Samenvattingen · NatuurkundeNL · VWO

Golven: informatieoverdracht (resonantie, interferentie)

Subdomein B1 gaat over trillingen en golven als dragers van informatie. Van een enkele harmonische trilling via lopende en staande golven tot interferentie en diffractie: telkens draait het om de grootheden trillingstijd, frequentie, golflengte en golfsnelheid, en om het superpositiebeginsel dat golven laat samenwerken of uitdoven.

4 Onderdelen~12 min leestijd4 VaardighedenNiveau Standaard 3 · Verdieping 1

T·0888 / 17

Examenprofiel

B1 · Harmonische trillingen, trillingstijd, frequentie en resonantieB1 · Lopende golven en de golfformule v=f·λB1 · Staande golven, eigenfrequenties en boventonenB1 · Interferentie en diffractie (superpositie)

Operatoren:berekenbepaalleg uitverklaartoon aanteken

basisniveau

Trillingen, de golfformule en staande golven zijn CE-kernstof voor nt en ng.

verhoogd niveau

De kwantitatieve behandeling van interferentie (weglengteverschil, tweespletenexperiment) en resonantie krijgt in nt extra nadruk.

Diepte

Tekst

Inhoud · 4 onderdelen

Golven: informatieoverdracht (resonantie, interferentie)

Trillingen en resonantie#

Standaardexamenblad-natuurkunde-B1

Een trilling is een periodieke beweging rond een evenwichtsstand. De belangrijkste is de harmonische trilling, waarbij de uitwijking sinusvormig van de tijd afhangt:

u(t)=A\sin\!\big(\tfrac{2\pi}{T}t\big)

, met

A

de amplitude (de maximale uitwijking) en

T

de trillingstijd (de duur van één volledige trilling). In Afb. 1 zie je zo'n

u,t

-diagram: de hoogte van de toppen is de amplitude, de horizontale afstand tussen twee gelijke fasen is de trillingstijd. De frequentie

f=\tfrac{1}{T}

telt het aantal trillingen per seconde, in hertz.

u,t-diagram van een harmonische trilling

Afb. 1Afb. 1 — De amplitude is de hoogte van de toppen; de trillingstijd

T

is de horizontale afstand tussen twee gelijke fasen.

De harmonische trilling ontstaat wanneer de terugdrijvende kracht evenredig is met de uitwijking en naar het evenwicht wijst — precies de situatie bij een ideale veer (wet van Hooke). Voor een massa-veersysteem geldt

T=2\pi\sqrt{\tfrac{m}{C}}

: een grotere massa of een slappere veer geeft een langere trillingstijd. Belangrijk is dat de trillingstijd bij een harmonische trilling níét van de amplitude afhangt — of je de veer nu ver of weinig uitrekt, één trilling duurt even lang. Die eigenschap heet isochronie.

Elk trillend systeem heeft een of meer eigenfrequenties: de frequenties waarmee het uit zichzelf het liefst trilt. Resonantie treedt op wanneer je een systeem aandrijft met een frequentie die gelijk is aan zo'n eigenfrequentie: dan bouwt de amplitude sterk op, omdat elke duw op het juiste moment komt en energie efficiënt wordt overgedragen. Een schommel die je op het ritme aanduwt, een wijnglas dat breekt bij de juiste toon, en een brug die gaat meedeinen zijn voorbeelden.

Resonantie is tweesnijdend: nuttig in muziekinstrumenten en afstemschakelingen (die één frequentie uit vele selecteren), maar gevaarlijk in constructies. Ingenieurs zorgen daarom dat de eigenfrequentie van een brug of gebouw ver van de te verwachten aandrijffrequenties (wind, verkeer, aardbevingen) ligt, of voeren demping in om de opbouw te beperken. Bij demping neemt de amplitude van een vrije trilling geleidelijk af doordat energie (meestal als warmte) verloren gaat; de trillingstijd blijft daarbij bij benadering gelijk.

u(t) = A\sin\!\left(\frac{2\pi}{T}\,t\right), \qquad f = \frac{1}{T}

Harmonische trilling

A is de amplitude, T de trillingstijd, f de frequentie in hertz.

