Samenvattingen · Wiskunde DNL · HAVO

Visualisatie en interpretatie van data

Beschrijvende statistiek begint bij het zichtbaar en samenvatbaar maken van data. In dit onderwerp orden je waarnemingen in frequentieverdelingen en kies je het passende diagram (staafdiagram, histogram, frequentiepolygoon, cirkel- en lijndiagram), vat je een verdeling samen met centrummaten (gemiddelde, mediaan, modus) en spreidingsmaten (spreidingsbreedte, kwartielafstand en standaardafwijking), en lees je een boxplot om verdelingen te vergelijken. De rode draad is kritisch interpreteren: een grafiek of conclusie vertrouw je pas nadat je de assen, de schaal, de steekproef en het verschil tussen samenhang en oorzaak hebt gewogen. Omdat wiskunde D volledig met het schoolexamen (SE) wordt afgesloten, toetst het SE deze stof in samenhang met de rest van de kansrekening en statistiek.

4Onderdelenca. 32min leestijd4VaardighedenNiveauBasis 1 · Standaard 3

T·0222 / 13

Examenprofiel

Data ordenen in een frequentieverdeling en het passende diagram kiezen en aflezen (staafdiagram, histogram, frequentiepolygoon, cirkel- en lijndiagram).Een verdeling samenvatten met centrummaten (gemiddelde, mediaan, modus) en spreidingsmaten (spreidingsbreedte, kwartielafstand, standaardafwijking) en de passende maat kiezen.De vijfgetallensamenvatting en een boxplot bepalen, lezen en gebruiken om verdelingen te vergelijken en scheefheid en uitschieters te herkennen.Grafieken en statistische uitspraken kritisch beoordelen op misleiding, representativiteit en het onderscheid tussen correlatie en causaliteit.

Operatoren:berekeninterpreteerbeoordeelvergelijktekenberedeneer

basisniveau

Voor het schoolexamen (SE): orden data in een frequentieverdeling, lees een histogram, een boxplot en de gangbare diagrammen af, en bereken de centrum- en spreidingsmaten (ook de standaardafwijking met de grafische rekenmachine).

verhoogd niveau

Verdieping: kies bewust de passende centrum- en spreidingsmaat bij de vorm van de verdeling, vergelijk verdelingen met boxplots, en onderbouw of weerleg een statistische conclusie (misleiding, steekproef, correlatie versus causaliteit).

Diepte

Schrift

Inhalt · 4 onderdelen

Visualisatie en interpretatie van data

Frequentieverdelingen en diagrammen#

Basisexamenblad-nl

Histogram: reistijd van 40 leerlingen (rechtsscheef)

Afb. 1De reistijd van 40 leerlingen in klassen van 10 minuten. De staven raken elkaar omdat de klassen aaneengesloten zijn; de hoogste staaf — de modale klasse — is [0, 10) met 14 leerlingen, en de lange dunne staart naar rechts maakt de verdeling rechtsscheef.

Statistiek begint bij het ordenen van ruwe waarnemingen. Meet je van een groep één kenmerk — de reistijd naar school, het vervoersmiddel, een toetscijfer — dan krijg je een lange rij losse getallen of antwoorden waarin je met het blote oog geen patroon ziet. De eerste stap is tellen: de frequentie van een waarde (of van een groep waarden) is het aantal keer dat die voorkomt. Zet je die tellingen in een tabel, dan ontstaat een frequentieverdeling die in één oogopslag laat zien wat vaak en wat zelden voorkomt. Vaak wil je niet het kale aantal weten maar het aandeel; daarvoor dient de relatieve frequentie: de frequentie gedeeld door het totale aantal waarnemingen, meestal als percentage geschreven. Vallen

14

van de

40

leerlingen in de klasse met de kortste reistijd, dan is de relatieve frequentie

\frac{14}{40} = 0{,}35 = 35\%

. Relatieve frequenties maken groepen van verschillende grootte vergelijkbaar en tellen samen altijd op tot

100\%

— een controle die je standaard uitvoert.

Welke grafiek je kiest, hangt af van het soort gegeven. Bij categorische gegevens — gegevens die in losse groepen vallen zonder natuurlijke getalsvolgorde, zoals het vervoersmiddel (fiets, lopen, bus, auto) — gebruik je een staafdiagram: boven elke categorie een staaf waarvan de hoogte de frequentie is, met duidelijke tussenruimte tussen de staven omdat de categorieën los van elkaar staan. Bij een numerieke grootheid die veel waarden kan aannemen, zoals reistijd in minuten, heeft tellen per losse waarde geen zin; je verdeelt het meetbereik dan in gelijke klassen (bijvoorbeeld stappen van

10

minuten) en tekent boven elke klasse een staaf met de klassefrequentie als hoogte. Zo ontstaat een histogram. Het beslissende verschil met het staafdiagram is dat de staven van een histogram elkaar ráken: de klassen sluiten aaneen op één doorlopende getallenas. Het staafdiagram en het histogram hieronder tonen dit verschil — losse staven bij categorieën, aaneengesloten staven bij klassen.

