Samenvattingen · NatuurkundeNL · VWO

Gravitatie (bewegingen in het heelal, gravitatiewisselwerking)

Subdomein C3 past de mechanica toe op het heelal. De gravitatiewet van Newton beschrijft de aantrekking tussen alle massa's; gecombineerd met de cirkelbeweging verklaart ze de banen van manen, planeten en satellieten. De wetten van Kepler en het begrip gravitatie-energie maken die banen kwantitatief hanteerbaar.

4 Onderdelen~12 min leestijd4 VaardighedenNiveau Standaard 2 · Verdieping 2

T·0444 / 17

Examenprofiel

C3 · De gravitatiewet van Newton en de gravitatieveldsterkteC3 · Cirkelbanen van satellieten en planeten (gravitatie als middelpuntzoekende kracht)C3 · De wetten van KeplerC3 · Gravitatie-energie en ontsnappingssnelheid

Operatoren:berekenbepaalleg uitverklaartoon aanleid af

basisniveau

De gravitatiewet en de cirkelbaan van een satelliet zijn CE-kernstof voor nt en ng.

verhoogd niveau

De afleiding van de baansnelheid uit $F_g=F_{\text{mpz}}$ en het rekenen met gravitatie-energie krijgen in nt meer diepgang.

Diepte

Tekst

Inhoud · 4 onderdelen

Gravitatie (bewegingen in het heelal, gravitatiewisselwerking)

De gravitatiewet van Newton#

Standaardexamenblad-natuurkunde-C3

Elke twee massa's trekken elkaar aan met een gravitatiekracht. Newton vatte dit in één wet:

F_g=G\dfrac{m_1 m_2}{r^{2}}

, met

G=6{,}67\cdot10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}

de gravitatieconstante,

m_1

m_2

de massa's en

r

de afstand tussen hun middelpunten. De kracht is voor beide voorwerpen even groot en tegengesteld gericht (derde wet van Newton), en werkt langs de verbindingslijn. In Afb. 1 zie je hoe snel de kracht afneemt met de afstand: het is een omgekeerd-kwadratisch verband.

Gravitatiekracht als omgekeerd-kwadratisch verband

Afb. 1Afb. 1 — De gravitatiekracht neemt af met

1/r^{2}

: bij dubbele afstand een kwart van de kracht.

Het omgekeerd-kwadratische karakter is de sleutel: verdubbel je de afstand, dan wordt de kracht vier keer zo klein; verdriedubbel je hem, negen keer. Dit volgt meetkundig doordat de „invloed” van een massa zich over een steeds groter boloppervlak (

4\pi r^{2}

) verspreidt. De kracht wordt nooit exact nul, hoe groot de afstand ook — de gravitatie heeft een oneindig bereik, zij het snel afnemend. Daarom houden de zon en verre planeten elkaar toch vast.

De gravitatieveldsterkte

g

op een plek is de kracht per kilogram:

g=\dfrac{F_g}{m}=G\dfrac{M}{r^{2}}

, met

M

de massa van het veroorzakende hemellichaam. Aan het aardoppervlak levert dit

g\approx 9{,}81\ \text{N/kg}

, precies de valversnelling — de veldsterkte in

\text{N/kg}

en de valversnelling in

\text{m/s}^2

zijn dezelfde grootheid. Hoe hoger je komt (grotere

r

), hoe kleiner

g

; op de baanhoogte van satellieten is

g

al merkbaar lager dan aan het oppervlak.

De gewichtloosheid van astronauten in een baan om de aarde is geen gevolg van „geen zwaartekracht” — die is er wel degelijk (anders zou er geen baan zijn). Ze zijn gewichtloos omdat ze samen met hun ruimtestation continu vrij vallen: de gravitatie levert precies de middelpuntzoekende kracht en er is geen normaalkracht van een vloer die het „gewicht” voelbaar maakt. Dit onderscheid tussen de aanwezige zwaartekracht en het gevoel van gewicht (de normaalkracht) is een klassiek examenpunt.

F_g = G\,\frac{m_1 m_2}{r^{2}}

Gravitatiewet van Newton

Aantrekking evenredig met de massa's en omgekeerd evenredig met het kwadraat van de afstand.

g = \frac{F_g}{m} = G\,\frac{M}{r^{2}}

Gravitatieveldsterkte

De kracht per kilogram; aan het aardoppervlak 9,81 N/kg.

