Samenvattingen · Wiskunde DNL · HAVO

Vaardigheden (algemene, wiskundige en vakspecifieke vaardigheden)

Dit onderwerp bundelt de algemene, wiskundige en vakspecifieke vaardigheden die onder heel wiskunde D liggen: exact rekenen met machten, wortels en breuken, formules herleiden en wiskundig modelleren, wiskundig redeneren en aantonen, en het doelmatig inzetten van de grafische rekenmachine en ICT. Het zijn geen losse trucs maar het gereedschap waarmee je elk ander domein aanpakt. Omdat wiskunde D volledig met het schoolexamen (SE) wordt afgesloten, toetst het SE deze vaardigheden steeds in samenhang met de inhoud.

4Onderdelenca. 25min leestijd4VaardighedenNiveauBasis 2 · Standaard 2

T·0111 / 13

Examenprofiel

Exact rekenen met machten, wortels en breuken, inclusief negatieve en gebroken exponenten, en bewust afronden.Formules herleiden door een variabele vrij te maken, substitueren en de modelleercyclus doorlopen.Wiskundig redeneren, aantonen met een directe redenering of weerleggen met een tegenvoorbeeld, en correcte vaktaal gebruiken.De grafische rekenmachine en ICT doelmatig, nauwkeurig en kritisch inzetten bij statistiek en meetkunde.

Operatoren:berekenherleidvereenvoudigtoon aanberedeneerinterpreteer

basisniveau

Zorg dat de rekenregels voor machten, het herleiden van formules en het opzoeken van kansen op de grafische rekenmachine er foutloos in zitten; dat heb je in elk domein nodig.

verhoogd niveau

Werk waar gevraagd exact en redeneer volledig: maak een variabele algebraïsch vrij, onderbouw een bewering met een sluitend bewijs en beoordeel kritisch wat de rekenmachine teruggeeft.

Diepte

Schrift

Inhalt · 4 onderdelen

Vaardigheden (algemene, wiskundige en vakspecifieke vaardigheden)

Exact rekenen: machten, wortels en breuken#

Basisexamenblad-nl

Overzicht van de machtregels

Afb. 1De zeven rekenregels voor machten en wortels die je paraat moet hebben, elk met een controlevoorbeeld.

Een macht is een korte schrijfwijze voor herhaald vermenigvuldigen:

a^n

betekent dat je het grondtal

a

in totaal

n

keer met zichzelf vermenigvuldigt. Daarbij heet

a

het grondtal en

n

de exponent, dus

2^5 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2 = 32

. Bij wiskunde D reken je voortdurend met machten — in formules, in de kansrekening en bij groeimodellen — zodat de rekenregels er volautomatisch in moeten zitten. De drie kernregels volgen rechtstreeks uit de definitie. Vermenigvuldig je twee machten met hetzelfde grondtal, dan tel je de exponenten op:

a^m\cdot a^n = a^{m+n}

, want je zet simpelweg de twee rijtjes factoren achter elkaar. Deel je ze, dan trek je de exponenten af:

\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}

, omdat gelijke factoren tegen elkaar wegvallen. En een macht van een macht geeft een product van exponenten:

(a^m)^n = a^{m\cdot n}

. Let op dat al deze regels alleen gelden bij gelijke grondtallen.

Uit de deelregel volgt logisch wat een nul-exponent en een negatieve exponent betekenen. Deel je

a^n

door zichzelf, dan staat er enerzijds

1

en anderzijds

a^{n-n} = a^0

, dus

a^0 = 1

voor elk grondtal

a \neq 0

. Ga je verder omlaag, dan kom je bij negatieve exponenten:

a^{-n} = \frac{1}{a^n}

. Een negatieve exponent is dus geen negatief getal, maar de opdracht om de reciproke (het omgekeerde) te nemen, bijvoorbeeld

2^{-3} = \frac{1}{8}

. Ook wortels passen in hetzelfde systeem, en juist dat maakt het rekenen overzichtelijk: de wortel

\sqrt{a}

is hetzelfde als de macht met exponent een half,

\sqrt{a} = a^{1/2}

, en algemener is

\sqrt[n]{a} = a^{1/n}

. Een gebroken exponent combineert beide:

a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}

, zodat

8^{2/3} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^2 = 2^2 = 4

. Door wortels als machten te schrijven hoef je geen aparte wortelregels te onthouden — alle machtregels werken gewoon door.

