Samenvattingen · Wiskunde CNL · VWO

Oppervlakte, inhoud en gelijkvormigheid

Dit onderwerp gaat over het meten aan vlakke figuren en lichamen. Je berekent oppervlakte en omtrek van vlakke figuren en inhoud en oppervlakte van lichamen (balk, prisma, cilinder, piramide, kegel, bol). Daarnaast leer je werken met gelijkvormigheid en de vergrotingsfactor (schaalfactor), en met de belangrijke regel dat een vergroting met factor k de lengte met k, de oppervlakte met k² en de inhoud met k³ vermenigvuldigt. Dit onderwerp hoort tot de centraal-examenstof (domein G).

4 Onderdelen~16 min leestijd4 VaardighedenNiveau Basis 1 · Standaard 3

T·101010 / 17

Examenprofiel

G · Oppervlakte en omtrek van vlakke figuren en inhoud en oppervlakte van lichamen berekenenG · Gelijkvormigheid en de vergrotingsfactor (schaalfactor) gebruiken om lengtes te bepalenG · De k, k², k³-regel toepassen bij vergroten en verkleinenG · Rekenen met schaal en met eenheden van lengte, oppervlakte en inhoud

Operatoren:berekenbepaaltoon aangebruikreken om

basisniveau

Oppervlakte, inhoud en gelijkvormigheid zijn centraal-examenstof (domein G) van wiskunde C.

verhoogd niveau

Verdieping: de k, k², k³-regel en het rekenen met schaal verbinden meetkunde met verhoudingen en met realistische toepassingen (maquettes, kaarten, verpakkingen).

Diepte

Tekst

Inhoud · 4 onderdelen

Oppervlakte, inhoud en gelijkvormigheid

Oppervlakte en omtrek van vlakke figuren#

Basisexamenblad-wiskunde-c-domein-G

Bij een vlakke figuur onderscheid je de omtrek — de totale lengte van de rand — en de oppervlakte — de grootte van het ingesloten gebied. De omtrek meet je in een lengte-eenheid (bijvoorbeeld cm), de oppervlakte in een kwadraateenheid (cm²). Voor de standaardfiguren ken je de formules uit het hoofd. Een rechthoek met lengte

l

en breedte

b

heeft omtrek

2(l+b)

en oppervlakte

l\cdot b

. Een driehoek heeft oppervlakte

\frac{1}{2}\cdot\text{basis}\cdot\text{hoogte}

, waarbij de hoogte de loodrechte afstand van de basis tot de overstaande hoek is. Afb. 1 toont zo'n driehoek met de hoogte ingetekend.

Afb. 1 — Driehoek met basis en hoogte

Afb. 1Afb. 1 — De oppervlakte van een driehoek is

\frac{1}{2}\cdot\text{basis}\cdot\text{hoogte}

. Hier is de basis

5

en de hoogte

3

, dus

O=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 3=7{,}5

De cirkel neemt een bijzondere plaats in, want daar verschijnt het getal

\pi\approx 3{,}14159

. Een cirkel met straal

r

heeft omtrek

2\pi r

en oppervlakte

\pi r^{2}

. Let goed op het verschil tussen straal en diameter: de diameter

d=2r

is de afstand dwars door het middelpunt, dus

r=\frac{d}{2}

. Verwar je die twee, dan zit je met de oppervlakte meteen een factor

4

mis (want

r^{2}

tegenover

d^{2}=(2r)^{2}=4r^{2}

). Voor een deel van een cirkel (een sector) neem je het bijbehorende deel van de volledige oppervlakte, evenredig met de middelpuntshoek.

Veel figuren zijn samengesteld uit standaardfiguren, en die pak je aan door op te delen. Een huisvormig vijfhoekje is bijvoorbeeld een rechthoek met daarbovenop een driehoek; de oppervlakte is dan de som van de twee deeloppervlakten. Soms werkt aftrekken beter: de oppervlakte van een ring (een grote cirkel met een gat) is de grote cirkel min de kleine. De strategie is telkens: knip de figuur in stukken waarvan je de oppervlakte kent, en tel op of trek af. Zo kun je vrijwel elke vlakke figuur aanpakken, ook als er geen kant-en-klare formule voor bestaat.