Uitgewerkt voorbeeld

Kracht op een satelliet

Bereken de gravitatiekracht van de aarde ( $M=5{,}97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ ) op een satelliet van $8{,}0\cdot10^{2}\ \text{kg}$ in een baan met straal $7{,}0\cdot10^{6}\ \text{m}$ .

Formule
Gebruik de gravitatiewet.
$F_g = G\frac{M\,m}{r^{2}}$
Invullen
Vul $G$ , $M$ , $m$ en $r$ in.
$F_g = 6{,}67\cdot10^{-11}\cdot\frac{5{,}97\cdot10^{24}\cdot 8{,}0\cdot10^{2}}{(7{,}0\cdot10^{6})^{2}}$
Uitrekenen
Bereken teller en noemer.
$F_g = \frac{3{,}19\cdot10^{17}}{4{,}9\cdot10^{13}} = 6{,}5\cdot10^{3}\ \text{N}$

Resultaat: De gravitatiekracht is $6{,}5\cdot10^{3}\ \text{N}$ , gericht naar het middelpunt van de aarde.

Veelgemaakte fouten

De afstand $r$ niet kwadrateren, of $r$ vanaf het oppervlak meten in plaats van vanaf het middelpunt van het hemellichaam.
Denken dat er in een baan om de aarde geen zwaartekracht is; ze is juist de kracht die de baan veroorzaakt.

Actieve herhaling

Bereken de gravitatiekracht tussen de aarde ( $M=5{,}97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ ) en een satelliet van $1{,}2\cdot10^{3}\ \text{kg}$ op $3{,}0\cdot10^{5}\ \text{m}$ hoogte (straal aarde $6{,}37\cdot10^{6}\ \text{m}$ ).

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma natuurkunde vwo — subdomein C3 (gravitatie) (CvTE / Examenblad)

Cirkelbanen van satellieten en planeten#

Standaardexamenblad-natuurkunde-C3

Satelliet in een cirkelbaan om de aarde

Afb. 2Afb. 1 — De gravitatiekracht

\vec{F}_g

naar de aarde vormt de middelpuntzoekende kracht;

\vec{v}

staat raaklijnig aan de baan.

Een satelliet of planeet in een (bij benadering) cirkelvormige baan wordt door de gravitatie in die baan gehouden. De gravitatiekracht spéélt hier de rol van middelpuntzoekende kracht: ze wijst naar het middelpunt en verandert alleen de richting van de snelheid, niet de grootte. Dit is het scharnierpunt van het hele subdomein: stel de gravitatiekracht gelijk aan de benodigde middelpuntzoekende kracht,

G\dfrac{Mm}{r^{2}}=\dfrac{mv^{2}}{r}

. In Afb. 1 staat de satelliet met de gravitatiekracht naar de aarde en de snelheid raaklijnig aan de baan.

Uit die gelijkstelling valt de massa van de satelliet weg, en je houdt over:

v=\sqrt{\dfrac{G M}{r}}

. De baansnelheid hangt dus alleen af van de massa

M

van het centrale lichaam en de baanstraal

r

, niet van de massa van de satelliet. Een lagere baan (kleinere

r

) vraagt een hógere snelheid — het internationale ruimtestation in een lage baan raast met bijna

8\ \text{km/s}

, terwijl de veel verdere maan met ongeveer

1\ \text{km/s}

rondgaat.

Met de omlooptijd

T

v=\dfrac{2\pi r}{T}

leg je het verband tussen periode en straal. Substitueren geeft

T^{2}=\dfrac{4\pi^{2}}{G M}\,r^{3}

: het kwadraat van de omlooptijd is evenredig met de derde macht van de baanstraal. Dit is precies de derde wet van Kepler, hier afgeleid uit de mechanica. Voor een geostationaire satelliet — die op één plek boven de evenaar lijkt te blijven staan — geldt

T=24\ \text{uur}

; hieruit reken je de bijbehorende baanstraal (ongeveer

4{,}2\cdot10^{7}\ \text{m}

) uit.