Toch is één wortelregel handig om los paraat te hebben: een wortel van een product valt uiteen in een product van wortels,

\sqrt{a\cdot b} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}

. Daarmee vereenvoudig je een wortel door er het grootste kwadraat uit te halen:

\sqrt{50} = \sqrt{25\cdot 2} = \sqrt{25}\cdot\sqrt{2} = 5\sqrt{2}

. Zo'n vorm als

5\sqrt{2}

heet een exacte waarde: hij is precies, terwijl

7{,}07

slechts een afgeronde benadering is. Wortels als

\sqrt{2}

\sqrt{3}

en machten als

2^{1/3}

zijn namelijk irrationale getallen met een oneindige, niet-herhalende decimale ontwikkeling. Rond je zo'n getal te vroeg af, dan stapelen de afrondfouten zich in de volgende stappen op en kan je eindantwoord net buiten de toegestane marge vallen. De vuistregel bij wiskunde D is daarom: reken zo lang mogelijk met exacte vormen — breuken, wortels en

\pi

— en vervang die pas in de allerlaatste stap door een afgeronde decimale waarde, als de opgave om een getal vraagt.

Hetzelfde fundament telt voor het rekenen met breuken, want ook die kom je overal tegen. Een breuk vereenvoudig je door gemeenschappelijke factoren in teller en noemer tegen elkaar weg te strepen — en de gouden regel is dat je alleen factoren mag wegstrepen, nooit losse termen. In

\frac{6x^2}{3x}

mag je de factor

3x

wegstrepen tot

2x

, maar in

\frac{x+3}{3}

mag de

3

niet weg, omdat hij in de teller een term is. Optellen en aftrekken van breuken gaat via gelijke noemers:

\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}

, en pas als de noemers gelijk zijn tel je de tellers op. Vermenigvuldigen is eenvoudiger — teller maal teller en noemer maal noemer — en delen door een breuk is hetzelfde als vermenigvuldigen met het omgekeerde:

\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}

. Deze regels zijn dezelfde voor getallen en voor uitdrukkingen met letters.

Wanneer je uiteindelijk wél afrondt, doe dat dan op de gevraagde nauwkeurigheid — een afgesproken aantal decimalen of significante cijfers — en met de juiste eenheid erbij. Significante cijfers zijn de betekenisvolle cijfers van een meetwaarde:

0{,}0250

heeft er drie. Voor heel grote of heel kleine getallen gebruik je de wetenschappelijke notatie

a\cdot 10^n

met

1 \le a < 10

, bijvoorbeeld de lichtsnelheid

3{,}0\cdot 10^8

m/s. Bewaak ten slotte bij elke berekening de voorrangsregels: eerst wat tussen haakjes staat, dan machten en wortels, daarna vermenigvuldigen en delen, en als laatste optellen en aftrekken. Een veelgemaakte fout is dat een macht alleen op het grondtal er direct vóór werkt:

-3^2 = -9

, terwijl

(-3)^2 = 9

, want pas de haakjes laten het minteken meedoen in de macht. Wie netjes herleidt, exact doorrekent en bewust afrondt, levert precies het soort antwoord dat het schoolexamen verwacht.

a^m\cdot a^n = a^{m+n}, \qquad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, \qquad (a^m)^n = a^{m\cdot n}

de drie machtregels

Bij vermenigvuldigen tel je de exponenten op, bij delen trek je ze af, en bij een macht van een macht vermenigvuldig je ze — telkens bij hetzelfde grondtal.

a^{-n} = \frac{1}{a^n}, \qquad a^0 = 1, \qquad a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}

negatieve, nul- en gebroken exponenten

Een negatieve exponent betekent de reciproke nemen, elke macht met exponent 0 is 1, en een gebroken exponent is een wortel.