T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{C}}

Trillingstijd massa-veersysteem

Onafhankelijk van de amplitude (isochronie).

Uitgewerkt voorbeeld

Trillingstijd en frequentie

Een stemvork maakt $2{,}64\cdot10^{3}$ trillingen in $6{,}0\ \text{s}$ . Bereken de frequentie en de trillingstijd.

Frequentie
Aantal trillingen gedeeld door de tijd.
$f = \frac{2{,}64\cdot10^{3}}{6{,}0} = 4{,}4\cdot10^{2}\ \text{Hz}$
Trillingstijd
De trillingstijd is de inverse van de frequentie.
$T = \frac{1}{f} = \frac{1}{440} = 2{,}3\cdot10^{-3}\ \text{s}$

Resultaat: De frequentie is $4{,}4\cdot10^{2}\ \text{Hz}$ (de kamertoon a) en de trillingstijd $2{,}3\ \text{ms}$ .

Veelgemaakte fouten

De trillingstijd verwarren met de tijd tussen een top en een dal (dat is een halve trillingstijd).
Denken dat een grotere amplitude een langere of kortere trillingstijd geeft — bij een harmonische trilling is $T$ amplitude-onafhankelijk.

Actieve herhaling

Een massa aan een veer trilt harmonisch met amplitude $5{,}0\ \text{cm}$ en maakt $20$ trillingen in $8{,}0\ \text{s}$ . Bereken de trillingstijd en de frequentie, en stel de vergelijking $u(t)$ op.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma natuurkunde vwo — subdomein B1 (trillingen) (CvTE / Examenblad)

Lopende golven en de golfformule#

Standaardexamenblad-natuurkunde-B1

u,x-diagram: momentopname van een lopende golf

Afb. 2Afb. 1 — Momentopname (

u,x

-diagram): de golflengte

\lambda

is de afstand tussen twee toppen.

Een lopende golf ontstaat wanneer een trilling zich door een medium voortplant: elk punt neemt de trilling van zijn buur over, met een kleine vertraging. Zo verplaatst de trilling zich, maar de deeltjes zelf trillen alleen om hun evenwichtsstand — er wordt energie en informatie getransporteerd, geen materie. Bij een transversale golf (zoals op een touw of licht) staat de trillingsrichting loodrecht op de voortplantingsrichting; bij een longitudinale golf (zoals geluid) valt ze ermee samen (verdichtingen en verdunningen).

De golflengte

\lambda

is de afstand tussen twee opeenvolgende punten die in dezelfde fase trillen (bijvoorbeeld twee toppen). In Afb. 1 is dat af te lezen als de ruimtelijke periode van de sinus: het

u,x

-diagram is een momentopname van de golf op één tijdstip. Let op het verschil met het

u,t

-diagram uit de vorige paragraaf: het

u,t

-diagram toont één punt in de tijd (periode

T

), het

u,x

-diagram toont de hele golf op één moment (periode

\lambda

). Je hebt beide nodig om een golf volledig te beschrijven.

De centrale relatie is de golfformule

v=f\,\lambda=\dfrac{\lambda}{T}

: in één trillingstijd verplaatst de golf zich precies één golflengte. De golfsnelheid

v

hangt af van het medium (voor geluid in lucht ongeveer

343\ \text{m/s}

, voor licht in vacuüm

3{,}00\cdot10^{8}\ \text{m/s}

) en is bij benadering constant; verandert de frequentie, dan verandert de golflengte omgekeerd evenredig mee. Een hogere toon (hogere

f

) heeft dus een kortere golflengte bij dezelfde geluidssnelheid.