Een terugkerende valkuil is de vraag welke straal je gebruikt. In alle baanformules is

r

de afstand tot het míddelpunt van het centrale lichaam, dus voor een satelliet op hoogte

h

boven het aardoppervlak:

r=R_{\text{aarde}}+h

. Verwar de baanhoogte niet met de baanstraal. Controleer ook of je consequent SI-eenheden gebruikt (meters, seconden, kilogrammen); de constante

G

dwingt dat af.

G\frac{M m}{r^{2}} = \frac{m v^{2}}{r} \ \Rightarrow\ v = \sqrt{\frac{G M}{r}}

Baansnelheid

Gravitatie levert de middelpuntzoekende kracht; de satellietmassa valt weg.

T^{2} = \frac{4\pi^{2}}{G M}\,r^{3}

Omlooptijd en straal

Volgt uit v=2πr/T; dit is de derde wet van Kepler.

Uitgewerkt voorbeeld

Baansnelheid van een lage satelliet

Bereken de baansnelheid van een satelliet op $4{,}0\cdot10^{5}\ \text{m}$ hoogte ( $M_{\text{aarde}}=5{,}97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ , $R=6{,}37\cdot10^{6}\ \text{m}$ ).

Baanstraal
Tel de aardstraal bij de hoogte op.
$r = 6{,}37\cdot10^{6} + 4{,}0\cdot10^{5} = 6{,}77\cdot10^{6}\ \text{m}$
Formule
Gebruik $v=\sqrt{GM/r}$ .
$v = \sqrt{\frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot 5{,}97\cdot10^{24}}{6{,}77\cdot10^{6}}}$
Uitrekenen
Bereken de breuk en de wortel.
$v = \sqrt{5{,}88\cdot10^{7}} = 7{,}7\cdot10^{3}\ \text{m/s}$

Resultaat: De baansnelheid is $7{,}7\cdot10^{3}\ \text{m/s}$ (ongeveer $28\,000\ \text{km/h}$ ).

Veelgemaakte fouten

De baanhoogte $h$ gebruiken in plaats van de baanstraal $r=R_{\text{aarde}}+h$ .
De massa van de satelliet in de baansnelheid meenemen — die valt juist weg.

Actieve herhaling

Bereken de baansnelheid van een satelliet in een cirkelbaan op $4{,}0\cdot10^{5}\ \text{m}$ hoogte boven de aarde ( $M=5{,}97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ , $R=6{,}37\cdot10^{6}\ \text{m}$ ).

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma natuurkunde vwo — subdomein C3 (banen) (CvTE / Examenblad)

De wetten van Kepler#

Verdiepingexamenblad-natuurkunde-C3

Derde wet van Kepler: omlooptijd tegen baanstraal

Afb. 3Afb. 1 —

T\propto r^{3/2}

: verder gelegen lichamen hebben een (veel) langere omlooptijd. Zet

T^{2}

tegen

r^{3}

uit voor een rechte lijn.

Kepler vatte de planeetbanen samen in drie wetten. De eerste wet zegt dat planeten in ellipsen om de zon bewegen, met de zon in één brandpunt (voor het examen mag je de meeste banen als cirkels benaderen). De tweede wet (de perkenwet) zegt dat de lijn zon–planeet in gelijke tijden gelijke oppervlakten bestrijkt; daaruit volgt dat een planeet sneller beweegt als hij dichter bij de zon is. De derde wet legt het verband tussen omlooptijd en baanstraal.

De derde wet luidt:

\dfrac{T^{2}}{r^{3}}=

constant voor alle lichamen die om hetzelfde centrale lichaam draaien. In Afb. 1 zie je dit als een vaste vorm: zet je

T

tegen

r

uit, dan krijg je de kromme

T\propto r^{3/2}

; zet je

T^{2}

tegen

r^{3}

uit (lineariseren), dan ligt alles op een rechte lijn door de oorsprong. De constante is

\dfrac{4\pi^{2}}{G M}

en hangt alleen af van de massa

M

van het centrale lichaam — voor alle planeten om de zon dezelfde, voor alle manen om de aarde een andere.

