Samenvattingen · NatuurkundeNL · VWO

Kern- en deeltjesprocessen (massa-energie-equivalentie)

Dit onderwerp (subdomein E3) is verdiepings-/keuzestof: het zit niet in het centraal examen, maar wordt in het schoolexamen getoetst. Het behandelt radioactief verval en vervalvergelijkingen, activiteit en halveringstijd, de massa-energie-equivalentie $E=mc^2$ met bindingsenergie, en kernsplijting en kernfusie.

4 Onderdelen~12 min leestijd4 VaardighedenNiveau Standaard 3 · Verdieping 1

T·121212 / 17

Examenprofiel

E3 · Verdieping — buiten het centraal examen (SE): radioactief verval en vervalvergelijkingenE3 · Activiteit en halveringstijdE3 · Massa-energie-equivalentie (E=mc²) en bindingsenergieE3 · Kernsplijting en kernfusie

Operatoren:berekenbepaalleg uitverklaartoon aanstel op

basisniveau

Kern- en deeltjesprocessen (E3) is verdiepingsstof: buiten het CE, wel in het SE. Radioactief verval en halveringstijd zijn de kern.

verhoogd niveau

Het rekenen met massadefect, bindingsenergie en de energie bij splijting en fusie krijgt in nt de meeste nadruk.

Diepte

Tekst

Inhoud · 4 onderdelen

Kern- en deeltjesprocessen (massa-energie-equivalentie)

Radioactief verval en vervalvergelijkingen#

Standaardexamenblad-natuurkunde-E3

Een onstabiele atoomkern kan spontaan vervallen onder uitzending van straling. Bij alfaverval zendt de kern een alfadeeltje uit (een heliumkern

^{4}_{2}\text{He}

), waardoor het massagetal met

4

en het ladingsgetal met

2

daalt. Bij bètaverval (bèta-min) verandert een neutron in een proton onder uitzending van een elektron

^{0}_{-1}\text{e}

(en een antineutrino), zodat het ladingsgetal met

1

stijgt terwijl het massagetal gelijk blijft. Gammaverval is de uitzending van een energierijk foton door een aangeslagen kern, zonder verandering van massa- of ladingsgetal. In Afb. 1 zie je een stukje van een vervalreeks, waarin een zware kern via opeenvolgende verval-stappen naar een stabielere kern beweegt.

Fragment van een vervalreeks

Afb. 1Afb. 1 — Een vervalreeks: elke stap is één verval (α of β) waarbij massa- en ladingsgetal behouden blijven.

Elk verval leg je vast in een vervalvergelijking, waarbij twee behoudswetten gelden: het totale massagetal (

A

, boven) en het totale ladingsgetal (

Z

, onder) zijn links en rechts gelijk. Zo verandert

^{238}_{92}\text{U}

door alfaverval in

^{234}_{90}\text{Th}+^{4}_{2}\text{He}

238=234+4

92=90+2

. Deze behoudswetten laten je een onbekende kern in een vergelijking bepalen — een standaardvaardigheid van dit onderwerp.

De drie stralingssoorten verschillen sterk in eigenschappen. Alfastraling is zwaar en dubbel geladen, ioniseert heftig maar dringt nauwelijks door (tegengehouden door papier of de huid). Bètastraling is lichter en enkelvoudig geladen, dringt verder door (millimeters aluminium). Gammastraling is een neutraal foton dat diep doordringt (dik lood). Dit verschil in doordringend vermogen (zie ook het onderwerp medische beeldvorming) bepaalt de risico's en de toepassingen.

Radioactief verval is een toevalsproces: je kunt niet voorspellen wánneer een individuele kern vervalt, alleen de kans per tijd. Toch is voor een groot aantal kernen het gedrag zeer regelmatig — dat leidt tot de halveringstijd en de vervalwet van de volgende paragraaf. Belangrijk is te beseffen dat het uitgezonden deeltje (alfa, elektron, foton) pas bij het verval ontstaat; het zat niet als zodanig al in de kern. Zo produceert bètaverval een elektron doordat een neutron omzet in een proton — geen elektron dat al aanwezig was.

^{A}_{Z}\text{X} \rightarrow\ ^{A-4}_{Z-2}\text{Y} + ^{4}_{2}\text{He}

Alfaverval

Massagetal −4, ladingsgetal −2; A en Z blijven in totaal behouden.

^{A}_{Z}\text{X} \rightarrow\ ^{A}_{Z+1}\text{Y} + ^{0}_{-1}\text{e}

Bètaverval (β⁻)

Een neutron wordt een proton; ladingsgetal +1, massagetal gelijk.

Uitgewerkt voorbeeld

Vervalvergelijking opstellen

Kobalt $^{60}_{27}\text{Co}$ vervalt door bèta-min-verval. Stel de vergelijking op en bepaal het ladingsgetal van de ontstane kern.

