Samenvattingen · Wiskunde CNL · VWO

Rekenen en algebra

Rekenen en algebra vormen het gereedschap waarmee je bij wiskunde C alle andere onderwerpen aanpakt. Je frist het rekenen met machten, wortels, procenten en wetenschappelijke notatie op, leert algebraïsche uitdrukkingen herleiden en formules herschrijven, en lost lineaire en kwadratische vergelijkingen op. De groeifactor legt bovendien de brug naar de exponentiële verbanden verderop. Dit onderwerp hoort tot de centraal-examenstof (subdomein B1).

4 Onderdelen~18 min leestijd4 VaardighedenNiveau Basis 1 · Standaard 3

T·0111 / 17

Examenprofiel

B1 · Rekenen met breuken, procenten, machten, wortels en wetenschappelijke notatie in context, met correcte afrondingB1 · Algebraïsch herleiden en formules herschrijven; een variabele vrijmakenB1 · Lineaire vergelijkingen exact oplossen en kwadratische vergelijkingen met ontbinden of de abc-formuleB1 · Procentuele verandering en de groeifactor g = 1 + p/100 hanteren, ook bij herhaalde verandering

Operatoren:berekenherleidlos opherschrijfvereenvoudigtoon aan

basisniveau

Rekenen en algebra (subdomein B1) is basisgereedschap voor alle profielen; het meeste is een herhaling en aanscherping van de onderbouw, gebracht op eindexamenniveau.

verhoogd niveau

Verdieping: het exact oplossen van kwadratische vergelijkingen met de abc-formule en het vlot herschrijven van formules zijn de vaardigheden die je bij verbanden, veranderingen en statistiek voortdurend nodig hebt.

Diepte

Tekst

Inhoud · 4 onderdelen

Rekenen en algebra

Getallen, machten, wortels en wetenschappelijke notatie#

Basisexamenblad-wiskunde-c-domein-B1

Een macht is een korte schrijfwijze voor herhaald vermenigvuldigen:

a^{n}

betekent dat je het grondtal

a

precies

n

keer met zichzelf vermenigvuldigt, dus

2^{4}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16

. Het getal

a

heet het grondtal en

n

de exponent. Met dit idee komen de rekenregels voor machten vanzelf. Vermenigvuldig je twee machten met hetzelfde grondtal, dan tel je de exponenten op (

a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}

), want je zet gewoon de rijtjes factoren achter elkaar; deel je ze, dan trek je de exponenten af (

a^{m}:a^{n}=a^{m-n}

). Een macht van een macht geeft

(a^{m})^{n}=a^{m\cdot n}

. Uit de deelregel volgt dat

a^{0}=1

(elk getal, behalve

0

, tot de macht nul is

1

) en dat een negatieve exponent een breuk betekent:

a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}

. Deze regels gebruik je overal — bij groeifactoren, bij machtsverbanden en in de wetenschappelijke notatie.

De worteltrekking is de omgekeerde bewerking van machtsverheffen. De wortel

\sqrt{a}

is het (niet-negatieve) getal waarvan het kwadraat

a

is: omdat

3^{2}=9

geldt

\sqrt{9}=3

. Afb. 1 laat dat omkeren zien: de kromme

y=x^{2}

(kwadrateren) en de kromme

y=\sqrt{x}

(worteltrekken) zijn elkaars spiegelbeeld in de lijn

y=x

. Wat de ene functie doet, maakt de andere ongedaan — daarom snijden ze elkaar op die spiegellijn in de punten

(0,0)

(1,1)

. Een wortel is bovendien een macht met een gebroken exponent:

\sqrt{a}=a^{1/2}

en algemener

\sqrt[n]{a}=a^{1/n}

. Zo passen wortels naadloos in de machtsregels, en kun je bijvoorbeeld

\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}=a^{1/2}\cdot a^{1/2}=a^{1}=a

meteen verklaren.

