Samenvattingen · NatuurkundeNL · VWO

Kracht en beweging (vectoren, wetten van Newton)

Dit subdomein (C1) verbindt de beschrijving van beweging — met $x,t$ -, $v,t$ - en $a,t$ -diagrammen — aan de oorzaak ervan: de krachten. De drie wetten van Newton vormen de kern: een voorwerp verandert zijn snelheid alleen door een resulterende kracht, en die verandering is $a=F_{\text{res}}/m$ . Van de hellingbaan tot de cirkelbeweging draait alles om het correct tekenen en ontbinden van krachten.

4 Onderdelen~14 min leestijd4 VaardighedenNiveau Basis 1 · Standaard 2 · Verdieping 1

T·0222 / 17

Examenprofiel

C1 · Bewegingen beschrijven met x,t-, v,t- en a,t-diagrammenC1 · De drie wetten van Newton toepassenC1 · Krachten tekenen, ontbinden en de resultante bepalenC1 · Cirkelbeweging en middelpuntzoekende kracht

Operatoren:berekenbepaalleg uitverklaartoon aanteken

basisniveau

Kracht en beweging is CE-kernstof voor beide profielen (nt en ng); het krachtendiagram en de tweede wet van Newton komen in vrijwel elk examen terug.

verhoogd niveau

De cirkelbeweging en het combineren van krachten in twee dimensies vragen in nt extra precisie in de vectorontbinding.

Diepte

Tekst

Inhoud · 4 onderdelen

Kracht en beweging (vectoren, wetten van Newton)

Beweging beschrijven met grafieken#

Basisexamenblad-natuurkunde-C1

Een beweging leg je vast in drie samenhangende diagrammen: het plaats-tijddiagram (

x,t

), het snelheid-tijddiagram (

v,t

) en het versnelling-tijddiagram (

a,t

). De helling van het

x,t

-diagram is de snelheid, en de helling van het

v,t

-diagram is de versnelling; omgekeerd is de oppervlakte onder het

v,t

-diagram de verplaatsing en die onder het

a,t

-diagram de snelheidsverandering. Afb. 1 toont een

x,t

-parabool van een eenparig versnelde beweging: de raaklijn in een punt geeft de momentane snelheid, die steeds groter wordt omdat de parabool steiler loopt.

x,t-diagram van een eenparig versnelde beweging

Afb. 1Afb. 1 — De helling van de raaklijn aan de

x,t

-parabool is de momentane snelheid; die neemt toe omdat de kromme steiler wordt.

Bij een eenparige beweging is de snelheid constant: het

x,t

-diagram is een rechte lijn, het

v,t

-diagram een horizontale lijn en de versnelling nul. Bij een eenparig versnelde beweging is de versnelling constant: het

v,t

-diagram is een schuine rechte lijn en het

x,t

-diagram een parabool. Het onderscheid tussen momentane en gemiddelde snelheid is essentieel: de momentane snelheid is de helling van de raaklijn in één punt, de gemiddelde snelheid is de totale verplaatsing gedeeld door de totale tijd.

Voor de eenparig versnelde beweging gelden vaste bewegingsformules. Uit

a=

constant volgt

v=v_0+a\,t

(de snelheid groeit lineair) en

x=x_0+v_0\,t+\tfrac{1}{2}a\,t^{2}

(de plaats groeit kwadratisch). Door de tijd te elimineren krijg je de handige tijdloze relatie

v^{2}=v_0^{2}+2a\,(x-x_0)

, die je gebruikt wanneer de tijd niet gegeven is — bijvoorbeeld bij een remweg. Let goed op de tekens: kies een positieve richting en geef een vertraging (afremmen) een negatieve

a

De vrije val is het belangrijkste voorbeeld van een eenparig versnelde beweging: bij verwaarloosbare luchtweerstand valt elk voorwerp met dezelfde valversnelling

g\approx 9{,}81\ \text{m/s}^{2}

, onafhankelijk van zijn massa. Een verticale worp omhoog is dezelfde beweging met

a=-g

: de snelheid neemt af, wordt boven in het hoogste punt nul (maar de versnelling blijft

g

naar beneden), en neemt daarna weer toe. Het symmetrische karakter — de tijd omhoog is gelijk aan de tijd omlaag naar hetzelfde punt — volgt direct uit de bewegingsformules.

v = v_0 + a\,t

Snelheid bij constante versnelling

De snelheid verandert lineair met de tijd.

x = x_0 + v_0\,t + \tfrac{1}{2}a\,t^{2}

Plaats bij constante versnelling

De plaats groeit kwadratisch; de oppervlakte onder de v,t-lijn.

v^{2} = v_0^{2} + 2a\,(x-x_0)

Tijdloze bewegingsrelatie

Handig als de tijd niet gegeven is, bijvoorbeeld bij een remweg.

