Samenvattingen · NatuurkundeNL · VWO

Vaardigheden (rekenen met vectoren, onderzoeken, modelleren)

Domein A is het gereedschap dat onder elke natuurkundeopgave ligt: rekenen met grootheden, eenheden en significante cijfers, het ontbinden en samenstellen van vectoren, het aflezen van helling en oppervlakte in grafieken en het bouwen van modellen. Deze vaardigheden worden in het centraal examen niet los getoetst, maar verweven met alle andere subdomeinen — een fout in eenheden of in een vectorontbinding kost daar net zo goed punten.

4 Onderdelen~15 min leestijd4 VaardighedenNiveau Basis 1 · Standaard 2 · Verdieping 1

T·0111 / 17

Examenprofiel

A · Rekenen met grootheden, eenheden (SI) en significante cijfersA · Vectoren ontbinden en samenstellenA · Grafieken lezen, tekenen en interpreteren (helling en oppervlakte)A · Modelleren en numeriek rekenen met differentievergelijkingen

Operatoren:berekenbepaalleg uitverklaarleid aftekenschat

basisniveau

Alle profielen (nt en ng) beheersen de vaardigheden van domein A; ze worden in het CE verweven met elk onderwerp getoetst.

verhoogd niveau

Modelleren met differentievergelijkingen en het kwantitatief omgaan met meetonzekerheid krijgen in nt en in de profielverdieping meer nadruk.

Diepte

Tekst

Inhoud · 4 onderdelen

Vaardigheden (rekenen met vectoren, onderzoeken, modelleren)

Grootheden, eenheden en significante cijfers#

Basisexamenblad-natuurkunde-A

Een natuurkundige uitkomst bestaat altijd uit een getal én een eenheid; het getal alleen is betekenisloos. Grootheden (zoals lengte

l

, tijd

t

, massa

m

) worden uitgedrukt in SI-eenheden: de meter (m), de seconde (s), de kilogram (kg), de ampère (A), de kelvin (K), de mol (mol) en de candela (cd). Alle andere eenheden zijn hiervan afgeleid: een newton is

1\ \text{N}=1\ \text{kg}\,\text{m}\,\text{s}^{-2}

, een joule is

1\ \text{J}=1\ \text{N}\,\text{m}

, een watt is

1\ \text{W}=1\ \text{J}\,\text{s}^{-1}

. Wie een formule invult met alle grootheden in SI-eenheden, krijgt het antwoord vanzelf in de juiste SI-eenheid — dat is meteen een controle op de opzet. In Afb. 1 staan de veelgebruikte voorvoegsels als machten van tien op een getallenlijn; ze verschuiven de komma, niet de fysica.

SI-voorvoegsels als machten van tien

Afb. 1Afb. 1 — Voorvoegsels verschuiven alleen de komma: elk is een macht van tien.

Voorvoegsels (prefixen) zijn afkortingen voor machten van tien: milli (

10^{-3}

), micro (

10^{-6}

), nano (

10^{-9}

), maar ook kilo (

10^{3}

), mega (

10^{6}

) en giga (

10^{9}

). Reken bij het invullen altijd eerst álles om naar SI-grondeenheden:

5{,}0\ \text{mA}=5{,}0\cdot10^{-3}\ \text{A}

2{,}0\ \text{km}=2{,}0\cdot10^{3}\ \text{m}

18\ \text{km/h}=18/3{,}6=5{,}0\ \text{m/s}

. Een verraderlijk geval is de omrekening van km/h naar m/s (delen door 3,6) en het kwadrateren van eenheden: een oppervlakte van

1\ \text{cm}^2

1\cdot(10^{-2}\ \text{m})^2=10^{-4}\ \text{m}^2

, niet

10^{-2}\ \text{m}^2

Significante cijfers geven weer hoe nauwkeurig een getal bekend is. Alle cijfers die je opschrijft tellen mee, behalve voorloopnullen:

0{,}0340

heeft drie significante cijfers (de 3, de 4 en de afsluitende 0). Bij vermenigvuldigen en delen heeft het eindantwoord evenveel significante cijfers als het minst nauwkeurige gegeven; bij optellen en aftrekken kijk je naar het aantal decimalen. Reken tussenstappen met een extra cijfer door en rond pas op het eind af, zodat afrondingsfouten zich niet opstapelen. Een antwoord als „

v=6{,}7386\ \text{m/s}

” uit gegevens met twee significante cijfers is dus onterecht precies — het hoort

6{,}7\ \text{m/s}

te zijn.