Bij het rekenen let je scherp op de eenheden, want dat is een klassieke valkuil. Oppervlakte-eenheden schalen met het kwadraat:

1

m² is niet

100

cm² maar

100^{2}=10\,000

cm², omdat

1

=100

cm en oppervlakte in twee richtingen meet. Reken daarom altijd alle maten eerst naar dezelfde eenheid om vóór je vermenigvuldigt. En controleer of je antwoord de juiste eenheid heeft: een oppervlakte hoort in kwadraateenheden, een omtrek in gewone lengte-eenheden. Deze zorg met eenheden onderscheidt een compleet antwoord van een half antwoord op het examen.

\text{rechthoek: } O=l\cdot b, \quad \text{omtrek}=2(l+b)

Rechthoek

Oppervlakte is lengte maal breedte; omtrek is tweemaal de som van lengte en breedte.

\text{driehoek: } O=\tfrac{1}{2}\cdot\text{basis}\cdot\text{hoogte}

Driehoek

De hoogte is de loodrechte afstand van de basis tot de overstaande hoek.

\text{cirkel: } O=\pi r^{2}, \quad \text{omtrek}=2\pi r

Cirkel

Met straal r (niet de diameter d = 2r).

Uitgewerkt voorbeeld

Oppervlakte van een samengestelde figuur

Een tuin bestaat uit een rechthoek van $8$ m bij $5$ m met daaraan vast een halve cirkel met diameter $5$ m (op de korte zijde). (a) Bereken de oppervlakte van de rechthoek. (b) Bereken de oppervlakte van de halve cirkel. (c) Wat is de totale oppervlakte?

(a) Rechthoek
$O=8\cdot 5=40$ m².
$O_{\text{rechthoek}}=8\cdot 5=40$
(b) Halve cirkel
Diameter $5$ m, dus straal $r=2{,}5$ m. Halve cirkel: $\frac{1}{2}\pi r^{2}=\frac{1}{2}\pi\cdot 6{,}25\approx 9{,}82$ m².
$O_{\text{halve cirkel}}=\tfrac{1}{2}\pi\cdot 2{,}5^{2}\approx 9{,}82$
(c) Totaal
Tel de deeloppervlakten op: $40+9{,}82=49{,}82$ m².

Resultaat: (a) $40$ m²; (b) ongeveer $9{,}82$ m²; (c) totaal ongeveer $49{,}82$ m².

Veelgemaakte fouten

Bij de cirkel de diameter voor de straal aanzien (of andersom); dat scheelt bij de oppervlakte een factor $4$ .
Bij het omrekenen van oppervlakte-eenheden met de gewone factor rekenen ( $1$ m² = $10\,000$ cm², niet $100$ cm²).

Actieve herhaling

Bereken de omtrek en de oppervlakte van een cirkel met diameter $12$ cm. Bereken daarna de oppervlakte van een figuur die bestaat uit een vierkant van $6$ cm met in het midden een uitgesneden cirkel van straal $2$ cm.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein G: Vorm en ruimte (CvTE / DUO)

Inhoud en oppervlakte van lichamen#

Standaardexamenblad-wiskunde-c-domein-G

De inhoud (het volume) van een lichaam meet hoeveel ruimte het inneemt, uitgedrukt in een derdemachtseenheid (bijvoorbeeld cm³ of liter, met

1

liter

=1\,\text{dm}^{3}=1000

cm³). Voor lichamen met een constante doorsnede — een balk, een prisma of een cilinder — geldt dat de inhoud gelijk is aan de oppervlakte van het grondvlak maal de hoogte:

V=G\cdot h

. Afb. 2 toont een balk van

4

bij

3

bij

2

; zijn inhoud is

4\cdot 3\cdot 2=24

. Voor een cilinder is het grondvlak een cirkel, dus

V=\pi r^{2}\cdot h

. Deze « grondvlak maal hoogte »-regel is de basis van alle inhoudsberekeningen.

Afb. 2 — Balk voor de inhoud V = l·b·h

Afb. 2Afb. 2 — Een balk van

4\times 3\times 2

: de inhoud is

V=l\cdot b\cdot h=4\cdot 3\cdot 2=24

(kubieke eenheden).

