Samenvattingen · NatuurkundeNL · VWO

Quantumwereld (golf-deeltjedualiteit, onbepaaldheidsrelatie)

Subdomein F1 introduceert de quantumfysica: op de kleinste schaal gedragen deeltjes zich als golven en golven als deeltjes. Van de golf-deeltjedualiteit en de de Broglie-golflengte via de discrete energieniveaus van een opgesloten deeltje tot de onbepaaldheidsrelatie van Heisenberg en het tunneleffect — de klassieke intuïtie schiet hier tekort en maakt plaats voor kansen en quantisatie.

4 Onderdelen~12 min leestijd4 VaardighedenNiveau Standaard 2 · Verdieping 2

T·111111 / 17

Examenprofiel

F1 · Golf-deeltjedualiteit en het fotonF1 · De de Broglie-golflengte van materieF1 · Opsluiting en discrete energieniveaus (deeltje in een doos)F1 · Onbepaaldheidsrelatie en tunneleffect

Operatoren:berekenbepaalleg uitverklaarberedeneerschat

basisniveau

De golf-deeltjedualiteit en de de Broglie-golflengte zijn CE-kernstof voor nt en ng.

verhoogd niveau

Het deeltje-in-een-doos-model, de onbepaaldheidsrelatie en het tunneleffect krijgen in nt de meeste diepgang.

Diepte

Tekst

Inhoud · 4 onderdelen

Quantumwereld (golf-deeltjedualiteit, onbepaaldheidsrelatie)

Golf-deeltjedualiteit en het foton#

Standaardexamenblad-natuurkunde-F1

De quantumfysica breekt met de scherpe scheiding tussen golven en deeltjes. Licht, dat door interferentie en diffractie onmiskenbaar golfgedrag vertoont, blijkt bij de wisselwerking met materie uit deeltjes (fotonen) te bestaan — zoals het foto-elektrisch effect liet zien. Omgekeerd blijken deeltjes zoals elektronen golfgedrag te vertonen. Dit is de golf-deeltjedualiteit: hetzelfde object toont naar gelang het experiment een golf- of een deeltjeskant. In Afb. 1 zie je een interferentiepatroon dat, verrassend genoeg, ook ontstaat als je de deeltjes één voor één afstuurt.

Interferentiepatroon uit losse deeltjes

Afb. 1Afb. 1 — Het interferentiepatroon (maxima en minima) bouwt zich op uit losse deeltjesinslagen: de golf bepaalt de aantreffkans.

Het foton verenigt beide beelden. Zijn energie hangt via de golfgrootheid frequentie samen,

E=h\,f

, en zijn impuls via de golflengte,

p=\dfrac{h}{\lambda}

. Een foton heeft dus wél impuls (het kan een duwtje geven, zoals bij een zonnezeil), maar géén rustmassa. Deze twee formules (

E=hf

p=h/\lambda

) zijn de brug tussen het golfbeeld (frequentie, golflengte) en het deeltjesbeeld (energie, impuls) van straling.

Het beroemde dubbelspleetexperiment maakt de dualiteit scherp. Stuur je licht (of elektronen) door twee spleten, dan ontstaat op het scherm een interferentiepatroon — golfgedrag. Maar het scherm registreert de aankomst als losse, puntvormige inslagen — deeltjesgedrag. Zelfs als je de deeltjes één voor één afvuurt, bouwt zich langzaam hetzelfde interferentiepatroon op. Elk deeltje „interfereert met zichzelf”: de golf bepaalt de káns dat het deeltje ergens inslaat.

Dat kansaspect is het hart van de quantumfysica. De golf is geen materiële trilling maar een kansgolf: het kwadraat van de amplitude geeft de kans om het deeltje op een plaats aan te treffen. Waar het klassieke beeld een deeltje een welbepaalde baan toeschrijft, geeft de quantummechanica alleen kansen — je kunt niet zeggen door wélke spleet het deeltje ging zonder het patroon te vernietigen. Deze overgang van zekerheid naar kans is de rode draad door de rest van dit onderwerp.