Een goede klassenindeling is bij een histogram bepalend. De klassen moeten even breed zijn, elkaar niet overlappen en samen alle waarnemingen dekken. Om dubbeltellen te voorkomen spreek je af dat een klasse links gesloten en rechts open is: de klasse

[10, 20)

bevat de waarde

10

wél en de waarde

20

niet — die

20

hoort bij de volgende klasse

[20, 30)

. De afstand tussen de klassengrenzen heet de klassenbreedte, en het getal precies in het midden van een klasse heet het klassenmidden (handig als je later met de klassen wilt rekenen). Bij het aflezen van een histogram let je er steeds op dat de hoogte van een staaf de frequentie van de héle klasse is, niet van één losse waarde. Begin het aflezen daarom altijd met de astitels en de klassenbreedte; pas daarna bepaal je kengetallen zoals de modale klasse — de klasse met de hoogste staaf, oftewel de meest voorkomende groep waarnemingen.

Verbind je de toppen van de staven van een histogram — telkens het punt midden boven een staaf, dus boven het klassenmidden — met rechte lijnstukken, dan krijg je een frequentiepolygoon: een gebroken lijn die dezelfde verdeling weergeeft, maar nu als één doorlopende vorm in plaats van losse blokken. Gewoonlijk laat je de lijn aan beide uiteinden naar de horizontale as zakken, naar het midden van een lege klasse net buiten de data, zodat de polygoon netjes sluit. De frequentiepolygoon is vooral handig om de vórm van een verdeling in de gaten te krijgen — is hij symmetrisch of scheef, één top of meer — en om twee verdelingen in één figuur over elkaar heen te leggen en te vergelijken, wat met twee histogrammen lastig is. Inhoudelijk bevat de polygoon precies dezelfde informatie als het histogram; het is alleen een andere presentatie van dezelfde frequenties.

Wil je niet de aantallen zelf maar de onderlinge aandelen van een geheel benadrukken, dan is een cirkeldiagram (taartdiagram) geschikt. De hele cirkel (

360^\circ

) stelt het totaal voor, en elke categorie krijgt een sector waarvan de middelpuntshoek evenredig is met haar relatieve frequentie:

\text{hoek} = \frac{\text{frequentie}}{\text{totaal}} \cdot 360^\circ

. Reizen van de

40

leerlingen er

22

met de fiets, dan beslaat de fietssector

\frac{22}{40} \cdot 360^\circ = 198^\circ

; lopen (

8

), bus (

6

) en auto (

4

) leveren

72^\circ

54^\circ

36^\circ

, en samen is dat weer

360^\circ

— opnieuw een handige controle. Een cirkeldiagram werkt goed bij een beperkt aantal categorieën die samen één geheel vormen, en het toont aandelen overtuigender dan absolute aantallen. Het is juist ongeschikt als je precieze waarden wilt aflezen of veel kleine categorieën hebt: dan zijn de sectoren nauwelijks te onderscheiden en is een staafdiagram duidelijker.

Een lijndiagram ten slotte is bedoeld voor een grootheid die in de tijd verandert: je zet de tijd op de horizontale as, de gemeten waarde op de verticale as en verbindt de meetpunten met lijnstukken. Doordat de punten verbonden zijn, springt een trend — stijging, daling, schommeling, een piek — meteen in het oog; denk aan de temperatuur per uur of het aantal bezoekers per maand. Verbind nooit punten met een lijn als de horizontale as géén doorlopende grootheid is: bij losse categorieën hoort een staafdiagram, niet een lijn. Daarmee heb je een klein beslisschema: losse categorieën

\rightarrow

staafdiagram of cirkeldiagram (aandelen), een numerieke grootheid in klassen

\rightarrow

histogram of frequentiepolygoon, en een verloop in de tijd

\rightarrow

lijndiagram. De juiste grafiekkeuze is geen smaakkwestie maar volgt uit het soort data — en is de eerste stap naar een eerlijke, leesbare weergave, het thema dat in de laatste paragraaf centraal staat.

\text{relatieve frequentie} = \frac{\text{frequentie}}{\text{totaal}} \cdot 100\%

relatieve frequentie van een klasse

Deel de frequentie door het totale aantal waarnemingen en vermenigvuldig met 100%. Relatieve frequenties maken groepen van verschillende grootte vergelijkbaar en tellen samen op tot 100%.

\text{sectorhoek} = \frac{\text{frequentie}}{\text{totaal}} \cdot 360^\circ

hoek in een cirkeldiagram

In een cirkeldiagram is de middelpuntshoek van een sector evenredig met de relatieve frequentie van die categorie; alle sectorhoeken samen vormen 360°.

Staafdiagram: vervoer naar school

Afb. 2Het vervoersmiddel van dezelfde 40 leerlingen als categorische gegevens. De staven staan los van elkaar — anders dan bij een histogram — want de categorieën hebben geen getalsvolgorde; de fiets is met 22 leerlingen de modale categorie.

Uitgewerkt voorbeeld

Een histogram aflezen

Hieronder staat het histogram van de reistijd van 40 leerlingen, ingedeeld in klassen van 10 minuten. Beschrijf de vorm van de verdeling, bepaal de modale klasse en lees af hoeveel leerlingen tussen de 10 en 30 minuten reizen.