Uitgewerkt voorbeeld

Een uitdrukking met machten en wortels vereenvoudigen

Schrijf $\dfrac{8x^4\cdot \sqrt{x}}{2x^{-1}}$ zo eenvoudig mogelijk als één macht van $x$ met een gehele coëfficiënt.

Stap 1 — Schrijf de wortel als macht
Vervang de wortel door een gebroken exponent, zodat in de teller alleen nog machten van x staan.
$\sqrt{x} = x^{1/2}, \quad\text{dus de teller is } 8x^4\cdot x^{1/2}$
Stap 2 — Tel de exponenten in de teller op
Bij vermenigvuldigen van machten met hetzelfde grondtal tel je de exponenten op: 4 + 1/2 = 9/2.
$8x^4\cdot x^{1/2} = 8x^{4+\frac12} = 8x^{9/2}$
Stap 3 — Deel door de noemer
Deel de coëfficiënten en trek de exponenten af: 8/2 = 4 en 9/2 − (−1) = 9/2 + 1 = 11/2.
$\frac{8x^{9/2}}{2x^{-1}} = 4\,x^{\frac92-(-1)} = 4x^{11/2}$

Resultaat: Resultaat: $\dfrac{8x^4\sqrt{x}}{2x^{-1}} = 4x^{11/2}$ . Door de wortel als macht te schrijven en daarna de machtregels toe te passen, valt de hele uitdrukking samen tot één nette macht van $x$ .

Veelgemaakte fouten

$-3^2$ als $9$ lezen: zonder haakjes werkt de macht alleen op de $3$ , dus $-3^2 = -9$ terwijl $(-3)^2 = 9$ .
Een negatieve exponent als een negatief getal opvatten: $2^{-3}$ is $\frac{1}{8}$ , niet $-8$ .
In een breuk losse termen wegstrepen in plaats van factoren, zoals de $3$ schrappen in $\frac{x+3}{3}$ .

Actieve herhaling

Schrijf $\frac{6}{\sqrt{x}}$ als een macht van $x$ , vereenvoudig $\sqrt{72}$ tot de vorm $a\sqrt{b}$ met $b$ zo klein mogelijk, en bereken $16^{3/4}$ exact.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde D (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Formules herleiden en wiskundig modelleren#

Standardexamenblad-nl

De modelleercyclus

Afb. 2De modelleercyclus: van een probleem in context via model, oplossing en interpretatie naar toetsen en bijstellen — en zo nodig opnieuw.

Een formule herleiden — ook wel een variabele vrijmaken of de formule omschrijven — betekent dat je de formule herschrijft zodat een andere variabele in zijn eentje aan één kant staat. Dat doe je met de balansgedachte: zolang je aan beide kanten van het isgelijkteken precies dezelfde bewerking uitvoert, blijft de gelijkheid kloppen. Je mag links en rechts hetzelfde getal optellen of aftrekken, met hetzelfde getal (ongelijk aan nul) vermenigvuldigen of delen, beide kanten kwadrateren of er de wortel uit trekken. Wil je uit

y = 3x + 5

x

vrijmaken, dan haal je eerst aan beide kanten

5

eraf en deel je daarna beide kanten door

3

x = \frac{y-5}{3}

. Dit is dezelfde techniek als bij het oplossen van een vergelijking, maar nu met letters in plaats van getallen, en je hebt haar overal nodig — om uit

A = \pi r^2

de straal

r

te halen of om een formule in de handigste vorm te zetten voordat je verder rekent.

De betrouwbaarste werkwijze is de omgekeerde-volgorde-strategie: kijk welke bewerkingen op de gezochte variabele zijn losgelaten, en maak die in omgekeerde volgorde ongedaan — net zoals je bij het uitpakken van een cadeau de laatst aangebrachte verpakking als eerste verwijdert. Bij

A = \pi r^2

is op

r

eerst gekwadrateerd en daarna met

\pi

vermenigvuldigd; je maakt dat ongedaan door eerst door

\pi

te delen en daarna de wortel te trekken:

r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}

, waarbij je bij een lengte de positieve wortel kiest. De volgorde is wezenlijk: zou je eerst worteltrekken, dan zat de

\pi

nog onder de wortel en klopte het niet. Controleer je herleiding altijd door in beide vormen hetzelfde getal in te vullen; geven de oorspronkelijke en de herleide formule dezelfde uitkomst, dan heb je geen stap omgedraaid of een teken verloren.