Type verval
Bij β⁻ stijgt het ladingsgetal met 1, het massagetal blijft gelijk.
$^{60}_{27}\text{Co} \rightarrow\ ^{60}_{28}\text{Y} + ^{0}_{-1}\text{e}$
Behoud controleren
Massa: $60=60+0$ ; lading: $27=28+(-1)$ .
$60 = 60, \qquad 27 = 28 - 1$

Resultaat: De ontstane kern heeft ladingsgetal $28$ (nikkel, $^{60}_{28}\text{Ni}$ ); de behoudswetten kloppen.

Veelgemaakte fouten

Het massa- of ladingsgetal niet laten kloppen in de vervalvergelijking (de behoudswetten schenden).
Denken dat het bèta-elektron al in de kern zat — het ontstaat pas bij de omzetting van een neutron in een proton.

Actieve herhaling

Radon $^{222}_{86}\text{Rn}$ vervalt door alfaverval. Stel de vervalvergelijking op en bepaal de ontstane kern (gebruik BINAS voor het symbool).

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma natuurkunde vwo — subdomein E3 (radioactief verval) (CvTE / Examenblad)

Activiteit en halveringstijd#

Standaardexamenblad-natuurkunde-E3

Exponentieel verval en halveringstijd

Afb. 2Afb. 1 — Het aantal kernen halveert elke halveringstijd:

100\to50\to25\to12{,}5

(t in halveringstijden).

De halveringstijd

t_{\tfrac{1}{2}}

is de tijd waarin de helft van een grote hoeveelheid kernen vervalt. Ze is een vaste eigenschap van de radioactieve stof en varieert van fracties van een seconde tot miljarden jaren. Na één halveringstijd is nog de helft van de oorspronkelijke kernen over, na twee een kwart, na drie een achtste, enzovoort. In Afb. 1 zie je deze exponentiële afname: het aantal kernen daalt steeds trager, maar bereikt in eindige tijd nooit precies nul.

De vervalwet legt dit vast:

N(t)=N_0\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/t_{1/2}}

, met

N_0

het beginaantal kernen en

N(t)

het aantal na tijd

t

. Deze formule geldt ook voor elke evenredige grootheid, zoals de massa of de activiteit. Merk de overeenkomst op met de exponentiële absorptie van straling (medische beeldvorming): daar tegen dikte, hier tegen tijd — dezelfde wiskunde, ander natuurkundig verband.

De activiteit

A

is het aantal vervallen per seconde, in becquerel (

1\ \text{Bq}=1

verval per seconde). Ze is evenredig met het aantal nog aanwezige kernen,

A=\lambda N

, met

\lambda=\dfrac{\ln 2}{t_{1/2}}

de vervalconstante. Omdat

N

exponentieel afneemt, neemt de activiteit op dezelfde manier af: een bron wordt met de tijd steeds minder actief. Een korte halveringstijd betekent een grote

\lambda

en dus een hoge beginactiviteit die snel wegzakt; een lange halveringstijd het omgekeerde.

Halveringstijden maken ouderdomsbepaling mogelijk. Bij de koolstof-14-methode meet men hoeveel van de radioactieve

^{14}\text{C}

in dood organisch materiaal nog over is; uit de fractie en de bekende halveringstijd (ongeveer

5{,}7\cdot10^{3}

jaar) berekent men hoe lang geleden het organisme leefde. Voor gesteenten gebruikt men isotopen met veel langere halveringstijden (zie ook het onderwerp geofysica). Het rekenen met de vervalwet — het bepalen van

N

t

t_{1/2}

uit de andere twee — is de kernvaardigheid van dit onderdeel.

N(t) = N_0\left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/t_{1/2}}

Vervalwet

Exponentiële afname; geldt ook voor massa en activiteit.

A = \lambda N, \qquad \lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}}

Activiteit en vervalconstante

De activiteit (in Bq) is evenredig met het aantal aanwezige kernen.

Uitgewerkt voorbeeld

Activiteit na enkele halveringstijden

Een bron met halveringstijd $6{,}0\ \text{uur}$ heeft een beginactiviteit van $8{,}0\cdot10^{5}\ \text{Bq}$ . Bereken de activiteit na $18\ \text{uur}$ .

Aantal halveringstijden
Deel de tijd door de halveringstijd.
$n = \frac{18}{6{,}0} = 3$
Activiteit
Elke halveringstijd halveert de activiteit.
$A = 8{,}0\cdot10^{5}\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)^{3} = 8{,}0\cdot10^{5}\cdot\tfrac{1}{8}$

Resultaat: De activiteit is na $18\ \text{uur}$ gedaald tot $1{,}0\cdot10^{5}\ \text{Bq}$ .