De derde wet is een krachtig rekenmiddel omdat je de constante kunt wegdelen. Ken je van één lichaam

T_1

r_1

, dan volgt voor een tweede lichaam om hetzelfde centrum

\dfrac{T_1^{2}}{r_1^{3}}=\dfrac{T_2^{2}}{r_2^{3}}

. Zo bereken je bijvoorbeeld de omlooptijd van een planeet uit zijn afstand tot de zon, zonder

G

M

te kennen — je hoeft alleen de aarde (

T=1

jaar,

r=1

AE) als referentie te nemen. Deze verhoudingsmethode wordt vaak op het examen gevraagd.

De wetten van Kepler zijn geen aparte natuurwetten, maar volgen uit de gravitatiewet en de mechanica van Newton — dat is een mooi voorbeeld van hoe een algemenere theorie eerdere empirische regels verklaart. Zo koppel je de derde wet direct aan de baansnelheid: uit

T^{2}=\dfrac{4\pi^{2}}{GM}r^{3}

v=\dfrac{2\pi r}{T}

leid je opnieuw

v=\sqrt{GM/r}

af. Het besef dat verschillende formuleringen (Kepler, cirkelbaan, energie) hetzelfde onderliggende model beschrijven, hoort bij het thema natuurwetten en modellen.

\frac{T^{2}}{r^{3}} = \text{constant} = \frac{4\pi^{2}}{G M}

Derde wet van Kepler

Voor alle lichamen om hetzelfde centrale lichaam; de constante hangt alleen van M af.

\frac{T_1^{2}}{r_1^{3}} = \frac{T_2^{2}}{r_2^{3}}

Verhoudingsmethode

Vergelijk twee lichamen om hetzelfde centrum; de constante valt weg.

Uitgewerkt voorbeeld

Omlooptijd van Mars

Mars staat op $1{,}52\ \text{AE}$ van de zon. Bereken zijn omlooptijd met de aarde als referentie ( $r=1\ \text{AE}$ , $T=1\ \text{jaar}$ ).

Verhoudingswet
Stel de constanten gelijk.
$\frac{T_{\text{Mars}}^{2}}{1{,}52^{3}} = \frac{1^{2}}{1^{3}}$
Oplossen naar T²
Vermenigvuldig met $1{,}52^3$ .
$T_{\text{Mars}}^{2} = 1{,}52^{3} = 3{,}51$
Wortel trekken
Neem de wortel.
$T_{\text{Mars}} = \sqrt{3{,}51} = 1{,}87\ \text{jaar}$

Resultaat: De omlooptijd van Mars is ongeveer $1{,}9\ \text{jaar}$ (werkelijk $1{,}88$ jaar).

Veelgemaakte fouten

De machten in de derde wet verwisselen ( $T^3\sim r^2$ in plaats van $T^2\sim r^3$ ).
De constante van planeten om de zon gebruiken voor manen om een planeet — die verschilt (andere $M$ ).

Actieve herhaling

Mars staat gemiddeld op $1{,}52\ \text{AE}$ van de zon. Bereken met de derde wet van Kepler zijn omlooptijd in jaren (gebruik de aarde: $r=1\ \text{AE}$ , $T=1\ \text{jaar}$ ).

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma natuurkunde vwo — subdomein C3 (wetten van Kepler) (CvTE / Examenblad)

Gravitatie-energie en ontsnappingssnelheid#

Verdiepingexamenblad-natuurkunde-C3

Gravitatie-energie als potentiële put

Afb. 4Afb. 1 — De gravitatie-energie

-GMm/r

vormt een put: het laagst dichtbij, nul op oneindige afstand.

Dicht bij het aardoppervlak gebruik je

E_{\text{zw}}=mgh

, maar dat geldt alleen zolang

g

ongeveer constant is. Over grote afstanden neemt de veldsterkte af, en dan gebruik je de algemene gravitatie-energie

E_g=-G\dfrac{Mm}{r}

. Het minteken drukt uit dat een gebonden massa energie tekortkomt om te ontsnappen: de energie is het laagst (meest negatief) dichtbij en nadert nul op oneindige afstand. In Afb. 1 zie je deze potentiële put: een steile stijging vanuit de diepte naar de nul-lijn.

Het nulniveau ligt hier op oneindige afstand (

r\to\infty

), waar

E_g=0

. Dat is een bewuste keuze die de formule handig maakt: een voorwerp met totale energie (kinetisch plus gravitatie) kleiner dan nul zit gevangen in een baan; een voorwerp met totale energie groter dan of gelijk aan nul kan ontsnappen naar het oneindige. De overgang bij totale energie precies nul definieert de ontsnappingssnelheid.

