Samenvattingen · NatuurkundeNL · VWO

Elektrische en magnetische velden (inductie)

Subdomein D2 gaat over velden: het elektrische veld rond ladingen, het magnetische veld rond stromen en magneten, de Lorentzkracht op bewegende lading, en de elektromagnetische inductie die generatoren en transformatoren mogelijk maakt. Dit onderwerp valt in het schoolexamen (SE), niet in het centraal examen, maar hoort tot de verplichte examenstof.

4 Onderdelen~13 min leestijd4 VaardighedenNiveau Standaard 3 · Verdieping 1

T·0666 / 17

Examenprofiel

D2 · Verdieping — schoolexamen (SE): elektrisch veld en veldsterkteD2 · Magnetisch veld en de LorentzkrachtD2 · Elektromagnetische inductie (wetten van Faraday en Lenz)D2 · Generator en transformator

Operatoren:berekenbepaalleg uitverklaarberedeneertoon aan

basisniveau

Elektrische en magnetische velden (D2) zit in het schoolexamen, niet in het centraal examen, maar is verplichte stof voor nt en ng.

verhoogd niveau

De kwantitatieve behandeling van inductie (Faraday, Lenz) en de transformator krijgt in nt de meeste nadruk.

Diepte

Tekst

Inhoud · 4 onderdelen

Elektrische en magnetische velden (inductie)

Elektrische velden#

Standaardexamenblad-natuurkunde-D2

Een elektrisch veld is het gebied rond een lading waarin een andere lading een kracht ondervindt. De elektrische veldsterkte

E

is de kracht per eenheid lading:

E=\dfrac{F}{q}

, met eenheid

\text{N/C}

(of gelijkwaardig

\text{V/m}

). Het veld is een vector: hij wijst in de richting van de kracht op een positieve proeflading. Veldlijnen maken het veld zichtbaar — ze vertrekken uit positieve ladingen en eindigen op negatieve, en hun dichtheid geeft de sterkte weer. In Afb. 1 zie je het homogene veld tussen twee geladen platen: evenwijdige, even ver uit elkaar liggende lijnen.

Homogeen elektrisch veld tussen twee platen

Afb. 1Afb. 1 — Tussen twee evenwijdige platen is het veld homogeen: even sterke, evenwijdige veldlijnen van + naar −.

Tussen twee vlakke, evenwijdige platen op afstand

d

met een spanning

U

ertussen is het veld homogeen (overal even sterk en dezelfde richting), met grootte

E=\dfrac{U}{d}

. Dit is de belangrijkste rekenformule van dit onderdeel en verklaart de werking van een condensator en van deeltjesversnellers. Een lading

q

in dit veld ondervindt een constante kracht

F=qE=\dfrac{qU}{d}

, gericht van de positieve naar de negatieve plaat (voor een positieve lading).

Een geladen deeltje dat het homogene veld in beweegt (loodrecht op

E

), ondervindt een constante zijwaartse kracht — precies analoog aan een horizontaal geworpen voorwerp in het zwaartekrachtveld. Het beschrijft daardoor een parabolische baan: eenparig in de oorspronkelijke richting, eenparig versneld in de veldrichting. Zo buigt een oscilloscoop of een oude beeldbuis de elektronenbundel af, en zo scheiden versnellers deeltjes naar lading en massa. De arbeid die het veld op een lading verricht over de plaatafstand is

W=qU

De energie die een lading in het veld heeft, hangt samen met de spanning: de elektrische energie die vrijkomt als een lading

q

een spanningsverschil

U

doorloopt, is

E_{\text{el}}=qU

. Voor een elektron dat een spanning van één volt doorloopt, definieert men zo de energie-eenheid elektronvolt:

1\ \text{eV}=1{,}60\cdot10^{-19}\ \text{J}

. Deze eenheid komt terug bij straling, atoomfysica en deeltjesfysica; het elektrische veld is daarmee de brug tussen de macroscopische spanning en de energie op deeltjesniveau.

E = \frac{F}{q}, \qquad E = \frac{U}{d} \ (\text{tussen platen})

Elektrische veldsterkte

Kracht per eenheid lading; tussen evenwijdige platen homogeen en gelijk aan U/d.

