Samenvattingen · Wiskunde CNL · VWO

Exponentiële en logaritmische verbanden

Een exponentieel verband f(x)=b·gˣ hoort bij een grootheid die per vaste periode telkens met dezelfde groeifactor g verandert: groei bij g>1, afname bij 0<g<1. Je leert de formule opstellen, groeipercentages omrekenen naar groeifactoren, tijdseenheden herschalen en de verdubbelings- of halveringstijd bepalen. De logaritme is de inverse bewerking waarmee je een exponent terugrekent en exponentiële vergelijkingen oplost. Dit onderwerp hoort tot de centraal-examenstof (domein C).

4 Onderdelen~15 min leestijd4 VaardighedenNiveau Basis 1 · Standaard 3

T·0555 / 17

Examenprofiel

C · Exponentiële verbanden f(x)=b·gˣ opstellen en gebruiken (beginwaarde, groeifactor, asymptoot)C · Groeipercentages omrekenen naar groeifactoren en tijdseenheden herschalen (gᵏ)C · Verdubbelings- en halveringstijd bepalenC · De logaritme als inverse gebruiken en een exponentiële vergelijking oplossen

Operatoren:stel opberekenbepaallos opinterpreteertoon aan

basisniveau

Het exponentiële verband met beginwaarde en groeifactor is centraal-examenstof en sluit direct aan op het rekenen met groeifactoren uit domein B.

verhoogd niveau

Verdieping: de logaritme als inverse en het oplossen van exponentiële vergelijkingen (met logaritme of GR) verdiepen het inzicht in groei en verval.

Diepte

Tekst

Inhoud · 4 onderdelen

Exponentiële en logaritmische verbanden

Exponentiële verbanden: beginwaarde en groeifactor#

Basisexamenblad-wiskunde-c-domein-C

Een exponentieel verband heeft de vorm

N(t)=b\cdot g^{t}

, met een beginwaarde

b

en een groeifactor

g

. Het kenmerkende is dat de grootheid per gelijke tijdstap telkens met dezelfde factor

g

wordt vermenigvuldigd — niet met een vast bedrag opgeteld, zoals bij een lineair verband. De beginwaarde

b

is de waarde op

t=0

(want

g^{0}=1

), en dus het snijpunt met de verticale as. Is

g>1

, dan is er sprake van groei; is

0<g<1

, dan van afname (verval). Afb. 1 toont beide gevallen vanuit dezelfde beginwaarde

100

: een groeikromme met

g=1{,}25

en een dalende kromme met

g=0{,}8

Afb. 1 — Exponentiële groei en afname

Afb. 1Afb. 1 — Vanuit beginwaarde

100

: groei (

g=1{,}25

+25\%

per stap) buigt steeds steiler omhoog; afname (

g=0{,}8

-20\%

per stap) nadert de asymptoot

y=0

Bij een groeikromme wordt de toename per stap steeds groter, omdat de vaste factor telkens over een grotere waarde gaat; de grafiek buigt daarom steeds steiler omhoog. Bij een afnamekromme wordt de afname per stap juist steeds kleiner: de grafiek daalt snel en vlakt dan af. In beide gevallen is de

t

-as (de lijn

y=0

) een horizontale asymptoot: bij groei ligt de grafiek er ver bovenuit, bij verval nadert hij de as steeds dichter zonder hem ooit te bereiken. Dat komt doordat

b\cdot g^{t}

voor positieve

b

nooit precies nul wordt.

De groeifactor

g

hangt samen met het groeipercentage

p

via

g=1+\frac{p}{100}

bij groei en

g=1-\frac{p}{100}

bij afname. Zo hoort

8\%

groei per jaar bij

g=1{,}08

15\%

afname bij

g=0{,}85

. Andersom lees je uit een groeifactor het percentage af met

p=(g-1)\cdot 100\%

g=1{,}25

betekent

+25\%

per stap en

g=0{,}8

betekent

-20\%

per stap. Deze vertaling tussen percentage en groeifactor is de brug tussen het rekenen met procenten (domein B) en het exponentiële verband.

