Samenvattingen · Wiskunde CNL · VWO

Lineaire, tweedegraads- en machtsverbanden

Dit onderwerp behandelt drie standaardverbanden. Het lineaire verband f(x)=ax+b hoort bij een rechte lijn met helling a en snijpunt b. Het tweedegraads (kwadratische) verband f(x)=ax²+bx+c hoort bij een parabool met top, symmetrieas en nulpunten. En het machtsverband f(x)=a·xⁿ omvat onder meer de evenredige en omgekeerd evenredige verbanden. Je leert ze herkennen aan formule, tabel of grafiek en de invloed van de kengetallen en van transformaties beschrijven. Dit onderwerp hoort tot de centraal-examenstof (domein C).

4 Onderdelen~15 min leestijd4 VaardighedenNiveau Basis 1 · Standaard 3

T·0444 / 17

Examenprofiel

C · Lineaire verbanden f(x)=ax+b: helling (richtingscoëfficiënt) en snijpunt bepalen en de formule opstellenC · Tweedegraads verbanden f(x)=ax²+bx+c: top, symmetrieas en nulpunten bepalenC · Machtsverbanden f(x)=a·xⁿ en (omgekeerd) evenredige verbanden herkennen en gebruikenC · Transformaties van grafieken beschrijven: verschuiven en vermenigvuldigen

Operatoren:stel opberekenbepaalherkenbeschrijftoon aan

basisniveau

Lineaire en kwadratische verbanden vormen de kern van domein C; ze komen in vrijwel elke contextopgave terug.

verhoogd niveau

Verdieping: het herkennen van machts- en omgekeerd evenredige verbanden en het beschrijven van transformaties helpen om onbekende grafieken snel te doorzien.

Diepte

Tekst

Inhoud · 4 onderdelen

Lineaire, tweedegraads- en machtsverbanden

Lineaire verbanden: helling en snijpunt#

Basisexamenblad-wiskunde-c-domein-C

Een lineair verband heeft een grafiek die een rechte lijn is, en de standaardvorm

f(x)=ax+b

. De twee kengetallen

a

b

bepalen samen de lijn volledig. Het getal

b

is de startwaarde: de functiewaarde bij

x=0

, en dus het snijpunt met de

y

-as, het punt

(0,b)

. Het getal

a

is de richtingscoëfficiënt of helling: het geeft aan hoeveel

y

verandert als

x

met

1

toeneemt. Afb. 1 toont de lijn

f(x)=0{,}5x+2

: het snijpunt met de

y

-as is

(0,2)

, en de helling

0{,}5

betekent dat je bij één stap naar rechts een halve stap omhoog gaat — van

(0,2)

naar

(4,4)

ga je

4

naar rechts en

2

omhoog.

Afb. 1 — Helling en snijpunt van een rechte lijn

Afb. 1Afb. 1 —

f(x)=0{,}5x+2

snijdt de

y

-as in

(0,2)

(de startwaarde

b=2

). De helling

a=0{,}5

betekent: één naar rechts, een halve omhoog — van

(0,2)

naar

(4,4)

De helling bereken je uit twee punten

(x_{1},y_{1})

(x_{2},y_{2})

op de lijn met

a=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}

: de verticale verandering gedeeld door de horizontale. Een positieve helling betekent een stijgende lijn, een negatieve een dalende, en helling

0

een horizontale lijn. Hoe groter

|a|

, hoe steiler de lijn. Twee lijnen zijn evenwijdig precies wanneer ze dezelfde helling hebben; ze snijden elkaar dan nergens. In een context is de helling vaak een snelheid of een tarief: euro's per uur, kilometers per liter, graden per minuut.

Een lineaire formule opstellen doe je in twee stappen. Bepaal eerst de helling

a

— uit twee gegeven punten, of rechtstreeks uit « de verandering per eenheid » in de context. Bepaal daarna de startwaarde

b

: als

x=0

gegeven is, lees je

b

direct af; anders vul je een bekend punt in de formule

y=ax+b

in en los je

b

op. Zo hoort bij «

12

euro startkosten plus

3

euro per stuk » de formule

y=3x+12

, met helling

3

en startwaarde

12

. Deze werkwijze — helling eerst, dan de startwaarde — werkt bij elk lineair model.