Substitueren is het complement van herleiden: je vervangt een variabele door een getal of door een andere uitdrukking. Daarmee reken je functiewaarden uit — bij

f(x) = x^2 - 3x

f(4) = 4^2 - 3\cdot 4 = 16 - 12 = 4

— en combineer je twee formules tot één. Zet bij het invullen het getal altijd tussen haakjes, zeker als het negatief is, want anders gaat het mis met de tekens en de machten:

f(-2) = (-2)^2 - 3\cdot(-2) = 4 + 6 = 10

, en niet

-4 - 6

. Vergeten haakjes bij een negatief getal zijn een van de meest voorkomende slordigheidsfouten. Substitueren gebruik je ook bij modelleren: heb je twee verbanden, bijvoorbeeld

y

uitgedrukt in

x

x

uitgedrukt in

t

, dan vul je het ene in het andere in om

y

direct in

t

te krijgen.

Wiskundig modelleren is het vertalen van een probleem uit de werkelijkheid naar wiskunde, het oplossen daarvan, en het terugvertalen van de uitkomst. Een wiskundig model — een formule, grafiek of vergelijking — is altijd een vereenvoudiging: je maakt aannames en laat details weg om de kern grijpbaar te maken. Het werk verloopt in een vaste kringloop, de modelleercyclus (zie de figuur). Je begint bij een probleem in context, stelt daar een wiskundig model bij op, lost dat model wiskundig op, en interpreteert de oplossing terug in de oorspronkelijke situatie. Daarna volgt de stap die het tot een cyclus maakt: toetsen en bijstellen. Passen de uitkomsten bij de werkelijkheid en bij de meetgegevens? Zo niet, dan pas je de aannames of het model aan en doorloop je de cyclus opnieuw. Juist die terugkoppeling maakt modelleren tot meer dan invullen: het is een kritisch heen-en-weer tussen wiskunde en werkelijkheid.

De interpretatie- en toetsstap verdienen extra aandacht, omdat daar de wiskunde weer betekenis krijgt. Een rekenkundig juist antwoord kan in de context onzin zijn: een negatieve lengte, een kansgetal groter dan

1

, of een uitkomst van

2{,}7

waar het om een aantal mensen gaat. Vraag je daarom bij elke uitkomst af of hij past binnen het zinvolle domein, of de eenheid klopt en of de grootteorde realistisch is. Bij modelleren met data hoort ook dat je het model vergelijkt met de meetpunten: ligt de grafiek dicht bij de gegevens, of systematisch ernaast? Wijkt het model af, dan is bijstellen geen falen maar een normale stap in de cyclus. Deze kritische houding — eerst herleiden en rekenen, dan interpreteren en toetsen — is precies wat het schoolexamen (SE) bij een modelleeropgave beloont.

y = ax + b \quad\Longleftrightarrow\quad x = \frac{y - b}{a}

een variabele vrijmaken

Maak de bewerkingen op x in omgekeerde volgorde ongedaan: eerst b aftrekken, daarna door a delen.

A = \pi r^2 \quad\Longrightarrow\quad r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}

vrijmaken met een wortel

Deel eerst door π en trek dan de wortel; bij een lengte kies je de positieve wortel.

Uitgewerkt voorbeeld

Een variabele vrijmaken en een grootheid berekenen

Voor de kinetische energie geldt $E = \tfrac{1}{2}mv^2$ . Maak $v$ vrij en bereken $v$ voor $E = 90$ en $m = 5$ (in passende eenheden).

