Samenvattingen · NatuurkundeNL · VWO

Relativiteitstheorie (tijdrek, lengtekrimp)

Dit onderwerp (subdomein F2) is verdiepings-/keuzestof: het zit niet in het centraal examen, maar wordt in het schoolexamen getoetst. Vanuit twee eenvoudige postulaten — de natuurwetten zijn in elk inertiaalstelsel gelijk en de lichtsnelheid is voor iedereen dezelfde — volgen de verrassende gevolgen tijdrek, lengtekrimp en de massa-energierelatie.

4 Onderdelen~12 min leestijd4 VaardighedenNiveau Standaard 2 · Verdieping 2

T·131313 / 17

Examenprofiel

F2 · Verdieping — buiten het centraal examen (SE): de postulaten van de speciale relativiteitstheorieF2 · Tijdrek en de LorentzfactorF2 · Lengtekrimp en gelijktijdigheidF2 · Relativistische impuls en energie

Operatoren:berekenbepaalleg uitverklaarberedeneer

basisniveau

Relativiteitstheorie (F2) is verdiepingsstof: buiten het CE, wel in het SE. Tijdrek en de Lorentzfactor vormen de kern.

verhoogd niveau

Het rekenen met lengtekrimp en relativistische energie krijgt in nt de meeste nadruk.

Diepte

Tekst

Inhoud · 4 onderdelen

Relativiteitstheorie (tijdrek, lengtekrimp)

Postulaten en de lichtsnelheid#

Standaardexamenblad-natuurkunde-F2

Einstein bouwde de speciale relativiteitstheorie op twee postulaten. Het eerste (het relativiteitsbeginsel) zegt dat de natuurwetten in elk inertiaalstelsel — elk stelsel dat eenparig beweegt — dezelfde vorm hebben: er is geen experiment waarmee je kunt uitmaken of je „stilstaat” of eenparig beweegt. Het tweede, veel radicalere postulaat zegt dat de lichtsnelheid

c

in vacuüm voor élke waarnemer dezelfde is, onafhankelijk van de beweging van de bron of de waarnemer.

Vooral het tweede postulaat botst met de dagelijkse intuïtie. Klassiek zou je verwachten dat licht van een naar je toe bewegende bron sneller aankomt, net als een bal uit een rijdende auto. Maar metingen bevestigen dat licht altijd met exact

c=3{,}00\cdot10^{8}\ \text{m/s}

aankomt. In Afb. 1 zie je een lichtklok: een lichtpuls kaatst tussen twee spiegels. Omdat

c

voor iedereen gelijk is, moet er iets anders wijken — en dat blijken tijd en ruimte zelf te zijn.

De lichtklok

Afb. 1Afb. 1 — Een lichtklok: de puls kaatst met snelheid

c

tussen twee spiegels. Omdat

c

voor iedereen gelijk is, wijkt de tijd.

Uit de constante lichtsnelheid volgt onvermijdelijk dat waarnemers in verschillende bewegingstoestanden het niet eens zijn over tijdsduren en lengten. Als de lichtpuls in een bewegende lichtklok een langere (schuine) weg moet afleggen maar toch met dezelfde snelheid

c

gaat, dan moet die klok volgens een stilstaande waarnemer langzamer tikken. Zo dwingt het tweede postulaat de tijdrek af, het onderwerp van de volgende paragraaf. De relativiteitstheorie is dus geen willekeurige aanname, maar de logische consequentie van één meetbaar feit.

Belangrijk is dat de relativistische effecten pas merkbaar worden bij snelheden die een flink deel van

c

bedragen. Bij alledaagse snelheden (auto's, vliegtuigen, zelfs satellieten) zijn ze onmeetbaar klein, en gaat de klassieke natuurkunde van Newton uitstekend op — die is de lage-snelheidsbenadering van de relativiteitstheorie. Dit is een mooi voorbeeld van een geldigheidsgebied: een nieuwere, algemenere theorie bevat de oude als grensgeval. Alleen bij deeltjes in versnellers, kosmische straling en bij precisieklokken tellen de effecten echt mee.

c = 3{,}00\cdot10^{8}\ \text{m/s} \quad (\text{voor elke waarnemer gelijk})

Tweede postulaat

De lichtsnelheid in vacuüm is een universele constante, onafhankelijk van beweging.

