Samenvattingen · EconomieNL · VWO

Intertemporele ruil: sparen, lenen en investeren

Ruilen over de tijd betekent consumptie of geld verschuiven tussen nu en later, met rente als prijs. Dit onderwerp behandelt tijdvoorkeur, samengestelde interest en eindwaarde, de contante waarde en het disconteren van toekomstige bedragen, het onderscheid tussen reële en nominale rente, en de beoordeling van investeringen met de netto contante waarde.

4 Onderdelen~13 min leestijd4 VaardighedenNiveau Basis 1 · Standaard 1 · Verdieping 2

T·0777 / 17

Examenprofiel

Sparen, lenen en investeren verklaren als ruil over de tijd met rente als prijs (domein E).Eindwaarde berekenen met samengestelde interest en het verschil met enkelvoudige interest uitleggen.De contante waarde van toekomstige bedragen berekenen door te disconteren.Een investering beoordelen met de netto contante waarde en de reële rente bepalen.

Operatoren:berekenbepaalleg uitverklaartoon aanberedeneerinterpreteer

basisniveau

Voor iedereen: sparen, lenen, samengestelde interest en de contante waarde horen tot domein E (ruilen over de tijd).

verhoogd niveau

Verdieping: de netto contante waarde van een investering berekenen en de reële rente zuiver koppelen aan inflatie.

Diepte

Tekst

Inhoud · 4 onderdelen

Intertemporele ruil: sparen, lenen en investeren

Ruilen over de tijd en tijdvoorkeur#

Basisexamenblad-economie-domein-E

Ruilen over de tijd is het verschuiven van consumptie of koopkracht tussen het heden en de toekomst. Wie spaart, stelt consumptie uit: hij geeft nu koopkracht op om later méér te kunnen besteden. Wie leent, haalt consumptie naar voren: hij besteedt nu koopkracht die hij later terugbetaalt. De rente is de prijs van deze ruil: de spaarder ontvangt rente als beloning voor het wachten, de lener betaalt rente als vergoeding voor het vervroegde bezit. Afb. 1 zet sparen en lenen als spiegelbeelden naast elkaar.

Sparen en lenen als ruil over de tijd

Afb. 1Afb. 1 — Sparen en lenen zijn spiegelbeelden. De rente is de prijs van het verschuiven van koopkracht tussen nu en later.

Achter dit gedrag ligt de tijdvoorkeur: mensen waarderen een euro vandaag doorgaans hoger dan dezelfde euro over een jaar. Daar zijn goede redenen voor — je kunt er nu al van genieten, de toekomst is onzeker, en met geld nu kun je iets ondernemen dat rendement oplevert. Door die tijdvoorkeur moet er een beloning (rente) tegenover staan om iemand te bewegen consumptie uit te stellen. Hoe sterker de tijdvoorkeur (hoe ongeduldiger), hoe hoger de rente moet zijn om te laten sparen.

De rente heeft daardoor een dubbele rol. Voor de spaarder is een hogere rente een prikkel om méér te sparen (uitstellen loont beter); voor de lener maakt een hogere rente lenen duurder, zodat er minder wordt geleend en geïnvesteerd. Op de vermogensmarkt komen de spaarders (aanbieders van geld) en de leners/investeerders (vragers naar geld) samen, en de rente is de prijs die vraag en aanbod naar geld in evenwicht brengt. Zo verbindt de rentemarkt sparen en investeren met elkaar, precies zoals in de kringloop de banken doen.

Ruilen over de tijd is de sleutel tot veel economische beslissingen: pensioenopbouw, hypotheken, studieleningen en bedrijfsinvesteringen zijn allemaal keuzes tussen nu en later. Om die keuzes zuiver te kunnen vergelijken, heb je gereedschap nodig om bedragen op verschillende momenten op één noemer te brengen. Dat gereedschap zijn de eindwaarde (hoeveel is een bedrag nú over een aantal jaren waard?) en de contante waarde (hoeveel is een toekomstig bedrag nú waard?), die we in de volgende paragrafen uitwerken.