Naast precisie helpt een orde-van-groottecontrole je grove fouten te vangen. Schrijf een groot of klein getal in de wetenschappelijke notatie

a\cdot10^{n}

met

1\le a<10

: de lichtsnelheid is

3{,}00\cdot10^{8}\ \text{m/s}

, de elementaire lading

1{,}60\cdot10^{-19}\ \text{C}

. Vraag je bij elk antwoord af of de orde van grootte klopt: een auto van

3\cdot10^{5}\ \text{m/s}

zou een derde van de lichtsnelheid rijden — onmogelijk, dus er zit een rekenfout in. BINAS is je vaste naslagwerk voor constanten, eenheden en stofgegevens; leer waar je de dichtheidstabel, de constanten en de eenhedenlijst vindt, want zoektijd is examentijd.

1\ \text{N} = 1\ \text{kg}\,\text{m}\,\text{s}^{-2}, \quad 1\ \text{J} = 1\ \text{N}\,\text{m}, \quad 1\ \text{W} = 1\ \text{J}\,\text{s}^{-1}

Afgeleide SI-eenheden

Elke afgeleide eenheid is terug te voeren op de zeven grondeenheden; invullen in SI geeft het antwoord in SI.

v\,[\text{m/s}] = \frac{v\,[\text{km/h}]}{3{,}6}

km/h naar m/s

1 km/h = 1000 m / 3600 s = 1/3,6 m/s.

Uitgewerkt voorbeeld

Omrekenen en significante cijfers

Een auto rijdt met $72\ \text{km/h}$ . De motor levert een nuttig vermogen van $18\ \text{kW}$ . Bereken de snelheid in m/s en druk het vermogen uit in SI-grondeenheden.

Snelheid omrekenen
Deel door 3,6 om van km/h naar m/s te gaan.
$v = \frac{72}{3{,}6} = 20\ \text{m/s}$
Vermogen in SI
18 kW is $18\cdot10^{3}\ \text{W}$ ; een watt is J/s = kg m^2 s^-3.
$P = 1{,}8\cdot10^{4}\ \text{W} = 1{,}8\cdot10^{4}\ \text{kg}\,\text{m}^2\,\text{s}^{-3}$
Significante cijfers
De gegevens hebben twee significante cijfers, dus de antwoorden ook.
$v = 20\ \text{m/s}, \quad P = 1{,}8\cdot10^{4}\ \text{W}$

Resultaat: $v = 20\ \text{m/s}$ en $P = 1{,}8\cdot10^{4}\ \text{W}$ , beide met twee significante cijfers.

Veelgemaakte fouten

km/h niet naar m/s omrekenen (delen door 3,6 vergeten), of oppervlakte-/volume-eenheden verkeerd omrekenen (vergeten dat de factor gekwadrateerd of tot de derde macht gaat).
Het eindantwoord met te veel significante cijfers geven — vaak gewoon het hele display van de rekenmachine overschrijven — terwijl de gegevens maar twee of drie cijfers nauwkeurig zijn.