Een exponentiële formule opstellen doe je door de beginwaarde en de groeifactor te bepalen. De beginwaarde is de waarde op tijdstip

0

; de groeifactor bereken je uit het groeipercentage of uit twee opeenvolgende waarden (deel de nieuwe door de oude). Voor « een bacteriekolonie begint met

500

cellen en groeit met

30\%

per uur » is

b=500

g=1{,}30

, dus

N(t)=500\cdot 1{,}30^{t}

. Herken je een exponentieel verband? Test dan of de

y

-waarden bij gelijke

x

-stappen een constante verhouding (factor) hebben — dat is het exponentiële tegenhanger van de constante verschillen bij een lineair verband.

N(t)=b\cdot g^{t}

Exponentieel verband

b is de beginwaarde (waarde op t=0), g de groeifactor per tijdstap.

g=1+\frac{p}{100}\ (\text{groei}), \qquad g=1-\frac{p}{100}\ (\text{afname})

Groeifactor en percentage

g>1: groei; 0<g<1: afname. Omgekeerd: p=(g−1)·100%.

Uitgewerkt voorbeeld

Een exponentiële formule opstellen en gebruiken

Een spaarrekening begint met $2000$ euro en groeit met $3\%$ per jaar. (a) Stel een formule op voor het bedrag $B$ na $t$ jaar. (b) Hoeveel staat er na $5$ jaar? (c) Een andere grootheid neemt met $12\%$ per jaar af vanaf $80$ . Geef de formule en de waarde na $4$ jaar.

(a) Beginwaarde en groeifactor
$b=2000$ ; $+3\%$ geeft $g=1{,}03$ .
$B(t)=2000\cdot 1{,}03^{t}$
(b) Vul t = 5 in
$B(5)=2000\cdot 1{,}03^{5}=2000\cdot 1{,}159274\approx 2318{,}55$ euro.
$B(5)=2000\cdot 1{,}03^{5}\approx 2318{,}55$
(c) Afname
$-12\%$ geeft $g=0{,}88$ , dus $N(t)=80\cdot 0{,}88^{t}$ ; $N(4)=80\cdot 0{,}88^{4}=80\cdot 0{,}59969\approx 47{,}98$ .
$N(4)=80\cdot 0{,}88^{4}\approx 47{,}98$

Resultaat: (a) $B(t)=2000\cdot 1{,}03^{t}$ ; (b) ongeveer $2318{,}55$ euro; (c) $N(t)=80\cdot 0{,}88^{t}$ , na $4$ jaar ongeveer $47{,}98$ .

Veelgemaakte fouten

Een exponentieel verband als lineair behandelen (per stap optellen in plaats van vermenigvuldigen).
Bij afname de groeifactor als $1+\frac{p}{100}$ nemen in plaats van $1-\frac{p}{100}$ .

Actieve herhaling

Een auto van $24\,000$ euro verliest jaarlijks $18\%$ van zijn waarde. Stel de formule op voor de waarde na $t$ jaar en bereken de waarde na $3$ jaar. Na hoeveel hele jaren is de auto minder dan de helft waard?

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein C: Verbanden (CvTE / DUO)

Groeipercentages, tijdseenheden, verdubbelen en halveren#

Standaardexamenblad-wiskunde-c-domein-C

Een groeifactor hoort altijd bij een bepaalde tijdseenheid, en je kunt hem naar een andere eenheid omrekenen. Is de groeifactor per jaar

g

, dan is de groeifactor per

k

jaar

g^{k}

(je vermenigvuldigt

k

keer met

g

), en de groeifactor per deel van een jaar — bijvoorbeeld per maand — is

g^{1/12}

, de twaalfdemachtswortel. Zo hoort bij

8\%

groei per jaar (

g=1{,}08

) een maandelijkse groeifactor van

1{,}08^{1/12}\approx 1{,}00643

, oftewel ongeveer

0{,}643\%

per maand — duidelijk niet

8/12\%

, want groei stapelt zich op. Het herschalen van de tijdseenheid met machten en wortels is een veelgevraagde vaardigheid.