Lichamen die naar één top toelopen — een piramide of een kegel — hebben precies een derde van de inhoud van het bijbehorende prisma of de bijbehorende cilinder met hetzelfde grondvlak en dezelfde hoogte:

V=\frac{1}{3}\cdot G\cdot h

. Voor een kegel geeft dat

V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h

. Die factor

\frac{1}{3}

is geen toeval maar volgt uit de meetkunde; onthoud hem als « spits toelopend = derde deel ». De bol, ten slotte, heeft de aparte inhoudsformule

V=\frac{4}{3}\pi r^{3}

en oppervlakte

4\pi r^{2}

. Afb. 3 zet cilinder, kegel en bol met hun inhoudsformules naast elkaar.

Afb. 3 — Cilinder, kegel en bol met hun inhoudsformules

Afb. 3Afb. 3 — De inhoudsformules van de gebogen lichamen: cilinder

\pi r^{2}h

, kegel

\frac{1}{3}\pi r^{2}h

(een derde van de cilinder), bol

\frac{4}{3}\pi r^{3}

Naast de inhoud reken je vaak aan de oppervlakte van een lichaam: de totale oppervlakte van alle grensvlakken. Die bepaal je het handigst via de uitslag (zie het vorige onderwerp): tel de oppervlakten van alle zijvlakken op. Voor een balk is dat

2(lb+lh+bh)

, voor een cilinder

2\pi r^{2}

(de twee cirkels) plus

2\pi r h

(de uitgerolde mantel). Bij een lichaam met gebogen oppervlak, zoals de bol, gebruik je de speciale formule

4\pi r^{2}

. Let er goed op of naar de inhoud (ruimte, in derdemachtseenheden) of naar de oppervlakte (huid, in kwadraateenheden) wordt gevraagd — dat zijn totaal verschillende grootheden.

In contextopgaven combineer je deze formules met de gegeven situatie, en let je op eenheden en op de vraag. Een veelvoorkomend type is « hoeveel past erin? » — dan reken je een inhoud uit en zet je die om naar liters. Een ander type is « hoeveel materiaal is er nodig? » — dan gaat het om de oppervlakte. En soms moet je een formule omwerken: is de inhoud gegeven en zoek je de straal, dan maak je in

V=\frac{4}{3}\pi r^{3}

r

vrij met een derdemachtswortel. De sleutel is telkens: kies de juiste formule, reken alle maten naar dezelfde eenheid om, en controleer de eenheid van je antwoord.

\text{balk/prisma/cilinder: } V=G\cdot h

Inhoud bij constante doorsnede

Grondvlak maal hoogte. Voor de cilinder is G = πr², dus V = πr²h.

\text{piramide/kegel: } V=\tfrac{1}{3}\,G\cdot h

Inhoud spits toelopend

Een derde van het bijbehorende prisma of de cilinder. Kegel: V = ⅓πr²h.

\text{bol: } V=\tfrac{4}{3}\pi r^{3}, \quad \text{oppervlakte}=4\pi r^{2}

Bol

Aparte formules voor inhoud en oppervlakte van een bol.

Uitgewerkt voorbeeld

Inhoud van een cilinder en van een kegel

Een cilindervormig blik heeft straal $4$ cm en hoogte $10$ cm. (a) Bereken de inhoud. (b) Bereken de inhoud van een kegel met dezelfde straal en hoogte. (c) Hoeveel liter is de inhoud van het blik?

(a) Cilinder
$V=\pi r^{2}h=\pi\cdot 16\cdot 10=160\pi\approx 502{,}7$ cm³.
$V=\pi\cdot 4^{2}\cdot 10=160\pi\approx 502{,}7$
(b) Kegel
Een derde van de cilinder: $V=\frac{1}{3}\cdot 160\pi\approx 167{,}6$ cm³.
$V=\tfrac{1}{3}\pi\cdot 16\cdot 10=\tfrac{160}{3}\pi\approx 167{,}6$
(c) Omrekenen naar liter
$1$ liter $=1000$ cm³, dus $502{,}7$ cm³ $\approx 0{,}50$ liter.