Afb. 1 — Kwadrateren en worteltrekken zijn elkaars omgekeerde

Afb. 1Afb. 1 —

y=x^{2}

y=\sqrt{x}

zijn elkaars spiegelbeeld in de lijn

y=x

: worteltrekken maakt kwadrateren ongedaan. De krommen ontmoeten elkaar op de spiegellijn in

(0,0)

(1,1)

Voor heel grote of heel kleine getallen is de wetenschappelijke notatie handig: je schrijft een getal als

a\cdot 10^{n}

, waarbij

1\le |a|<10

n

een geheel getal is. De afstand aarde–zon is ongeveer

1{,}5\cdot 10^{11}

meter, en de diameter van een rode bloedcel ongeveer

8\cdot 10^{-6}

meter. Het getal

a

(de mantisse) legt de betekenisvolle cijfers vast, en de macht van

10

geeft de ordegrootte — hoe vaak je het decimaalpunt moet verschuiven. Vermenigvuldigen en delen gaat in deze notatie snel: je vermenigvuldigt de mantissen en telt de exponenten van

10

op. Op de grafische rekenmachine verschijnt

1{,}5\cdot 10^{11}

als 1.5E11; die « E » is de tienmacht en heeft niets met het getal

e

van Euler te maken.

Rekenresultaten in een context rond je zinvol af. Bij afronden op decimalen kijk je naar het eerste cijfer dat wegvalt: is dat

5

of meer, dan rond je naar boven af, anders naar beneden. Belangrijker in het examen is dat je niet té vroeg afrondt: reken zo lang mogelijk met exacte of onafgeronde waarden door en rond pas het eindantwoord af, anders stapelen afrondingsfouten zich op. Let ten slotte op de eenheden. Bij oppervlakte hoort een kwadraateenheid (

\text{m}^{2}

) en bij inhoud een derdemachtseenheid (

\text{m}^{3}

); omrekenen van

\text{m}^{2}

naar

\text{cm}^{2}

gaat met een factor

100^{2}=10\,000

, niet met

100

. Deze zorgvuldigheid met cijfers en eenheden levert op het examen deelpunten op.

a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}, \qquad \frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}, \qquad (a^{m})^{n}=a^{m\cdot n}

Machtsregels

Bij hetzelfde grondtal: vermenigvuldigen = exponenten optellen, delen = aftrekken, macht van een macht = vermenigvuldigen.

a^{0}=1, \qquad a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}, \qquad \sqrt[n]{a}=a^{1/n}

Nul-, negatieve en gebroken exponent

Elk getal (≠0) tot de macht 0 is 1; een negatieve exponent geeft een breuk; een wortel is een macht met gebroken exponent.

a\cdot 10^{n} \quad \text{met}\quad 1\le |a|<10

Wetenschappelijke notatie

De mantisse a legt de betekenisvolle cijfers vast, de macht van 10 de ordegrootte.

Uitgewerkt voorbeeld

Rekenen met machten en wetenschappelijke notatie

Schrijf zo eenvoudig mogelijk: (a) $\dfrac{2^{5}\cdot 2^{3}}{2^{6}}$ ; (b) $\sqrt{49}\cdot 5^{-2}$ ; (c) bereken $(3\cdot 10^{4})\cdot(2\cdot 10^{-7})$ in wetenschappelijke notatie.

(a) Pas de machtsregels toe
Teller: exponenten optellen, dan de noemer aftrekken.
$\frac{2^{5}\cdot 2^{3}}{2^{6}}=\frac{2^{8}}{2^{6}}=2^{8-6}=2^{2}=4$
(b) Wortel en negatieve exponent
$\sqrt{49}=7$ en $5^{-2}=\frac{1}{25}$ , dus het product is $\frac{7}{25}$ .
$\sqrt{49}\cdot 5^{-2}=7\cdot\frac{1}{25}=\frac{7}{25}=0{,}28$
(c) Mantissen maal, exponenten erbij
Vermenigvuldig de mantissen ( $3\cdot 2=6$ ) en tel de tienmachten op ( $4+(-7)=-3$ ).
$(3\cdot 10^{4})(2\cdot 10^{-7})=6\cdot 10^{-3}$

Resultaat: (a) $4$ ; (b) $\frac{7}{25}=0{,}28$ ; (c) $6\cdot 10^{-3}$ (oftewel $0{,}006$ ).