Veelgemaakte fouten

De tijd niet in dezelfde eenheid als de halveringstijd uitdrukken, of het aantal halveringstijden verkeerd tellen.
Denken dat de bron na twee halveringstijden helemaal weg is (dan is nog een kwart over).

Actieve herhaling

Een bron heeft een halveringstijd van $8{,}0\ \text{dagen}$ en een beginactiviteit van $6{,}4\cdot10^{6}\ \text{Bq}$ . Bereken de activiteit na $24\ \text{dagen}$ .

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma natuurkunde vwo — subdomein E3 (halveringstijd) (CvTE / Examenblad)

Massa-energie en bindingsenergie#

Verdiepingexamenblad-natuurkunde-E3

Bindingsenergie per nucleon tegen het massagetal

Afb. 3Afb. 1 — De bindingsenergie per nucleon piekt rond ijzer; fusie (links) en splijting (rechts) bewegen beide naar het maximum en leveren energie.

Einsteins massa-energie-equivalentie

E=m\,c^{2}

zegt dat massa en energie twee vormen van hetzelfde zijn: een massa

m

komt overeen met een energie

E=mc^{2}

. Omdat

c^{2}

enorm groot is, staat een piepkleine massa voor een gigantische energie — de bron van kernenergie en van de energie van de zon. Bij kernprocessen is de massa vóór en ná niet precies gelijk; het massaverschil verschijnt als energie (of omgekeerd).

De massa van een kern is iets kleiner dan de som van de massa's van de losse protonen en neutronen. Dit massadefect

\Delta m

komt overeen met de bindingsenergie

E_{\text{b}}=\Delta m\,c^{2}

: de energie die vrijkwam toen de nucleonen samen de kern vormden, en die je weer moet toevoeren om de kern uit elkaar te halen. Hoe groter de bindingsenergie per nucleon, hoe steviger de kern gebonden is en hoe stabieler.

Zet je de bindingsenergie per nucleon uit tegen het massagetal, dan krijg je de curve van Afb. 1: hij stijgt steil voor lichte kernen, bereikt een maximum rond ijzer (massagetal

\approx 56

), en daalt daarna langzaam voor zware kernen. Deze vorm verklaart in één beeld waarom er twéé manieren zijn om energie uit kernen te winnen: lichte kernen samenvoegen (fusie, naar het maximum toe) en zware kernen splijten (splijting, ook naar het maximum toe). Beide processen bewegen naar steviger gebonden kernen en maken daarbij energie vrij.

Bij het rekenen bepaal je eerst het massaverschil tussen de begin- en eindtoestand (met de nauwkeurige massa's uit BINAS, vaak in atomaire massa-eenheid u), en zet dat om in energie via

E=\Delta m\,c^{2}

. Handig is de omrekening

1\ \text{u}\,c^{2}=931\ \text{MeV}

. Een positief massaverschil (de eindtoestand is lichter) betekent dat er energie vrijkomt. Dit koppelt de abstracte

E=mc^{2}

aan concrete, meetbare energieopbrengsten van kernreacties — de kern van dit onderdeel.

E = m\,c^{2}, \qquad E_{\text{b}} = \Delta m\,c^{2}

Massa-energie en bindingsenergie

Het massadefect Δm van een kern komt overeen met de bindingsenergie.

1\ \text{u}\,c^{2} = 931\ \text{MeV}

Handige omrekening

Zet een massaverschil in u direct om naar energie in MeV.

Uitgewerkt voorbeeld

Energie uit een massadefect

Bij de fusie van deuterium en tritium tot helium is het massaverschil $0{,}0189\ \text{u}$ . Bereken de vrijgekomen energie in MeV ( $1\ \text{u}\,c^2=931\ \text{MeV}$ ).

Omrekenen
Vermenigvuldig het massadefect met 931 MeV/u.
$E = 0{,}0189\cdot 931\ \text{MeV}$
Uitrekenen
Bereken het product.
$E = 17{,}6\ \text{MeV}$

Resultaat: Er komt $17{,}6\ \text{MeV}$ per fusie vrij — de reactie die de zon en fusiereactoren voedt.

Veelgemaakte fouten

Het massadefect in de verkeerde eenheid laten staan of vergeten met $c^2$ te vermenigvuldigen.
De curve verkeerd lezen: energie komt vrij door naar hét maximum (ijzer) toe te bewegen, niet ervan weg.

Actieve herhaling

Bij een kernreactie is de totale massa na afloop $0{,}0035\ \text{u}$ kleiner dan ervoor. Bereken de vrijgekomen energie in MeV ( $1\ \text{u}\,c^2=931\ \text{MeV}$ ).