Uitgewerkt voorbeeld

Rente als prijs van uitstel

Iemand kan €1000 nu uitgeven of een jaar op een spaarrekening zetten tegen 4% rente. Leg uit welke afweging hij maakt en bereken hoeveel extra koopkracht hij over een jaar krijgt als hij spaart (bij 0% inflatie).

De afweging
Sparen betekent nu €1000 aan consumptie opgeven om over een jaar méér te kunnen besteden; de rente moet die tijdvoorkeur compenseren.
Bedrag na een jaar
$1000\times1{,}04 =\,\text{EUR}1040$ .
Extra koopkracht
Bij 0% inflatie is de €40 rente ook reëel: hij kan over een jaar voor €40 méér kopen dan hij nu met €1000 zou kunnen.

Resultaat: Door te sparen ruilt hij €1000 consumptie nu tegen €1040 over een jaar; de €40 rente is de beloning voor het uitstellen van consumptie.

Veelgemaakte fouten

Rente zien als ‘gratis geld’ in plaats van als vergoeding voor tijdvoorkeur, risico en gemiste alternatieven.
Sparen en investeren gelijkstellen; sparen is niet-consumeren, investeren is aankopen van kapitaalgoederen.

Actieve herhaling

Leg uit waarom een centrale bank die de rente verlaagt, hoopt dat mensen en bedrijven minder gaan sparen en meer gaan lenen en investeren.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma economie vwo — domein E (ruilen over de tijd) (CvTE / Examenblad)

Samengestelde interest en eindwaarde#

Standaardexamenblad-economie-domein-E

Bij samengestelde interest (rente-op-rente) wordt de rente elk jaar bij het tegoed opgeteld, zodat je het volgende jaar rente krijgt over een groter bedrag. De eindwaarde na

n

jaar is

EW = \text{beginwaarde}\times(1+r)^n

, waarin

r

de rente per periode (als decimaal) is. De factor

(1+r)^n

is niets anders dan de groeifactor uit het vaardighedenhoofdstuk,

n

keer toegepast. Doordat het tegoed elk jaar met dezelfde factor groeit, verloopt de groei exponentieel, zoals de steeds steiler stijgende kromme in Afb. 2 laat zien.

Samengestelde versus enkelvoudige interest

Afb. 2Afb. 2 — Een tegoed van €1000 tegen 4%. Samengestelde interest (1000 · 1,04ᵗ) groeit exponentieel en overtreft na verloop van tijd de rechte enkelvoudige lijn (1000 + 40t): het rente-op-rente-effect.

Het verschil met enkelvoudige interest is groot en groeit met de tijd. Bij enkelvoudige interest krijg je elk jaar rente over alléén het oorspronkelijke bedrag, dus

EW = \text{beginwaarde}\times(1+r\cdot n)

— een rechte lijn. Bij samengestelde interest krijg je óók rente over de eerder bijgeschreven rente, waardoor de eindwaarde er steeds verder bovenuit stijgt. In Afb. 2 loopt de samengestelde-rentelijn na verloop van tijd duidelijk boven de enkelvoudige: het rente-op-rente-effect is de motor achter vermogensgroei op de lange termijn.

Je kunt met de eindwaardeformule ook terugrekenen of een rente vinden. De beginwaarde die nodig is om een doelbedrag te bereiken, vind je door te delen:

\text{beginwaarde} = \frac{EW}{(1+r)^n}

(dat is de contante waarde, §3). Het aantal jaren of de rente los je op met wortels of logaritmen. Cruciaal is dat je de rente per periode en het aantal perioden op elkaar afstemt: bij maandelijkse bijschrijving reken je met de maandrente en het aantal maanden, niet met de jaarrente.

Rente-op-rente verklaart waarom vroeg beginnen met sparen zoveel oplevert en waarom schulden met een hoge rente snel kunnen oplopen. Een schuld waarover de rente wordt bijgeschreven groeit even hard exponentieel als een spaartegoed. Ook inflatie werkt samengesteld: een aanhoudend prijspeil dat elk jaar met hetzelfde percentage stijgt, holt de koopkracht exponentieel uit. De eindwaardeformule is daarmee een van de meest toegepaste rekenregels van het hele vak — bij sparen, lenen, beleggen en het corrigeren voor inflatie.

