Samenvattingen · NatuurkundeNL · VWO

Energie en wisselwerking (arbeid, energie, warmte)

Subdomein C2 bekijkt beweging en wisselwerking vanuit de energie in plaats van vanuit de kracht. De centrale gedachte is de wet van behoud van energie: energie gaat niet verloren maar zet om van de ene vorm in de andere. Arbeid is de maat voor die omzetting, vermogen de snelheid ervan, en het rendement geeft aan welk deel nuttig wordt gebruikt.

4 Onderdelen~13 min leestijd4 VaardighedenNiveau Basis 1 · Standaard 3

T·0333 / 17

Examenprofiel

C2 · Arbeid, vermogen en de betekenis van energieomzettingC2 · Kinetische en potentiële energie en de wet van behoud van energieC2 · Veerenergie en arbeid als oppervlakte onder een F,x-diagramC2 · Warmte, rendement en energieketens

Operatoren:berekenbepaalleg uitverklaartoon aan

basisniveau

Energie en behoud van energie is CE-kernstof voor nt en ng; het opstellen van een energiebalans is een standaardvaardigheid.

verhoogd niveau

In nt komt de koppeling met arbeid als oppervlakte (variabele kracht, veerenergie) en met rendement van machines uitgebreider terug.

Diepte

Tekst

Inhoud · 4 onderdelen

Energie en wisselwerking (arbeid, energie, warmte)

Arbeid en vermogen#

Basisexamenblad-natuurkunde-C2

Arbeid

W

is de energie die een kracht overdraagt terwijl zijn aangrijpingspunt verplaatst. Voor een constante kracht in de bewegingsrichting geldt

W=F\cdot s

; werkt de kracht onder een hoek

\theta

met de verplaatsing, dan telt alleen de component in de bewegingsrichting mee:

W=F\,s\cos\theta

. Arbeid heeft de eenheid joule (

1\ \text{J}=1\ \text{N}\,\text{m}

). In Afb. 1 is de arbeid van een constante kracht de rechthoekige oppervlakte onder het

F,s

-diagram — een beeld dat je later uitbreidt naar variabele krachten.

Arbeid als oppervlakte onder een F,s-diagram (constante kracht)

Afb. 1Afb. 1 — Bij een constante kracht is de arbeid de rechthoekige oppervlakte

F\cdot s

onder het

F,s

-diagram.

Een kracht loodrecht op de verplaatsing verricht géén arbeid, want

\cos 90^\circ=0

. Zo verricht de normaalkracht op een horizontaal glijdend blok geen arbeid, en verricht de middelpuntzoekende kracht bij een cirkelbeweging geen arbeid — daarom blijft de snelheid daar constant. Arbeid kan ook negatief zijn: als de kracht tegen de beweging in werkt (zoals wrijving), is

\theta=180^\circ

W<0

; die kracht onttrekt dan energie aan het bewegende voorwerp.

Vermogen

P

is de snelheid waarmee arbeid wordt verricht of energie wordt omgezet:

P=\dfrac{W}{t}=\dfrac{E}{t}

, met eenheid watt (

1\ \text{W}=1\ \text{J/s}

). Twee machines die dezelfde arbeid leveren, maar de ene sneller dan de andere, verschillen in vermogen, niet in arbeid. Voor een voorwerp dat met snelheid

v

beweegt onder een kracht

F

in de bewegingsrichting geldt de handige vorm

P=F\cdot v

, want

P=\dfrac{F\,s}{t}=F\,\dfrac{s}{t}

Deze grootheden hangen samen via de energie-eenheid. Een gangbare praktische eenheid van energie is de kilowattuur:

1\ \text{kWh}=1000\ \text{W}\times 3600\ \text{s}=3{,}6\cdot10^{6}\ \text{J}

. Reken bij vermogensvragen altijd de tijd om naar seconden en de energie naar joule voordat je invult. Een veelvoorkomende toepassing is het bepalen van het vermogen dat nodig is om een voorwerp met constante snelheid tegen wrijving of zwaartekracht in te bewegen: dan is

P=F\cdot v

met

F

de kracht die je moet leveren.

W = F\,s\cos\theta

Arbeid van een kracht

Alleen de krachtcomponent in de bewegingsrichting verricht arbeid.

P = \frac{W}{t} = \frac{E}{t}, \qquad P = F\,v

Vermogen

De snelheid van energieomzetting; P = F·v bij beweging met snelheid v.