De verdubbelingstijd is de tijd waarin een groeiende grootheid twee keer zo groot wordt; de halveringstijd is de tijd waarin een dalende grootheid halveert. Omdat het verband exponentieel is, zijn deze tijden constant: het duurt telkens even lang om te verdubbelen (of te halveren), ongeacht de startwaarde. Afb. 2 laat de halveringstijd zien voor een stof die volgens

C(t)=200\cdot 0{,}5^{t/6}

afneemt (bijvoorbeeld een medicijn in het bloed): elke

6

uur is de hoeveelheid gehalveerd — van

200

naar

100

naar

50

, enzovoort. De horizontale lijn bij

100

snijdt de kromme precies op

t=6

uur.

Afb. 2 — Halveringstijd van een dalende grootheid

Afb. 2Afb. 2 —

C(t)=200\cdot 0{,}5^{t/6}

: elke

6

uur halveert de hoeveelheid. De lijn

C=100

(de helft van

200

) snijdt de kromme op

t=6

uur — de halveringstijd.

Je bepaalt een verdubbelings- of halveringstijd door de bijbehorende vergelijking op te lossen. Voor verdubbeling los je

g^{t}=2

op, voor halvering

g^{t}=\tfrac{1}{2}

. Bij eenvoudige gevallen lukt dat door de tijd te schrijven in de formule zelf, zoals bij

C(t)=200\cdot 0{,}5^{t/6}

, waar de halveringstijd direct in de exponent staat (

t/6=1

geeft

t=6

). In het algemeen los je zo'n vergelijking op met de logaritme (volgende paragraaf) of met de grafische rekenmachine: teken

y=g^{t}

y=2

en gebruik intersect.

Verdubbelings- en halveringstijden geven een intuïtief gevoel voor de snelheid van groei of verval. Een bevolking die met

2\%

per jaar groeit, verdubbelt in ongeveer

35

jaar; een spaarbedrag bij

3\%

rente verdubbelt in ongeveer

23{,}5

jaar. Een handige vuistregel is de « regel van

70

»: de verdubbelingstijd is bij benadering

\frac{70}{p}

jaar, met

p

het groeipercentage. Bij

2\%

geeft dat

\frac{70}{2}=35

jaar — dicht bij de exacte waarde. Zulke schattingen helpen om een antwoord op redelijkheid te controleren.

g_{k}=g^{k}, \qquad g_{\text{deel}}=g^{1/k}

Tijdseenheid herschalen

Groeifactor per k eenheden is gᵏ; per deel (1/k eenheid) is de k-de-machtswortel g^(1/k).

g^{t_{2}}=2 \ (\text{verdubbeling}), \qquad g^{t_{1/2}}=\tfrac{1}{2}\ (\text{halvering})

Verdubbelings- en halveringstijd

De tijd waarin de grootheid verdubbelt respectievelijk halveert; constant bij exponentiële verandering.

Uitgewerkt voorbeeld

Tijdseenheid herschalen en een halveringstijd aflezen

Een grootheid groeit met $8\%$ per jaar. (a) Bereken de groeifactor per maand. (b) Met welk percentage groeit de grootheid per maand? (c) Een radioactieve stof volgt $A(t)=64\cdot 0{,}5^{t/5}$ (in mg, $t$ in dagen). Hoeveel is er na $10$ dagen over, en wat is de halveringstijd?

(a) Maandelijkse groeifactor
De jaargroeifactor is $1{,}08$ ; per maand is dat de twaalfdemachtswortel.
$g_{\text{maand}}=1{,}08^{1/12}\approx 1{,}006434$
(b) Maandpercentage
$p=(g-1)\cdot 100\%\approx 0{,}643\%$ per maand (niet $\frac{8}{12}\%$ ).
(c) Na 10 dagen
$10$ dagen zijn twee halveringstijden ( $t/5=2$ ): $A(10)=64\cdot 0{,}5^{2}=64\cdot 0{,}25=16$ mg.
$A(10)=64\cdot 0{,}5^{10/5}=64\cdot 0{,}25=16$
(c) Halveringstijd aflezen
In de exponent $t/5$ hoort halvering bij $t/5=1$ , dus de halveringstijd is $5$ dagen.