Stap 1 — Lees de assen en de klassenbreedte
Op de horizontale as staat de reistijd in minuten, verdeeld in klassen van 10 minuten; verticaal staat de frequentie (het aantal leerlingen per klasse). De staven raken elkaar, dus het is een histogram van een numerieke grootheid.
Stap 2 — Beschrijf de vorm
De hoogste staaf staat links, bij de klasse [0, 10), en de staven nemen naar rechts steeds verder af tot een dunne staart bij de langste reistijden. De verdeling is dus rechtsscheef: een top links en een lange staart naar rechts.
Stap 3 — Bepaal de modale klasse
De modale klasse is de klasse met de hoogste staaf. Dat is de klasse [0, 10) met een frequentie van 14 leerlingen.
Stap 4 — Lees af tussen 10 en 30 minuten
Het gebied van 10 tot 30 minuten beslaat twee klassen: [10, 20) met 12 en [20, 30) met 8. Tel de frequenties op: 12 + 8 = 20 leerlingen.
$12 + 8 = 20$

Resultaat: De verdeling is rechtsscheef, de modale klasse is $[0, 10)$ met $14$ leerlingen, en $20$ van de $40$ leerlingen (dus $\frac{20}{40} = 50\%$ ) reizen tussen de $10$ en $30$ minuten. Door eerst de assen en de vorm te benoemen en daarna de klassefrequenties op te tellen, lees je het histogram betrouwbaar af.

Veelgemaakte fouten

Een histogram met losse staven tekenen of lezen alsof het een staafdiagram is; bij een histogram raken de staven elkaar, omdat de klassen aaneengesloten zijn op een doorlopende getallenas.
De hoogte van een staaf opvatten als de frequentie van één waarde in plaats van die van de hele klasse, of de klassengrens dubbel tellen — de waarde $20$ hoort bij $[20, 30)$ , niet bij $[10, 20)$ .
Frequentie en relatieve frequentie verwarren, of bij de relatieve frequentie vergeten door het totaal te delen en met $100\%$ te vermenigvuldigen.

Actieve herhaling

Een onderzoek noteert van $50$ leerlingen het aantal uren slaap per nacht in klassen van één uur: $[5,6)$ : $3$ , $[6,7)$ : $9$ , $[7,8)$ : $20$ , $[8,9)$ : $13$ , $[9,10)$ : $5$ . Bepaal de modale klasse, bereken de relatieve frequentie van de klasse $[7,8)$ en lees af hoeveel leerlingen minstens $8$ uur slapen.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde D (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Centrummaten en spreiding#

Standardexamenblad-nl

Centrum- en spreidingsmaten in één overzicht

Afb. 3De drie centrummaten en drie spreidingsmaten naast elkaar, met per maat de betekenis en hoe gevoelig hij is voor uitschieters — de sleutel bij het kiezen van de passende maat.

Een frequentieverdeling vat veel waarnemingen samen, maar vaak wil je de hele groep in één getal vangen: een centrummaat die zegt wat een ‘typische’ waarde is. Er zijn drie veelgebruikte centrummaten, elk met een eigen betekenis. Het gemiddelde is de som van alle waarnemingen gedeeld door hun aantal — het ‘evenwichtspunt’ van de data. De mediaan is de middelste waarneming als je alle waarden op volgorde zet: precies de helft ligt eronder, de helft erboven. De modus is de waarde (of klasse) die het vaakst voorkomt. Deze drie kunnen flink uiteenlopen, en welke het eerlijkst de groep beschrijft, hangt af van de vorm van de verdeling en van de aanwezigheid van uitschieters — uitzonderlijk hoge of lage waarnemingen. In deze paragraaf bekijken we per maat hoe je hem berekent en wanneer hij de beste keuze is, en daarna hoe je naast het centrum óók de spreiding van een verdeling meet.

Het gemiddelde, genoteerd met een streep boven de variabele, is

\overline{x} = \frac{1}{n}\sum x_i

: tel alle

n

waarnemingen op en deel door

n

. Het gebruikt elke waarneming en is daardoor de meest informatieve centrummaat, maar juist omdat het álle waarden meeneemt is het gevoelig voor uitschieters — één extreem hoge waarde trekt het gemiddelde merkbaar omhoog. Stel dat vier vrienden

2

3

4

3

boeken lazen en een vijfde maar liefst

38

; het gemiddelde is dan

\frac{2+3+4+3+38}{5} = 10

boeken, terwijl niemand behalve de uitschieter ook maar in de buurt van

10

zit. Het gemiddelde is dus een eerlijke samenvatting bij een redelijk symmetrische verdeling zonder uitschieters, maar misleidend zodra er een lange staart of een uitschieter is. Reken het gemiddelde altijd exact uit en rond pas op het eind af op de gevraagde nauwkeurigheid.

De mediaan vind je door de waarnemingen te sorteren en de middelste te nemen. Bij een oneven aantal is dat één waarde; bij een even aantal neem je het gemiddelde van de twee middelste. Omdat de mediaan alleen naar de rangorde kijkt en niet naar hoe extreem de buitenste waarden zijn, is hij ongevoelig (robuust) voor uitschieters: in het boekenvoorbeeld hierboven is de mediaan

3

, wat de groep veel beter typeert dan het gemiddelde van

10

. Daarom is de mediaan de voorkeursmaat bij een scheve verdeling of bij uitschieters — denk aan inkomens of huizenprijzen, waar enkele extreem hoge waarden het gemiddelde opblazen. De modus, de meest voorkomende waarde, is de enige centrummaat die ook bij categorische gegevens werkt (de modale categorie). De vorm verraadt de onderlinge ligging: bij een symmetrische verdeling vallen gemiddelde, mediaan en modus vrijwel samen, terwijl bij een rechtsscheve verdeling de lange staart het gemiddelde naar rechts trekt, zodat doorgaans