Bij informatieoverdracht draagt de golf een signaal. De grootheid golflengte bepaalt bijvoorbeeld welke antenne of welk instrument geschikt is, en het onderscheidend vermogen van een meting. Bij het passeren van een grens tussen twee media verandert de golfsnelheid (en daarmee de golflengte), terwijl de frequentie behouden blijft — dat is de oorzaak van breking. Zo koppelt de golfformule de eigenschappen van een golf aan het gedrag ervan in de praktijk van geluid, licht en radiocommunicatie.

v = f\,\lambda = \frac{\lambda}{T}

Golfformule

In één trillingstijd verplaatst de golf één golflengte.

Uitgewerkt voorbeeld

Golflengte van radiogolven

Een FM-zender zendt uit op $9{,}6\cdot10^{7}\ \text{Hz}$ . Bereken de golflengte ( $c=3{,}00\cdot10^{8}\ \text{m/s}$ ).

Golfformule omschrijven
Los $\lambda$ op uit $c=f\lambda$ .
$\lambda = \frac{c}{f}$
Invullen
Deel de lichtsnelheid door de frequentie.
$\lambda = \frac{3{,}00\cdot10^{8}}{9{,}6\cdot10^{7}} = 3{,}1\ \text{m}$

Resultaat: De golflengte is $3{,}1\ \text{m}$ — vandaar dat FM-antennes ongeveer die grootteorde hebben.

Veelgemaakte fouten

Golflengte en trillingstijd verwarren door een $u,x$ -diagram als een $u,t$ -diagram te lezen (of andersom).
Bij overgang naar een ander medium de frequentie laten veranderen — het is de golfsnelheid en de golflengte die veranderen, de frequentie blijft gelijk.

Actieve herhaling

Een geluidsgolf in lucht ( $v=343\ \text{m/s}$ ) heeft een frequentie van $5{,}0\cdot10^{2}\ \text{Hz}$ . Bereken de golflengte. Wat gebeurt er met de golflengte als het geluid het water in gaat ( $v=1{,}5\cdot10^{3}\ \text{m/s}$ )?

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma natuurkunde vwo — subdomein B1 (golven) (CvTE / Examenblad)

Staande golven en boventonen#

Standaardexamenblad-natuurkunde-B1

Grondtoon en eerste boventoon van een snaar

Afb. 3Afb. 1 — Grondtoon (

n=1

, één buik) en eerste boventoon (

n=2

, knoop in het midden); aan beide uiteinden een knoop.

Wanneer een golf en zijn teruggekaatste evenbeeld elkaar tegemoet lopen, ontstaat door superpositie een staande golf: een trillingspatroon dat níét verplaatst. Er zijn vaste knopen (punten die stil blijven, want de twee golven heffen elkaar daar altijd op) en buiken (punten die maximaal trillen). In Afb. 1 zie je de grondtoon en de eerste boventoon van een snaar met twee vaste uiteinden; bij die uiteinden móéten knopen liggen. Staande golven verklaren de klank van snaar- en blaasinstrumenten.

De randvoorwaarden bepalen welke golflengten passen. Bij een snaar die aan beide kanten vast zit (twee knopen aan de uiteinden) passen alleen golven waarvoor de lengte

L

een geheel aantal halve golflengten is:

L=n\cdot\tfrac{1}{2}\lambda_n

, dus

\lambda_n=\dfrac{2L}{n}

met

n=1,2,3,\dots

De bijbehorende eigenfrequenties zijn

f_n=\dfrac{n\,v}{2L}

. De laagste (

n=1

) heet de grondtoon; de hogere (

n=2,3,\dots

) zijn de boventonen, die de klankkleur bepalen.

Voor een buis hangt het patroon af van de uiteinden. Een aan beide kanten open buis (twee buiken aan de uiteinden) geeft dezelfde reeks

\lambda_n=\dfrac{2L}{n}

als de snaar. Een aan één kant gesloten buis heeft aan het gesloten uiteinde een knoop en aan het open uiteinde een buik; daar passen alleen de oneven veelvouden:

\lambda_n=\dfrac{4L}{n}

met

n=1,3,5,\dots

Deze buis klinkt daardoor een octaaf lager bij dezelfde lengte en mist de even boventonen — hoorbaar in het karakter van bijvoorbeeld een panfluit of orgelpijp.