Resultaat: (a) $g_{\text{maand}}\approx 1{,}00643$ ; (b) ongeveer $0{,}643\%$ per maand; (c) na $10$ dagen is er $16$ mg over; de halveringstijd is $5$ dagen.

Veelgemaakte fouten

Een jaarpercentage delen door $12$ om het maandpercentage te krijgen; je moet de twaalfdemachtswortel van de groeifactor nemen.
Denken dat de verdubbelingstijd afhangt van de startwaarde; bij exponentiële groei is die tijd constant.

Actieve herhaling

Een grootheid groeit met $20\%$ per jaar. Bereken de groeifactor per half jaar en het bijbehorende halfjaarpercentage. Bepaal daarna, met de GR of de regel van $70$ , de verdubbelingstijd.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein C: Verbanden (CvTE / DUO)

De logaritme als inverse; exponentiële vergelijkingen oplossen#

Standaardexamenblad-wiskunde-c-domein-C

De logaritme is de bewerking die een exponent terugrekent — de inverse van machtsverheffen. De uitdrukking

^{g}\!\log(c)

(de logaritme van

c

met grondtal

g

) is het antwoord op de vraag « tot welke macht moet ik

g

verheffen om

c

te krijgen? ». In formule:

^{g}\!\log(c)=x

betekent precies hetzelfde als

g^{x}=c

. Zo is

^{2}\!\log(8)=3

, want

2^{3}=8

, en

^{10}\!\log(1000)=3

, want

10^{3}=1000

. De logaritme is dus geen nieuw soort getal, maar « een exponent op zoek ». Afb. 3 toont de grafiek van

y={}^{2}\!\log(x)

: hij gaat door

(1,0)

(want

2^{0}=1

) en door

(2,1)

(want

2^{1}=2

), en de

y

-as is een verticale asymptoot.

Afb. 3 — De logaritme met grondtal 2

Afb. 3Afb. 3 —

y={}^{2}\!\log(x)

: door

(1,0)

(want

2^{0}=1

) en

(2,1)

(want

2^{1}=2

). De kromme stijgt steeds trager; de

y

-as is een verticale asymptoot.

Omdat de logaritme de inverse van de exponentiële functie is, zijn hun grafieken elkaars spiegelbeeld in de lijn

y=x

: waar de exponentiële functie snel stijgt, stijgt de logaritme juist steeds langzamer. De logaritmische kromme is voor kleine

x

sterk negatief, snijdt de

x

-as in

x=1

, en groeit daarna heel traag — bij grondtal

2

komt hij pas bij

x=8

y=3

. Deze trage groei maakt de logaritme geschikt om zeer grote getallen op een hanteerbare schaal te zetten, zoals bij de decibelschaal voor geluid of de schaal van Richter voor aardbevingen.

Voor het rekenen met logaritmen gelden rekenregels die rechtstreeks uit de machtsregels volgen. De productregel

^{g}\!\log(a\cdot b)={}^{g}\!\log(a)+{}^{g}\!\log(b)

zet een product om in een som van logaritmen; de quotiëntregel doet hetzelfde met delen en aftrekken; en de machtsregel

^{g}\!\log(a^{p})=p\cdot{}^{g}\!\log(a)

haalt een exponent naar voren. Vooral die laatste regel is nuttig bij het oplossen van vergelijkingen, want daarmee haal je de onbekende uit de exponent naar beneden.

Een exponentiële vergelijking van de vorm

g^{x}=c

los je op met de logaritme:

x={}^{g}\!\log(c)

. Zo geeft

2^{x}=50

dat

x={}^{2}\!\log(50)\approx 5{,}64

. Op de grafische rekenmachine bereken je zo'n logaritme rechtstreeks (met de log-toets en het juiste grondtal), of je lost de vergelijking op door

y=g^{x}

y=c

te tekenen en intersect te gebruiken. Dit is precies de rekentechniek achter het exact bepalen van een verdubbelings- of halveringstijd uit de vorige paragraaf: los

g^{t}=2

op met

t={}^{g}\!\log(2)

^{g}\!\log(c)=x \ \Leftrightarrow\ g^{x}=c

Logaritme als inverse

De logaritme geeft de exponent waartoe je g moet verheffen om c te krijgen.