F = qE = \frac{qU}{d}, \qquad W = qU

Kracht en arbeid

De kracht op een lading en de arbeid over het spanningsverschil.

Uitgewerkt voorbeeld

Veld en kracht tussen platen

Twee platen op $1{,}5\ \text{cm}$ afstand hebben een spanning van $6{,}0\cdot10^{2}\ \text{V}$ . Bereken de veldsterkte en de kracht op een elektron ( $q=1{,}60\cdot10^{-19}\ \text{C}$ ).

Veldsterkte
Gebruik $E=U/d$ met $d=0{,}015\ \text{m}$ .
$E = \frac{6{,}0\cdot10^{2}}{0{,}015} = 4{,}0\cdot10^{4}\ \text{V/m}$
Kracht op het elektron
Gebruik $F=qE$ .
$F = 1{,}60\cdot10^{-19}\cdot 4{,}0\cdot10^{4} = 6{,}4\cdot10^{-15}\ \text{N}$

Resultaat: De veldsterkte is $4{,}0\cdot10^{4}\ \text{V/m}$ en de kracht op het elektron $6{,}4\cdot10^{-15}\ \text{N}$ (naar de positieve plaat).

Veelgemaakte fouten

De veldsterkte $E$ (in V/m) verwarren met de energie of de spanning, of $E=U/d$ toepassen op een niet-homogeen veld.
De richting van de kracht op een negatieve lading verkeerd nemen (die is tegengesteld aan de veldrichting).

Actieve herhaling

Tussen twee platen op $2{,}0\ \text{cm}$ afstand staat een spanning van $3{,}0\cdot10^{2}\ \text{V}$ . Bereken de veldsterkte en de kracht op een elektron ( $q=1{,}60\cdot10^{-19}\ \text{C}$ ) in dit veld.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma natuurkunde vwo — subdomein D2 (elektrische velden) (CvTE / Examenblad)

Magnetische velden en de Lorentzkracht#

Standaardexamenblad-natuurkunde-D2

Lorentzkracht op een stroomvoerende draad

Afb. 2Afb. 1 — Bij een stroom

I

(naar rechts) in een veld

B

(het vlak in, ⊗) staat de Lorentzkracht

F

loodrecht omhoog.

Een magnetisch veld ontstaat rond magneten én rond stromen: een stroomvoerende draad is omgeven door cirkelvormige veldlijnen. De magnetische veldsterkte (magnetische inductie)

B

wordt uitgedrukt in tesla (T). Anders dan bij het elektrische veld ondervindt een lading alleen een magnetische kracht als ze beweegt, en alleen als ze een component loodrecht op het veld heeft. In Afb. 1 zie je een stroomvoerende draad in een magnetisch veld dat het vlak in wijst, met de resulterende Lorentzkracht loodrecht op beide.

Op een stroomvoerende draad met lengte

l

en stroom

I

loodrecht in een veld

B

werkt de Lorentzkracht

F=B\,I\,l

. Op één bewegende lading

q

met snelheid

v

loodrecht op het veld werkt

F=B\,q\,v

. De richting staat loodrecht op zowel de stroom (of snelheid) als het veld, en bepaal je met een handregel (bijvoorbeeld de rechterhandregel voor een positieve stroomrichting). Deze loodrechte richting is het meest verwarrende én meest getoetste aspect: de kracht duwt de draad of lading opzij, niet vooruit.

Omdat de kracht altijd loodrecht op de snelheid staat, verandert ze wél de richting maar niet de grootte van de snelheid — precies de voorwaarde voor een cirkelbeweging. Een geladen deeltje dat loodrecht een homogeen magnetisch veld in schiet, beschrijft daarom een cirkelbaan: de Lorentzkracht levert de middelpuntzoekende kracht,

B q v=\dfrac{m v^{2}}{r}

, waaruit de baanstraal

r=\dfrac{m v}{qB}

volgt. Dit principe stuurt deeltjes in massaspectrometers en cyclotrons en houdt geladen deeltjes gevangen in het aardmagnetisch veld.