Staande golven zijn nauw verbonden met resonantie: de eigenfrequenties van een snaar of luchtkolom zíjn de frequenties waarbij het systeem sterk meetrilt. Stem je een aangedreven trilling af op

f_n

, dan bouwt de staande golf zich op. Dit verklaart hoe je met de lengte, de spanning of de dikte van een snaar de toonhoogte regelt, en waarom een kortere of strakkere snaar een hogere grondtoon geeft. Het kwantitatief koppelen van

L

\lambda

v

f

is een kernvaardigheid van dit subdomein.

\lambda_n = \frac{2L}{n}, \qquad f_n = \frac{n\,v}{2L} \quad (n=1,2,3,\dots)

Snaar / open buis

Twee knopen (snaar) of twee buiken (open buis) aan de uiteinden.

\lambda_n = \frac{4L}{n} \quad (n=1,3,5,\dots)

Eenzijdig gesloten buis

Knoop aan het gesloten, buik aan het open uiteinde: alleen oneven harmonischen.

Uitgewerkt voorbeeld

Grondtoon van een gitaarsnaar

Een gitaarsnaar van $0{,}64\ \text{m}$ heeft een golfsnelheid van $2{,}5\cdot10^{2}\ \text{m/s}$ en is aan beide kanten vast. Bereken de golflengte van de grondtoon en de grondfrequentie.

Golflengte grondtoon
Voor $n=1$ : $\lambda_1=2L$ .
$\lambda_1 = 2\cdot 0{,}64 = 1{,}28\ \text{m}$
Grondfrequentie
Gebruik de golfformule $f=v/\lambda$ .
$f_1 = \frac{2{,}5\cdot10^{2}}{1{,}28} = 2{,}0\cdot10^{2}\ \text{Hz}$

Resultaat: De grondtoon heeft golflengte $1{,}28\ \text{m}$ en frequentie $2{,}0\cdot10^{2}\ \text{Hz}$ .

Veelgemaakte fouten

De formule van een tweezijdig open/vaste situatie gebruiken voor een eenzijdig gesloten buis (waar alleen oneven harmonischen passen).
Knopen en buiken verwisselen, of vergeten dat aan een vast uiteinde een knoop en aan een open uiteinde een buik ligt.

Actieve herhaling

Een snaar van $0{,}65\ \text{m}$ is aan beide kanten vast; de golfsnelheid op de snaar is $2{,}6\cdot10^{2}\ \text{m/s}$ . Bereken de grondfrequentie en de frequentie van de eerste boventoon.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma natuurkunde vwo — subdomein B1 (staande golven) (CvTE / Examenblad)

Interferentie en diffractie#

Verdiepingexamenblad-natuurkunde-B1

Tweespletenexperiment

Afb. 4Afb. 1 — Vanuit beide spleten bereiken golven punt

P

; het weglengteverschil bepaalt of daar een maximum of minimum ontstaat.

Wanneer twee golven samenkomen, tellen hun uitwijkingen op — het superpositiebeginsel. Zijn ze in fase (top op top), dan versterken ze elkaar: constructieve interferentie, met een grote amplitude. Zijn ze in tegenfase (top op dal), dan doven ze elkaar uit: destructieve interferentie. In Afb. 1 zie je het tweespletenexperiment: licht dat door twee dicht bij elkaar liggende spleten gaat, vormt op een scherm een patroon van heldere en donkere strepen — het bewijs dat licht zich als een golf gedraagt.

Of het op een bepaald punt licht of donker is, hangt af van het weglengteverschil

\Delta x

: het verschil in afstand die de twee golven hebben afgelegd. Bij een verschil van een geheel aantal golflengten komen de golven in fase aan en versterken ze elkaar (maximum):

\Delta x=n\,\lambda

. Bij een verschil van een oneven aantal halve golflengten komen ze in tegenfase aan en doven ze uit (minimum):

\Delta x=(n+\tfrac{1}{2})\lambda

, met

n=0,1,2,\dots

Deze twee voorwaarden zijn de sleutel tot elke interferentieopgave.