^{g}\!\log(a\cdot b)={}^{g}\!\log a+{}^{g}\!\log b, \qquad ^{g}\!\log(a^{p})=p\cdot{}^{g}\!\log a

Rekenregels

Product wordt som; een exponent mag naar voren gehaald worden.

g^{x}=c \ \Rightarrow\ x={}^{g}\!\log(c)

Exponentiële vergelijking oplossen

De onbekende exponent los je op met de logaritme (of met intersect op de GR).

Uitgewerkt voorbeeld

Een exponentiële vergelijking oplossen met de logaritme

Een grootheid groeit volgens $N(t)=100\cdot 1{,}2^{t}$ . (a) Na hoeveel tijd is $N=200$ (de verdubbelingstijd)? (b) Los ook $2^{x}=50$ op. Rond af op twee decimalen.

(a) Stel de vergelijking op
$100\cdot 1{,}2^{t}=200$ , dus $1{,}2^{t}=2$ .
$1{,}2^{t}=2 \ \Rightarrow\ t={}^{1{,}2}\!\log(2)$
(a) Bereken de logaritme
$t={}^{1{,}2}\!\log(2)\approx 3{,}80$ (tijdstappen); op de GR met de log-toets of intersect.
$t={}^{1{,}2}\!\log(2)\approx 3{,}80$
(b) Los 2^x = 50 op
$x={}^{2}\!\log(50)$ ; omdat $2^{5}=32$ en $2^{6}=64$ ligt $x$ tussen $5$ en $6$ .
$x={}^{2}\!\log(50)\approx 5{,}64$

Resultaat: (a) de verdubbelingstijd is ongeveer $3{,}80$ tijdstappen; (b) $x={}^{2}\!\log(50)\approx 5{,}64$ .

Veelgemaakte fouten

$^{g}\!\log(c)$ verwarren met $\frac{c}{g}$ of met $g^{c}$ ; een logaritme is een exponent, geen deling of macht.
Bij $g^{x}=c$ de logaritme met het verkeerde grondtal nemen (het grondtal is $g$ , niet altijd $10$ ).

Actieve herhaling

Los op: $3^{x}=81$ (exact) en $1{,}05^{t}=2$ (rond af op één decimaal). Bepaal daarna na hoeveel jaar een bedrag dat met $4\%$ per jaar groeit, verdrievoudigd is.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein C: Verbanden (CvTE / DUO)

Exponentieel vergeleken met lineair en machtsverband#

Standaardexamenblad-wiskunde-c-domein-C

De drie belangrijkste verbanden — lineair, machts en exponentieel — verschillen fundamenteel in hun manier van veranderen, en het herkennen daarvan is een kernvaardigheid. Bij een lineair verband (

y=ax+b

) verandert

y

per gelijke stap in

x

met een vast bédrag: constante verschillen. Bij een machtsverband (

y=a\cdot x^{n}

) hangt de verandering af van de plaats op de grafiek, maar de verhouding tussen

y

-waarden is een vaste macht van de verhouding tussen

x

-waarden. Bij een exponentieel verband (

y=b\cdot g^{t}

) verandert

y

per gelijke stap met een vaste fáctor: constante verhoudingen.

Op de lange termijn wint exponentiële groei het altijd van lineaire en van machtsgroei, hoe klein de groeifactor ook is. Afb. 4 laat dat zien: een lineair verband

y=20+15x

en een exponentieel verband

y=5\cdot 1{,}5^{x}

. In het begin ligt de lijn boven de exponentiële kromme, maar de kromme buigt steeds steiler omhoog en haalt de lijn uiteindelijk in. Vanaf dat inhaalpunt groeit de exponentiële grootheid onstuitbaar sneller. Dat verklaart waarom samengestelde rente, epidemieën of virale verspreiding op den duur zulke grote getallen opleveren, terwijl ze aanvankelijk traag lijken.