Resultaat: (a) ongeveer $502{,}7$ cm³; (b) ongeveer $167{,}6$ cm³; (c) ongeveer $0{,}50$ liter.

Veelgemaakte fouten

Bij een kegel of piramide de factor $\frac{1}{3}$ vergeten (dan reken je de cilinder- of prisma-inhoud).
Inhoud en oppervlakte verwarren; let op de gevraagde grootheid en de bijbehorende eenheid.

Actieve herhaling

Een bol heeft straal $6$ cm. Bereken de inhoud en de oppervlakte. Bereken daarna de inhoud van een piramide met een vierkant grondvlak van $8$ bij $8$ cm en hoogte $9$ cm.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein G: Vorm en ruimte (CvTE / DUO)

Gelijkvormigheid en de vergrotingsfactor#

Standaardexamenblad-wiskunde-c-domein-G

Twee figuren zijn gelijkvormig als ze exact dezelfde vorm hebben, maar (mogelijk) verschillen in grootte — de een is een vergroting of verkleining van de ander. Bij gelijkvormige figuren zijn alle overeenkomstige hoeken gelijk, en staan alle overeenkomstige lengtes in dezelfde verhouding: de vergrotingsfactor of schaalfactor

k

. Afb. 4 toont twee gelijkvormige driehoeken: de kleine driehoek

ADE

heeft dezelfde vorm als de grote driehoek

ABC

, met

DE

evenwijdig aan

BC

. Alle zijden van

ABC

zijn precies

k

keer zo lang als de overeenkomstige zijden van

ADE

Afb. 4 — Twee gelijkvormige driehoeken

Afb. 4Afb. 4 —

\triangle ADE

is gelijkvormig met

\triangle ABC

(

DE\parallel BC

). Alle overeenkomstige zijden staan in dezelfde verhouding, de vergrotingsfactor

k

Bij driehoeken zijn er handige kenmerken om gelijkvormigheid vast te stellen. Twee driehoeken zijn al gelijkvormig als ze twee paar gelijke hoeken hebben (dan is het derde paar automatisch ook gelijk, want de hoeken sommeren tot

180^{\circ}

). Een veelvoorkomende situatie is de « paraplu »: een lijn evenwijdig aan één zijde van een driehoek snijdt de andere twee zijden en maakt zo een kleinere, gelijkvormige driehoek — precies zoals

DE\parallel BC

in Afb. 4 de driehoek

ADE

gelijkvormig maakt met

ABC

. Het herkennen van zulke gelijkvormige driehoeken is de sleutel tot veel meetkundige berekeningen.

De kracht van gelijkvormigheid is dat je er onbekende lengtes mee berekent via een verhouding. Omdat overeenkomstige zijden in dezelfde verhouding staan, geldt

\frac{\text{zijde groot}}{\text{zijde klein}}=k

voor élk paar overeenkomstige zijden. Ken je die verhouding uit één paar zijden, dan pas je hem toe op een ander paar om een onbekende lengte te vinden. Zo bereken je in de praktijk hoogtes die je niet direct kunt meten — de hoogte van een boom uit zijn schaduw, of de breedte van een rivier — door een gelijkvormige driehoek op te stellen en de bekende verhouding te gebruiken.

De vergrotingsfactor werkt in beide richtingen: is

k>1

dan gaat het om een vergroting, is

0<k<1

dan om een verkleining. Van de kleine naar de grote figuur vermenigvuldig je met

k

; van groot naar klein deel je door

k

(oftewel vermenigvuldig je met

\frac{1}{k}

). Belangrijk: deze factor

k

geldt voor lengtes. Wat er met oppervlakten en inhouden gebeurt, is een ander — en verrassender — verhaal, dat de volgende paragraaf behandelt. Voor nu geldt: gelijkvormige figuren, gelijke hoeken, en alle lengtes in de vaste verhouding

k

\frac{\text{lengte in de vergroting}}{\text{lengte in het origineel}}=k

Vergrotingsfactor (schaalfactor)

Alle overeenkomstige lengtes van gelijkvormige figuren staan in dezelfde verhouding k.