Veelgemaakte fouten

$a^{m}\cdot a^{n}$ berekenen als $a^{m\cdot n}$ in plaats van $a^{m+n}$ — bij vermenigvuldigen worden de exponenten opgeteld, niet vermenigvuldigd.
De « E » op de rekenmachine (bijv. 1.5E11) verwarren met het getal $e$ ; het is gewoon de tienmacht $\cdot 10^{11}$ .
Te vroeg afronden in tussenstappen, waardoor het eindantwoord merkbaar afwijkt.

Actieve herhaling

Schrijf zonder negatieve of gebroken exponent: (a) $\dfrac{a^{3}\cdot a^{-5}}{a^{-1}}$ ; (b) $\sqrt{a}\cdot a^{2}$ als één macht van $a$ . Bereken daarna $(4\cdot 10^{6}):(8\cdot 10^{2})$ in wetenschappelijke notatie.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein B: Algebra en tellen (CvTE / DUO)

Algebraïsch herleiden en formules herschrijven#

Standaardexamenblad-wiskunde-c-domein-B1

Herleiden is een uitdrukking in een gelijkwaardige, eenvoudiger vorm schrijven zonder de waarde te veranderen. Het begint bij het samennemen van gelijksoortige termen: termen met precies dezelfde variabele in dezelfde macht mag je optellen of aftrekken, dus

3x+5x=8x

, maar

3x

2x^{2}

blijven apart staan omdat ze niet gelijksoortig zijn. Haakjes werk je weg met de distributieve regel

a(b+c)=ab+ac

: elke term binnen de haakjes wordt met de factor ervoor vermenigvuldigd. Let daarbij scherp op het teken vóór de haakjes; bij een minteken keren álle tekens binnen de haakjes om, zoals in

-(x-4)=-x+4

. Deze twee bewerkingen — haakjes wegwerken en gelijksoortige termen samennemen — zijn het fundament van bijna elke algebraïsche herleiding.

Twee haakjes met elkaar vermenigvuldigen doe je door élke term van het ene paar met élke term van het andere te vermenigvuldigen:

(x+3)(x+5)=x^{2}+5x+3x+15=x^{2}+8x+15

. Voor veelvoorkomende gevallen bestaan handige merkwaardige producten die je uit het hoofd wilt kennen:

(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}

(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}

(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}

. Het gevaarlijkst is het eerste:

(a+b)^{2}

is níet

a^{2}+b^{2}

— de dubbele productterm

2ab

hoort er onlosmakelijk bij. Deze producten kom je bij de kwadratische verbanden voortdurend tegen, zowel bij het uitwerken als, andersom gelezen, bij het ontbinden in factoren.

Ontbinden in factoren is het omgekeerde van haakjes wegwerken: je schrijft een som als een product. Vaak begin je met het buiten haakjes halen van een gemeenschappelijke factor, zoals

6x^{2}+9x=3x(2x+3)

. Een tweeterm van de vorm

a^{2}-b^{2}

ontbind je met het verschil van kwadraten tot

(a+b)(a-b)

, dus

x^{2}-16=(x+4)(x-4)

. Een drieterm

x^{2}+bx+c

probeer je te schrijven als

(x+p)(x+q)

met

p+q=b

p\cdot q=c

: voor

x^{2}+8x+15

zoek je twee getallen met som

8

en product

15

, namelijk

3

5

, dus

x^{2}+8x+15=(x+3)(x+5)

. Ontbinden is de sleutel tot het exact oplossen van kwadratische vergelijkingen in de volgende paragraaf.

Een formule herschrijven betekent dat je hem naar een andere variabele omwerkt — je maakt die variabele « vrij ». Je gebruikt dat je aan beide kanten van het isgelijkteken dezelfde bewerking mag uitvoeren zonder de gelijkheid te verstoren: bij beide kanten hetzelfde optellen of aftrekken, met hetzelfde (niet-nul) getal vermenigvuldigen of delen, of aan beide kanten de wortel of het kwadraat nemen. Uit de omtrekformule

O=2\pi r

maak je zo de straal vrij: deel beide kanten door

2\pi

en je krijgt

r=\frac{O}{2\pi}

. Werk telkens de bewerking weg die het « verst » van de gezochte variabele staat, net als het uitpakken van een cadeautje van buiten naar binnen. Deze vaardigheid heb je nodig zodra je uit een verband een grootheid moet terugrekenen.

a(b+c)=ab+ac

Distributieve regel

Haakjes wegwerken: elke term binnen de haakjes met de factor ervoor vermenigvuldigen.