Actieve herhaling

Een fietser legt $1{,}5\ \text{km}$ af in $4{,}0\ \text{min}$ . Bereken haar gemiddelde snelheid in m/s met het juiste aantal significante cijfers, en controleer of de orde van grootte redelijk is voor een fietser.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma natuurkunde vwo — domein A (vaardigheden) (CvTE / Examenblad)

Vectoren ontbinden en samenstellen#

Standaardexamenblad-natuurkunde-A

Ontbinding van een kracht in componenten

Afb. 2Afb. 1 — De kracht

\vec{F}=10\ \text{N}

onder

30^\circ

ontbonden:

F_x=8{,}7\ \text{N}

F_y=5{,}0\ \text{N}

Grootheden met een richting — kracht, snelheid, versnelling, verplaatsing, impuls — zijn vectoren. Je stelt ze grafisch samen met de kop-staartmethode (de tweede vector begint waar de eerste eindigt; de resultante loopt van het eerste begin naar het laatste eind) of met de parallellogrammethode. In Afb. 1 zie je hoe één kracht

\vec{F}

ontbonden wordt in een horizontale component

F_x

en een verticale component

F_y

: samen vormen ze precies dezelfde uitwerking als

\vec{F}

zelf. Ontbinden en samenstellen zijn elkaars omgekeerde bewerkingen.

Rekenen met vectoren gaat het handigst via componenten. Kies een assenstelsel (meestal

x

horizontaal,

y

verticaal, of langs en loodrecht op een helling) en projecteer elke vector: bij een hoek

\theta

met de

x

-as geldt

F_x=F\cos\theta

F_y=F\sin\theta

. De grootte van de resultante volgt uit de stelling van Pythagoras,

F=\sqrt{F_x^{2}+F_y^{2}}

, en de richting uit

\tan\theta=F_y/F_x

. Let op welke component de cosinus krijgt: dat is altijd de component langs de as waarmee je de hóek meet.

Bij het optellen van meerdere vectoren tel je de

x

-componenten bij elkaar op en de

y

-componenten apart bij elkaar op:

F_{x,\text{res}}=\sum F_{i,x}

F_{y,\text{res}}=\sum F_{i,y}

. Zo reduceer je een tekening vol pijlen tot twee gewone sommen. Dit is precies wat je doet bij een krachtenevenwicht: in evenwicht is de som van de

x

-componenten nul én de som van de

y

-componenten nul. Twee scalaire vergelijkingen vervangen dan de hele vectortekening.

Een veelvoorkomende situatie is de hellende ondergrond. Dan kies je de assen niet horizontaal/verticaal maar langs de helling en loodrecht erop, omdat de beweging langs de helling plaatsvindt. De zwaartekracht

\vec{F}_z

ontbindt dan in een component langs de helling,

F_z\sin\alpha

(die de kist naar beneden trekt), en een component loodrecht op de helling,

F_z\cos\alpha

(die de normaalkracht bepaalt). Bij hoek

\alpha=0

(vlakke grond) is de hellingcomponent nul en de normaalcomponent maximaal — een goede controle op je ontbinding.

F_x = F\cos\theta, \qquad F_y = F\sin\theta

Ontbinden in componenten

Projecteer de vector op de assen; de hoek wordt gemeten vanaf de as met de cosinus.

F = \sqrt{F_x^{2}+F_y^{2}}, \qquad \tan\theta = \frac{F_y}{F_x}

Samenstellen tot resultante

Grootte via Pythagoras, richting via de tangens van de componenten.

Uitgewerkt voorbeeld

Twee krachten samenstellen

Op een punt werken twee krachten: $\vec{F}_1=6{,}0\ \text{N}$ langs de positieve $x$ -as en $\vec{F}_2=8{,}0\ \text{N}$ langs de positieve $y$ -as. Bereken de grootte en de richting van de resulterende kracht.

Componenten optellen
De krachten staan al langs de assen, dus $F_x=6{,}0\ \text{N}$ en $F_y=8{,}0\ \text{N}$ .
Grootte via Pythagoras
Gebruik de stelling van Pythagoras.
$F = \sqrt{6{,}0^{2}+8{,}0^{2}} = \sqrt{100} = 10\ \text{N}$
Richting
De hoek met de x-as volgt uit de tangens.
$\theta = \arctan\frac{8{,}0}{6{,}0} = 53^\circ$

Resultaat: De resultante is $10\ \text{N}$ onder een hoek van $53^\circ$ met de positieve $x$ -as.