\text{modus} < \text{mediaan} < \text{gemiddelde}

Het centrum vertelt niet het hele verhaal: twee groepen met hetzelfde gemiddelde kunnen totaal verschillen in hoe ver de waarnemingen uiteenliggen. Daarom heb je naast een centrummaat een spreidingsmaat nodig. De eenvoudigste is de spreidingsbreedte (bereik): het verschil tussen de grootste en de kleinste waarneming,

\text{max} - \text{min}

. Die is snel bepaald maar leunt volledig op de twee buitenste waarden en is dus uiterst gevoelig voor uitschieters. Robuuster is de kwartielafstand. De kwartielen

Q_1

Q_2

Q_3

verdelen de gesorteerde data in vier even grote stukken: onder

Q_1

ligt

25\%

Q_2

is de mediaan en onder

Q_3

ligt

75\%

. De interkwartielafstand

\text{IQR} = Q_3 - Q_1

is de breedte van de middelste

50\%

van de waarnemingen. Omdat hij de buitenste kwart aan elke kant negeert, blijft de IQR ongevoelig voor enkele extreme waarden — precies daarom is de IQR de spreidingsmaat die bij de mediaan en bij de boxplot uit de volgende paragraaf hoort.

De meestgebruikte spreidingsmaat is de standaardafwijking, die de spreiding meet als de typische afstand van de waarnemingen tot het gemiddelde. Het ligt voor de hand die afstanden

x_i - \overline{x}

te middelen, maar dan heffen positieve en negatieve afwijkingen elkaar precies op (hun som is altijd nul). Daarom kwadrateer je eerst elke afwijking — kwadraten zijn nooit negatief en straffen grote afwijkingen extra af — middel je ze, en trek je aan het eind weer de wortel om terug te keren naar de oorspronkelijke eenheid. Zo ontstaat de standaardafwijking

\sigma = \sqrt{\frac{1}{n}\sum (x_i - \overline{x})^2}

. Het getal onder de wortel, het gemiddelde van de gekwadrateerde afwijkingen, heet de variantie

\sigma^2

. Je leest

\sigma

als ‘gemiddeld wijken de waarnemingen ongeveer zoveel van het gemiddelde af’: een kleine

\sigma

betekent dat de data dicht om het gemiddelde liggen, een grote

\sigma

dat ze ver uitwaaieren. Net als het gemiddelde gebruikt

\sigma

alle waarnemingen en is dus gevoelig voor uitschieters.

Bij het uitrekenen volg je de definitie stap voor stap: bepaal eerst het gemiddelde, dan elke afwijking en haar kwadraat, tel die kwadraten op, deel door

n

en trek de wortel. In de praktijk laat je dat rekenwerk meestal over aan de grafische rekenmachine, die na het invoeren van de data direct het gemiddelde en de standaardafwijking geeft. Let daarbij goed op welke je aflezen: de rekenmachine toont

\sigma_x

(gedeeld door

n

, de maat die hier is gedefinieerd en die je voor een volledige groep gebruikt) naast

s_x

(gedeeld door

n-1

, bedoeld voor het schatten vanuit een steekproef). Voor de berekeningen in dit onderwerp gebruik je

\sigma_x

. De standaardafwijking is bovendien méér dan een rekenoefening: zij is de spreidingsparameter die de breedte van de normale verdeling vastlegt, het klokvormige model dat verderop in de statistiek centraal staat. Wie nu begrijpt dat

\sigma

de typische afstand tot het gemiddelde is, heeft dat model alvast bij de hand.

\overline{x} = \frac{1}{n}\sum x_i = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}

het gemiddelde

Tel alle n waarnemingen op en deel door n. Het gemiddelde gebruikt elke waarde en is daardoor gevoelig voor uitschieters.

\text{IQR} = Q_3 - Q_1

interkwartielafstand

De breedte van de middelste 50% van de waarnemingen. De IQR is ongevoelig voor uitschieters, want de buitenste kwart aan elke kant telt niet mee.

\sigma = \sqrt{\frac{1}{n}\sum (x_i - \overline{x})^2}

de standaardafwijking

De wortel uit het gemiddelde van de gekwadrateerde afwijkingen tot het gemiddelde — de typische afstand van de waarnemingen tot x̄. Het kwadrateren voorkomt dat plus en min elkaar opheffen; de variantie is het getal onder de wortel.

Uitgewerkt voorbeeld

Gemiddelde en standaardafwijking van een kleine dataset

Acht leerlingen noteerden hoeveel boeken ze het afgelopen jaar lazen: $2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9$ . Bereken het gemiddelde en de standaardafwijking (gebruik de definitie $\sigma = \sqrt{\frac{1}{n}\sum (x_i - \overline{x})^2}$ ).