E = h\,f, \qquad p = \frac{h}{\lambda}

Energie en impuls van een foton

Verbinden het golfbeeld (f, λ) met het deeltjesbeeld (E, p).

Uitgewerkt voorbeeld

Impuls van een foton

Bereken de impuls van een foton blauw licht met golflengte $4{,}5\cdot10^{2}\ \text{nm}$ ( $h=6{,}63\cdot10^{-34}\ \text{J}\,\text{s}$ ).

Formule
Gebruik $p=h/\lambda$ met $\lambda=4{,}5\cdot10^{-7}\ \text{m}$ .
$p = \frac{h}{\lambda} = \frac{6{,}63\cdot10^{-34}}{4{,}5\cdot10^{-7}}$
Uitrekenen
Bereken het quotiënt.
$p = 1{,}5\cdot10^{-27}\ \text{kg}\,\text{m}\,\text{s}^{-1}$

Resultaat: De impuls van het foton is $1{,}5\cdot10^{-27}\ \text{kg}\,\text{m/s}$ — klein, maar meetbaar (stralingsdruk).

Veelgemaakte fouten

Denken dat een foton een rustmassa heeft — het heeft wel impuls en energie, maar geen rustmassa.
De kansgolf opvatten als een gewone (materiële) golf; het kwadraat van de amplitude geeft een aantreffkans.

Actieve herhaling

Bereken de impuls van een foton met golflengte $5{,}0\cdot10^{2}\ \text{nm}$ ( $h=6{,}63\cdot10^{-34}\ \text{J}\,\text{s}$ ).

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma natuurkunde vwo — subdomein F1 (dualiteit) (CvTE / Examenblad)

De de Broglie-golflengte#

Standaardexamenblad-natuurkunde-F1

De Broglie-golflengte van een elektron tegen zijn snelheid

Afb. 2Afb. 1 — De de Broglie-golflengte neemt af met

1/v

(hier voor een elektron; λ in nm, v in

10^6\ \text{m/s}

De Broglie stelde voor dat niet alleen licht, maar álle materie een golfkarakter heeft. De golflengte van een bewegend deeltje is

\lambda=\dfrac{h}{p}=\dfrac{h}{m\,v}

: omgekeerd evenredig met de impuls. In Afb. 1 zie je dit inverse verband voor een elektron — hoe sneller het gaat, hoe kleiner zijn golflengte. Deze materiegolf is niet zomaar een theorie: elektronen vertonen echte diffractie en interferentie, wat de basis is van de elektronenmicroscoop.

Voor grote (macroscopische) voorwerpen is de de Broglie-golflengte onvoorstelbaar klein. Een lopende mens of een vliegende bal heeft een impuls die miljarden keren groter is dan die van een elektron, zodat

\lambda

ver onder elke meetbare afstand ligt — daarom merken we in het dagelijks leven niets van golfgedrag. Alleen bij zeer lichte deeltjes (elektronen, atomen) met kleine impuls wordt

\lambda

vergelijkbaar met atomaire afstanden, en dan worden de golfverschijnselen zichtbaar.

De elektronenmicroscoop benut dit direct. Het oplossend vermogen van een microscoop wordt begrensd door de golflengte: hoe kleiner de golflengte, hoe fijner de details die je kunt onderscheiden. Omdat snelle elektronen een veel kleinere de Broglie-golflengte hebben dan zichtbaar licht, ziet een elektronenmicroscoop veel kleinere structuren dan een lichtmicroscoop — tot op de schaal van moleculen en atomen. Zo maakt de materiegolf een technologie mogelijk die met golfgedrag van deeltjes werkt.

Om de de Broglie-golflengte te berekenen bepaal je eerst de impuls

p=mv

, en dan

\lambda=h/p

. Vaak krijg je de snelheid, of de kinetische energie (dan is

p=\sqrt{2mE_{\text{kin}}}

), of een versnelspanning voor een geladen deeltje (

E_{\text{kin}}=qU

). Let op consistente SI-eenheden. Het besef dat materie golfgedrag vertoont, is de opstap naar het volgende idee: als een deeltje een golf is, wat gebeurt er dan als je die golf opsluit?