Uitgewerkt voorbeeld

Remweg met de tijdloze relatie

Een fietser rijdt $8{,}0\ \text{m/s}$ en remt eenparig af tot stilstand over $16\ \text{m}$ . Bereken de versnelling en de remtijd.

Tijdloze relatie
Eindsnelheid nul; gebruik $v^2=v_0^2+2a\,\Delta x$ .
$0 = 8{,}0^{2} + 2a\cdot 16$
Versnelling oplossen
Los $a$ op; de negatieve waarde bevestigt afremmen.
$a = \frac{-64}{32} = -2{,}0\ \text{m/s}^2$
Remtijd
Gebruik $v=v_0+a\,t$ met $v=0$ .
$t = \frac{0-8{,}0}{-2{,}0} = 4{,}0\ \text{s}$

Resultaat: De versnelling is $-2{,}0\ \text{m/s}^2$ en het remmen duurt $4{,}0\ \text{s}$ .

Veelgemaakte fouten

Denken dat in het hoogste punt van een verticale worp de versnelling nul is — de snelheid is daar nul, maar de valversnelling $g$ werkt onverminderd door.
Het teken van de versnelling verkeerd kiezen bij afremmen, of de gemiddelde en momentane snelheid verwarren.

Actieve herhaling

Een auto rijdt $30\ \text{m/s}$ en remt eenparig af tot stilstand over een afstand van $75\ \text{m}$ . Bereken de (constante) versnelling en de tijd die het remmen duurt.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma natuurkunde vwo — subdomein C1 (kracht en beweging) (CvTE / Examenblad)

De drie wetten van Newton#

Standaardexamenblad-natuurkunde-C1

Krachtendiagram van een getrokken blok

Afb. 2Afb. 1 — Vier krachten op een blok: de resultante is horizontaal (trekkracht min wrijving); verticaal heffen

F_N

F_z

elkaar op.

De eerste wet (traagheidswet) zegt dat een voorwerp in rust blijft of eenparig rechtlijnig blijft bewegen zolang de resulterende kracht nul is. Beweging heeft dus géén kracht nodig om te blíjven bestaan — alleen snelheidsverandering vraagt een kracht. In Afb. 1 staat het krachtendiagram van een over de grond getrokken blok: als de trekkracht en de wrijvingskracht elkaar precies opheffen (en normaalkracht en zwaartekracht ook), is de resultante nul en beweegt het blok met constante snelheid.

De tweede wet is de rekenwet: de resulterende kracht geeft een versnelling in dezelfde richting, met grootte

F_{\text{res}}=m\,a

. Hoe groter de kracht, hoe groter de versnelling; hoe groter de massa (de traagheid), hoe kleiner de versnelling bij dezelfde kracht. Om deze wet toe te passen teken je altijd eerst een krachtendiagram, bepaal je de resultante (via componenten), en pas je dan

a=F_{\text{res}}/m

toe. De zwaartekracht op een voorwerp is zelf

F_z=m\,g

— een bijzonder geval van een kracht, niet van de tweede wet.

De derde wet (actie is min reactie) zegt dat krachten altijd in paren voorkomen: oefent voorwerp A een kracht op B uit, dan oefent B een even grote, tegengesteld gerichte kracht op A uit. Cruciaal is dat deze twee krachten op verschíllende voorwerpen aangrijpen — ze heffen elkaar dus nooit op in één krachtendiagram. Loop je vooruit, dan duw je met je voet naar achteren tegen de grond, en de grond duwt jou naar voren; die voorwaartse kracht op jou versnelt je.

Een terugkerend struikelblok is het onderscheid tussen normaalkracht en zwaartekracht. De zwaartekracht

F_z=mg

werkt altijd verticaal naar beneden; de normaalkracht

F_N

is de kracht die een oppervlak loodrecht op zichzelf uitoefent en past zich aan de situatie aan. Op horizontale grond zonder verticale versnelling is

F_N=F_z

, maar in een versnellende lift, op een helling of bij een extra verticale kracht is dat niet zo. Behandel elke as apart: langs elke richting geldt de tweede wet met de som van de componenten in die richting.