(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, \qquad (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}

Merkwaardige producten

Twee producten die je uit het hoofd kent; let op de dubbele productterm 2ab bij het kwadraat.

x^{2}+bx+c=(x+p)(x+q) \quad\text{met}\quad p+q=b,\ p\cdot q=c

Ontbinden van een drieterm

Zoek twee getallen met som b en product c.

Uitgewerkt voorbeeld

Herleiden, ontbinden en een formule omwerken

(a) Werk uit en herleid: $(x+4)^{2}-(x+2)(x-2)$ . (b) Ontbind $x^{2}-2x-15$ in factoren. (c) Maak in de formule $A=\pi r^{2}$ de straal $r$ vrij.

(a) Merkwaardige producten toepassen
$(x+4)^{2}=x^{2}+8x+16$ en $(x+2)(x-2)=x^{2}-4$ . Trek af.
$(x^{2}+8x+16)-(x^{2}-4)=8x+20$
(b) Twee getallen zoeken
Som $-2$ en product $-15$ : dat zijn $3$ en $-5$ (want $3+(-5)=-2$ en $3\cdot(-5)=-15$ ).
$x^{2}-2x-15=(x+3)(x-5)$
(c) De variabele vrijmaken
Deel beide kanten door $\pi$ en neem de (positieve) wortel.
$r^{2}=\frac{A}{\pi}\ \Rightarrow\ r=\sqrt{\frac{A}{\pi}}$

Resultaat: (a) $8x+20$ ; (b) $(x+3)(x-5)$ ; (c) $r=\sqrt{\dfrac{A}{\pi}}$ .

Veelgemaakte fouten

$(a+b)^{2}$ herleiden tot $a^{2}+b^{2}$ en de dubbele productterm $2ab$ vergeten.
Bij een minteken vóór de haakjes maar één teken binnen de haakjes omkeren in plaats van alle.
Bij het vrijmaken de wortel maar bij één kant nemen, of het $\pm$ -teken vergeten wanneer dat wél nodig is.

Actieve herhaling

Herleid $(2x-3)^{2}+(x+1)(x-1)$ tot één zo eenvoudig mogelijke uitdrukking. Ontbind daarna $x^{2}+2x-24$ , en maak in $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$ de hoogte $h$ vrij.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein B: Algebra en tellen (CvTE / DUO)

Vergelijkingen: lineair en kwadratisch#

Standaardexamenblad-wiskunde-c-domein-B1

Afb. 3 — Oplossing van de ongelijkheid als interval

Afb. 3Afb. 3 — De ongelijkheid

x^{2}-4x+3\le 0

geldt tussen de nulpunten: het gesloten interval

[1,3]

Een lineaire vergelijking bevat de onbekende alleen in de eerste macht, zoals

3x+5=17

. Je lost hem op door de onbekende te isoleren: doe aan beide kanten dezelfde bewerking totdat

x

alleen overblijft. Trek eerst

5

van beide kanten af (

3x=12

) en deel dan door

3

(

x=4

). Staan er aan beide kanten termen met

x

, breng ze dan eerst bij elkaar; staan er haakjes, werk die eerst weg. Elke lineaire vergelijking heeft precies één oplossing (tenzij de

x

-en tegen elkaar wegvallen, wat op een strijdigheid of een identiteit wijst). Een lineaire vergelijking hoort bij het snijpunt van een rechte lijn met een horizontale lijn — een idee dat terugkomt bij de verbanden.