\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{m\,v}

De Broglie-golflengte

Omgekeerd evenredig met de impuls; klein voor snelle of zware deeltjes.

p = \sqrt{2\,m\,E_{\text{kin}}}

Impuls uit kinetische energie

Handig als de kinetische energie (of versnelspanning) gegeven is.

Uitgewerkt voorbeeld

Golflengte van een elektron

Bereken de de Broglie-golflengte van een elektron ( $m=9{,}11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$ ) met snelheid $1{,}5\cdot10^{6}\ \text{m/s}$ ( $h=6{,}63\cdot10^{-34}\ \text{J}\,\text{s}$ ).

Impuls
Bereken $p=mv$ .
$p = 9{,}11\cdot10^{-31}\cdot 1{,}5\cdot10^{6} = 1{,}37\cdot10^{-24}\ \text{kg}\,\text{m/s}$
Golflengte
Gebruik $\lambda=h/p$ .
$\lambda = \frac{6{,}63\cdot10^{-34}}{1{,}37\cdot10^{-24}} = 4{,}9\cdot10^{-10}\ \text{m}$

Resultaat: De golflengte is $4{,}9\cdot10^{-10}\ \text{m}$ ( $0{,}49\ \text{nm}$ ) — vergelijkbaar met atomaire afstanden, dus golfgedrag is merkbaar.

Veelgemaakte fouten

De impuls vergeten om te rekenen uit de kinetische energie of de massa in de verkeerde eenheid nemen.
Denken dat ook grote voorwerpen merkbaar golfgedrag vertonen — hun de Broglie-golflengte is onmeetbaar klein.

Actieve herhaling

Bereken de de Broglie-golflengte van een elektron ( $m=9{,}11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$ ) dat met $2{,}0\cdot10^{6}\ \text{m/s}$ beweegt ( $h=6{,}63\cdot10^{-34}\ \text{J}\,\text{s}$ ).

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma natuurkunde vwo — subdomein F1 (de Broglie) (CvTE / Examenblad)

Opsluiting: het deeltje in een doos#

Verdiepingexamenblad-natuurkunde-F1

Energieniveaus van een deeltje in een doos

Afb. 3Afb. 1 — De energieniveaus lopen uiteen als

n^{2}

(1, 4, 9, 16): een opgesloten deeltje heeft discrete, ongelijk verdeelde energieniveaus.

Sluit je een deeltje op in een klein gebied — bijvoorbeeld een elektron in een atoom of in een molecuul — dan gedraagt zijn materiegolf zich als een staande golf tussen de wanden, net als een snaar met twee vaste uiteinden. Alleen golflengten die precies passen zijn toegestaan:

\lambda_n=\dfrac{2L}{n}

, met

L

de breedte van de „doos” en

n=1,2,3,\dots

In Afb. 1 zie je de bijbehorende energieniveaus. De opsluiting dwingt de energie tot discrete waarden — quantisatie ontstaat uit het opsluiten van een golf.

Via de de Broglie-relatie vertaalt elke toegestane golflengte zich in een toegestane energie. Voor een deeltje in een doos zijn de energieniveaus

E_n=\dfrac{n^{2}h^{2}}{8mL^{2}}

: ze groeien met het kwádraat van

n

, zodat de niveaus steeds verder uit elkaar liggen (Afb. 1). Twee dingen vallen op: de laagste energie (

n=1

) is níét nul — een opgesloten deeltje heeft altijd een minimale bewegingsenergie (nulpuntsenergie) — en de niveaus liggen verder uit elkaar naarmate de doos kleiner is.

Dit eenvoudige model verklaart kernideeën van de atoom- en molecuulfysica. Dat de energie van een opgesloten deeltje gequantiseerd is, is precies waarom atomen discrete energieniveaus en dus lijnenspectra hebben (zie het onderwerp EM-straling en materie). De afhankelijkheid

E_n\propto 1/L^{2}

verklaart waarom een kleiner opsluitgebied hogere energieën en grotere niveausprongen geeft — een verband dat terugkomt bij de kleur van kleurstofmoleculen en quantumdots.