Stap 1 — Bereken het gemiddelde
Tel de acht waarden op en deel door n = 8.
$\overline{x} = \frac{2+4+4+4+5+5+7+9}{8} = \frac{40}{8} = 5$
Stap 2 — Bepaal de afwijkingen en hun kwadraten
Trek van elke waarde het gemiddelde 5 af en kwadrateer. De afwijkingen zijn −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2, 4 met kwadraten 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16.
$\sum (x_i - \overline{x})^2 = 9+1+1+1+0+0+4+16 = 32$
Stap 3 — Middel de kwadraten en trek de wortel
Deel de som van de kwadraten door n = 8 (dat is de variantie) en trek dan de wortel.
$\sigma = \sqrt{\tfrac{1}{8}\cdot 32} = \sqrt{4} = 2$

Resultaat: Het gemiddelde is $\overline{x} = 5$ boeken en de standaardafwijking is $\sigma = 2$ boeken. De spreiding van $2$ betekent dat de aantallen gemiddeld ongeveer $2$ boeken van het gemiddelde van $5$ afwijken; de variantie $\sigma^2 = 4$ is het tussenresultaat onder de wortel. Met de grafische rekenmachine vind je via $\sigma_x$ exact dezelfde waarde $2$ .

Veelgemaakte fouten

De mediaan bepalen zonder de waarnemingen eerst te sorteren, of bij een even aantal niet het gemiddelde van de twee middelste waarden nemen.
Bij de standaardafwijking de wortel vergeten (dan bereken je de variantie $\sigma^2$ ) of vergeten door $n$ te delen; let ook op het verschil tussen $\sigma_x$ (delen door $n$ ) en $s_x$ (delen door $n-1$ ) op de rekenmachine.
Het gemiddelde als samenvatting gebruiken terwijl er duidelijke uitschieters zijn, waardoor de ‘typische’ waarde te hoog of te laag wordt voorgesteld.

Actieve herhaling

Gegeven de dataset $3, 5, 7, 7, 8, 12$ . Bereken het gemiddelde, de mediaan en de modus, bepaal de spreidingsbreedte en de kwartielafstand, en bereken de standaardafwijking met de definitie (afgerond op één decimaal).

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde D (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Boxplot en verdelingen vergelijken#

Standardexamenblad-nl

Boxplots van twee klassen vergeleken

Afb. 4De toetscijfers van klas A en klas B als boxplots. Klas A: vijfgetallensamenvatting 3, 5, 6, 7, 9 (IQR 2). Klas B: 4, 5, 7, 9, 10 (IQR 4). Beide hebben hetzelfde bereik (6), maar klas B ligt hoger (mediaan 7 tegen 6) en is meer gespreid.

Een verdeling laat zich compact samenvatten met vijf getallen die de gesorteerde data in vier even grote stukken hakken: de vijfgetallensamenvatting. Dat zijn het minimum, het eerste kwartiel

Q_1

, de mediaan

Q_2

, het derde kwartiel

Q_3

en het maximum. Tussen elk opeenvolgend paar ligt steeds een kwart (

25\%

) van de waarnemingen: van het minimum tot

Q_1

, van

Q_1

tot de mediaan, van de mediaan tot

Q_3

en van

Q_3

tot het maximum. Daarmee vang je in vijf getallen zowel het centrum (de mediaan) als de spreiding (de afstand van minimum tot maximum, en via

Q_1

Q_3

de kwartielafstand) én een indruk van de vorm. De vijfgetallensamenvatting is de basis voor de boxplot, de grafiek die deze vijf getallen zichtbaar maakt en waarmee je verdelingen razendsnel kunt vergelijken.

De boxplot (doosdiagram) vertaalt de vijfgetallensamenvatting in een tekening boven één getallenas. Het centrale rechthoekje, de ‘doos’, loopt van

Q_1

tot

Q_3

en omvat dus de middelste

50\%

van de waarnemingen; de breedte van de doos is precies de kwartielafstand

\text{IQR}

. In de doos teken je een streep bij de mediaan. Vanuit beide zijden van de doos lopen lijnen — de ‘snorharen’ — naar het minimum en het maximum. Zo lees je een boxplot in één oogopslag: de ligging van de doos en de mediaanstreep geven het centrum, de breedte van de doos geeft de spreiding van de kern, en de lengte van de snorharen laat zien hoe ver de uiterste kwart aan elke kant reikt. Een lange snorhaar betekent een uitgerekte staart aan die kant, een korte snorhaar dat de waarnemingen daar dicht opeen liggen. Omdat een boxplot weinig ruimte vraagt, kun je er meerdere onder of naast elkaar zetten en direct vergelijken.

Niet elke boxplot loopt met de snorharen tot het uiterste minimum en maximum: uitzonderlijk ver weg liggende waarnemingen, de uitschieters, teken je apart als losse punten. Of een waarneming als uitschieter telt, bepaal je met de

1{,}5 \cdot \text{IQR}

-grens. Bereken eerst de kwartielafstand

\text{IQR} = Q_3 - Q_1

. Alles wat kleiner is dan

Q_1 - 1{,}5 \cdot \text{IQR}

of groter dan

Q_3 + 1{,}5 \cdot \text{IQR}

ligt buiten de ‘hekken’ en heet een uitschieter. De snorharen lopen dan niet verder dan de meest extreme waarneming die nog bínnen de hekken valt, en de uitschieters komen als losse stippen daarbuiten te staan. Een voorbeeld: bij

Q_1 = 20

Q_3 = 32

\text{IQR} = 12

, dus de grenzen liggen op

20 - 18 = 2

32 + 18 = 50

; een waarneming van

61

is dan een uitschieter, een van

48

niet. Deze afspraak maakt het herkennen van uitschieters objectief in plaats van een kwestie van gevoel.