Een kwadratische vergelijking bevat een term met

x^{2}

en heeft de standaardvorm

ax^{2}+bx+c=0

. Breng eerst álles naar één kant zodat er

0

aan de andere kant staat; dat is essentieel, want de oplosmethoden gaan uit van die nulvorm. In Afb. 2 zie je waarom je op nul herleidt: de oplossingen van

x^{2}-4x+3=0

zijn precies de

x

-coördinaten van de punten waar de parabool

y=x^{2}-4x+3

x

-as snijdt, hier

x=1

x=3

. De top van de parabool ligt op de symmetrieas

x=2

, precies midden tussen de twee nulpunten, en het snijpunt met de

y

-as is

(0,3)

. Een kwadratische vergelijking kan twee, één of geen oplossingen hebben — afhankelijk van of de parabool de

x

-as twee keer, één keer of niet snijdt.

Afb. 2 — Nulpunten van een parabool zijn de oplossingen

Afb. 2Afb. 2 — De oplossingen van

x^{2}-4x+3=0

zijn de

x

-waarden van de nulpunten:

x=1

x=3

. De top ligt bij

(2,-1)

op de symmetrieas

x=2

; het snijpunt met de

y

-as is

(0,3)

Voor het oplossen zijn er twee hoofdmethoden. Lukt het om te ontbinden, dan gebruik je dat een product nul is precies wanneer een van de factoren nul is (de productregel): uit

(x-1)(x-3)=0

volgt

x-1=0

x-3=0

, dus

x=1

x=3

. Lukt ontbinden niet netjes, dan gebruik je de abc-formule

x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

, waarin je

a

b

c

uit de standaardvorm afleest. De uitdrukking onder de wortel, de discriminant

D=b^{2}-4ac

, bepaalt het aantal oplossingen: bij

D>0

zijn er twee, bij

D=0

één en bij

D<0

geen (reële) oplossing, omdat je dan de wortel uit een negatief getal zou moeten trekken.

Ook ongelijkheden komen voor. Bij een lineaire ongelijkheid los je op als bij een vergelijking, met één cruciale extra regel: vermenigvuldig of deel je beide kanten met een negatief getal, dan draait het ongelijkheidsteken om (uit

-2x<6

volgt

x>-3

). Bij een kwadratische ongelijkheid bepaal je eerst de grenzen (de nulpunten) en gebruik je daarna een tekenverloop of de grafiek om te zien op welk interval de uitdrukking het gevraagde teken heeft. De oplossing noteer je als interval. Zo is de oplossing van

x^{2}-4x+3\le 0

het gebied waar de parabool uit Afb. 2 op of onder de

x

-as ligt, dus

1\le x\le 3

— het gesloten interval

[1,3]

ax^{2}+bx+c=0 \ \Rightarrow\ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

abc-formule

Los een kwadratische vergelijking op door a, b en c uit de nulvorm af te lezen.

D=b^{2}-4ac

Discriminant

D>0: twee oplossingen; D=0: één; D<0: geen reële oplossing.

(x-1)(x-3)=0 \ \Leftrightarrow\ x=1\ \text{of}\ x=3

Productregel

Een product is nul precies wanneer een van de factoren nul is.

Uitgewerkt voorbeeld

Een lineaire en een kwadratische vergelijking oplossen

Los op: (a) $5(x-2)=2x+7$ ; (b) $x^{2}-4x+3=0$ (door ontbinden); (c) $2x^{2}+3x-2=0$ (met de abc-formule).

(a) Haakjes weg en x verzamelen
$5x-10=2x+7\Rightarrow 3x=17\Rightarrow x=\frac{17}{3}$ .
$5x-10=2x+7 \ \Rightarrow\ 3x=17 \ \Rightarrow\ x=\tfrac{17}{3}$
(b) Ontbinden en productregel
Twee getallen met som $-4$ en product $3$ : $-1$ en $-3$ . Dus $(x-1)(x-3)=0$ .
$(x-1)(x-3)=0 \ \Rightarrow\ x=1\ \text{of}\ x=3$
(c) Discriminant berekenen
Hier $a=2$ , $b=3$ , $c=-2$ , dus $D=3^{2}-4\cdot 2\cdot(-2)=9+16=25$ .
$D=b^{2}-4ac=9+16=25$
(c) abc-formule invullen
$\sqrt{25}=5$ , dus $x=\frac{-3\pm 5}{4}$ : dat geeft $x=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$ of $x=\frac{-8}{4}=-2$ .
$x=\frac{-3\pm 5}{4}\ \Rightarrow\ x=\tfrac{1}{2}\ \text{of}\ x=-2$

Resultaat: (a) $x=\frac{17}{3}$ ; (b) $x=1$ of $x=3$ ; (c) $x=\frac{1}{2}$ of $x=-2$ .