EW = \text{beginwaarde}\times(1+r)^n

Eindwaarde (samengestelde interest)

$r$ = rente per periode (decimaal), $n$ = aantal perioden.

EW_{\text{enkelvoudig}} = \text{beginwaarde}\times(1 + r\cdot n)

Eindwaarde (enkelvoudige interest)

Rente alleen over de oorspronkelijke inleg; geeft een rechte lijn.

Uitgewerkt voorbeeld

Eindwaarde met samengestelde interest

Iemand zet €2500 vast tegen 3% samengestelde interest per jaar. Bereken de eindwaarde na 5 jaar en hoeveel rente er in totaal is bijgeschreven.

Groeifactor per jaar
$1 + 0{,}03 = 1{,}03$ .
Eindwaarde na 5 jaar
$EW = 2500\times1{,}03^5 = 2500\times1{,}15927 =\,\text{EUR}2898{,}19$ .
$2500\times1{,}03^{5}\approx2898{,}19$
Totale rente
$2898{,}19 - 2500 =\,\text{EUR}398{,}19$ . Bij enkelvoudige interest zou het $2500\times0{,}03\times5 =\,\text{EUR}375$ zijn; het verschil (€23,19) is de rente over de rente.

Resultaat: De eindwaarde is €2898,19; er is €398,19 rente bijgeschreven, waarvan €23,19 door het rente-op-rente-effect.

Veelgemaakte fouten

De rente vermenigvuldigen met het aantal jaren (enkelvoudig) terwijl samengestelde interest wordt gevraagd; gebruik dan (1 + r)ⁿ.
De rente per periode en het aantal perioden niet op elkaar afstemmen (jaarrente gebruiken bij maandelijkse bijschrijving).

Actieve herhaling

Een schuld van €4000 loopt tegen 6% samengestelde rente per jaar en er wordt niet afgelost. Bereken de schuld na 3 jaar en hoeveel meer dat is dan bij enkelvoudige rente.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma economie vwo — domein E (ruilen over de tijd) (CvTE / Examenblad)

Contante waarde en disconteren#

Verdiepingexamenblad-economie-domein-E

De contante waarde (CW) van een toekomstig bedrag is wat dat bedrag nú waard is, gegeven de rente. Het is het spiegelbeeld van de eindwaarde: waar je bij de eindwaarde vermenigvuldigt met

(1+r)^n

, deel je bij de contante waarde erdoor:

CW = \frac{\text{toekomstig bedrag}}{(1+r)^n}

. Dit terugrekenen naar het heden heet disconteren, en

r

heet dan de disconteringsvoet. In Afb. 3 zie je hoe de contante waarde van een vast toekomstig bedrag daalt naarmate het verder in de toekomst ligt: verre euro's zijn nú minder waard.

Contante waarde van een toekomstig bedrag

Afb. 3Afb. 3 — De contante waarde van €1000 bij een disconteringsvoet van 5% (CW = 1000 / 1,05ᵗ). Hoe verder in de toekomst, hoe minder het bedrag nú waard is: over 10 jaar nog €613,90.

De reden dat een toekomstige euro nu minder waard is, is dat je een kleiner bedrag vandaag tegen rente kunt laten aangroeien tot dat toekomstige bedrag. Bij 5% rente groeit €613,90 in 10 jaar tot €1000; daarom is de contante waarde van €1000 over 10 jaar precies €613,90. Hoe hoger de disconteringsvoet, hoe sterker toekomstige bedragen worden ‘afgewaardeerd’, want dan levert wachten meer op en is geld nu relatief waardevoller. Disconteren maakt zo bedragen op verschillende momenten vergelijkbaar door ze allemaal naar het heden te halen.