De elektromotor benut de Lorentzkracht direct: een stroomvoerende spoel in een magnetisch veld ondervindt een koppel dat haar laat draaien. Omgekeerd staat de magnetische kracht aan de basis van talloze toepassingen, van luidsprekers tot deeltjesversnellers. Belangrijk om te onthouden: een magnetisch veld verricht op een vrij bewegende lading geen arbeid (de kracht staat loodrecht op de verplaatsing), zodat de kinetische energie van de lading in het veld constant blijft — het veld buigt de baan om, maar versnelt de lading niet.

F = B\,I\,l \ (\text{draad}), \qquad F = B\,q\,v \ (\text{lading})

Lorentzkracht

Geldt voor de component loodrecht op het veld; richting via een handregel.

B q v = \frac{m v^{2}}{r} \ \Rightarrow\ r = \frac{m v}{q B}

Cirkelbaan in een magnetisch veld

De Lorentzkracht levert de middelpuntzoekende kracht.

Uitgewerkt voorbeeld

Kracht op een draad

Een draad van $0{,}20\ \text{m}$ voert $3{,}0\ \text{A}$ loodrecht op een veld van $0{,}40\ \text{T}$ . Bereken de Lorentzkracht.

Formule
Gebruik $F=BIl$ (stroom loodrecht op het veld).
$F = B\,I\,l$
Invullen
Vermenigvuldig de drie grootheden.
$F = 0{,}40\cdot 3{,}0\cdot 0{,}20 = 0{,}24\ \text{N}$

Resultaat: De Lorentzkracht op de draad is $0{,}24\ \text{N}$ , loodrecht op zowel de stroom als het veld.

Veelgemaakte fouten

De richting van de Lorentzkracht verkeerd bepalen — ze staat loodrecht op zowel de stroom/snelheid als het veld.
Denken dat een magnetisch veld de snelheid van een lading vergroot; het buigt alleen de baan om (geen arbeid).

Actieve herhaling

Een rechte draad van $0{,}15\ \text{m}$ voert een stroom van $4{,}0\ \text{A}$ loodrecht op een veld van $0{,}25\ \text{T}$ . Bereken de Lorentzkracht op de draad.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma natuurkunde vwo — subdomein D2 (Lorentzkracht) (CvTE / Examenblad)

Elektromagnetische inductie#

Verdiepingexamenblad-natuurkunde-D2

Flux en geïnduceerde spanning bij een draaiende spoel

Afb. 3Afb. 1 — De geïnduceerde spanning (sinus) is maximaal waar de flux (cosinus) het snelst verandert —

90^\circ

faseverschil.

Elektromagnetische inductie is de omgekeerde weg: niet stroom die een veld maakt, maar een veránderend magnetisch veld dat een spanning opwekt. De sleutelgrootheid is de magnetische flux

\Phi=B\cdot A

(bij een veld loodrecht op het oppervlak

A

), in weber (Wb). Verandert de flux door een spoel — doordat het veld, het oppervlak of de hoek verandert — dan wordt er een spanning geïnduceerd. In Afb. 1 zie je hoe de flux en de geïnduceerde spanning zich in de tijd gedragen bij een draaiende spoel: sinusvormig, maar

90^\circ

in fase verschoven.

De wet van Faraday kwantificeert dit: de geïnduceerde spanning is evenredig met de snelheid waarmee de flux verandert en met het aantal windingen,

U_{\text{ind}}=-N\dfrac{\Delta\Phi}{\Delta t}

. Hoe sneller de fluxverandering, hoe groter de spanning. Dat verklaart waarom de geïnduceerde spanning maximaal is op het moment dat de flux het snelst verandert (bij een sinusvormige flux is dat waar de flux zelf nul is) en nul is waar de flux een top bereikt — de

90^\circ

-faseverschuiving uit de grafiek.

Het minteken staat voor de wet van Lenz: de geïnduceerde stroom loopt zó dat hij de fluxverandering die hem veroorzaakt, tegenwerkt. Duw je een magneet naar een spoel toe, dan wekt de spoel een veld op dat de magneet afstoot; trek je hem terug, dan trekt de spoel hem aan. Lenz is in feite behoud van energie: zou de geïnduceerde stroom de verandering juist versterken, dan zou je energie uit het niets krijgen. Daarom kost het altijd arbeid om de flux te veranderen, en die arbeid wordt de elektrische energie.