\sum \vec{F} = 0 \ \Rightarrow\ \text{rust of eenparige beweging}

Eerste wet (traagheid)

Zonder resulterende kracht verandert de snelheid niet.

F_{\text{res}} = m\,a

Tweede wet

De resulterende kracht bepaalt de versnelling; a wijst met F_res mee.

\vec{F}_{A\to B} = -\vec{F}_{B\to A}

Derde wet (actie = −reactie)

Krachten in paren op verschillende voorwerpen.

Uitgewerkt voorbeeld

Versnelling en normaalkracht

Een kist van $10\ \text{kg}$ wordt horizontaal getrokken met $50\ \text{N}$ ; de wrijvingskracht is $20\ \text{N}$ . Bereken de versnelling en de normaalkracht ( $g=9{,}81\ \text{m/s}^2$ ).

Resulterende horizontale kracht
Trek de wrijving van de trekkracht af.
$F_{\text{res}} = 50 - 20 = 30\ \text{N}$
Versnelling (tweede wet)
Deel door de massa.
$a = \frac{30}{10} = 3{,}0\ \text{m/s}^2$
Normaalkracht
Verticaal is er geen versnelling, dus $F_N=F_z$ .
$F_N = F_z = 10\cdot 9{,}81 = 98\ \text{N}$

Resultaat: De versnelling is $3{,}0\ \text{m/s}^2$ en de normaalkracht $98\ \text{N}$ .

Veelgemaakte fouten

Actie en reactie in hetzelfde krachtendiagram tekenen en denken dat ze elkaar opheffen — ze werken op verschillende voorwerpen.
Aannemen dat de normaalkracht altijd gelijk is aan de zwaartekracht, ook op een helling of in een versnellende lift.

Actieve herhaling

Een blok van $4{,}0\ \text{kg}$ wordt over een horizontale vloer getrokken met een horizontale kracht van $20\ \text{N}$ ; de wrijvingskracht is $8{,}0\ \text{N}$ . Bereken de versnelling van het blok en de normaalkracht van de vloer.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma natuurkunde vwo — subdomein C1 (wetten van Newton) (CvTE / Examenblad)

Krachten ontbinden en de hellingbaan#

Standaardexamenblad-natuurkunde-C1

Krachtenontbinding op een hellingbaan

Afb. 3Afb. 1 — Op de helling ontbindt

\vec{F}_z

F_z\sin\alpha

(langs) en

F_z\cos\alpha

(loodrecht);

F_N

heft de loodrechte component op.

De hellingbaan is dé klassieke toepassing van vectorontbinding. Op een voorwerp op een helling met hellingshoek

\alpha

werken de zwaartekracht (recht naar beneden), de normaalkracht (loodrecht op de helling) en eventueel wrijving (langs de helling). Omdat de beweging langs de helling verloopt, kies je de assen langs en loodrecht op de helling en ontbind je de zwaartekracht. In Afb. 1 zie je hoe

\vec{F}_z

uiteenvalt in een component langs de helling,

F_{z,\parallel}=F_z\sin\alpha

, en een component loodrecht op de helling,

F_{z,\perp}=F_z\cos\alpha

De component langs de helling,

F_z\sin\alpha

, is de kracht die het voorwerp naar beneden trekt langs het oppervlak — de „motor” van het afglijden. De component loodrecht op de helling,

F_z\cos\alpha

, wordt precies opgeheven door de normaalkracht (zolang het voorwerp op de helling blijft), dus

F_N=F_z\cos\alpha

. Merk op: hoe steiler de helling, hoe groter

\sin\alpha

en dus de hellingcomponent, en hoe kleiner

\cos\alpha

en dus de normaalkracht. Bij

\alpha=90^\circ

(verticale wand) is er geen normaalkracht meer en valt het voorwerp vrij.

Voor de beweging langs de helling pas je de tweede wet toe op de as langs de helling:

F_{z}\sin\alpha - F_{w}=m\,a

, waarbij

F_w

de wrijvingskracht is die de beweging tegenwerkt. Is er geen wrijving, dan glijdt het voorwerp met versnelling

a=g\sin\alpha

— onafhankelijk van de massa, net als bij de vrije val (waarvan dit het „afgeremde” broertje is). Is de hellingcomponent kleiner dan de maximale statische wrijving, dan blijft het voorwerp liggen.