Stap 1 — Maak v vrij
Vermenigvuldig beide kanten met 2, deel door m en trek de wortel; bij een snelheid kies je de positieve wortel.
$E = \tfrac12 m v^2 \ \Rightarrow\ 2E = m v^2 \ \Rightarrow\ v = \sqrt{\frac{2E}{m}}$
Stap 2 — Vul de gegeven waarden in
Substitueer E = 90 en m = 5 in de vrijgemaakte formule.
$v = \sqrt{\frac{2\cdot 90}{5}} = \sqrt{\frac{180}{5}}$
Stap 3 — Reken exact uit
Eerst de breuk: 180/5 = 36. Daarvan is de wortel een geheel getal, dus afronden is niet nodig.
$v = \sqrt{36} = 6$

Resultaat: Resultaat: $v = \sqrt{\dfrac{2E}{m}}$ , en met $E = 90$ en $m = 5$ is $v = 6$ . Omdat $180/5 = 36$ een kwadraat is, komt er een exacte gehele waarde uit; de uitkomst is positief, wat klopt voor een snelheid.

Veelgemaakte fouten

Niet aan beide kanten dezelfde bewerking uitvoeren, of de bewerkingen in de verkeerde volgorde ongedaan maken bij het vrijmaken van een variabele.
Bij substitueren de haakjes om een negatief getal vergeten, zodat $(-2)^2$ als $-4$ wordt gelezen in plaats van $4$ .
De uitkomst niet terug interpreteren in de context, waardoor een onzinnig antwoord (negatieve lengte, kans groter dan 1) blijft staan.

Actieve herhaling

Voor de slingertijd geldt $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$ . Maak $l$ vrij en bereken $l$ als $T = 2$ en $g = 9{,}81$ (rond af op twee decimalen).

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde D (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Redeneren, aantonen en wiskundige vaktaal#

Standardexamenblad-nl

De opbouw van een direct bewijs

Afb. 3De opbouw van een direct bewijs: van het gegeven via een ingevulde definitie en herleiding naar een algemeen geldende conclusie.

Wiskundig redeneren is het met logische stappen afleiden van een conclusie uit wat gegeven is. Bij aantonen of bewijzen laat je zien dat een bewering met zekerheid waar is — niet omdat het in een paar gevallen klopt, maar omdat het uit de gegevens en de regels noodzakelijk volgt. Een directe redenering loopt van het gegeven via tussenstappen naar de conclusie, waarbij elke stap gedragen wordt door een definitie, een eerder bewezen feit of een rekenregel. Daarin verschilt wiskunde wezenlijk van proefondervindelijk werk: je controleert niet een steekproef, je sluit elke uitzondering uit. Een bewering als „het kwadraat van een oneven getal is oneven" geldt niet pas als je hem voor

3

5

7

hebt nagerekend, maar pas als je hem voor een willekeurig oneven getal hebt aangetoond. Die overgang van „klopt in mijn voorbeelden" naar „geldt altijd" is de kern van wiskundig bewijzen.

Daarbij is het cruciaal om voorbeelden en tegenvoorbeelden goed te onderscheiden. Een uitspraak die met „voor alle" begint — zoals „voor alle gehele

n

n^2 + n

even" — bewijs je nooit met losse voorbeelden, hoeveel je er ook nareken; één voorbeeld toont alleen dat het in dat geval klopt. Maar dezelfde soort uitspraak weerleg je juist wél met één enkel geval: vind je één

n

waarvoor het misgaat, dan is de bewering onhoudbaar. Zo'n weerleggend geval heet een tegenvoorbeeld. De bewering „elk priemgetal is oneven" sneuvelt bijvoorbeeld op het tegenvoorbeeld

2

: dat is priem én even. Onthoud de asymmetrie: om een „voor alle"-bewering te bewíjzen moet je álle gevallen tegelijk afdekken (meestal met een letter voor een willekeurig getal), maar om haar te weerléggen is één tegenvoorbeeld genoeg. Wie dit verschil scherp houdt, weet meteen welke aanpak een opgave vraagt.

De standaardtechniek voor een „voor alle"-bewering is werken met een willekeurig getal dat je een letter geeft. Wil je iets over alle even getallen aantonen, dan schrijf je zo'n getal als

2k

met

k

geheel; voor oneven getallen gebruik je

2k+1

. Door met die algemene vorm te rekenen, dek je in één keer alle gevallen af. Stel je wilt aantonen dat de som van twee opeenvolgende gehele getallen oneven is. Noem het eerste getal

n

, dan is het volgende

n+1

, en hun som is

n + (n+1) = 2n + 1

. Dat is per definitie een oneven getal, voor élke gehele

n

— klaar. Merk op hoe de letter

n

hier staat voor „welk geheel getal dan ook", zodat de conclusie niet over één geval gaat maar over allemaal. Een bewijs is af zodra elke stap herleidbaar is tot een definitie of regel en de conclusie er onontkoombaar uit volgt.