Veelgemaakte fouten

De abc-formule toepassen zonder eerst op $0$ te herleiden (waardoor $a$ , $b$ en $c$ verkeerd worden afgelezen).
Bij een ongelijkheid vergeten het teken om te draaien na delen of vermenigvuldigen met een negatief getal.
Uit $x^{2}=9$ alleen $x=3$ concluderen en de oplossing $x=-3$ vergeten.

Actieve herhaling

Los op: $3(2x+1)=x-4$ ; los daarna $x^{2}-5x+6=0$ op door ontbinden en $x^{2}+2x-4=0$ met de abc-formule. Bepaal ten slotte voor welke $x$ geldt $x^{2}-5x+6<0$ en noteer die als interval.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein B: Algebra en tellen (CvTE / DUO)

Procenten, promillages en groeifactoren#

Standaardexamenblad-wiskunde-c-domein-B1

Een percentage is een verhouding per honderd:

p\%

betekent

\frac{p}{100}

. Om

p\%

van een bedrag te berekenen, vermenigvuldig je met

\frac{p}{100}

17\%

van

250

euro is

250\cdot 0{,}17=42{,}50

euro. Een promillage werkt hetzelfde, maar per duizend: het teken ‰ (promille) betekent delen door

1000

. Het onderscheid dat op het examen de meeste fouten voorkomt, is dat tussen een percentage van een bedrag en een procentuele verandering van dat bedrag. Bij een verandering hoort niet alleen het percentage, maar ook of het om een toename of een afname gaat, en ten opzichte van welk beginbedrag.

Bij een procentuele toename of afname reken je het handigst met een groeifactor: het getal waarmee je het oude bedrag vermenigvuldigt om het nieuwe te krijgen. Bij een toename van

p\%

is de groeifactor

g=1+\frac{p}{100}

, want je houdt de volle

100\%

én de extra

p\%

: een prijsstijging van

8\%

hoort bij

g=1{,}08

. Bij een afname van

p\%

g=1-\frac{p}{100}

15\%

korting geeft

g=0{,}85

. In één klap zie je hier het voordeel: een nieuwe prijs na

8\%

stijging is gewoon

\text{oud}\cdot 1{,}08

, zonder los het bedrag van de stijging te berekenen en op te tellen. Andersom hoort bij een groeifactor

g

een verandering van

(g-1)\cdot 100\%

g=1{,}20

betekent

+20\%

g=0{,}97

betekent

-3\%

De echte kracht van de groeifactor blijkt bij herhaalde verandering. Verandert een grootheid elke periode met dezelfde factor

g

, dan is de factor over

n

periodes samen

g^{n}

— je vermenigvuldigt telkens opnieuw met

g

. Afb. 4 toont een spaarbedrag van

100

euro dat elk jaar met

8\%

groeit (

g=1{,}08

): na

t

jaar is het bedrag

100\cdot 1{,}08^{t}

, en na

10

jaar dus

100\cdot 1{,}08^{10}\approx 215{,}89

euro. Dit heet exponentiële (samengestelde) groei, en de grafiek buigt steeds steiler omhoog omdat de groei telkens over een groter bedrag gaat. Een veelgemaakte denkfout is hier optellen in plaats van vermenigvuldigen:

10

jaar

8\%

is níet

80\%

erbij, maar

1{,}08^{10}\approx 2{,}159

, oftewel bijna

116\%

erbij.

Afb. 4 — Samengestelde groei van een spaarbedrag

Afb. 4Afb. 4 —

100

euro tegen

8\%

per jaar: het bedrag

100\cdot 1{,}08^{t}

groeit exponentieel en bereikt na

10

jaar ongeveer

216

euro. De beginwaarde

100

is het snijpunt met de verticale as.