Met de contante waarde kun je een reeks toekomstige bedragen (kasstromen) op één noemer brengen: je berekent van elk bedrag de contante waarde en telt ze op. Dit is onmisbaar bij het waarderen van iets dat gedurende meerdere jaren geld oplevert — een investering, een obligatie, een pensioen. Een bedrag over twee jaar disconteer je met

(1+r)^2

, over drie jaar met

(1+r)^3

, enzovoort. Zo krijg je de totale contante waarde van alle toekomstige opbrengsten samen, uitgedrukt in euro's van vandaag.

De keuze van de disconteringsvoet is beslissend en soms omstreden. Meestal neem je de rente die je op een alternatieve, even risicovolle belegging kunt krijgen — de opportuniteitskosten van het geld. Een hogere disconteringsvoet drukt de contante waarde van verre opbrengsten sterk omlaag, wat vooral speelt bij langlopende vraagstukken zoals klimaatbeleid: een kleine verandering in de disconteringsvoet verandert de huidige waardering van baten over 50 jaar enorm. Disconteren is daarmee niet alleen een rekentruc, maar een keuze met grote gevolgen voor welke lange-termijninvesteringen de moeite waard lijken.

CW = \frac{\text{toekomstig bedrag}}{(1+r)^n}

Contante waarde

Disconteren: een toekomstig bedrag terugrekenen naar het heden met disconteringsvoet $r$ .

Uitgewerkt voorbeeld

Contante waarde berekenen

Je ontvangt over 3 jaar €5000. De disconteringsvoet is 6%. Bereken de contante waarde en leg uit wat het getal betekent.

Disconteringsfactor
$(1+0{,}06)^3 = 1{,}06^3 = 1{,}191016$ .
Contante waarde
$CW = \frac{5000}{1{,}191016} =\,\text{EUR}4198{,}10$ .
$\frac{5000}{1{,}06^{3}}\approx4198{,}10$
Betekenis
€4198,10 nu is bij 6% rente evenveel waard als €5000 over 3 jaar: dat bedrag zou in 3 jaar tot €5000 aangroeien.

Resultaat: De contante waarde is €4198,10: zoveel is €5000 over 3 jaar vandaag waard bij een disconteringsvoet van 6%.

Veelgemaakte fouten

Vermenigvuldigen met (1 + r)ⁿ in plaats van delen; disconteren rekent juist terug naar nu.
Alle toekomstige bedragen met dezelfde factor disconteren ongeacht het jaar; een bedrag over 3 jaar deel je door (1 + r)³, niet door (1 + r).

Actieve herhaling

Wat is de contante waarde van €2000 die je over 4 jaar ontvangt bij een disconteringsvoet van 5%? En hoeveel zou je nu moeten inleggen om over 4 jaar €2000 te hebben?

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma economie vwo — domein E (ruilen over de tijd) (CvTE / Examenblad)

Investeringsselectie: netto contante waarde#

Verdiepingexamenblad-economie-domein-E

Een investering is een uitgave nu (aan kapitaalgoederen) die in de toekomst opbrengsten oplevert. Om te beoordelen of een investering lonend is, moet je de toekomstige opbrengsten en de uitgave nu op één noemer brengen — en dat doe je met de contante waarde. De netto contante waarde (NCW) is de som van de contante waarden van alle toekomstige opbrengsten minus de investering nu:

NCW = \sum \frac{\text{opbrengst}_t}{(1+r)^t} - \text{investering}

. In de tabel van Afb. 4 wordt elke jaaropbrengst gedisconteerd en opgeteld, waarna de investering ervan af gaat.

Netto contante waarde van een investering

Afb. 4Afb. 4 — Een investering van €10.000 met drie jaar lang €4000 opbrengst, disconteringsvoet 8%. De contante waarden samen zijn €10.308; de NCW is +€308: de investering is (net) lonend.

De beslisregel is eenvoudig: is de NCW positief, dan levert de investering méér op dan de alternatieve belegging tegen de disconteringsvoet en is hij aantrekkelijk; is de NCW negatief, dan niet. Bij een NCW van precies nul is de investering net zo goed als de alternatieve belegging. De disconteringsvoet die je gebruikt, weerspiegelt de opportuniteitskosten van het geld: het rendement dat je op een even risicovol alternatief zou halen. Een riskantere investering vraagt een hogere disconteringsvoet, wat de NCW verlaagt.