Het herkennen van een lineair verband gaat via een simpele test: bij gelijke stappen in

x

verandert

y

telkens met hetzelfde bedrag. In een tabel zie je dan constante verschillen tussen de

y

-waarden. Dat onderscheidt het lineaire verband van het exponentiële, waar bij gelijke stappen telkens met dezelfde factor wordt vermenigvuldigd (constante verhouding, geen constant verschil). Herken je constante verschillen, dan is het verband lineair en is het verschil per stap precies de helling

a

f(x)=ax+b

Lineair verband

a is de helling (richtingscoëfficiënt), b de startwaarde en het snijpunt met de y-as.

a=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}

Helling uit twee punten

De verticale verandering gedeeld door de horizontale verandering tussen twee punten op de lijn.

Uitgewerkt voorbeeld

Een lineaire formule opstellen uit twee punten

Een lijn gaat door de punten $(2,7)$ en $(6,19)$ . (a) Bereken de helling. (b) Bepaal de startwaarde en de formule. (c) Welke $y$ hoort bij $x=10$ ?

(a) Helling
Verticale verandering gedeeld door horizontale.
$a=\frac{19-7}{6-2}=\frac{12}{4}=3$
(b) Startwaarde
Vul een punt in $y=3x+b$ : $7=3\cdot 2+b\Rightarrow b=1$ . Dus $f(x)=3x+1$ .
$7=6+b \ \Rightarrow\ b=1$
(c) Functiewaarde
Vul $x=10$ in.
$f(10)=3\cdot 10+1=31$

Resultaat: (a) helling $3$ ; (b) $f(x)=3x+1$ ; (c) $f(10)=31$ .

Veelgemaakte fouten

$\Delta x$ en $\Delta y$ verwisselen bij het berekenen van de helling ( $a=\frac{\Delta y}{\Delta x}$ , niet andersom).
De startwaarde $b$ verwarren met een willekeurige functiewaarde; $b$ hoort bij $x=0$ .

Actieve herhaling

Een lijn gaat door $(1,5)$ en $(4,-4)$ . Bepaal de helling, de formule en het snijpunt met de $x$ -as.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein C: Verbanden (CvTE / DUO)

Tweedegraads verbanden: parabool, top en nulpunten#

Standaardexamenblad-wiskunde-c-domein-C

Een tweedegraads (kwadratisch) verband heeft de vorm

f(x)=ax^{2}+bx+c

met

a\neq 0

, en zijn grafiek is een parabool. Het teken van

a

bepaalt de opening: bij

a>0

opent de parabool naar boven (een dal-parabool met een minimum), bij

a<0

naar beneden (een berg-parabool met een maximum). Hoe groter

|a|

, hoe smaller de parabool. Afb. 2 toont

f(x)=x^{2}-2x-3

: een naar boven geopende parabool met nulpunten in

(-1,0)

(3,0)

, een top in

(1,-4)

en een snijpunt met de

y

-as in

(0,-3)

. De term

c

is altijd het snijpunt met de

y

-as, want

f(0)=c

Afb. 2 — Parabool met top en nulpunten

Afb. 2Afb. 2 —

f(x)=x^{2}-2x-3

: nulpunten

(-1,0)

(3,0)

, top

(1,-4)

op de symmetrieas

x=1

, snijpunt met de

y

-as

(0,-3)

Het bijzondere punt van een parabool is de top: het hoogste of laagste punt, waar de grafiek van richting keert. De

x

-coördinaat van de top vind je met

x_{\text{top}}=-\frac{b}{2a}

, en de

y

-coördinaat door die

x

in de formule in te vullen. Voor

f(x)=x^{2}-2x-3

geeft dat

x_{\text{top}}=-\frac{-2}{2}=1

f(1)=1-2-3=-4

, dus de top

(1,-4)

. Door de top loopt de symmetrieas, de verticale lijn

x=-\frac{b}{2a}

: de parabool is het spiegelbeeld van zichzelf in die lijn. Dat verklaart waarom de twee nulpunten altijd even ver van de symmetrieas liggen.

De nulpunten van de parabool — de snijpunten met de

x

-as — bereken je door

f(x)=0

op te lossen. Dat kan door ontbinden (

x^{2}-2x-3=(x-3)(x+1)=0

geeft

x=3

x=-1

) of met de abc-formule. De discriminant

D=b^{2}-4ac

vertelt op voorhand hoeveel nulpunten er zijn: bij

D>0

snijdt de parabool de

x

-as twee keer, bij

D=0

raakt hij de

x

-as (top op de as, één nulpunt), en bij

D<0

ligt de hele parabool boven of onder de as (geen nulpunten). Zo koppel je de algebra van de vorige onderwerpen aan de meetkunde van de grafiek.