Uitgewerkt voorbeeld

Optellen van snelheden?

Een ruimteschip vliegt met $0{,}80\,c$ en zendt naar voren een lichtsignaal uit. Met welke snelheid meet een stilstaande waarnemer dat signaal?

Tweede postulaat
De lichtsnelheid is voor elke waarnemer gelijk, ongeacht de beweging van de bron.
$v_{\text{licht}} = c$
Klassiek verkeerd
Klassiek zou je $0{,}80c+c=1{,}80c$ verwachten — dat is onjuist; niets gaat sneller dan $c$ .

Resultaat: De waarnemer meet gewoon $c=3{,}00\cdot10^{8}\ \text{m/s}$ ; snelheden tellen relativistisch niet gewoon op.

Veelgemaakte fouten

Denken dat de lichtsnelheid optelt bij de snelheid van de bron of waarnemer — ze is voor iedereen gelijk.
Relativistische effecten verwachten bij alledaagse snelheden; ze worden pas merkbaar dicht bij $c$ .

Actieve herhaling

Leg uit waarom een lichtpuls in een bewegende lichtklok volgens een stilstaande waarnemer een langere weg aflegt, en waarom die klok daardoor langzamer lijkt te tikken.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma natuurkunde vwo — subdomein F2 (postulaten) (CvTE / Examenblad)

Tijdrek#

Standaardexamenblad-natuurkunde-F2

De Lorentzfactor tegen de snelheid

Afb. 2Afb. 1 — De Lorentzfactor

\gamma=1/\sqrt{1-\beta^2}

blijft dicht bij

1

tot

v

een flink deel van

c

is, en groeit dan explosief.

Tijdrek (tijddilatatie) is het verschijnsel dat een bewegende klok langzamer tikt dan een stilstaande. Preciezer: als in het meebewegende stelsel tussen twee gebeurtenissen op dezelfde plaats een tijd

\Delta t_0

verloopt (de eigentijd), dan meet een waarnemer ten opzichte van wie het geheel met snelheid

v

beweegt een langere tijd

\Delta t=\gamma\,\Delta t_0

. De factor

\gamma

is de Lorentzfactor,

\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-(v/c)^{2}}}

. In Afb. 1 zie je hoe

\gamma

met de snelheid oploopt: bij lage snelheid bijna

1

, maar explosief groeiend naarmate

v

de lichtsnelheid nadert.

De eigentijd

\Delta t_0

is altijd de kortste: het is de tijd gemeten door de klok die bij béíde gebeurtenissen aanwezig is (op dezelfde plaats in zijn eigen stelsel). Elke andere waarnemer meet een langere tijd. Omdat

\gamma\ge 1

, is

\Delta t\ge\Delta t_0

— de bewegende klok loopt achter. Let bij het rekenen goed op wélke waarnemer de eigentijd meet; dat is de meest gemaakte fout bij tijdrek-opgaven.

Tijdrek is experimenteel bevestigd. Muonen, onstabiele deeltjes die hoog in de atmosfeer ontstaan, vervallen zo snel dat ze klassiek nooit het aardoppervlak zouden bereiken. Toch doen ze dat massaal: door hun hoge snelheid (dicht bij

c

) tikt hun „interne klok” (de vervaltijd) volgens ons veel langzamer, zodat ze veel verder komen. Ook precisieklokken in vliegtuigen en in gps-satellieten lopen meetbaar anders; gps corrigeert er voortdurend voor, anders zou de plaatsbepaling snel onbruikbaar worden.