De ontsnappingssnelheid

v_{\text{ontsnap}}

is de minimale snelheid om vanaf een afstand

r

definitief aan de gravitatie te ontkomen. Je vindt hem door de kinetische energie gelijk te stellen aan de benodigde energie om uit de put te klimmen:

\tfrac{1}{2}m v^{2}=G\dfrac{Mm}{r}

, dus

v_{\text{ontsnap}}=\sqrt{\dfrac{2GM}{r}}

. Ook hier valt de massa van het ontsnappende voorwerp weg. Vanaf het aardoppervlak is dit ongeveer

1{,}1\cdot10^{4}\ \text{m/s}

(elf kilometer per seconde), onafhankelijk van de richting waarin je vertrekt.

Merk de mooie relatie op tussen ontsnappings- en baansnelheid:

v_{\text{ontsnap}}=\sqrt{2}\cdot v_{\text{baan}}

, want de baansnelheid is

\sqrt{GM/r}

en de ontsnappingssnelheid

\sqrt{2GM/r}

. Een satelliet hoeft dus „maar” een factor

\sqrt{2}

sneller te gaan dan zijn baansnelheid om los te breken. Met de energiebeschouwing bereken je ook hoeveel energie een raket nodig heeft om van een lage naar een hoge baan te komen, of om helemaal te ontsnappen — het verschil in totale energie tussen begin- en eindtoestand.

E_g = -\,G\frac{M m}{r}

Gravitatie-energie

Nulniveau op oneindig; negatief voor een gebonden massa.

\tfrac{1}{2}m v^{2} = G\frac{M m}{r} \ \Rightarrow\ v_{\text{ontsnap}} = \sqrt{\frac{2 G M}{r}}

Ontsnappingssnelheid

Kinetische energie precies genoeg om uit de put te klimmen; massa valt weg.

Uitgewerkt voorbeeld

Ontsnappingssnelheid van de aarde

Bereken de ontsnappingssnelheid vanaf het aardoppervlak ( $M=5{,}97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ , $R=6{,}37\cdot10^{6}\ \text{m}$ ).

Formule
Gebruik $v_{\text{ontsnap}}=\sqrt{2GM/r}$ met $r=R$ .
$v_{\text{ontsnap}} = \sqrt{\frac{2\cdot 6{,}67\cdot10^{-11}\cdot 5{,}97\cdot10^{24}}{6{,}37\cdot10^{6}}}$
Breuk uitrekenen
Bereken teller en noemer.
$v_{\text{ontsnap}} = \sqrt{1{,}25\cdot10^{8}}$
Wortel
Neem de wortel.
$v_{\text{ontsnap}} = 1{,}1\cdot10^{4}\ \text{m/s}$

Resultaat: De ontsnappingssnelheid is $1{,}1\cdot10^{4}\ \text{m/s}$ , precies een factor $\sqrt{2}$ groter dan de baansnelheid vlak boven het oppervlak ( $\approx 7{,}9\cdot10^{3}\ \text{m/s}$ ).

Veelgemaakte fouten

Het minteken in $E_g=-GMm/r$ weglaten, of $E_{\text{zw}}=mgh$ blijven gebruiken over grote hoogteverschillen waar $g$ niet meer constant is.
Denken dat de ontsnappingssnelheid van de massa of de vertrekrichting van het voorwerp afhangt.

Actieve herhaling

Bereken de ontsnappingssnelheid vanaf het aardoppervlak ( $M=5{,}97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ , $R=6{,}37\cdot10^{6}\ \text{m}$ ) en vergelijk die met de baansnelheid vlak boven het oppervlak.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma natuurkunde vwo — subdomein C3 (gravitatie-energie) (CvTE / Examenblad)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / Examenblad

Examenprogramma natuurkunde vwo — subdomein C3 (gravitatie)

Gravitatie (bewegingen in het heelal, gravitatiewisselwerking)

Kernpunten

Kracht op een satelliet

Kernpunten

Baansnelheid van een lage satelliet

Kernpunten

Omlooptijd van Mars

Kernpunten

Ontsnappingssnelheid van de aarde

Bronnen