Uitgewerkt voorbeeld

Vermogen van een trap oplopen

Een leerling van $60\ \text{kg}$ loopt een trap van $4{,}0\ \text{m}$ hoogte op in $5{,}0\ \text{s}$ . Bereken de arbeid tegen de zwaartekracht en het geleverde vermogen ( $g=9{,}81\ \text{m/s}^2$ ).

Zwaartekracht
Bereken $F_z=mg$ .
$F_z = 60\cdot 9{,}81 = 5{,}9\cdot10^{2}\ \text{N}$
Arbeid
De verplaatsing is verticaal, dus $W=F_z\cdot h$ .
$W = 5{,}89\cdot10^{2}\cdot 4{,}0 = 2{,}4\cdot10^{3}\ \text{J}$
Vermogen
Deel de arbeid door de tijd.
$P = \frac{2{,}35\cdot10^{3}}{5{,}0} = 4{,}7\cdot10^{2}\ \text{W}$

Resultaat: De arbeid is $2{,}4\cdot10^{3}\ \text{J}$ en het vermogen $4{,}7\cdot10^{2}\ \text{W}$ .

Veelgemaakte fouten

De hoek in $W=Fs\cos\theta$ negeren en zo de arbeid van een schuine kracht overschatten.
Vermogen en energie (arbeid) door elkaar halen, of de tijd niet naar seconden omrekenen.

Actieve herhaling

Een hijskraan tilt een last van $8{,}0\cdot10^{2}\ \text{kg}$ met constante snelheid $12\ \text{m}$ omhoog in $6{,}0\ \text{s}$ . Bereken de verrichte arbeid en het geleverde vermogen ( $g=9{,}81\ \text{m/s}^2$ ).

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma natuurkunde vwo — subdomein C2 (arbeid en vermogen) (CvTE / Examenblad)

Kinetische en potentiële energie, behoud#

Standaardexamenblad-natuurkunde-C2

Omzetting van zwaarte- in kinetische energie (behoud)

Afb. 2Afb. 1 — Tijdens de val neemt

E_{\text{zw}}

af en

E_{\text{kin}}

toe; hun som blijft constant (

100\ \text{J}

De twee mechanische energievormen zijn de kinetische energie (bewegingsenergie)

E_{\text{kin}}=\tfrac{1}{2}m\,v^{2}

en de zwaarte-energie (potentiële energie in het zwaartekrachtveld)

E_{\text{zw}}=m\,g\,h

, met

h

de hoogte boven een gekozen nulniveau. De kinetische energie groeit met het kwádraat van de snelheid: bij een twee keer zo grote snelheid is de bewegingsenergie vier keer zo groot — de reden dat de remweg van een auto zo sterk toeneemt met de snelheid.

De wet van behoud van energie zegt dat energie niet ontstaat of verdwijnt, maar alleen van vorm verandert. Voor een systeem zonder wrijving betekent dit dat de som van kinetische en potentiële energie constant blijft:

E_{\text{kin}}+E_{\text{zw}}=

constant. In Afb. 1 zie je bij een vallend voorwerp hoe de zwaarte-energie afneemt terwijl de kinetische energie precies evenveel toeneemt; hun som blijft op elke hoogte gelijk. Dit levert een krachtig rekengereedschap: je hoeft niet de hele beweging te volgen, alleen begin- en eindtoestand te vergelijken.

Met de energiebalans los je snelheden op zonder de tijd te gebruiken. Voor een voorwerp dat vanuit rust een hoogte

h

valt, geldt

m g h=\tfrac{1}{2}m v^{2}

, waaruit

v=\sqrt{2gh}

volgt — de massa valt weg, precies zoals bij de vrije val. Bij een achtbaan, een slinger of een skiër vergelijk je twee punten:

\tfrac{1}{2}mv_1^{2}+mgh_1=\tfrac{1}{2}mv_2^{2}+mgh_2

. Zolang de wrijving verwaarloosbaar is, hoef je de baanvorm niet te kennen, alleen het hoogteverschil.

Is er wél wrijving of luchtweerstand, dan is de mechanische energie niet behouden: een deel wordt omgezet in warmte. De algemene energiebalans wordt dan

E_{\text{begin}}=E_{\text{eind}}+E_{\text{warmte}}

, waarbij de „verloren” mechanische energie gelijk is aan de (negatieve) arbeid van de wrijvingskracht:

E_{\text{warmte}}=F_w\cdot s

. De totale energie (inclusief warmte) blíjft behouden — energie gaat nooit echt verloren, ze wordt alleen minder bruikbaar. Dit onderscheid tussen behoud van mechanische energie en behoud van totale energie is een kernpunt van het examen.