De grote kracht van de boxplot is het vergelijken van verdelingen. Zet je twee boxplots onder elkaar op dezelfde as, dan lees je de verschillen meteen af op drie punten. Ten eerste het centrum: de boxplot met de hoger liggende mediaan heeft over het geheel de hogere waarnemingen. Ten tweede de spreiding: een bredere doos (een grotere kwartielafstand) of langere snorharen betekenen dat de waarnemingen meer uiteenlopen, een smalle doos dat de groep homogeen is. Ten derde het bereik: de afstand van minimum tot maximum. In het voorbeeld hieronder hebben klas A en klas B beide hetzelfde bereik, maar ligt de mediaan van klas B hoger (een

7

tegen een

6

) en is haar doos breder (

\text{IQR} = 4

tegen

2

): klas B scoorde gemiddeld hoger, maar ook ongelijkmatiger, terwijl klas A dichter op elkaar zit. Zulke uitspraken — hoger of lager, breder of smaller — onderbouw je altijd met de afgelezen getallen, niet met een vaag ‘ongeveer’.

Tot slot verraadt een boxplot de scheefheid van een verdeling. Vergelijk daarvoor de positie van de mediaanstreep binnen de doos en de lengte van de twee snorharen. Ligt de mediaan ongeveer in het midden van de doos en zijn beide snorharen even lang, dan is de verdeling symmetrisch. Ligt de mediaan dichter bij

Q_1

(de linkerkant) en is de rechtersnorhaar duidelijk langer, dan is er een lange staart naar rechts: de verdeling is rechtsscheef. Ligt de mediaan juist dichter bij

Q_3

met een langere linkersnorhaar, dan is hij linksscheef. Net als bij het histogram geldt de ezelsbrug dat de scheefheid heet naar de kant waar de lange staart wijst, niet naar de kant van de bult. De scheefheid hangt samen met de centrummaten uit de vorige paragraaf: bij een rechtsscheve verdeling trekt de staart het gemiddelde boven de mediaan, zodat het vergelijken van gemiddelde en mediaan een tweede manier is om scheefheid op te sporen.

\text{min} \le Q_1 \le Q_2 \le Q_3 \le \text{max}

de vijfgetallensamenvatting

De vijf getallen die de gesorteerde data in vier even grote stukken (elk 25%) verdelen: minimum, eerste kwartiel, mediaan (Q2), derde kwartiel en maximum.

Q_1 - 1{,}5\cdot\text{IQR} \quad\text{en}\quad Q_3 + 1{,}5\cdot\text{IQR}

uitschietergrenzen (1,5·IQR)

Waarnemingen kleiner dan de ondergrens of groter dan de bovengrens zijn uitschieters; de snorharen lopen tot de meest extreme waarde die nog binnen deze grenzen valt.

Uitgewerkt voorbeeld

De vijfgetallensamenvatting bepalen en de boxplot beschrijven

De toetscijfers van klas A zijn $3, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 9$ ( $n = 11$ ). Bepaal de vijfgetallensamenvatting, ga na of er uitschieters zijn en beschrijf de bijbehorende boxplot.

Stap 1 — Sorteer en bepaal minimum, maximum en mediaan
De cijfers staan al op volgorde. Het minimum is 3 en het maximum is 9. Bij n = 11 is de mediaan de 6e waarde.
$\text{mediaan} = Q_2 = 6$
Stap 2 — Bepaal de kwartielen
Laat de mediaan (de 6e waarde) buiten beschouwing. De onderste helft 3, 4, 5, 5, 6 heeft als middelste waarde Q1 = 5; de bovenste helft 6, 7, 7, 8, 9 heeft als middelste waarde Q3 = 7.
$Q_1 = 5, \qquad Q_3 = 7$
Stap 3 — Onderzoek uitschieters met de 1,5·IQR-grens
De kwartielafstand is IQR = 7 − 5 = 2. De grenzen liggen op 5 − 1,5·2 = 2 en 7 + 1,5·2 = 10. Alle cijfers liggen tussen 3 en 9, dus binnen deze grenzen: er zijn geen uitschieters.
$Q_1 - 1{,}5\cdot\text{IQR} = 2, \qquad Q_3 + 1{,}5\cdot\text{IQR} = 10$
Stap 4 — Beschrijf de boxplot
De doos loopt van 5 tot 7 met de mediaanstreep bij 6, precies in het midden. De snorharen reiken naar 3 en 9 en zijn beide even lang (2). De boxplot is dus symmetrisch.

Resultaat: De vijfgetallensamenvatting is $3, 5, 6, 7, 9$ met $\text{IQR} = 2$ , en er zijn geen uitschieters. De doos ( $Q_1 = 5$ tot $Q_3 = 7$ ) bevat de middelste $50\%$ van de cijfers, de mediaan ligt met $6$ in het midden en de gelijke snorharen maken de verdeling symmetrisch. Dit is de boxplot van klas A in de figuur hierboven.

Veelgemaakte fouten

De doos van minimum tot maximum laten lopen in plaats van van $Q_1$ tot $Q_3$ ; de doos toont alleen de middelste $50\%$ , de snorharen reiken naar de uitersten.
De uitschietergrens vanaf de mediaan rekenen of een andere factor dan $1{,}5$ gebruiken; reken $Q_1 - 1{,}5 \cdot \text{IQR}$ en $Q_3 + 1{,}5 \cdot \text{IQR}$ vanaf de kwartielen.
Scheefheid omkeren: een lange staart (snorhaar) naar rechts hoort bij een rechtsscheve verdeling, niet bij een linksscheve.