Inductie werkt ook zonder magneet in beweging: een geleider met lengte

l

die met snelheid

v

loodrecht door een veld

B

beweegt, krijgt een inductiespanning

U_{\text{ind}}=B\,l\,v

(bewegingsinductie). Dit is dezelfde fysica als Faraday, gezien vanuit de Lorentzkracht op de ladingen in de bewegende geleider. Elektromagnetische inductie is de basis van vrijwel alle elektriciteitsopwekking: in een centrale draaien enorme spoelen in magneetvelden en zetten mechanische energie om in elektrische — het onderwerp van de volgende paragraaf.

\Phi = B\cdot A

Magnetische flux

Het product van veldsterkte en loodrecht oppervlak, in weber.

U_{\text{ind}} = -N\,\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}

Wet van Faraday (met Lenz)

De geïnduceerde spanning is evenredig met de fluxveranderingssnelheid; het minteken is de wet van Lenz.

Uitgewerkt voorbeeld

Geïnduceerde spanning

De flux door een spoel van $1{,}5\cdot10^{2}$ windingen verandert in $0{,}20\ \text{s}$ gelijkmatig van $2{,}0\cdot10^{-3}\ \text{Wb}$ naar $8{,}0\cdot10^{-3}\ \text{Wb}$ . Bereken de geïnduceerde spanning.

Fluxverandering
Bereken $\Delta\Phi$ .
$\Delta\Phi = 8{,}0\cdot10^{-3} - 2{,}0\cdot10^{-3} = 6{,}0\cdot10^{-3}\ \text{Wb}$
Wet van Faraday
Neem de grootte (het teken geeft alleen de richting).
$|U_{\text{ind}}| = N\frac{\Delta\Phi}{\Delta t} = 1{,}5\cdot10^{2}\cdot\frac{6{,}0\cdot10^{-3}}{0{,}20}$
Uitrekenen
Bereken het eindantwoord.
$|U_{\text{ind}}| = 4{,}5\ \text{V}$

Resultaat: De geïnduceerde spanning is $4{,}5\ \text{V}$ ; de geïnduceerde stroom werkt de toename van de flux tegen (Lenz).

Veelgemaakte fouten

Denken dat een constant (niet-veranderend) magnetisch veld een spanning induceert — alleen een fluxverandering doet dat.
De wet van Lenz negeren en de richting van de geïnduceerde stroom verkeerd nemen (hij werkt de verandering juist tegen).

Actieve herhaling

De flux door een spoel van $2{,}0\cdot10^{2}$ windingen neemt in $0{,}10\ \text{s}$ gelijkmatig toe van $0$ tot $4{,}0\cdot10^{-3}\ \text{Wb}$ . Bereken de geïnduceerde spanning.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma natuurkunde vwo — subdomein D2 (inductie) (CvTE / Examenblad)

Generator en transformator#

Standaardexamenblad-natuurkunde-D2

Opbouw van een transformator

Afb. 4Afb. 1 — Twee spoelen om één ijzeren kern: de veranderende flux koppelt

N_1

aan

N_2

;

U_1/U_2=N_1/N_2

Een generator zet mechanische energie om in elektrische met behulp van inductie: een spoel draait in een magnetisch veld (of een magneet draait bij een spoel), zodat de flux voortdurend verandert en er een wisselspanning wordt opgewekt. Omdat de fluxverandering sinusvormig verloopt bij een eenparige rotatie, is de opgewekte spanning ook sinusvormig — de bron van de wisselspanning (AC) in het elektriciteitsnet. De frequentie van die wisselspanning is gelijk aan het toerental van de generator (in Europa

50\ \text{Hz}

Een transformator zet een wisselspanning om in een andere wisselspanning met behulp van twee spoelen om een gemeenschappelijke ijzeren kern. In Afb. 1 zie je de opbouw: de primaire spoel (

N_1

windingen) wekt in de kern een veranderende flux op, die door de secundaire spoel (

N_2

windingen) loopt en daar een spanning induceert. Cruciaal is dat een transformator alleen op wisselspanning werkt — bij gelijkspanning verandert de flux niet en wordt er niets geïnduceerd.