Wiskunde heeft een eigen, precieze taal, en goed redeneren vraagt dat je die correct gebruikt. Symbolen hebben een vaste betekenis:

\in

betekent „is element van",

\mathbb{Z}

staat voor de gehele getallen,

\Rightarrow

voor „hieruit volgt" en

\Leftrightarrow

voor „dan en slechts dan als". Even belangrijk zijn de verbindingswoorden in je uitwerking. Begin een aanname met „stel", markeer een gevolg met „dus" of „daaruit volgt", en geef een reden met „want" of „omdat". Zo wordt je redenering navolgbaar: de lezer ziet bij elke stap wat aanname is, wat conclusie is en waaróm de stap mag. Gebruik het isgelijkteken ook alleen als twee dingen echt gelijk zijn, en niet als een soort pijl tussen losse berekeningen. Nette notatie is geen opsmuk maar onderdeel van de wiskunde: een onnavolgbaar opgeschreven goede gedachte levert op het schoolexamen (SE) minder punten op dan een helder genoteerde.

Tot slot de bouwstenen van de logica, die de ruggengraat van elke redenering vormen. Met „en" verbind je twee beweringen die allebei waar moeten zijn; met „of" een waarvan er minstens één waar is — in de wiskunde is dat „of" inclusief, dus ook „allebei" telt mee. Een als-dan-zin

p \Rightarrow q

(een implicatie) zegt: als

p

waar is, dan is

q

dat ook; ze zegt niets over de situatie waarin

p

onwaar is. Belangrijk is dat een implicatie niet zomaar omgekeerd mag worden: uit „als het regent, is de straat nat" volgt niet „als de straat nat is, regent het". Geldt een verband in beide richtingen, dan schrijf je

p \Leftrightarrow q

, „

p

dan en slechts dan als

q

" — een equivalentie. Bij het herleiden van vergelijkingen is dit verschil concreet: kwadrateren is een implicatie die schijnoplossingen kan invoeren, zodat je de gevonden oplossingen achteraf moet controleren.

p \Rightarrow q \quad(\text{als } p,\ \text{dan } q), \qquad p \Leftrightarrow q \quad(p \text{ dan en slechts dan als } q)

implicatie en equivalentie

Een implicatie geldt in één richting en mag niet zomaar omgekeerd worden; een equivalentie geldt in beide richtingen tegelijk.

n = 2k+1 \ (k \in \mathbb{Z}) \ \Rightarrow\ n^2 = 2(2k^2+2k)+1

oneven kwadraat is oneven

Door een willekeurig oneven getal als 2k+1 te schrijven, dek je in één keer alle oneven getallen af.

Uitgewerkt voorbeeld

Aantonen dat het kwadraat van een oneven getal oneven is

Toon aan dat voor elk oneven geheel getal $n$ geldt dat $n^2$ ook oneven is.

Stap 1 — Schrijf een willekeurig oneven getal algemeen op
Elk oneven getal is van de vorm 2k+1 met k een geheel getal. Door met deze vorm te werken, dek je alle oneven getallen tegelijk af.
$n = 2k+1 \quad (k \in \mathbb{Z})$
Stap 2 — Bereken het kwadraat
Werk (2k+1)² uit met het merkwaardige product (a+b)² = a² + 2ab + b².
$n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1$
Stap 3 — Herken de vorm 2m+1
Haal een factor 2 buiten de eerste twee termen. Omdat 2k²+2k een geheel getal is, staat er weer 2·(geheel) + 1, dus een oneven getal.
$n^2 = 2(2k^2+2k) + 1 \quad\Rightarrow\quad n^2 \text{ is oneven}$

Resultaat: Conclusie: voor elk oneven $n = 2k+1$ is $n^2 = 2(2k^2+2k)+1$ , een getal van de vorm $2m+1$ , en dus oneven. Omdat $k$ een willekeurig geheel getal is, geldt dit voor álle oneven getallen — niet alleen voor de voorbeelden die je zou narekenen.