Bij het rekenen bepaal je eerst de Lorentzfactor uit de snelheid, en pas je dan

\Delta t=\gamma\,\Delta t_0

toe. Voor

v=0{,}80\,c

\gamma=1{,}67

, voor

v=0{,}99\,c

\gamma\approx 7{,}1

. De symmetrie van de relativiteitstheorie is subtiel: elke waarnemer ziet de kláok van de ander langzamer lopen (het relativiteitsbeginsel), en dat lijkt paradoxaal (de tweelingparadox), maar lost op zodra je bedenkt dat een van de twee moet versnellen om terug te keren. Voor het examen volstaat het correct toepassen van de tijdrekformule.

\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\left(\dfrac{v}{c}\right)^{2}}}

Lorentzfactor

Nadert 1 bij lage snelheid en groeit onbeperkt als v naar c gaat.

\Delta t = \gamma\,\Delta t_0

Tijdrek

Δt₀ is de eigentijd (kortste); een bewegende klok loopt achter.

Uitgewerkt voorbeeld

Reisduur volgens de aarde

Een ruimteschip vliegt met $0{,}80\,c$ ; aan boord (eigentijd) duurt de reis $3{,}0$ jaar. Bereken de Lorentzfactor en de reisduur volgens de aarde.

Lorentzfactor
Vul $v/c=0{,}80$ in.
$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-0{,}80^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{0{,}36}} = 1{,}67$
Tijdrek
De aarde meet een langere tijd $\Delta t=\gamma\Delta t_0$ .
$\Delta t = 1{,}67\cdot 3{,}0 = 5{,}0\ \text{jaar}$

Resultaat: Volgens de aarde duurt de reis $5{,}0$ jaar, terwijl aan boord maar $3{,}0$ jaar verstrijkt.

Veelgemaakte fouten

De eigentijd (kortste tijd, bij de meebewegende klok) verwarren met de tijd gemeten door de andere waarnemer.
De Lorentzfactor verkeerd berekenen: vergeten dat $v/c$ eerst gekwadrateerd wordt onder de wortel.

Actieve herhaling

Een ruimteschip vliegt met $0{,}90\,c$ . Aan boord verloopt een reis van $2{,}0$ jaar (eigentijd). Bereken de Lorentzfactor en hoe lang de reis volgens de aarde duurt.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma natuurkunde vwo — subdomein F2 (tijdrek) (CvTE / Examenblad)

Lengtekrimp en gelijktijdigheid#

Verdiepingexamenblad-natuurkunde-F2

Gemeten lengte tegen de snelheid

Afb. 3Afb. 1 — De gemeten lengte

L=L_0\sqrt{1-\beta^2}

krimpt naar nul als

v

de lichtsnelheid nadert.

Naast de tijd verandert ook de ruimte. Lengtekrimp (lengtecontractie) betekent dat een voorwerp in zijn bewegingsrichting korter wordt gemeten naarmate het sneller beweegt:

L=\dfrac{L_0}{\gamma}

, met

L_0

de eigenlengte (de lengte gemeten in het stelsel waarin het voorwerp stilstaat). In Afb. 1 zie je hoe de gemeten lengte afneemt met de snelheid, tot ze bij

v\to c

naar nul zou gaan. Alleen de afmeting lángs de bewegingsrichting krimpt; loodrecht erop verandert er niets.

Lengtekrimp en tijdrek zijn twee kanten van dezelfde medaille. De muonen uit de vorige paragraaf bereiken het aardoppervlak: vanuit óns stelsel doordat hun klok langzamer tikt (tijdrek), maar vanuit hún stelsel doordat de af te leggen afstand door de atmosfeer korter is (lengtekrimp). Beide beschrijvingen geven exact hetzelfde meetbare resultaat — welke van de twee je gebruikt, hangt af van het gekozen referentiestelsel. Deze consistentie is een sterk argument voor de theorie.

Een minstens zo verrassend gevolg is de relativiteit van gelijktijdigheid: twee gebeurtenissen die voor de ene waarnemer tegelijk plaatsvinden, gebeuren voor een bewegende waarnemer niet tegelijk. „Op hetzelfde moment” is dus geen absoluut begrip meer maar hangt af van je bewegingstoestand. Dit volgt direct uit de constante lichtsnelheid en lost de schijnbare paradoxen op: waarnemers zijn het oneens over tijdsvolgorde van gebeurtenissen op verschillende plaatsen, maar nooit over de volgorde van oorzaak en gevolg.