E_{\text{kin}} = \tfrac{1}{2}m\,v^{2}, \qquad E_{\text{zw}} = m\,g\,h

Mechanische energievormen

Bewegingsenergie en zwaarte-energie ten opzichte van een nulniveau.

\tfrac{1}{2}mv_1^{2}+mgh_1 = \tfrac{1}{2}mv_2^{2}+mgh_2

Behoud van mechanische energie

Zonder wrijving is de som van kinetische en potentiële energie constant.

E_{\text{begin}} = E_{\text{eind}} + F_w\cdot s

Energiebalans met wrijving

De verloren mechanische energie is de arbeid van de wrijvingskracht (warmte).

Uitgewerkt voorbeeld

Snelheid onder aan een baan

Een bal van $0{,}20\ \text{kg}$ rolt vanuit rust van een wrijvingsloze glijbaan met een hoogteverschil van $1{,}8\ \text{m}$ . Bereken de snelheid onderaan.

Energiebalans
Alle zwaarte-energie wordt kinetische energie.
$m g h = \tfrac{1}{2}m v^{2}$
Massa valt weg
Deel links en rechts door $m$ en los $v$ op.
$v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2\cdot 9{,}81\cdot 1{,}8}$
Uitrekenen
Bereken de wortel.
$v = \sqrt{35{,}3} = 5{,}9\ \text{m/s}$

Resultaat: De snelheid onderaan is $5{,}9\ \text{m/s}$ , onafhankelijk van de massa.

Veelgemaakte fouten

Vergeten dat de kinetische energie met het kwadraat van de snelheid gaat (dus $\tfrac12 m v^2$ , niet $\tfrac12 mv$ ).
Bij wrijving toch behoud van mechanische energie aannemen en de warmteterm weglaten.

Actieve herhaling

Een karretje van $0{,}50\ \text{kg}$ start vanuit rust boven aan een wrijvingsloze baan op $1{,}2\ \text{m}$ hoogte. Bereken de snelheid onderaan met behoud van energie ( $g=9{,}81\ \text{m/s}^2$ ).

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma natuurkunde vwo — subdomein C2 (behoud van energie) (CvTE / Examenblad)

Veerenergie en arbeid als oppervlakte#

Standaardexamenblad-natuurkunde-C2

F,u-diagram van een veer: energie is de driehoeksoppervlakte

Afb. 3Afb. 1 — De veerkracht is evenredig met de uitrekking; de driehoeksoppervlakte onder de lijn is de veerenergie

\tfrac12 Cu^2

Bij een variabele kracht is de arbeid niet meer simpelweg

F\cdot s

, maar de oppervlakte onder het

F,u

-diagram. Voor een ideale veer geldt de wet van Hooke: de veerkracht is recht evenredig met de uitrekking,

F_{\text{veer}}=C\cdot u

, met

C

de veerconstante (in N/m) en

u

de uitrekking. In Afb. 1 is dit een rechte lijn door de oorsprong; de oppervlakte eronder is een driehoek. Daaruit volgt de veerenergie

E_{\text{veer}}=\tfrac{1}{2}C\,u^{2}

— de energie die in de ingedrukte of uitgerekte veer is opgeslagen.

De driehoeksoppervlakte maakt de factor

\tfrac{1}{2}

meteen begrijpelijk: de oppervlakte van een driehoek met basis

u

en hoogte

F_{\max}=C\,u

\tfrac{1}{2}\cdot u\cdot C u=\tfrac{1}{2}C u^{2}

. Dezelfde redenering (arbeid = oppervlakte) gebruik je bij elke kracht die met de plaats verandert: verdeel het gebied in bekende meetkundige figuren of tel hokjes. Zo bereken je ook de arbeid van een niet-constante trekkracht of de energie die een uitgerekt elastiek levert.

De opgeslagen veerenergie kan volledig worden teruggegeven: laat je de veer los, dan zet de veerenergie zich om in kinetische energie van het bevestigde voorwerp. Dat maakt de veer tot een energieopslag en verbindt dit onderdeel met behoud van energie:

\tfrac{1}{2}C u^{2}=\tfrac{1}{2}m v^{2}

geeft de wegschietsnelheid van bijvoorbeeld een katapult of een verende buffer. In een verticaal veer-massasysteem combineer je bovendien veerenergie, zwaarte-energie en kinetische energie in één balans.