Om vlot een parabool te schetsen combineer je deze kenmerken. Bepaal de opening (teken van

a

), het snijpunt met de

y

-as (

c

), de top (

x=-\frac{b}{2a}

met bijbehorende

y

) en de nulpunten (als die er zijn). Met die vier gegevens ligt de parabool praktisch vast. In een context is de top vaak het antwoord op « wanneer is iets maximaal of minimaal? » — de hoogste opbrengst, de laagste kosten, de grootste hoogte. Herkennen dat een verband kwadratisch is, doe je aan de

x^{2}

-term in de formule of aan een tabel waarin de tweede verschillen (de verschillen van de verschillen) constant zijn.

f(x)=ax^{2}+bx+c

Tweedegraads verband

a bepaalt de opening (a>0 dal, a<0 berg); c is het snijpunt met de y-as.

x_{\text{top}}=-\frac{b}{2a}

Symmetrieas / top

De x-coördinaat van de top; vul deze in de formule in voor de y-coördinaat.

D=b^{2}-4ac

Aantal nulpunten

D>0: twee nulpunten; D=0: één (raken); D<0: geen.

Uitgewerkt voorbeeld

Top en nulpunten van een parabool bepalen

Gegeven $f(x)=x^{2}-2x-3$ . (a) Bepaal de coördinaten van de top. (b) Bereken de nulpunten. (c) Is de top een minimum of een maximum, en wat is de minimale functiewaarde?

(a) Top
$x_{\text{top}}=-\frac{-2}{2\cdot 1}=1$ ; $f(1)=1-2-3=-4$ .
$x_{\text{top}}=1,\quad f(1)=-4$
(b) Nulpunten door ontbinden
Twee getallen met som $-2$ en product $-3$ : $-3$ en $1$ .
$(x-3)(x+1)=0 \ \Rightarrow\ x=3\ \text{of}\ x=-1$
(c) Aard van de top
Omdat $a=1>0$ opent de parabool naar boven: de top is een minimum. De minimale functiewaarde is $-4$ .

Resultaat: (a) top $(1,-4)$ ; (b) nulpunten $x=-1$ en $x=3$ ; (c) minimum, met minimale waarde $-4$ .

Veelgemaakte fouten

Bij de top-formule het minteken of de factor $2a$ vergeten ( $x_{\text{top}}=-\frac{b}{2a}$ ).
Denken dat de top altijd op de $y$ -as ligt; dat is alleen zo als $b=0$ .

Actieve herhaling

Gegeven $g(x)=-x^{2}+4x+5$ . Bepaal de opening, de top, de nulpunten en het snijpunt met de $y$ -as, en schets de parabool.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein C: Verbanden (CvTE / DUO)

Machtsverbanden en (omgekeerd) evenredigheid#

Standaardexamenblad-wiskunde-c-domein-C

Een machtsverband heeft de vorm

f(x)=a\cdot x^{n}

, met een vaste macht

n

en een constante

a

. De vorm van de grafiek hangt af van de exponent. Afb. 3 vergelijkt

y=x^{2}

y=x^{3}

op het interval

[0,2]

: bij een even macht (

x^{2}

) is de grafiek symmetrisch en altijd niet-negatief, terwijl bij een oneven macht (

x^{3}

) de grafiek door de oorsprong « doorschiet » van negatief naar positief en steeds steiler wordt. Beide gaan door

(0,0)

(1,1)

, maar voor

x>1

groeit de hogere macht sneller. Machtsverbanden beschrijven bijvoorbeeld hoe oppervlakte met het kwadraat en inhoud met de derde macht van een lengte samenhangt.

Afb. 3 — Machtsfuncties x² en x³

Afb. 3Afb. 3 —

y=x^{2}

(even macht) en

y=x^{3}

(oneven macht) op

[0,2]

: beide door

(0,0)

(1,1)

; voor

x>1

groeit de hogere macht sneller.

Het evenredige verband is het eenvoudigste machtsverband:

y=a\cdot x

(de macht

n=1

). Hierbij hoort een rechte lijn dóór de oorsprong, want bij

x=0

y=0

. Kenmerkend is dat als

x

twee keer zo groot wordt,

y

ook twee keer zo groot wordt: de verhouding

\frac{y}{x}=a

is constant. Dat maakt het evenredige verband tot een bijzonder lineair verband, namelijk zonder startwaarde (

b=0

). Denk aan « prijs is evenredig met gewicht »: dubbel zoveel kaas kost dubbel zoveel geld.