Bij het rekenen let je goed op welke lengte de eigenlengte

L_0

is: dat is de lengte in het stelsel waarin het voorwerp rust. Een bewegende waarnemer meet altijd een kórtere lengte. Net als bij tijdrek is het effect symmetrisch en pas merkbaar dicht bij

c

. Samen tonen tijdrek, lengtekrimp en de relativiteit van gelijktijdigheid dat ruimte en tijd geen vaste, absolute achtergrond zijn, maar afhangen van de waarnemer — de kernboodschap van de speciale relativiteitstheorie.

L = \frac{L_0}{\gamma}

Lengtekrimp

L₀ is de eigenlengte; een bewegende waarnemer meet een kortere lengte (alleen langs de beweging).

Uitgewerkt voorbeeld

Lengte van een ruimteschip

Een ruimteschip met eigenlengte $1{,}5\cdot10^{2}\ \text{m}$ vliegt met $0{,}80\,c$ langs de aarde. Bereken de lengte die de aarde meet.

Lorentzfactor
Voor $v/c=0{,}80$ is $\gamma=1{,}67$ .
$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-0{,}80^{2}}} = 1{,}67$
Lengtekrimp
Deel de eigenlengte door $\gamma$ .
$L = \frac{1{,}5\cdot10^{2}}{1{,}67} = 90\ \text{m}$

Resultaat: De aarde meet een lengte van $90\ \text{m}$ — korter dan de eigenlengte van $150\ \text{m}$ .

Veelgemaakte fouten

De eigenlengte (in het ruststelsel van het voorwerp) verwarren met de door de bewegende waarnemer gemeten lengte.
Lengtekrimp ook loodrecht op de bewegingsrichting toepassen — alleen de lengte lángs de beweging krimpt.

Actieve herhaling

Een ruimteschip met eigenlengte $1{,}2\cdot10^{2}\ \text{m}$ vliegt met $0{,}80\,c$ langs de aarde. Bereken de lengte die een waarnemer op aarde meet.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma natuurkunde vwo — subdomein F2 (lengtekrimp) (CvTE / Examenblad)

Relativistische impuls en energie#

Verdiepingexamenblad-natuurkunde-F2

Relativistische versus klassieke kinetische energie

Afb. 4Afb. 1 — Bij lage snelheid vallen relativistische en klassieke energie samen; dicht bij

c

loopt de relativistische energie naar oneindig.

Ook energie en impuls veranderen relativistisch. De totale energie van een deeltje met (rust)massa

m

en snelheid

v

E=\gamma\,m\,c^{2}

. Zelfs bij snelheid nul (

\gamma=1

) houdt een deeltje een energie over: de rustenergie

E_0=m\,c^{2}

— dezelfde massa-energie-equivalentie die de kernprocessen aandrijft. De kinetische energie is het verschil,

E_{\text{kin}}=(\gamma-1)m\,c^{2}

. In Afb. 1 zie je hoe deze relativistische kinetische energie bij hoge snelheid veel sneller stijgt dan de klassieke

\tfrac{1}{2}mv^{2}

Uit

E=\gamma mc^{2}

volgt waarom niets met massa de lichtsnelheid kan bereiken: als

v\to c

gaat

\gamma\to\infty

, dus zou er oneindig veel energie nodig zijn. Deeltjes met massa kunnen

c

dus alleen benaderen, nooit halen; alleen massaloze deeltjes (fotonen) gaan met

c

. De grafiek maakt dit zichtbaar: de energie loopt tegen een verticale asymptoot bij

v=c

aan. Dit is de energetische kant van de universele snelheidsbegrenzing.