Met de groeifactor reken je ook vlot terug en over. Wil je van het nieuwe bedrag naar het oude, deel dan door

g

(niet: trek het percentage er weer af). Ken je begin- en eindbedrag over

n

periodes, dan vind je de factor per periode als

g=\sqrt[n]{\text{eind}/\text{begin}}

. En volgen twee veranderingen op elkaar, dan vermenigvuldig je hun groeifactoren: eerst

+20\%

en dan

-20\%

geeft

1{,}20\cdot 0{,}80=0{,}96

, dus per saldo

4\%

minder — níet

0\%

, want de tweede verandering gaat over het al gewijzigde bedrag. Deze rekentechniek met groeifactoren is precies de brug naar het exponentiële verband dat je bij domein C uitgebreid tegenkomt.

g=1+\frac{p}{100}\ (\text{toename}), \qquad g=1-\frac{p}{100}\ (\text{afname})

Groeifactor

Het getal waarmee je het oude bedrag vermenigvuldigt om het nieuwe te krijgen.

\text{nieuw}=\text{oud}\cdot g^{n}

Herhaalde verandering

Bij n keer dezelfde procentuele verandering is de totale factor g tot de macht n.

p=(g-1)\cdot 100\%

Van groeifactor naar percentage

Uit een groeifactor het bijbehorende (positieve of negatieve) percentage terugrekenen.

Uitgewerkt voorbeeld

Prijsveranderingen met groeifactoren

Een jas kost €120. (a) Wat kost hij na een prijsstijging van $15\%$ ? (b) Op de nieuwe prijs komt tijdens de uitverkoop $25\%$ korting — wat is de eindprijs, en welke procentuele verandering is dat ten opzichte van de oorspronkelijke €120? (c) Een ander product kost na $3$ jaar prijsstijging van telkens $5\%$ per jaar €139. Wat was de beginprijs?

(a) Groeifactor van de stijging
$+15\%$ hoort bij $g=1{,}15$ , dus $120\cdot 1{,}15=138$ euro.
$120\cdot 1{,}15=138$
(b) Tweede factor erbij
$-25\%$ hoort bij $g=0{,}75$ . Vermenigvuldig de factoren: $1{,}15\cdot 0{,}75=0{,}8625$ .
$120\cdot 1{,}15\cdot 0{,}75=120\cdot 0{,}8625=103{,}50$
(b) Totale verandering
De totale factor is $0{,}8625$ , dus $(0{,}8625-1)\cdot 100\%=-13{,}75\%$ : de jas is per saldo $13{,}75\%$ goedkoper dan €120.
(c) Terugrekenen door te delen
Over $3$ jaar is de totale factor $1{,}05^{3}=1{,}157625$ . Deel de eindprijs erdoor.
$\text{begin}=\frac{139}{1{,}05^{3}}=\frac{139}{1{,}157625}\approx 120{,}07$

Resultaat: (a) €138; (b) eindprijs €103,50, een afname van $13{,}75\%$ ; (c) de beginprijs was ongeveer €120,07.

Veelgemaakte fouten

Bij herhaalde verandering de percentages optellen (10 jaar $8\%$ ≠ $80\%$ ) in plaats van de groeifactoren te machtsverheffen.
Na $+20\%$ en dan $-20\%$ denken dat je weer op het begin uitkomt; het is $1{,}20\cdot 0{,}80=0{,}96$ , dus $4\%$ minder.
Terugrekenen door het percentage er weer af te trekken in plaats van door de groeifactor te delen.

Actieve herhaling

Een aandeel van €50 stijgt in jaar 1 met $10\%$ en daalt in jaar 2 met $10\%$ . Bereken de waarde na twee jaar en de totale procentuele verandering. Bereken daarna met welk vast percentage per jaar €200 in $5$ jaar tot €322 groeit.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein B: Algebra en tellen (CvTE / DUO)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / DUO

Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein B: Algebra en tellen

Rekenen en algebra

Kernpunten

Rekenen met machten en wetenschappelijke notatie

Kernpunten

Herleiden, ontbinden en een formule omwerken

Kernpunten

Een lineaire en een kwadratische vergelijking oplossen

Kernpunten

Prijsveranderingen met groeifactoren

Bronnen