De veerconstante

C

bepaal je uit metingen: zet de veerkracht uit tegen de uitrekking en bepaal de richtingscoëfficiënt van de rechte lijn — die is

C

. Een stuggere veer heeft een grotere

C

en dus een steilere lijn; bij dezelfde uitrekking slaat hij meer energie op. Let op de geldigheidsgrens van de wet van Hooke: boven een bepaalde rek gaat een veer of materiaal plastisch (blijvend) vervormen en is de lijn niet langer recht — dan geldt de eenvoudige formule niet meer.

F_{\text{veer}} = C\,u

Wet van Hooke

De veerkracht is recht evenredig met de uitrekking u.

E_{\text{veer}} = \tfrac{1}{2}C\,u^{2}

Veerenergie

De driehoeksoppervlakte onder de F,u-lijn.

Uitgewerkt voorbeeld

Katapult met een veer

Een veer met $C=300\ \text{N/m}$ wordt $10\ \text{cm}$ ingedrukt en duwt een balletje van $40\ \text{g}$ weg. Bereken de veerenergie en de maximale snelheid van het balletje.

Veerenergie
Gebruik $E_{\text{veer}}=\tfrac12 Cu^2$ met $u=0{,}10\ \text{m}$ .
$E_{\text{veer}} = \tfrac{1}{2}\cdot 300\cdot 0{,}10^{2} = 1{,}5\ \text{J}$
Omzetten naar kinetische energie
Alle veerenergie wordt bewegingsenergie.
$\tfrac{1}{2}m v^{2} = 1{,}5\ \text{J}$
Snelheid oplossen
Los $v$ op met $m=0{,}040\ \text{kg}$ .
$v = \sqrt{\frac{2\cdot 1{,}5}{0{,}040}} = 8{,}7\ \text{m/s}$

Resultaat: De veerenergie is $1{,}5\ \text{J}$ en de wegschietsnelheid $8{,}7\ \text{m/s}$ .

Veelgemaakte fouten

De veerenergie berekenen als $F\cdot u$ (rechthoek) in plaats van $\tfrac12 Cu^2$ (driehoek), waardoor het antwoord twee keer te groot wordt.
De veerconstante en de veerkracht verwarren, of de wet van Hooke toepassen buiten het lineaire gebied.

Actieve herhaling

Een veer met veerconstante $C=250\ \text{N/m}$ wordt $8{,}0\ \text{cm}$ ingedrukt en schiet een blokje van $50\ \text{g}$ horizontaal weg. Bereken de opgeslagen veerenergie en de wegschietsnelheid (wrijving verwaarloosbaar).

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma natuurkunde vwo — subdomein C2 (arbeid en veerenergie) (CvTE / Examenblad)

Warmte, rendement en energieketens#

Standaardexamenblad-natuurkunde-C2

Energieketen van een verbrandingsmotor

Afb. 4Afb. 1 — Energieketen: van de chemische energie wordt een deel nuttige bewegingsenergie, de rest lekt als warmte weg.

Warmte is energie die door een temperatuurverschil van het ene voorwerp naar het andere stroomt. Om een stof van massa

m

in temperatuur te laten stijgen met

\Delta T

is een hoeveelheid warmte

Q=c\,m\,\Delta T

nodig, met

c

de soortelijke warmte van de stof (in

\text{J}\,\text{kg}^{-1}\,\text{K}^{-1}

; op te zoeken in BINAS). Water heeft een uitzonderlijk hoge soortelijke warmte, wat verklaart waarom het traag opwarmt en afkoelt en waarom het als koelmiddel en warmtebuffer wordt gebruikt.

Vrijwel elke energieomzetting kun je weergeven als een energieketen: een schema waarin de energie van vorm naar vorm stroomt, met bij elke stap een deel dat als (meestal ongewenste) warmte weglekt. In Afb. 1 stroomt de chemische energie van brandstof via een motor naar bewegingsenergie, terwijl een groot deel als warmte verloren gaat. Zo'n schema maakt zichtbaar waar energie „verdwijnt” — en dat ze in werkelijkheid niet verdwijnt maar minder bruikbaar wordt, in overeenstemming met het behoud van totale energie.