De klassieke en relativistische formules stemmen bij lage snelheid netjes overeen: voor

v\ll c

nadert

(\gamma-1)mc^{2}

de vertrouwde

\tfrac{1}{2}mv^{2}

. Zo bevat de relativiteitstheorie de mechanica van Newton als grensgeval — precies het geldigheidsgebied-idee. Pas als een deeltje een aanzienlijke fractie van

c

haalt, zoals in deeltjesversnellers, wijken de twee sterk af en moet je relativistisch rekenen.

Energie en impuls hangen samen via

E^{2}=(p\,c)^{2}+(m\,c^{2})^{2}

, de relativistische energie-impulsrelatie. Voor een massaloos foton (

m=0

) reduceert die tot

E=pc

, wat overeenkomt met

p=h/\lambda

E=hf

uit de quantumfysica — een mooie verbinding tussen relativiteit en quantumtheorie. In versnellers en bij deeltjesbotsingen zijn dit de werkpaarden: uit gemeten energieën en impulsen leidt men massa's en reactieproducten af. Voor het examen draait het om het toepassen van

E=\gamma mc^{2}

, de rustenergie

mc^{2}

en de kinetische energie

(\gamma-1)mc^{2}

E = \gamma\,m\,c^{2}, \qquad E_0 = m\,c^{2}, \qquad E_{\text{kin}} = (\gamma-1)\,m\,c^{2}

Relativistische energie

Totale energie, rustenergie en kinetische energie; bij lage snelheid nadert E_kin de klassieke ½mv².

E^{2} = (p\,c)^{2} + (m\,c^{2})^{2}

Energie-impulsrelatie

Voor een massaloos foton (m=0) wordt dit E=pc.

Uitgewerkt voorbeeld

Energie van een snel elektron

Een elektron ( $m=9{,}11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$ ) beweegt met $0{,}80\,c$ . Bereken de rustenergie en de totale energie ( $c=3{,}00\cdot10^{8}\ \text{m/s}$ ).

Rustenergie
Gebruik $E_0=mc^2$ .
$E_0 = 9{,}11\cdot10^{-31}\cdot(3{,}00\cdot10^{8})^{2} = 8{,}2\cdot10^{-14}\ \text{J}$
Lorentzfactor
Voor $0{,}80c$ is $\gamma=1{,}67$ .
$\gamma = 1{,}67$
Totale energie
Vermenigvuldig de rustenergie met $\gamma$ .
$E = 1{,}67\cdot 8{,}2\cdot10^{-14} = 1{,}4\cdot10^{-13}\ \text{J}$

Resultaat: De rustenergie is $8{,}2\cdot10^{-14}\ \text{J}$ ( $511\ \text{keV}$ ) en de totale energie $1{,}4\cdot10^{-13}\ \text{J}$ ; het verschil is de kinetische energie.

Veelgemaakte fouten

De klassieke $\tfrac12 mv^2$ blijven gebruiken bij snelheden dicht bij $c$ (dan onderschat je de energie sterk).
De rustenergie $mc^2$ vergeten in de totale energie, of $\gamma$ verkeerd berekenen.

Actieve herhaling

Een elektron ( $m=9{,}11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$ ) beweegt met $0{,}90\,c$ . Bereken de totale energie, de rustenergie en de kinetische energie ( $c=3{,}00\cdot10^{8}\ \text{m/s}$ ).

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma natuurkunde vwo — subdomein F2 (relativistische energie) (CvTE / Examenblad)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / Examenblad

Examenprogramma natuurkunde vwo — subdomein F2 (postulaten)

Relativiteitstheorie (tijdrek, lengtekrimp)

Kernpunten

Optellen van snelheden?

Kernpunten

Reisduur volgens de aarde

Kernpunten

Lengte van een ruimteschip

Kernpunten

Energie van een snel elektron

Bronnen

Relativiteitstheorie (tijdrek, lengtekrimp)

Kernpunten

Optellen van snelheden?

Kernpunten

Reisduur volgens de aarde

Kernpunten

Lengte van een ruimteschip

Kernpunten

Energie van een snel elektron

Bronnen