De maximale wrijvingskracht hangt af van de normaalkracht:

F_{w,\text{max}}=f\cdot F_N

, met

f

de wrijvingscoëfficiënt. Op een helling betekent dit

F_{w,\text{max}}=f\,F_z\cos\alpha

. Het voorwerp begint pas te glijden als de hellingcomponent deze grens overschrijdt:

F_z\sin\alpha > f\,F_z\cos\alpha

, oftewel

\tan\alpha > f

. De hoek waarbij het net gaat glijden (de grenshoek) hangt dus alleen van de wrijvingscoëfficiënt af, niet van de massa — een verrassend en toetsvaardig resultaat.

F_{z,\parallel} = F_z\sin\alpha, \qquad F_{z,\perp} = F_z\cos\alpha

Zwaartekracht op een helling

De component langs de helling drijft de beweging; loodrecht bepaalt de normaalkracht.

a = g\sin\alpha - \frac{F_w}{m}

Versnelling langs de helling

Zonder wrijving is a = g·sin α, onafhankelijk van de massa.

F_{w,\text{max}} = f\,F_N = f\,F_z\cos\alpha \ \Rightarrow\ \text{glijdt als } \tan\alpha > f

Wrijving en grenshoek

Afglijden begint als de hellingcomponent de maximale wrijving overschrijdt.

Uitgewerkt voorbeeld

Afglijden van een wrijvingsloze helling

Een blok van $6{,}0\ \text{kg}$ ligt op een wrijvingsloze helling van $30^\circ$ . Bereken de versnelling langs de helling en de normaalkracht ( $g=9{,}81\ \text{m/s}^2$ ).

Zwaartekracht
Bereken $F_z=mg$ .
$F_z = 6{,}0\cdot 9{,}81 = 58{,}9\ \text{N}$
Versnelling langs de helling
Zonder wrijving: $a=g\sin\alpha$ .
$a = 9{,}81\cdot\sin 30^\circ = 4{,}9\ \text{m/s}^2$
Normaalkracht
De loodrechte component wordt door $F_N$ opgeheven.
$F_N = F_z\cos 30^\circ = 58{,}9\cdot 0{,}866 = 51\ \text{N}$

Resultaat: De versnelling is $4{,}9\ \text{m/s}^2$ langs de helling en de normaalkracht $51\ \text{N}$ .

Veelgemaakte fouten

De sinus en cosinus verwisselen: de component lángs de helling krijgt $\sin\alpha$ , de component loodrecht op de helling $\cos\alpha$ .
De normaalkracht gelijkstellen aan de volledige zwaartekracht $F_z$ in plaats van aan $F_z\cos\alpha$ .

Actieve herhaling

Een slee van $25\ \text{kg}$ glijdt zonder wrijving van een helling van $20^\circ$ . Bereken de versnelling en de normaalkracht ( $g=9{,}81\ \text{m/s}^2$ ).

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma natuurkunde vwo — subdomein C1 (krachten) (CvTE / Examenblad)

Cirkelbeweging en middelpuntzoekende kracht#

Verdiepingexamenblad-natuurkunde-C1

Eenparige cirkelbeweging: snelheid en middelpuntzoekende kracht

Afb. 4Afb. 1 — De snelheid

\vec{v}

staat raaklijnig aan de baan; de kracht

\vec{F}_{\text{mpz}}

wijst naar het middelpunt en verandert alleen de richting van

\vec{v}

Bij een eenparige cirkelbeweging is de grootte van de snelheid constant, maar de rìchting verandert voortdurend. Omdat snelheid een vector is, is er dus toch een versnelling: de middelpuntzoekende (centripetale) versnelling, die altijd naar het middelpunt van de cirkel wijst. In Afb. 1 staat een voorwerp op een cirkelbaan met de snelheid

\vec{v}

raaklijnig aan de baan en de kracht

\vec{F}_{\text{mpz}}

naar het middelpunt gericht. Zonder die naar binnen gerichte kracht zou het voorwerp rechtdoor vliegen (eerste wet).

De middelpuntzoekende versnelling heeft grootte

a_{\text{mpz}}=\dfrac{v^{2}}{r}

, met

v

de baansnelheid en

r

de straal. Volgens de tweede wet hoort daar een resulterende kracht bij, de middelpuntzoekende kracht

F_{\text{mpz}}=\dfrac{m\,v^{2}}{r}

, eveneens naar het middelpunt gericht. Belangrijk: „middelpuntzoekende kracht” is geen nieuwe, aparte kracht, maar de naam voor de resultante van de échte krachten (zwaartekracht, spankracht, normaalkracht, wrijving) in de richting van het middelpunt. Je moet dus eerst uitzoeken wélke kracht in een situatie de rol van middelpuntzoekende kracht speelt.