Uitgewerkt voorbeeld

Een hoogte berekenen met gelijkvormigheid

Een boom werpt een schaduw van $12$ m. Tegelijk werpt een stok van $1{,}5$ m een schaduw van $2$ m. (a) Waarom zijn de twee driehoeken (boom + schaduw, stok + schaduw) gelijkvormig? (b) Bepaal de vergrotingsfactor. (c) Bereken de hoogte van de boom.

(a) Gelijke hoeken
De zon schijnt onder dezelfde hoek, en beide objecten staan loodrecht op de grond: twee gelijke hoeken, dus de driehoeken zijn gelijkvormig.
(b) Vergrotingsfactor uit de schaduwen
De schaduw van de boom is $12$ m, die van de stok $2$ m, dus $k=\frac{12}{2}=6$ .
$k=\frac{12}{2}=6$
(c) Hoogte berekenen
De boom is $k$ keer zo hoog als de stok: $1{,}5\cdot 6=9$ m.
$\text{hoogte}=1{,}5\cdot 6=9$

Resultaat: (a) gelijke zonshoek en beide loodrecht, dus gelijkvormig; (b) $k=6$ ; (c) de boom is $9$ m hoog.

Veelgemaakte fouten

Overeenkomstige zijden verkeerd koppelen, waardoor de verhouding fout wordt.
De vergrotingsfactor voor lengtes ook op oppervlakten of inhouden toepassen (dat gaat met $k^{2}$ respectievelijk $k^{3}$ — zie de volgende paragraaf).

Actieve herhaling

Twee gelijkvormige driehoeken hebben een vergrotingsfactor $k=2{,}5$ . De kleinste zijde van de kleine driehoek is $4$ cm. Hoe lang is de overeenkomstige zijde van de grote driehoek? En als een zijde van de grote $20$ cm is, hoe lang is de overeenkomstige zijde van de kleine?

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein G: Vorm en ruimte (CvTE / DUO)

Schaal en de k, k², k³-regel#

Standaardexamenblad-wiskunde-c-domein-G

Wanneer je een figuur vergroot met een lengtefactor

k

, groeien lengte, oppervlakte en inhoud elk op hun eigen manier mee — en dat verschil is het hart van dit onderdeel. Lengtes worden

k

keer zo groot; oppervlakten worden

k^{2}

keer zo groot; en inhouden worden

k^{3}

keer zo groot. Afb. 5 laat dit zien voor een verdubbeling (

k=2

): de lengte verdubbelt (factor

2

), de oppervlakte wordt vier keer zo groot (factor

4

) en de inhoud acht keer zo groot (factor

8

). De machten

1

2

3

komen recht uit het aantal richtingen waarin gemeten wordt: een lengte in één richting, een oppervlakte in twee, een inhoud in drie.

Afb. 5 — Vergroting met factor k = 2

Afb. 5Afb. 5 — Bij een verdubbeling (

k=2

): lengte

\times 2

, oppervlakte

\times 4

(

=2^{2}

), inhoud

\times 8

(

=2^{3}

Je kunt de

k^{2}

-regel voor oppervlakte meteen begrijpen aan een rechthoek. Vergroot je zowel de lengte als de breedte met factor

k

, dan wordt de oppervlakte

l\cdot k \times b\cdot k=k^{2}\cdot(l\cdot b)

— beide richtingen dragen een factor

k

bij, samen

k^{2}

. Net zo krijgt een balk bij vergroting van alle drie de ribben een inhoud die

k^{3}

keer zo groot is:

l\cdot k\times b\cdot k\times h\cdot k=k^{3}\cdot(l\cdot b\cdot h)

. Deze redenering geldt niet alleen voor rechthoeken en balken, maar voor élke gelijkvormige vergroting, hoe grillig de vorm ook is.

Deze regel heeft verrassende praktische gevolgen. Een dier dat twee keer zo groot (in lengte) is, weegt niet twee keer maar acht keer zo veel (inhoud, en dus massa, schaalt met

k^{3}

), terwijl de dwarsdoorsnede van zijn poten maar vier keer zo groot is (oppervlakte,

k^{2}

) — daarom kunnen olifanten niet de verhoudingen van een muis hebben. Ook bij het opschalen van een recept, het vergroten van een verpakking of het maken van een maquette moet je de

k

k^{2}

k^{3}

-regel gebruiken. Wie klakkeloos alles met

k

vermenigvuldigt, zit bij oppervlakte en inhoud er flink naast.