Actieve herhaling

Bepaal de vijfgetallensamenvatting van $5, 6, 8, 8, 9, 11, 14, 15, 28$ ( $n = 9$ ). Onderzoek met de $1{,}5 \cdot \text{IQR}$ -grens of $28$ een uitschieter is, en beschrijf de vorm van de bijbehorende boxplot.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde D (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Data kritisch interpreteren#

Standardexamenblad-nl

Spreidingsdiagram: ijsverkoop en zwembadbezoek

Afb. 5Per dag de ijsverkoop tegen het zwembadbezoek. De punten stijgen samen (een positieve correlatie) en de regressielijn loopt omhoog, maar dat is geen bewijs van oorzaak en gevolg: het warme weer is de gemeenschappelijke oorzaak die beide tegelijk verhoogt.

Een grafiek of een statistische uitspraak oogt objectief, maar dezelfde gegevens kunnen op heel verschillende manieren worden gepresenteerd — en sommige presentaties zijn bedoeld om te overtuigen in plaats van te informeren. Wie wiskundig geletterd is, gelooft een grafiek daarom niet meteen, maar controleert eerst een paar dingen: wat staat er precies op de assen, klopt de schaal, waar komen de gegevens vandaan en welke conclusie wordt eraan verbonden? Pas als die vragen netjes beantwoord zijn, is de boodschap te vertrouwen. Deze kritische houding is geen losse vaardigheid maar de laag die over alle gereedschappen uit de vorige paragrafen ligt: een histogram, een gemiddelde of een boxplot is precies zo betrouwbaar als de manier waarop hij is gemaakt en gelezen. In deze paragraaf bekijken we de drie meest voorkomende valkuilen — een misleidende as of schaal, een niet-representatieve steekproef, en het verwarren van samenhang met oorzaak — en hoe je een conclusie zorgvuldig onderbouwt.

De bekendste manier om met een eerlijke dataset toch te misleiden is de afgesneden as: een staaf- of lijndiagram waarvan de verticale as niet bij nul begint. Door pas vlak onder de laagste waarde te beginnen, worden kleine verschillen enorm uitvergroot. Stel dat partij A op

51\%

staat en partij B op

49\%

. Laat je de as bij nul beginnen, dan zijn de staven vrijwel even hoog. Begin je de as echter bij

48\%

, dan steekt de staaf van A (

51 - 48 = 3

eenheden) drie keer zo hoog uit als die van B (

49 - 48 = 1

eenheid), terwijl het werkelijke verschil maar

\frac{51 - 49}{49} \approx 0{,}04

, oftewel ongeveer

4\%

, bedraagt. De grafiek suggereert een verpletterende voorsprong die er niet is. Controleer bij elk staafdiagram dus waar de verticale as begint; voor staafdiagrammen hoort dat in principe bij nul, zodat de hoogte van een staaf evenredig is met de waarde die hij voorstelt.

Verwant aan de afgesneden as zijn andere schaal- en presentatietrucs. Een ongelijkmatige of ontbrekende schaalverdeling op een as maakt vergelijken onmogelijk: liggen de waarden

1

10

100

1000

op gelijke afstanden, dan is de as niet lineair en lijkt een sterke groei plotseling bescheiden. Bij een histogram moet je extra opletten als de klassen níét even breed zijn, want dan hoort niet de hóógte maar de oppervlakte van een staaf de frequentie voor te stellen; gelijke breedtes voorkomen die verwarring. Ook pictogrammen en driedimensionale diagrammen vertekenen: maak je een plaatje twee keer zo hoog én twee keer zo breed om ‘twee keer zoveel’ uit te beelden, dan wordt de oppervlakte vier keer zo groot en leest het oog een veel te grote toename. Een perspectivisch ‘3D-taartdiagram’ vergroot de sectoren op de voorgrond optisch. De vuistregel: een eerlijke grafiek heeft duidelijke, lineaire assen met een nulpunt waar dat hoort, en laat de visuele grootte (hoogte of oppervlakte) precies overeenkomen met de getallen.

Vaak gaat een uitspraak niet over een hele groep (de populatie) maar over een steekproef daaruit, en dan staat of valt de conclusie met de representativiteit van die steekproef: weerspiegelt zij de populatie goed genoeg? Drie dingen kunnen daar misgaan. De steekproef kan te klein zijn, zodat het toeval te veel meespeelt. Zij kan niet aselect (niet willekeurig) zijn getrokken, zodat bepaalde groepen systematisch over- of ondervertegenwoordigd raken. En er kan zelfselectie optreden: bij een online poll of een vrijwillige enquête reageren juist de mensen met een uitgesproken mening, niet een doorsnede. Vraag je alleen bezoekers van een sportschool naar hun beweeggewoonten, dan kun je daaruit niets concluderen over alle Nederlanders. Een betrouwbare conclusie vereist een voldoende grote, aselecte en zuiver getrokken steekproef. Bij elke statistische claim hoort daarom de vraag: wie zijn er ondervraagd, hoeveel, en hoe zijn ze gekozen? — want een prachtige grafiek op wankele gegevens blijft een wankele conclusie.