Veelgemaakte fouten

Een „voor alle"-bewering met enkele voorbeelden „bewijzen": voorbeelden illustreren hooguit, ze bewijzen niets algemeens.
Een implicatie omkeren alsof $p \Rightarrow q$ hetzelfde is als $q \Rightarrow p$ ; dat is alleen zo bij een echte equivalentie $\Leftrightarrow$ .
Het isgelijkteken als pijl tussen losse stappen gebruiken, of na kwadrateren vergeten de schijnoplossingen te controleren.

Actieve herhaling

Toon aan dat de som van twee opeenvolgende oneven getallen altijd deelbaar is door $4$ . Weerleg daarna met een tegenvoorbeeld de bewering: „het product van twee oneven getallen is altijd deelbaar door $3$ ."

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde D (HAVO) (CvTE / Examenblad)

ICT en de grafische rekenmachine#

Basisexamenblad-nl

Veelgebruikte GR-functies

Afb. 4Een overzicht van veelgebruikte GR-functies bij wiskunde D, met per functie wat ze berekent en teruggeeft.

De grafische rekenmachine (GR) en andere ICT zijn bij wiskunde D onmisbaar gereedschap, maar gereedschap dat je dóélmatig moet inzetten: je gebruikt het waar handmatig rekenen omslachtig of onmogelijk is, en je houdt het in de hand waar exact rekenen sneller en betrouwbaarder is. De GR neemt je het zware rekenwerk uit handen — kansen in een verdeling, kengetallen van een dataset, snijpunten van grafieken — terwijl jíj bepaalt wélke berekening nodig is en wat het antwoord betekent. Het schoolexamen (SE) van wiskunde D leunt sterk op statistiek, en juist daar bewijst de GR zijn waarde: kansen die je met de hand nauwelijks kunt uitrekenen, vraag je met één functie op. Tegelijk verwacht het SE dat je laat zien wélke functie je gebruikt en met welke invoer, zodat je antwoord navolgbaar blijft en niet als een onverklaarde uitkomst uit de lucht komt vallen.

Bij de kansrekening zijn vier functies de werkpaarden. Voor de binomiale verdeling geeft

\text{binompdf}(n,p,k)

de kans op precies

k

successen,

P(X = k)

, en

\text{binomcdf}(n,p,k)

de kans op hoogstens

k

successen,

P(X \le k)

. Voor de normale verdeling geeft

\text{normalcdf}

met de ondergrens, bovengrens,

\mu

\sigma

de kans dat

X

tussen twee waarden ligt, en

\text{invNorm}

doet het omgekeerde: bij een gegeven kans (oppervlakte) zoekt hij de bijbehorende grenswaarde op. De kunst zit in het vertalen van de vraag naar de juiste functie. „Minstens

k

" is bijvoorbeeld geen directe knop: omdat

\text{binomcdf}

alleen „hoogstens" geeft, herschrijf je

P(X \ge k) = 1 - P(X \le k-1)

. Met de functie

\text{1-Var-Stats}

haal je uit een ingevoerde datalijst in één keer het gemiddelde

\bar{x}

en de standaardafwijking

\sigma

, die je daarna weer in een normale-verdelingsberekening kunt gebruiken.

Naast kansen helpt de GR je een model bíj data te vinden, via regressie. Voer je een tabel met meetpunten in, dan berekent de machine met lineaire regressie de best passende rechte

y = ax + b

, en met exponentiële of machtsregressie een passende kromme. Naast de formule geeft de GR vaak de correlatiecoëfficiënt

r

(of

r^2

): een getal tussen

-1

1

dat aangeeft hoe goed de punten op de gevonden lijn liggen — dicht bij

1

-1

betekent een sterk verband, dicht bij

0

een zwak. Zo sluit regressie direct aan op de modelleercyclus: de GR levert het model, maar jíj beoordeelt of het past en wat het in de context betekent. Pas wel op met extrapoleren: een regressiemodel is betrouwbaar binnen het bereik van je data, maar ver daarbuiten kan het flink mis zitten.

