

Veelgemaakte fouten

Bij een combinatie toch op de volgorde letten; dan tel je elke groep $k!$ keer te veel (je berekent een geordende telling in plaats van een combinatie).
Bij een kans met gelijktijdig trekken de noemer met een geordende telling nemen; teller én noemer zijn dan combinaties.

Actieve herhaling

Bij een loterij kies je $6$ verschillende getallen uit $45$ ; de volgorde telt niet. Op hoeveel manieren kan dat? Wat is de kans op de hoofdprijs met één ingevuld formulier?

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein B: Algebra en tellen (CvTE / DUO)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / DUO

Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein B: Algebra en tellen

Telproblemen

Kernpunten

Outfits tellen met een boomdiagram

Kernpunten

Codes tellen met de vermenigvuldigings- en somregel

Kernpunten

Rangschikken, ook met herhaalde letters

Kernpunten

Een commissie kiezen en een kans berekenen

Bronnen

Telproblemen

Kernpunten

Outfits tellen met een boomdiagram

Kernpunten

Codes tellen met de vermenigvuldigings- en somregel

Kernpunten

Rangschikken, ook met herhaalde letters

Kernpunten

Een commissie kiezen en een kans berekenen

Bronnen