Bij een omgekeerd evenredig verband

y=\frac{a}{x}

(de macht

n=-1

) gebeurt het omgekeerde: wordt

x

twee keer zo groot, dan wordt

y

twee keer zo klein, want het product

x\cdot y=a

blijft constant. De grafiek is een hyperbool met twee asymptoten: de

y

-as (

x=0

, want delen door nul mag niet) en de

x

-as (

y=0

, die de grafiek nooit bereikt). Afb. 4 toont

y=\frac{6}{x}

: door de punten

(1,6)

(2,3)

(3,2)

(6,1)

, telkens met product

6

. Zulke verbanden beschrijven situaties waarin een vaste totale hoeveelheid wordt verdeeld — bijvoorbeeld reistijd tegen snelheid bij een vaste afstand.

Afb. 4 — Omgekeerd evenredig verband y = 6/x

Afb. 4Afb. 4 —

y=\frac{6}{x}

: het product

x\cdot y=6

is constant. De grafiek nadert de

x

-as en de

y

-as (asymptoten) zonder ze te raken.

Bij een machtsverband horen ook transformaties. De constante

a

rekt de grafiek verticaal uit (bij

|a|>1

) of drukt hem samen (bij

|a|<1

), en een negatieve

a

spiegelt hem in de

x

-as. Herken je een verband als machtsverband, dan let je vooral op de exponent (die de grondvorm bepaalt) en de constante (die de schaal bepaalt). In een tabel herken je een machtsverband doordat de verhouding tussen

y

-waarden een vaste macht is van de verhouding tussen de bijbehorende

x

-waarden — een subtieler patroon dan de constante verschillen van een lineair verband of de constante factor van een exponentieel verband.

f(x)=a\cdot x^{n}

Machtsverband

De exponent n bepaalt de grondvorm van de grafiek; a bepaalt de schaal en de richting.

y=a\cdot x \ (\text{evenredig}), \qquad y=\frac{a}{x} \ (\text{omgekeerd evenredig})

Evenredig en omgekeerd evenredig

Evenredig: y/x constant (lijn door O). Omgekeerd evenredig: x·y constant (hyperbool).

Uitgewerkt voorbeeld

Een omgekeerd evenredig verband gebruiken

Voor een vaste afstand van $120$ km geldt dat de reistijd $t$ (uur) omgekeerd evenredig is met de snelheid $v$ (km/u): $t=\frac{120}{v}$ . (a) Bereken de reistijd bij $v=60$ en bij $v=80$ km/u. (b) Toon aan dat het verband omgekeerd evenredig is. (c) Bij welke snelheid duurt de rit $1{,}5$ uur?

(a) Reistijden
$t=\frac{120}{60}=2$ uur en $t=\frac{120}{80}=1{,}5$ uur.
(b) Product constant
$v\cdot t=60\cdot 2=120$ en $80\cdot 1{,}5=120$ : het product is telkens $120$ , dus omgekeerd evenredig.
$v\cdot t=120 \ (\text{constant})$
(c) Snelheid bij t = 1,5
Los $\frac{120}{v}=1{,}5$ op: $v=\frac{120}{1{,}5}=80$ km/u.
$v=\frac{120}{1{,}5}=80$

Resultaat: (a) $2$ uur en $1{,}5$ uur; (b) het product $v\cdot t=120$ is constant, dus omgekeerd evenredig; (c) bij $80$ km/u.

Veelgemaakte fouten

Evenredig en omgekeerd evenredig verwarren: bij evenredig is $\frac{y}{x}$ constant, bij omgekeerd evenredig is $x\cdot y$ constant.
Bij een omgekeerd evenredig verband de asymptoten vergeten (de grafiek raakt de assen nooit).

Actieve herhaling

De oppervlakte van een vierkant is evenredig met het kwadraat van de zijde: $A=z^{2}$ . Hoeveel keer zo groot wordt de oppervlakte als de zijde verdrievoudigt? En bij een omgekeerd evenredig verband $y=\frac{24}{x}$ : welke $y$ hoort bij $x=8$ ?

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein C: Verbanden (CvTE / DUO)

Transformaties van grafieken#

Standaardexamenblad-wiskunde-c-domein-C

Uit een bekende « standaardgrafiek » kun je door verschuiven en vermenigvuldigen tal van nieuwe grafieken maken, zonder telkens een tabel te hoeven berekenen. Een verticale verschuiving verkrijg je door bij de formule een getal op te tellen: de grafiek van

y=f(x)+c

is die van

y=f(x)

over

c

eenheden omhoog (bij

c>0

) of omlaag (bij

c<0

) geschoven. Afb. 5 laat dit zien voor de parabool:

y=x^{2}

heeft zijn top in

(0,0)

, en

y=(x-2)^{2}+1

is diezelfde parabool met de top verschoven naar

(2,1)

Afb. 5 — De parabool verschuiven

Afb. 5Afb. 5 —

y=x^{2}

(top

(0,0)

) en

y=(x-2)^{2}+1

(top

(2,1)

2

naar rechts en

1

omhoog verschoven.