De NCW-methode is superieur aan het simpelweg optellen van de toekomstige opbrengsten, omdat ze rekening houdt met de tijdswaarde van geld: een euro over drie jaar telt minder zwaar dan een euro volgend jaar. Een investering die in totaal €12.000 opbrengt op een uitgave van €10.000 lijkt winstgevend, maar als die opbrengsten pas laat komen, kan de NCW toch negatief zijn. Andersom kan een investering met opbrengsten die snel binnenkomen aantrekkelijker zijn dan één met dezelfde totale opbrengst later. De NCW vangt dit timing-effect precies.

In de praktijk gebruiken bedrijven de NCW naast andere criteria zoals de terugverdientijd (na hoeveel jaar is de investering terugverdiend?) en de interne rentevoet (de disconteringsvoet waarbij de NCW nul is). De NCW is echter het meest volledige criterium omdat het alle kasstromen en hun timing meeneemt. De methode verbindt het micro-onderwerp investeren met de macro-economie: als de rente daalt, stijgt de disconteringsvoet-gecorrigeerde waarde van investeringen, worden meer projecten rendabel en nemen de investeringen in de economie toe — precies de schakel waarlangs monetair beleid de bestedingen beïnvloedt.

NCW = \sum_{t=1}^{n} \frac{\text{opbrengst}_t}{(1+r)^t} - \text{investering}

Netto contante waarde

Positieve NCW: doen; negatieve NCW: niet doen; nul: even goed als het alternatief.

Uitgewerkt voorbeeld

Netto contante waarde en investeringsbeslissing

Een bedrijf investeert €10.000 in een machine die drie jaar lang €4000 per jaar oplevert. De disconteringsvoet is 8%. Bereken de netto contante waarde en beslis of de investering doorgaat.

Opbrengsten disconteren
Jaar 1: $\frac{4000}{1{,}08} = 3703{,}70$ . Jaar 2: $\frac{4000}{1{,}08^2} = 3429{,}36$ . Jaar 3: $\frac{4000}{1{,}08^3} = 3175{,}33$ .
Contante waarden optellen
$3703{,}70 + 3429{,}36 + 3175{,}33 =\,\text{EUR}10.308{,}39$ .
Netto contante waarde
$NCW = 10.308{,}39 - 10.000 = +\,\text{EUR}308{,}39$ .
Beslissing
De NCW is positief, dus de investering levert meer op dan de alternatieve belegging tegen 8%: doen.

Resultaat: De NCW is +€308,39; omdat die positief is, is de investering lonend en gaat ze door.

Veelgemaakte fouten

De toekomstige opbrengsten ongedisconteerd optellen en met de investering vergelijken, waardoor de tijdswaarde van geld wordt genegeerd.
De investering (uitgave nu) niet aftrekken of juist ook disconteren; die valt in jaar 0 en telt voor het volle bedrag.

Actieve herhaling

Een investering van €8000 levert twee jaar lang €4500 per jaar op. De disconteringsvoet is 10%. Bereken de netto contante waarde en beslis of de investering aantrekkelijk is.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma economie vwo — domein E (ruilen over de tijd) (CvTE / Examenblad)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / Examenblad

Examenprogramma economie vwo — domein E (ruilen over de tijd)

Intertemporele ruil: sparen, lenen en investeren

Kernpunten

Rente als prijs van uitstel

Kernpunten

Eindwaarde met samengestelde interest

Kernpunten

Contante waarde berekenen

Kernpunten

Netto contante waarde en investeringsbeslissing

Bronnen

Intertemporele ruil: sparen, lenen en investeren

Kernpunten

Rente als prijs van uitstel

Kernpunten

Eindwaarde met samengestelde interest

Kernpunten

Contante waarde berekenen

Kernpunten

Netto contante waarde en investeringsbeslissing

Bronnen