Het model laat ook zien hoe golfgedrag en energie samenhangen. Een grotere

n

betekent een kortere golflengte, dus een grotere impuls en energie. De sprong van het ene naar het andere niveau gaat gepaard met de opname of uitzending van een foton met energie gelijk aan het niveauverschil,

E_{\text{foton}}=|E_{\text{hoog}}-E_{\text{laag}}|=hf

. Zo verbindt het deeltje-in-een-doos-model de de Broglie-golf, de quantisatie van energie en de spectra tot één samenhangend beeld — een mooie illustratie van de kracht van modellen in de fysica.

\lambda_n = \frac{2L}{n}, \qquad E_n = \frac{n^{2}h^{2}}{8mL^{2}}

Deeltje in een doos

Alleen passende staande golven zijn toegestaan; de energie is gequantiseerd.

Uitgewerkt voorbeeld

Grondtoestand in een doos

Een elektron ( $m=9{,}11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$ ) zit in een doos van $L=4{,}0\cdot10^{-10}\ \text{m}$ . Bereken de energie van het niveau $n=1$ ( $h=6{,}63\cdot10^{-34}\ \text{J}\,\text{s}$ ).

Formule
Gebruik $E_n=n^2h^2/(8mL^2)$ met $n=1$ .
$E_1 = \frac{1^{2}\cdot(6{,}63\cdot10^{-34})^{2}}{8\cdot 9{,}11\cdot10^{-31}\cdot(4{,}0\cdot10^{-10})^{2}}$
Teller en noemer
Bereken beide.
$E_1 = \frac{4{,}40\cdot10^{-67}}{1{,}17\cdot10^{-48}}$
Uitrekenen
Deel uit.
$E_1 = 3{,}8\cdot10^{-19}\ \text{J} \approx 2{,}4\ \text{eV}$

Resultaat: Het grondniveau heeft energie $3{,}8\cdot10^{-19}\ \text{J}$ ( $\approx 2{,}4\ \text{eV}$ ) — niet nul, de nulpuntsenergie.

Veelgemaakte fouten

Denken dat de laagste energie nul is — een opgesloten deeltje heeft altijd een minimale (nulpunts)energie.
De energieniveaus lineair met $n$ laten toenemen in plaats van met $n^2$ (de afstand tussen de niveaus groeit).

Actieve herhaling

Een elektron ( $m=9{,}11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$ ) zit opgesloten in een doos van $L=5{,}0\cdot10^{-10}\ \text{m}$ . Bereken de energie van het grondniveau ( $n=1$ ) in joule ( $h=6{,}63\cdot10^{-34}\ \text{J}\,\text{s}$ ).

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma natuurkunde vwo — subdomein F1 (opsluiting) (CvTE / Examenblad)

Onbepaaldheid en tunnelen#

Verdiepingexamenblad-natuurkunde-F1

Het tunneleffect door een energiebarrière

Afb. 4Afb. 1 — Een deeltje kan met een kleine kans door een barrière tunnelen die het klassiek niet zou kunnen passeren.

De onbepaaldheidsrelatie van Heisenberg zegt dat je de plaats en de impuls van een deeltje niet allebei onbeperkt nauwkeurig kunt kennen:

\Delta x\cdot\Delta p\ge\dfrac{h}{4\pi}

. Hoe nauwkeuriger je de plaats bepaalt (kleine

\Delta x

), hoe onbepaalder de impuls (grote

\Delta p

), en omgekeerd. Dit is geen tekortkoming van meetapparatuur, maar een fundamentele eigenschap van de quantumwereld: een deeltje hééft niet tegelijk een scherpe plaats én impuls. Het volgt direct uit het golfkarakter — een golf met een scherpe golflengte (impuls) is per definitie uitgesmeerd in de ruimte.

De onbepaaldheidsrelatie verklaart de nulpuntsenergie uit de vorige paragraaf: zou een opgesloten deeltje stil in het midden liggen, dan zouden plaats én impuls exact bekend zijn, wat verboden is. Het deeltje móét dus een minimale beweging (en energie) houden. Ook geeft de relatie een schatting van energieën en afmetingen op atomaire schaal, en verklaart ze waarom elektronen niet in de kern „vallen”: opsluiting in zo'n klein gebied zou een enorme impuls-onbepaaldheid en dus een te hoge energie vergen.