Een horizontale verschuiving zit ín het functievoorschrift en werkt « tegengesteld » aan wat je zou verwachten: de grafiek van

y=f(x-c)

is die van

y=f(x)

over

c

eenheden naar réchts geschoven (bij

c>0

). Het minteken in

x-c

verschuift dus naar rechts, en

x+c

naar links — een klassieke valkuil. Bij de parabool

y=(x-2)^{2}

ligt de top daarom bij

x=2

en niet bij

x=-2

. Combineer je beide verschuivingen, zoals in

y=(x-2)^{2}+1

, dan schuift de hele grafiek

2

naar rechts en

1

omhoog: de top gaat van

(0,0)

naar

(2,1)

Naast verschuiven kun je grafieken vermenigvuldigen (uitrekken of samendrukken). De grafiek van

y=a\cdot f(x)

is die van

y=f(x)

verticaal met factor

a

uitgerekt: bij

|a|>1

wordt hij steiler, bij

0<|a|<1

platter, en bij

a<0

wordt hij bovendien in de

x

-as gespiegeld (op de kop). Bij een parabool zie je zo dat een grotere

|a|

een smallere parabool geeft. Deze verticale vermenigvuldiging verandert de

y

-waarden, maar laat de nulpunten (waar

y=0

) op hun plaats.

Transformaties zijn een krachtig hulpmiddel om grafieken snel te doorzien. Herken je in een formule een standaardvorm plus verschuivingen — bijvoorbeeld

y=(x-p)^{2}+q

als een parabool met top

(p,q)

— dan weet je meteen hoe de grafiek eruitziet zonder te rekenen. Andersom kun je uit de ligging van een grafiek de transformaties aflezen en zo de formule terugvinden. Deze manier van kijken, waarin je elke grafiek ziet als een bewerkte standaardgrafiek, keert bij alle verbanden van domein C terug, van parabolen tot exponentiële en logaritmische krommen.

y=f(x)+c

Verticaal verschuiven

c>0: omhoog; c<0: omlaag.

y=f(x-c)

Horizontaal verschuiven

c>0: naar rechts; c<0: naar links (tegengesteld aan het teken in x−c).

y=a\cdot f(x)

Verticaal vermenigvuldigen

|a|>1: steiler; 0<|a|<1: platter; a<0: gespiegeld in de x-as.

Uitgewerkt voorbeeld

Een transformatie herkennen en gebruiken

Gegeven de standaardparabool $y=x^{2}$ . (a) Geef de formule na een verschuiving van $3$ naar rechts en $2$ omlaag. (b) Waar ligt dan de top? (c) Beschrijf de grafiek van $y=-2x^{2}$ ten opzichte van $y=x^{2}$ .

(a) Verschuiven in de formule
Rechts: $x\to x-3$ . Omlaag: $-2$ erbij.
$y=(x-3)^{2}-2$
(b) Top aflezen
Bij de vorm $(x-p)^{2}+q$ ligt de top in $(p,q)$ , dus hier $(3,-2)$ .
(c) Vermenigvuldigen en spiegelen
De factor $-2$ maakt de parabool steiler (factor $2$ ) én spiegelt hem in de $x$ -as, dus $y=-2x^{2}$ is een smallere, naar beneden geopende parabool met dezelfde top $(0,0)$ .

Resultaat: (a) $y=(x-3)^{2}-2$ ; (b) top $(3,-2)$ ; (c) $y=-2x^{2}$ is steiler en op de kop t.o.v. $y=x^{2}$ .

Veelgemaakte fouten

De richting van een horizontale verschuiving verkeerd om nemen: $y=f(x-c)$ schuift naar réchts (niet naar links).
Denken dat $y=a\cdot f(x)$ de nulpunten verschuift; de nulpunten (waar $y=0$ ) blijven op hun plaats.

Actieve herhaling

Beschrijf hoe je de grafiek van $y=(x+1)^{2}-4$ uit $y=x^{2}$ krijgt en geef de top. Geef daarna de formule van $y=x^{2}$ na spiegeling in de $x$ -as en een verschuiving van $2$ omhoog.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein C: Verbanden (CvTE / DUO)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / DUO

Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein C: Verbanden

Lineaire, tweedegraads- en machtsverbanden

Kernpunten

Een lineaire formule opstellen uit twee punten

Kernpunten

Top en nulpunten van een parabool bepalen

Kernpunten

Een omgekeerd evenredig verband gebruiken

Kernpunten

Een transformatie herkennen en gebruiken

Bronnen