Veelgemaakte fouten

De sinus en cosinus verwisselen bij het ontbinden — de component langs de as waarmee je de hoek meet, krijgt de cosinus, de andere de sinus.
Vectoren als gewone getallen bij elkaar optellen (de groottes optellen) in plaats van via componenten; dat klopt alleen als de vectoren precies dezelfde richting hebben.

Actieve herhaling

Een kist wordt over een vlakke vloer getrokken met een touw dat een kracht van $F=80\ \text{N}$ uitoefent onder een hoek van $30^\circ$ met de horizontaal. Bereken de horizontale trekkracht op de kist en de verticale component die het gewicht op de vloer vermindert.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma natuurkunde vwo — domein A (vaardigheden) (CvTE / Examenblad)

Grafieken: helling en oppervlakte#

Standaardexamenblad-natuurkunde-A

v,t-diagram: helling is versnelling, oppervlakte is afstand

Afb. 3Afb. 1 — De helling van de

v,t

-lijn is de versnelling; het gearceerde oppervlak is de afgelegde afstand

s

Een grafiek draagt twee soorten informatie die je moet leren aflezen: de helling (steilheid) en de oppervlakte onder de lijn. De betekenis van beide volgt uit de grootheden op de assen. In een

v,t

-diagram (Afb. 1) is de helling

\Delta v/\Delta t

de versnelling

a

, en de oppervlakte onder de lijn (grootheid

v

maal grootheid

t

) de afgelegde afstand

s

. In een

x,t

-diagram is de helling juist de snelheid. Vraag je bij elke grafiek af: wat betekent (y-eenheid

\times

x-eenheid) fysisch, en wat betekent (y-eenheid gedeeld door x-eenheid)?

De hélling in een punt is de raaklijn: teken de raaklijn zo lang mogelijk, lees twee ver uit elkaar liggende punten af en deel

\Delta y

door

\Delta x

. Kies daarbij afleespunten op de roosterlijnen, niet vlak bij elkaar, anders wordt de afleesfout groot. Bij een rechte lijn is de helling overal gelijk en gelijk aan het richtingscoëfficiënt; bij een kromme verandert de helling van punt tot punt. De helling heeft altijd een eenheid: in een

v,t

-diagram is dat

\text{m/s}

per

\text{s}=\text{m/s}^2

De oppervlakte onder een grafiek bereken je met de meetkunde van het gebied: bij een rechte lijn met een driehoek en/of rechthoek, bij een kromme door hokjes te tellen of de oppervlakte in stroken te verdelen. De oppervlakte heeft de eenheid (y-eenheid

\times

x-eenheid). In een

F,x

-diagram is de oppervlakte de arbeid

W

(in J); in een

v,t

-diagram de verplaatsing (in m); in een

P,t

-diagram (vermogen tegen tijd) de energie (in J). Ligt de lijn onder de as, dan telt die oppervlakte negatief.

Veel natuurkundige verbanden worden pas duidelijk na lineariseren: je zet niet

y

tegen

x

uit, maar een bewerkte grootheid, zodat een rechte lijn ontstaat. Vermoed je

y=a\cdot x^{2}

, zet dan

y

tegen

x^{2}

uit; vermoed je

y=b/x

, zet dan

y

tegen

1/x

uit; bij een exponentieel verband

y=y_0\cdot g^{x}

zet je

\ln y

tegen

x

uit. Een rechte lijn door de meetpunten bevestigt dan het vermoede verband, en uit de richtingscoëfficiënt haal je de gezochte constante. Deze techniek is de kern van vrijwel elk practicum en van veel examenvragen over meetgegevens.

a = \frac{\Delta v}{\Delta t} \quad (\text{helling in een } v,t\text{-diagram})

Helling = versnelling

De richtingscoëfficiënt van de v,t-lijn is de versnelling.

s = \text{oppervlakte onder de } v,t\text{-lijn}

Oppervlakte = verplaatsing

De oppervlakte tussen lijn en tijd-as is de afgelegde afstand.