Een spectaculair quantumverschijnsel is het tunneleffect: een deeltje kan door een energiebarrière heen komen die het volgens de klassieke fysica helemaal niet zou mogen passeren, omdat het er de energie niet voor heeft. In Afb. 1 zie je hoe een deeltje op een barrière afkomt en met een kleine kans aan de andere kant verschijnt. Omdat de materiegolf niet abrupt bij de barrière stopt maar er (afnemend) in doordringt, is er een kleine kans dat het deeltje aan de overkant opduikt — het is er als het ware doorheen „getunneld”.

Tunnelen is niet exotisch maar alledaags in de natuur en techniek. Het maakt kernfusie in de zon mogelijk (kernen tunnelen door hun elektrische afstoting heen), het verklaart alfaverval (een alfadeeltje tunnelt uit de kern), en het is de basis van de scanning-tunnelingmicroscoop (STM), die met een tunnelstroom afzonderlijke atomen in beeld brengt. De kans op tunnelen daalt zeer snel met de dikte en hoogte van de barrière, wat de STM zo gevoelig maakt. Zo tonen onbepaaldheid en tunnelen dat de quantumwereld met kansen werkt waar de klassieke fysica met zekerheden dacht te kunnen volstaan.

\Delta x\cdot\Delta p \ge \frac{h}{4\pi}

Onbepaaldheidsrelatie van Heisenberg

Plaats en impuls kunnen niet beide willekeurig nauwkeurig bekend zijn.

Uitgewerkt voorbeeld

Onbepaaldheid van de impuls

Een elektron is opgesloten in $\Delta x=2{,}0\cdot10^{-10}\ \text{m}$ . Schat de minimale onbepaaldheid in de impuls ( $h=6{,}63\cdot10^{-34}\ \text{J}\,\text{s}$ ).

Relatie omschrijven
Neem de minimale waarde: $\Delta p=\dfrac{h}{4\pi\,\Delta x}$ .
$\Delta p = \frac{h}{4\pi\,\Delta x}$
Invullen
Vul $h$ en $\Delta x$ in.
$\Delta p = \frac{6{,}63\cdot10^{-34}}{4\pi\cdot 2{,}0\cdot10^{-10}}$
Uitrekenen
Bereken de breuk.
$\Delta p = 2{,}6\cdot10^{-25}\ \text{kg}\,\text{m/s}$

Resultaat: De impuls is minstens $2{,}6\cdot10^{-25}\ \text{kg}\,\text{m/s}$ onbepaald — een gevolg van de opsluiting, niet van meetfouten.

Veelgemaakte fouten

De onbepaaldheid als een meetfout van het instrument opvatten in plaats van een fundamentele eigenschap.
Denken dat een deeltje bij tunnelen energie uit het niets krijgt — het is een kanseffect van de doordringende materiegolf, geen schending van energiebehoud.

Actieve herhaling

Een elektron is opgesloten in een gebied met $\Delta x=1{,}0\cdot10^{-10}\ \text{m}$ . Schat de minimale onbepaaldheid in de impuls met de onbepaaldheidsrelatie ( $h=6{,}63\cdot10^{-34}\ \text{J}\,\text{s}$ ).

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma natuurkunde vwo — subdomein F1 (onbepaaldheid en tunnelen) (CvTE / Examenblad)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / Examenblad

Examenprogramma natuurkunde vwo — subdomein F1 (dualiteit)

Quantumwereld (golf-deeltjedualiteit, onbepaaldheidsrelatie)

Kernpunten

Impuls van een foton

Kernpunten

Golflengte van een elektron

Kernpunten

Grondtoestand in een doos

Kernpunten

Onbepaaldheid van de impuls

Bronnen

Quantumwereld (golf-deeltjedualiteit, onbepaaldheidsrelatie)

Kernpunten

Impuls van een foton

Kernpunten

Golflengte van een elektron

Kernpunten

Grondtoestand in een doos

Kernpunten

Onbepaaldheid van de impuls

Bronnen