De verhouding van de spanningen is gelijk aan de verhouding van de windingsaantallen:

\dfrac{U_1}{U_2}=\dfrac{N_1}{N_2}

. Meer windingen aan de secundaire kant geeft een hogere spanning (optransformeren), minder windingen een lagere (aftransformeren). Voor een ideale (verliesvrije) transformator geldt bovendien behoud van vermogen,

P_1=P_2

, dus

U_1 I_1=U_2 I_2

: een hogere spanning gaat gepaard met een evenredig lagere stroom. Zo wordt de energie zonder verlies overgedragen, alleen in een andere spanning-stroomcombinatie.

Transformatoren zijn onmisbaar voor het transport van elektriciteit. Om de warmteverliezen in de hoogspanningslijnen (

P_{\text{verlies}}=I^{2}R

) klein te houden, transformeert men de spanning bij de centrale óp naar honderdduizenden volt, zodat bij hetzelfde vermogen de stroom — en dus het verlies — klein is. Dicht bij de gebruiker transformeert men weer áf naar een veilige

230\ \text{V}

. Deze afweging tussen spanning, stroom en transportverlies is een klassieke examentoepassing die inductie, vermogen en de wet van Ohm combineert.

\frac{U_1}{U_2} = \frac{N_1}{N_2}

Transformatorverhouding

De spanningen verhouden zich als de windingsaantallen.

U_1 I_1 = U_2 I_2 \quad (\text{ideaal}, \ P_1 = P_2)

Behoud van vermogen

Een hogere spanning gaat met een evenredig lagere stroom gepaard.

Uitgewerkt voorbeeld

Transformator doorrekenen

Een ideale transformator heeft $N_1=1{,}0\cdot10^{3}$ en $N_2=2{,}5\cdot10^{2}$ windingen; de primaire spanning is $2{,}3\cdot10^{2}\ \text{V}$ . Bereken de secundaire spanning en, bij een secundaire stroom van $1{,}2\ \text{A}$ , de primaire stroom.

Secundaire spanning
Gebruik $U_2=U_1\,N_2/N_1$ .
$U_2 = 2{,}3\cdot10^{2}\cdot\frac{2{,}5\cdot10^{2}}{1{,}0\cdot10^{3}} = 58\ \text{V}$
Primaire stroom
Gebruik behoud van vermogen $U_1 I_1=U_2 I_2$ .
$I_1 = \frac{U_2 I_2}{U_1} = \frac{58\cdot 1{,}2}{2{,}3\cdot10^{2}}$
Uitrekenen
Bereken het eindantwoord.
$I_1 = 0{,}30\ \text{A}$

Resultaat: De secundaire spanning is $58\ \text{V}$ (aftransformeren) en de primaire stroom $0{,}30\ \text{A}$ — lager dan de secundaire, want de spanning is hoger.

Veelgemaakte fouten

Denken dat een transformator ook op gelijkspanning werkt — er is een fluxverandering nodig, dus wisselspanning.
De verhouding omkeren ( $U_1/U_2=N_2/N_1$ ) of vergeten dat bij optransformeren de stroom juist kleiner wordt.

Actieve herhaling

Een ideale transformator heeft $N_1=5{,}0\cdot10^{2}$ primaire en $N_2=2{,}5\cdot10^{3}$ secundaire windingen. De primaire spanning is $2{,}3\cdot10^{2}\ \text{V}$ . Bereken de secundaire spanning, en de primaire stroom als de secundaire stroom $0{,}40\ \text{A}$ is.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma natuurkunde vwo — subdomein D2 (generator en transformator) (CvTE / Examenblad)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / Examenblad

Examenprogramma natuurkunde vwo — subdomein D2 (elektrische velden)

Elektrische en magnetische velden (inductie)

Kernpunten

Veld en kracht tussen platen

Kernpunten

Kracht op een draad

Kernpunten

Geïnduceerde spanning

Kernpunten

Transformator doorrekenen

Bronnen

Elektrische en magnetische velden (inductie)

Kernpunten

Veld en kracht tussen platen

Kernpunten

Kracht op een draad

Kernpunten

Geïnduceerde spanning

Kernpunten

Transformator doorrekenen

Bronnen