Uitgewerkt voorbeeld

Helling en oppervlakte aflezen

Een fietser versnelt eenparig: de $v,t$ -lijn loopt recht van $2{,}0\ \text{m/s}$ (bij $t=0$ ) naar $8{,}0\ \text{m/s}$ (bij $t=4{,}0\ \text{s}$ ). Bepaal de versnelling en de afgelegde afstand.

Helling = versnelling
Deel de toename van de snelheid door de tijd.
$a = \frac{8{,}0-2{,}0}{4{,}0} = 1{,}5\ \text{m/s}^2$
Oppervlakte onder de lijn
Het gebied is een trapezium: gemiddelde hoogte maal breedte.
$s = \frac{2{,}0+8{,}0}{2}\cdot 4{,}0 = 20\ \text{m}$

Resultaat: De versnelling is $1{,}5\ \text{m/s}^2$ en de fietser legt $20\ \text{m}$ af.

Veelgemaakte fouten

De helling van een kromme aflezen door twee dicht bij elkaar liggende punten te gebruiken of de raaklijn te kort te tekenen — dat vergroot de afleesfout sterk.
De oppervlakte of helling zonder eenheid opschrijven, of de verkeerde fysische grootheid eraan koppelen (bijvoorbeeld helling en oppervlakte verwisselen).

Actieve herhaling

In een $v,t$ -diagram neemt de snelheid van een auto rechtlijnig toe van $0$ tot $30\ \text{m/s}$ in $12\ \text{s}$ . Bepaal met de grafiek de versnelling (helling) en de afgelegde afstand (oppervlakte).

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma natuurkunde vwo — domein A (vaardigheden) (CvTE / Examenblad)

Modelleren met differentievergelijkingen#

Verdiepingexamenblad-natuurkunde-A

Valsnelheid met luchtweerstand nadert de grenssnelheid

Afb. 4Afb. 1 — Modeluitkomst: de snelheid kruipt naar de grenssnelheid (hier

30\ \text{m/s}

) waar de luchtweerstand de zwaartekracht opheft.

Veel processen zijn niet met één formule op te lossen, maar wél stap voor stap te berekenen. Een rekenmodel verdeelt de tijd in kleine stapjes

\Delta t

en werkt de grootheden telkens een stapje bij met een differentievergelijking, bijvoorbeeld

v_{\text{nieuw}}=v_{\text{oud}}+a\cdot\Delta t

x_{\text{nieuw}}=x_{\text{oud}}+v\cdot\Delta t

. De versnelling

a

volgt elke stap opnieuw uit de tweede wet van Newton met de op dat moment geldende krachten. In Afb. 1 zie je het typische resultaat van zo'n model: een valsnelheid die door de luchtweerstand naar een eindwaarde (de grenssnelheid) toe kruipt in plaats van eindeloos door te stijgen.

De kern is het herhalen (itereren) van een vast recept. Je begint bij de beginwaarden (

t=0

x_0

v_0

), berekent de kracht en dus de versnelling, werkt snelheid en plaats bij, verhoogt de tijd met

\Delta t

en begint opnieuw. Zulke modellen draai je met de grafische rekenmachine, met een modelleerprogramma (zoals Coach) of met een spreadsheet. Het geeft toegang tot problemen die analytisch te lastig zijn: beweging met luchtwrijving, een slingerend of trillend systeem met demping, opladen van een condensator, of radioactief verval.

De grootte van de stap

\Delta t

bepaalt de nauwkeurigheid. Een te grote stap geeft een grove, soms zelfs kwalitatief foute uitkomst (de grafiek gaat schokken of divergeren); een kleinere stap benadert de werkelijkheid beter, maar kost meer rekenstappen. Een goede werkwijze is het model twee keer te draaien met verschillende stapgroottes en te kijken of de uitkomst nog noemenswaardig verandert — verandert die nauwelijks, dan is je stap klein genoeg. Zo maak je een bewuste afweging tussen nauwkeurigheid en rekentijd.