Met de omlooptijd

T

(de tijd voor één ronde) leg je het verband met de baansnelheid: het voorwerp legt in één omloop de omtrek

2\pi r

af, dus

v=\dfrac{2\pi r}{T}

. Hieruit volgt ook

a_{\text{mpz}}=\dfrac{4\pi^{2}r}{T^{2}}

. Deze relaties koppelen de meetbare omlooptijd aan de snelheid en de benodigde kracht — onmisbaar bij satellieten, draaimolens en bochten. De hoeksnelheid

\omega=\dfrac{2\pi}{T}

geeft de compacte vorm

v=\omega r

F_{\text{mpz}}=m\omega^{2}r

In toepassingen bepaal je eerst de richting naar het middelpunt en stelt dan de som van de krachtcomponenten in die richting gelijk aan

\dfrac{mv^{2}}{r}

. In een horizontale bocht levert de wrijving tussen band en weg de middelpuntzoekende kracht:

F_w=\dfrac{mv^{2}}{r}

; wordt de gevraagde kracht groter dan de maximale wrijving, dan slipt de auto naar buiten. Bij een slinger of een looping combineer je zwaartekracht en spankracht/normaalkracht. Een veelgemaakte denkfout is een naar buiten gerichte „middelpuntvliedende kracht” tekenen — die bestaat niet in het krachtendiagram; het naar buiten „geduwd worden” is het traagheidsgevoel, niet een echte kracht op het voorwerp.

a_{\text{mpz}} = \frac{v^{2}}{r}, \qquad F_{\text{mpz}} = \frac{m\,v^{2}}{r}

Middelpuntzoekende versnelling en kracht

Beide wijzen naar het middelpunt; F_mpz is de resultante van de echte krachten.

v = \frac{2\pi r}{T}, \qquad \omega = \frac{2\pi}{T}, \qquad v = \omega r

Baansnelheid en omlooptijd

Eén omloop is de omtrek 2πr in de tijd T.

Uitgewerkt voorbeeld

Kracht in een bocht

Een wielrenner (samen met fiets $75\ \text{kg}$ ) rijdt met $12\ \text{m/s}$ door een bocht met straal $30\ \text{m}$ . Bereken de middelpuntzoekende kracht.

Formule kiezen
Gebruik $F_{\text{mpz}}=mv^2/r$ .
$F_{\text{mpz}} = \frac{m\,v^{2}}{r}$
Invullen
Vul massa, snelheid en straal in.
$F_{\text{mpz}} = \frac{75\cdot 12^{2}}{30} = \frac{10800}{30}$
Uitrekenen
Deel uit en rond af op twee significante cijfers.
$F_{\text{mpz}} = 3{,}6\cdot10^{2}\ \text{N}$

Resultaat: De benodigde kracht is $3{,}6\cdot10^{2}\ \text{N}$ , geleverd door de wrijving tussen band en weg (gericht naar het middelpunt van de bocht).

Veelgemaakte fouten

Een naar buiten gerichte „middelpuntvliedende kracht” in het krachtendiagram tekenen — de resulterende kracht wijst juist naar binnen.
De baansnelheid en de omlooptijd verwarren of $v=2\pi r/T$ verkeerd toepassen (bijvoorbeeld de omtrek vergeten).

Actieve herhaling

Een auto van $1{,}2\cdot10^{3}\ \text{kg}$ rijdt met $20\ \text{m/s}$ door een bocht met straal $80\ \text{m}$ . Bereken de benodigde middelpuntzoekende kracht en leg uit welke kracht deze levert.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma natuurkunde vwo — subdomein C1 (cirkelbeweging) (CvTE / Examenblad)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / Examenblad

Examenprogramma natuurkunde vwo — subdomein C1 (kracht en beweging)

Kracht en beweging (vectoren, wetten van Newton)

Kernpunten

Remweg met de tijdloze relatie

Kernpunten

Versnelling en normaalkracht

Kernpunten

Afglijden van een wrijvingsloze helling

Kernpunten

Kracht in een bocht

Bronnen

Kracht en beweging (vectoren, wetten van Newton)

Kernpunten

Remweg met de tijdloze relatie

Kernpunten

Versnelling en normaalkracht

Kernpunten

Afglijden van een wrijvingsloze helling

Kernpunten

Kracht in een bocht

Bronnen