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma natuurkunde vwo — subdomein E3 (massa-energie) (CvTE / Examenblad)

Kernsplijting, kernfusie en deeltjes#

Standaardexamenblad-natuurkunde-E3

Kernsplijting van uranium-235

Afb. 4Afb. 1 — Een neutron treft

^{235}\text{U}

; de kern splijt in twee kernen en vrije neutronen die een kettingreactie kunnen onderhouden.

Bij kernsplijting valt een zware kern (zoals

^{235}\text{U}

) na het invangen van een neutron uiteen in twee lichtere kernen (splijtstukken), plus enkele vrije neutronen en veel energie. In Afb. 1 zie je dit schematisch. De vrijgekomen neutronen kunnen nieuwe splijtingen veroorzaken: een kettingreactie. In een kerncentrale wordt die reactie beheerst met regelstaven die neutronen invangen; in een kernwapen ontketent men hem juist ongeremd. De energie komt uit het massadefect: de splijtstukken zitten dichter bij de top van de bindingsenergiecurve.

Bij kernfusie versmelten juist twee lichte kernen tot een zwaardere, bijvoorbeeld waterstofisotopen tot helium. Ook hier komt energie vrij, en per nucleon zelfs méér dan bij splijting, omdat de sprong in bindingsenergie voor lichte kernen het steilst is. Fusie is de energiebron van de sterren, waaronder de zon. Op aarde is beheerste fusie technisch lastig omdat de kernen extreem hoge temperaturen (miljoenen graden) nodig hebben om hun onderlinge elektrische afstoting te overwinnen — het onderwerp van fusiereactoren.

Onder al deze processen ligt het standaardmodel van de deeltjesfysica: alle materie is opgebouwd uit een klein aantal elementaire deeltjes. Quarks vormen protonen en neutronen (elk drie quarks); leptonen (waaronder het elektron en de neutrino's) staan daarnaast. De krachten tussen deeltjes worden overgebracht door uitwisselingsdeeltjes. Voor het examen volstaat het globale beeld: protonen en neutronen zijn niet elementair maar uit quarks opgebouwd, terwijl het elektron dat wél is.

Elk deeltje heeft een antideeltje met dezelfde massa maar tegengestelde lading; ontmoeten een deeltje en zijn antideeltje elkaar, dan annihileren ze en wordt hun massa volledig omgezet in straling (zie de PET-toepassing bij medische beeldvorming). Behoudswetten — van energie, impuls, lading en het aantal nucleonen — sturen welke kern- en deeltjesreacties mogelijk zijn. Zo verbindt dit onderwerp de massa-energie-equivalentie, de behoudswetten en het deeltjesbeeld tot één samenhangend geheel.

^{235}_{92}\text{U} + ^{1}_{0}\text{n} \rightarrow\ \text{splijtstukken} + \ \text{neutronen} + E

Kernsplijting (schematisch)

De vrije neutronen kunnen een kettingreactie onderhouden; E komt uit het massadefect.

Uitgewerkt voorbeeld

Energie per splijting

Bij de splijting van één $^{235}\text{U}$ -kern is het massaverschil $0{,}215\ \text{u}$ . Bereken de vrijgekomen energie in MeV ( $1\ \text{u}\,c^2=931\ \text{MeV}$ ).

Omrekenen
Vermenigvuldig het massaverschil met 931 MeV/u.
$E = 0{,}215\cdot 931\ \text{MeV}$
Uitrekenen
Bereken het product.
$E = 2{,}0\cdot10^{2}\ \text{MeV}$

Resultaat: Er komt ongeveer $2{,}0\cdot10^{2}\ \text{MeV}$ per splijting vrij — miljoenen malen meer dan bij een chemische reactie per atoom.

Veelgemaakte fouten

Kernsplijting en kernfusie verwisselen, of denken dat splijting lichte en fusie zware kernen als uitgangsstof heeft.
Vergeten dat de energie in beide gevallen uit een massadefect komt (behoud van massa-energie, niet van massa alleen).

Actieve herhaling

Leg uit waarom zowel het splijten van uranium als het samensmelten van waterstof energie oplevert, en gebruik daarbij de curve van de bindingsenergie per nucleon.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma natuurkunde vwo — subdomein E3 (splijting en fusie) (CvTE / Examenblad)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / Examenblad

Examenprogramma natuurkunde vwo — subdomein E3 (radioactief verval)

Kern- en deeltjesprocessen (massa-energie-equivalentie)

Kernpunten

Vervalvergelijking opstellen

Kernpunten

Activiteit na enkele halveringstijden

Kernpunten

Energie uit een massadefect

Kernpunten

Energie per splijting

Bronnen

Kern- en deeltjesprocessen (massa-energie-equivalentie)

Kernpunten

Vervalvergelijking opstellen

Kernpunten

Activiteit na enkele halveringstijden

Kernpunten

Energie uit een massadefect

Kernpunten

Energie per splijting

Bronnen