Een model is een vereenvoudiging van de werkelijkheid en staat of valt met zijn aannames. Verwaarloos je de luchtweerstand, dan geldt je model alleen bij lage snelheden; neem je een constante

g

, dan geldt het alleen dicht bij het aardoppervlak. Bij het interpreteren hoort dus altijd een controle: klopt de beginwaarde, gaat het systeem naar een fysisch redelijke eindtoestand, en komt het model overeen met een meting of met een bekende analytische oplossing in het geval waarvoor die bestaat? Modelleren, meten en analytisch rekenen versterken elkaar — dat is precies wat domein A vraagt.

v_{n+1} = v_n + a_n\,\Delta t, \qquad x_{n+1} = x_n + v_n\,\Delta t

Differentiemodel (numerieke integratie)

Werk snelheid en plaats stap voor stap bij; de versnelling volgt elke stap uit Newton.

a_n = \frac{F_{\text{res}}(v_n)}{m}

Versnelling per stap

De resulterende kracht (en dus de versnelling) hangt van de actuele toestand af.

Uitgewerkt voorbeeld

Twee stappen van een valmodel

Een balletje valt vanuit rust; de versnelling is $a=g-0{,}20\,v$ met $g=9{,}81\ \text{m/s}^2$ . Bereken met $\Delta t=1{,}0\ \text{s}$ de snelheid na de eerste en na de tweede tijdstap.

Stap 1: versnelling bij v=0
Bij $v_0=0$ is de luchtweerstand nog nul.
$a_0 = 9{,}81-0{,}20\cdot 0 = 9{,}81\ \text{m/s}^2$
Snelheid bijwerken
Gebruik $v_1=v_0+a_0\Delta t$ .
$v_1 = 0 + 9{,}81\cdot 1{,}0 = 9{,}8\ \text{m/s}$
Stap 2: versnelling bij v₁
Nu remt de luchtweerstand al mee.
$a_1 = 9{,}81-0{,}20\cdot 9{,}81 = 7{,}85\ \text{m/s}^2$
Snelheid opnieuw bijwerken
Gebruik $v_2=v_1+a_1\Delta t$ .
$v_2 = 9{,}81 + 7{,}85\cdot 1{,}0 = 18\ \text{m/s}$

Resultaat: $v_1\approx 9{,}8\ \text{m/s}$ en $v_2\approx 18\ \text{m/s}$ ; de toename per stap wordt kleiner omdat de luchtweerstand groeit — de snelheid nadert de grenssnelheid $g/0{,}20\approx 49\ \text{m/s}$ .

Veelgemaakte fouten

In de bijwerkregels de oude en nieuwe waarden door elkaar halen, of vergeten dat de versnelling elke stap opnieuw uit de actuele krachten volgt.
Denken dat een kleinere $\Delta t$ het model automatisch „waar” maakt — de uitkomst blijft begrensd door de aannames van het model, niet alleen door de stapgrootte.

Actieve herhaling

Een parachutist valt met beginwaarde $v_0=0$ . De versnelling is $a=g-\dfrac{k}{m}v$ met $g=9{,}81\ \text{m/s}^2$ , $k/m=0{,}20\ \text{s}^{-1}$ . Bereken met $\Delta t=1{,}0\ \text{s}$ de snelheid na twee tijdstappen en leg uit waarom de snelheid naar een grenswaarde toe gaat.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma natuurkunde vwo — domein A (modelleren) (CvTE / Examenblad)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / Examenblad

Examenprogramma natuurkunde vwo — domein A (vaardigheden)

Vaardigheden (rekenen met vectoren, onderzoeken, modelleren)

Kernpunten

Omrekenen en significante cijfers

Kernpunten

Twee krachten samenstellen

Kernpunten

Helling en oppervlakte aflezen

Kernpunten

Twee stappen van een valmodel

Bronnen

Vaardigheden (rekenen met vectoren, onderzoeken, modelleren)

Kernpunten

Omrekenen en significante cijfers

Kernpunten

Twee krachten samenstellen

Kernpunten

Helling en oppervlakte aflezen

Kernpunten

Twee stappen van een valmodel

Bronnen