Voor twee spleten op afstand

d

geldt voor de richting

\theta

naar een maximum de betrekking

d\sin\theta=n\,\lambda

. Hoe kleiner de spleetafstand

d

of hoe groter de golflengte

\lambda

, hoe verder de strepen uit elkaar liggen. Zo werkt ook een tralie (met heel veel spleten): dat geeft scherpe, heldere maxima en wordt gebruikt om licht in zijn kleuren (golflengten) te ontleden — de basis van de spectroscopie.

Diffractie (buiging) is de neiging van golven om achter een opening of rand af te buigen naar het „schaduwgebied”. De buiging is merkbaar als de opening of het obstakel vergelijkbaar is met de golflengte: geluid buigt makkelijk om een deuropening (grote golflengte), zichtbaar licht nauwelijks (kleine golflengte), tenzij de spleet heel smal is. Diffractie en interferentie horen bij elkaar: het strepenpatroon achter spleten ontstaat doordat de gebogen golven vervolgens met elkaar interfereren. Samen vormen ze het bewijs én het gereedschap van de golfnatuurkunde.

\Delta x = n\,\lambda \ (\text{maximum}), \qquad \Delta x = \left(n+\tfrac{1}{2}\right)\lambda \ (\text{minimum})

Interferentievoorwaarden

Weglengteverschil bepaalt versterking of uitdoving.

d\,\sin\theta = n\,\lambda

Tweespleten / tralie

d is de spleetafstand; n de orde van het maximum.

Uitgewerkt voorbeeld

Eerste maximum bij een dubbelspleet

Rood laserlicht ( $\lambda=6{,}5\cdot10^{2}\ \text{nm}$ ) valt op een dubbelspleet met $d=0{,}25\ \text{mm}$ . Bereken de hoek van het eerste-orde maximum.

Voorwaarde
Voor het eerste maximum geldt $d\sin\theta=1\cdot\lambda$ .
$\sin\theta = \frac{\lambda}{d}$
Eenheden gelijk maken
Zet beide in meter: $\lambda=6{,}5\cdot10^{-7}\ \text{m}$ , $d=2{,}5\cdot10^{-4}\ \text{m}$ .
$\sin\theta = \frac{6{,}5\cdot10^{-7}}{2{,}5\cdot10^{-4}} = 2{,}6\cdot10^{-3}$
Hoek
Neem de arcsinus.
$\theta = 0{,}15^\circ$

Resultaat: Het eerste maximum verschijnt onder een hoek van ongeveer $0{,}15^\circ$ met de middenlijn.

Veelgemaakte fouten

De voorwaarden voor maximum en minimum verwisselen (een geheel aantal golflengten geeft juist versterking, niet uitdoving).
Bij diffractie vergeten dat de buiging pas merkbaar is als de opening van de orde van de golflengte is.

Actieve herhaling

Licht met golflengte $6{,}0\cdot10^{2}\ \text{nm}$ valt op een dubbelspleet met spleetafstand $0{,}20\ \text{mm}$ . Bereken de hoek $\theta$ waaronder het eerste maximum ( $n=1$ ) verschijnt.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma natuurkunde vwo — subdomein B1 (interferentie) (CvTE / Examenblad)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / Examenblad

Examenprogramma natuurkunde vwo — subdomein B1 (trillingen)

Golven: informatieoverdracht (resonantie, interferentie)

Kernpunten

Trillingstijd en frequentie

Kernpunten

Golflengte van radiogolven

Kernpunten

Grondtoon van een gitaarsnaar

Kernpunten

Eerste maximum bij een dubbelspleet

Bronnen

Golven: informatieoverdracht (resonantie, interferentie)

Kernpunten

Trillingstijd en frequentie

Kernpunten

Golflengte van radiogolven

Kernpunten

Grondtoon van een gitaarsnaar

Kernpunten

Eerste maximum bij een dubbelspleet

Bronnen