De subtielste valkuil is het verwarren van samenhang met oorzaak. Twee grootheden die samen stijgen of dalen vertonen een correlatie (een verband), maar dat betekent níét automatisch dat de ene de andere veroorzaakt. Er zijn drie verklaringen mogelijk voor een gevonden verband, en oorzaak-gevolg is er maar één van. Het kan toeval zijn (bij genoeg grootheden vind je altijd wel toevallige verbanden). De richting kan omgekeerd zijn (niet A veroorzaakt B, maar B veroorzaakt A). En heel vaak is er een gemeenschappelijke oorzaak — een derde variabele die beide tegelijk omhoog duwt. Het klassieke voorbeeld: op warme dagen stijgen zowel de ijsverkoop als het zwembadbezoek (zie de figuur hieronder), dus de twee hangen sterk samen, maar geen van beide veroorzaakt de ander; het warme weer doet dat. Pas als een goed opgezet onderzoek andere verklaringen uitsluit, mag je van oorzaak spreken. Tot die tijd geldt: een verband is een aanwijzing, geen bewijs.

Zorgvuldig interpreteren betekent ten slotte dat je een conclusie pas trekt als de gegevens haar dragen, en dat je extrapolatie wantrouwt. Extrapoleren is een gevonden patroon doortrekken buiten het bereik van de gemeten data — en daar geldt het verband vaak niet meer. Dat een plantje in een week tien centimeter groeide, betekent niet dat het na een jaar vijf meter hoog is. Een handige checklist bij elke grafiek of claim: lees eerst de assen, de eenheden en de schaal en kijk waar de verticale as begint; ga na waar de gegevens vandaan komen en of de steekproef groot, aselect en representatief is; onderscheid een verband van een oorzaak en zoek naar een mogelijke derde variabele; en trek het patroon niet ongemerkt door buiten de gemeten waarden. Wie zo te werk gaat, onderbouwt elke uitspraak met de echte getallen en de manier waarop ze zijn verzameld — precies de eerlijke, controleerbare redenering die het schoolexamen (SE) van je verwacht.

\text{relatief verschil} = \frac{51 - 49}{49} \approx 0{,}04 = 4\%

een verschil eerlijk wegen

Een afgesneden as maakt van 51% tegenover 49% optisch een enorm verschil, terwijl het werkelijke (relatieve) verschil maar ongeveer 4% is. Weeg een verschil altijd ten opzichte van de hele waarde, niet ten opzichte van een afgesneden nulpunt.

Uitgewerkt voorbeeld

Een statistische uitspraak kritisch beoordelen

Een krant kopt boven het spreidingsdiagram hierboven: ‘Meer ijs eten maakt het zwembad drukker.’ Beoordeel deze conclusie kritisch.

Stap 1 — Lees het verband af
In het spreidingsdiagram stijgen ijsverkoop en zwembadbezoek samen: hogere waarden van de een gaan samen met hogere waarden van de ander. Er is dus een duidelijke positieve correlatie.
Stap 2 — Onderscheid correlatie van causaliteit
Een verband betekent niet dat het ene het andere veroorzaakt. De kop trekt uit de samenhang meteen een oorzaak-gevolgconclusie, en dat is een denkfout.
Stap 3 — Zoek een gemeenschappelijke oorzaak
Een derde variabele verklaart beide tegelijk: op warme dagen wordt er én meer ijs verkocht én meer gezwommen. Het weer is de gemeenschappelijke oorzaak; ijs eten en zwemmen beïnvloeden elkaar niet.
Stap 4 — Trek een onderbouwde conclusie
De gegevens tonen een reëel verband, maar onderbouwen de causale claim niet. Een eerlijke conclusie luidt: ijsverkoop en zwembadbezoek hangen samen, waarschijnlijk door het warme weer — niet dat het een het ander veroorzaakt.

Resultaat: De kop is niet houdbaar. Het spreidingsdiagram laat een echte positieve correlatie zien, maar correlatie is geen causaliteit: de gemeenschappelijke oorzaak (warm weer) verklaart waarom beide grootheden samen stijgen. Wie zo redeneert, scheidt het waarneembare verband netjes van de niet-onderbouwde oorzaak-gevolguitspraak.

Veelgemaakte fouten

Uit een afgesneden as concluderen dat een klein verschil groot is; controleer altijd of de verticale as bij nul begint voordat je staafhoogtes vergelijkt.
Uit een correlatie meteen een oorzaak-gevolgrelatie afleiden, zonder aan toeval, een omgekeerde richting of een gemeenschappelijke oorzaak te denken.
Een conclusie trekken uit een te kleine of niet-representatieve (niet-aselecte, zelfgeselecteerde) steekproef, of een patroon doortrekken buiten het bereik van de gemeten gegevens (extrapoleren).

Actieve herhaling

Een advertentie toont een staafdiagram waarin merk X duidelijk boven merk Y uitsteekt; de verticale as begint echter bij $90$ en loopt tot $100$ , en de cijfers komen uit een online enquête onder de eigen klanten van merk X. Noem twee redenen waarom deze grafiek misleidend kan zijn en leg uit hoe een eerlijke weergave eruit zou zien.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde D (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / Examenblad

Examenprogramma wiskunde D (HAVO)

Visualisatie en interpretatie van data

Kernpunten

Een histogram aflezen

Kernpunten

Gemiddelde en standaardafwijking van een kleine dataset

Kernpunten

De vijfgetallensamenvatting bepalen en de boxplot beschrijven

Kernpunten

Een statistische uitspraak kritisch beoordelen

Bronnen