Afb. 4 — Exponentieel haalt lineair in

Afb. 4Afb. 4 —

y=20+15x

(lineair) en

y=5\cdot 1{,}5^{x}

(exponentieel). De lijn begint hoger, maar de exponentiële kromme buigt steeds steiler omhoog en haalt haar uiteindelijk in.

Het onderscheid maak je in de praktijk met een eenvoudige test op een tabel met gelijke

x

-stappen. Zijn de verschillen tussen opeenvolgende

y

-waarden constant, dan is het verband lineair. Zijn de verhoudingen (elke

y

gedeeld door de vorige) constant, dan is het exponentieel. Is geen van beide constant, maar past een vaste macht, dan is het een machtsverband. Deze test — verschillen versus verhoudingen — is snel uit te voeren en voorkomt dat je het verkeerde modeltype kiest.

Bij het modelleren kies je het verbandstype dat past bij hoe de grootheid verandert. « Een vast bedrag per eenheid erbij » wijst op lineair; « een vast percentage per periode » op exponentieel; « evenredig met een macht van » op een machtsverband. De keuze bepaalt de hele verdere aanpak, dus is het loont om er bij het begin van een opgave scherp op te letten. Op het examen wordt regelmatig gevraagd te beargumenteren waarom een bepaald model past — dan verwijs je naar constante verschillen, constante verhoudingen of het contextuele mechanisme.

\text{lineair: constante verschillen}\ \Delta y; \quad \text{exponentieel: constante verhouding}\ \tfrac{y_{n+1}}{y_{n}}

Herkennen uit een tabel

Constante verschillen ⇒ lineair; constante verhouding (factor) ⇒ exponentieel.

Uitgewerkt voorbeeld

Het verbandstype herkennen uit een tabel

Bekijk de tabellen. Tabel A: $x=0,1,2,3$ met $y=4,7,10,13$ . Tabel B: $x=0,1,2,3$ met $y=4,8,16,32$ . (a) Welk verband hoort bij A, welk bij B? (b) Geef voor beide de formule.

(a) Test A op verschillen
$7-4=3$ , $10-7=3$ , $13-10=3$ : constante verschillen $3$ , dus A is lineair.
(a) Test B op verhoudingen
$\frac{8}{4}=2$ , $\frac{16}{8}=2$ , $\frac{32}{16}=2$ : constante verhouding $2$ , dus B is exponentieel.
(b) Formules
A: startwaarde $4$ , per stap $+3$ : $y=4+3x$ . B: beginwaarde $4$ , groeifactor $2$ : $y=4\cdot 2^{x}$ .
$A:\ y=4+3x \qquad B:\ y=4\cdot 2^{x}$

Resultaat: (a) A is lineair (constante verschillen), B is exponentieel (constante verhouding); (b) $y=4+3x$ en $y=4\cdot 2^{x}$ .

Veelgemaakte fouten

Een exponentieel verband voor lineair aanzien omdat het in het begin bijna recht lijkt.
Bij het herkennen naar de verschillen kijken terwijl je bij een vermoedelijk exponentieel verband naar de verhoudingen (factoren) moet kijken.

Actieve herhaling

Een tabel geeft bij $x=0,1,2,3$ de waarden $y=100, 90, 81, 72{,}9$ . Onderzoek of dit lineair of exponentieel is en stel de formule op. Voorspel daarmee $y$ bij $x=5$ .

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein C: Verbanden (CvTE / DUO)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / DUO

Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein C: Verbanden

Exponentiële en logaritmische verbanden

Kernpunten

Een exponentiële formule opstellen en gebruiken

Kernpunten

Tijdseenheid herschalen en een halveringstijd aflezen

Kernpunten

Een exponentiële vergelijking oplossen met de logaritme

Kernpunten

Het verbandstype herkennen uit een tabel

Bronnen