Aan de schaal van een kaart of maquette hangt dezelfde regel. Een schaal van

1:100

betekent dat

1

cm op de kaart overeenkomt met

100

cm in werkelijkheid: de lengtefactor is

k=100

. Voor oppervlakten geldt dan een factor

k^{2}=10\,000

(een vierkante cm op de maquette staat voor

10\,000

cm² echt), en voor inhouden

k^{3}=1\,000\,000

. Bij het terugrekenen — van werkelijkheid naar kaart — deel je: door

k

voor lengtes, door

k^{2}

voor oppervlakten, door

k^{3}

voor inhouden. Het correct kiezen van de macht bij de gevraagde grootheid is precies wat het examen bij dit onderdeel toetst.

\text{lengte} \times k, \qquad \text{oppervlakte} \times k^{2}, \qquad \text{inhoud} \times k^{3}

De k, k², k³-regel

Bij een vergroting met lengtefactor k schalen lengte, oppervlakte en inhoud met k, k² en k³.

Uitgewerkt voorbeeld

De k, k², k³-regel toepassen

Een maquette van een gebouw is gemaakt op schaal $1:50$ . (a) Wat is de lengtefactor van werkelijkheid naar maquette? (b) Een muur is in werkelijkheid $30$ m² groot; hoe groot is die op de maquette? (c) Het echte gebouw heeft een inhoud van $4000$ m³; welke inhoud heeft de maquette?

(a) Lengtefactor
Van werkelijkheid naar maquette verklein je met factor $50$ , dus $k=\frac{1}{50}$ (of: je deelt lengtes door $50$ ).
(b) Oppervlakte met k²
Oppervlakte schaalt met $k^{2}=\frac{1}{50^{2}}=\frac{1}{2500}$ . Dus $30$ m² $=30\cdot 10\,000$ cm² $=300\,000$ cm², gedeeld door $2500$ geeft $120$ cm².
$\frac{30\text{ m}^2}{50^{2}}=\frac{300000\text{ cm}^2}{2500}=120\text{ cm}^2$
(c) Inhoud met k³
Inhoud schaalt met $k^{3}=\frac{1}{50^{3}}=\frac{1}{125000}$ . Dus $4000$ m³ gedeeld door $125\,000$ geeft $0{,}032$ m³ $=32$ liter.
$\frac{4000\text{ m}^3}{50^{3}}=\frac{4000}{125000}=0{,}032\text{ m}^3$

Resultaat: (a) lengtes delen door $50$ ; (b) de muur is $120$ cm² op de maquette; (c) de maquette heeft een inhoud van $0{,}032$ m³ (= $32$ liter).

Veelgemaakte fouten

Oppervlakte of inhoud met de gewone lengtefactor $k$ vermenigvuldigen in plaats van met $k^{2}$ respectievelijk $k^{3}$ .
Bij schaal de eenheden vergeten om te rekenen (m² ↔ cm², m³ ↔ cm³) voordat je deelt of vermenigvuldigt.

Actieve herhaling

Een foto wordt vergroot met lengtefactor $3$ . Met welke factor neemt de oppervlakte toe? Een bol wordt $2{,}5$ keer zo groot in straal; met welke factor neemt de inhoud toe? Reken ten slotte uit welke werkelijke oppervlakte hoort bij $5$ cm² op een kaart met schaal $1:200$ .

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein G: Vorm en ruimte (CvTE / DUO)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / DUO

Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein G: Vorm en ruimte

Oppervlakte, inhoud en gelijkvormigheid

Kernpunten

Oppervlakte van een samengestelde figuur

Kernpunten

Inhoud van een cilinder en van een kegel

Kernpunten

Een hoogte berekenen met gelijkvormigheid

Kernpunten

De k, k², k³-regel toepassen

Bronnen

Oppervlakte, inhoud en gelijkvormigheid

Kernpunten

Oppervlakte van een samengestelde figuur

Kernpunten

Inhoud van een cilinder en van een kegel

Kernpunten

Een hoogte berekenen met gelijkvormigheid

Kernpunten

De k, k², k³-regel toepassen

Bronnen