Het rendement

\eta

geeft aan welk deel van de toegevoerde energie nuttig wordt gebruikt:

\eta=\dfrac{E_{\text{nuttig}}}{E_{\text{toegevoerd}}}

, vaak uitgedrukt in procenten. Voor een continu proces geldt hetzelfde met vermogens:

\eta=\dfrac{P_{\text{nuttig}}}{P_{\text{toegevoerd}}}

. Een gloeilamp die het meeste in warmte omzet heeft een laag rendement voor licht; een elektromotor kan een hoog rendement halen. Het rendement is altijd kleiner dan 1 (100%), want een deel gaat onvermijdelijk als warmte verloren — een gevolg van de tweede hoofdwet van de thermodynamica.

Bij rendementsberekeningen is de energiebalans het houvast: de toegevoerde energie is de som van de nuttige energie en de verliezen,

E_{\text{toegevoerd}}=E_{\text{nuttig}}+E_{\text{verlies}}

. Vaak reken je met vermogens en tijd: uit een gegeven brandstofverbruik en verbrandingswarmte bereken je

E_{\text{toegevoerd}}

, uit de geleverde arbeid

E_{\text{nuttig}}

, en daaruit het rendement. Let op consistente eenheden — zet alles in joule en watt — en op het onderscheid tussen de energie per seconde (vermogen) en de totale energie.

Q = c\,m\,\Delta T

Warmte bij opwarmen

c is de soortelijke warmte (BINAS); ΔT is het temperatuurverschil in K.

\eta = \frac{E_{\text{nuttig}}}{E_{\text{toegevoerd}}} = \frac{P_{\text{nuttig}}}{P_{\text{toegevoerd}}}

Rendement

Het deel van de toegevoerde energie dat nuttig wordt gebruikt; altijd kleiner dan 1.

Uitgewerkt voorbeeld

Rendement van een waterkoker

Een waterkoker van $2{,}0\ \text{kW}$ verwarmt $0{,}40\ \text{kg}$ water van $20\,^\circ\text{C}$ naar $100\,^\circ\text{C}$ in $75\ \text{s}$ . Bereken het rendement ( $c=4{,}18\cdot10^{3}\ \text{J}\,\text{kg}^{-1}\,\text{K}^{-1}$ ).

Nuttige energie (warmte in het water)
Gebruik $Q=cm\Delta T$ met $\Delta T=80\ \text{K}$ .
$Q = 4{,}18\cdot10^{3}\cdot 0{,}40\cdot 80 = 1{,}34\cdot10^{5}\ \text{J}$
Toegevoerde energie
Vermogen maal tijd.
$E = P\,t = 2{,}0\cdot10^{3}\cdot 75 = 1{,}5\cdot10^{5}\ \text{J}$
Rendement
Deel nuttig door toegevoerd.
$\eta = \frac{1{,}34\cdot10^{5}}{1{,}5\cdot10^{5}} = 0{,}89 = 89\%$

Resultaat: Het rendement is ongeveer $89\%$ ; de rest gaat als warmte naar de kan en de omgeving.

Veelgemaakte fouten

Nuttige en toegevoerde energie verwisselen in $\eta=E_{\text{nuttig}}/E_{\text{toegevoerd}}$ , zodat een rendement groter dan 1 uitkomt.
Vermogen en energie mengen in dezelfde balans, of de temperatuur in graden Celsius verwarren met een temperatuurverschil in kelvin (het verschil is gelijk, maar de nulpunten niet).

Actieve herhaling

Een waterkoker levert $1{,}8\ \text{kW}$ en verwarmt $0{,}50\ \text{kg}$ water van $18\,^\circ\text{C}$ naar $100\,^\circ\text{C}$ in $2{,}0\cdot10^{2}\ \text{s}$ . Bereken het rendement ( $c_{\text{water}}=4{,}18\cdot10^{3}\ \text{J}\,\text{kg}^{-1}\,\text{K}^{-1}$ ).

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma natuurkunde vwo — subdomein C2 (warmte en rendement) (CvTE / Examenblad)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / Examenblad

Examenprogramma natuurkunde vwo — subdomein C2 (arbeid en vermogen)

Energie en wisselwerking (arbeid, energie, warmte)

Kernpunten

Vermogen van een trap oplopen

Kernpunten

Snelheid onder aan een baan

Kernpunten

Katapult met een veer

Kernpunten

Rendement van een waterkoker

Bronnen

Energie en wisselwerking (arbeid, energie, warmte)

Kernpunten

Vermogen van een trap oplopen

Kernpunten

Snelheid onder aan een baan

Kernpunten

Katapult met een veer

Kernpunten

Rendement van een waterkoker

Bronnen