De GR rekent niet alleen, hij tekent ook. Voer een functievoorschrift in en je kunt de grafiek laten plotten en een waardetabel laten genereren; daarbij is het goed instellen van het venster (de window: het bereik van

x

y

) bepalend voor wat je ziet — een te klein venster verbergt nulpunten of toppen, een te groot maakt details onzichtbaar. Met de ingebouwde opties vraag je vervolgens precies de bijzondere punten op:

\text{intersect}

geeft het snijpunt van twee grafieken,

\text{zero}

een nulpunt, en

\text{maximum}

\text{minimum}

een top of dal. Ook bij meetkunde en bij het oplossen van vergelijkingen die niet exact lukken, is dit de manier: je benadert de oplossing als het snijpunt van twee grafieken. Lees zulke waarden wel kritisch af, want de GR geeft altijd een afgeronde, numerieke benadering — geen exact antwoord.

Dat laatste raakt de belangrijkste vaardigheid: kritisch en nauwkeurig met technologie omgaan. De GR geeft vrijwel altijd een benaderde decimale waarde, dus wanneer een opgave een exact antwoord vraagt — een breuk, een wortel of een veelvoud van

\pi

— moet je de uitkomst zelf exact opschrijven en niet de afronding van het scherm overnemen. Controleer ook altijd of de machine in de juiste modus staat: rekent hij in radialen of in graden, en heb je het venster passend gekozen? Een verkeerde hoekmodus of een ongelukkig venster levert een net verkeerd of onleesbaar resultaat op. En blijf nadenken over het antwoord: een kans hoort tussen

0

1

te liggen, een lengte is positief. Vertrouw de GR voor het rekenwerk, maar laat het oordeel over wat klopt en wat het betekent altijd bij jezelf — technologie is een hulpmiddel, geen vervanging van je wiskundig inzicht.

P(X = k) = \text{binompdf}(n,p,k), \qquad P(X \le k) = \text{binomcdf}(n,p,k)

binomiale kansen op de GR

binompdf geeft de kans op precies k successen; binomcdf de kans op hoogstens k successen.

P(X \ge k) = 1 - P(X \le k-1) = 1 - \text{binomcdf}(n,p,k-1)

minstens k via het complement

„Minstens k" zit niet als directe knop op de GR; herschrijf het met het complement naar een binomcdf-berekening.

Uitgewerkt voorbeeld

Een binomiale kans opvragen met de GR

Een meerkeuzetoets heeft $20$ vragen met elk $4$ opties. Je gokt elke vraag, dus het aantal goed $X$ is binomiaal verdeeld met $n = 20$ en $p = 0{,}25$ . Bereken $P(X \ge 8)$ .

Stap 1 — Stel de verdeling vast
Elke vraag is een onafhankelijke poging met succeskans 1/4. Het aantal goed is daarom binomiaal verdeeld.
$X \sim \text{Bin}(20,\ 0{,}25), \quad n = 20,\ p = 0{,}25$
Stap 2 — Herschrijf „minstens 8" met het complement
De GR geeft via binomcdf alleen „hoogstens". Schrijf P(X ≥ 8) daarom als 1 minus P(X ≤ 7).
$P(X \ge 8) = 1 - P(X \le 7) = 1 - \text{binomcdf}(20,\ 0{,}25,\ 7)$
Stap 3 — Vraag de waarde op en rond af
De GR geeft binomcdf(20, 0,25, 7) ≈ 0,898. Trek dat van 1 af voor het eindantwoord.
$P(X \ge 8) \approx 1 - 0{,}898 = 0{,}102$

Resultaat: Resultaat: $P(X \ge 8) \approx 0{,}102$ , dus ongeveer $10\%$ kans dat je er bij puur gokken minstens $8$ goed hebt. Door eerst het complement te nemen, kun je de „minstens"-vraag met één $\text{binomcdf}$ -berekening beantwoorden.

Veelgemaakte fouten

$\text{binomcdf}$ gebruiken voor „minstens $k$ " zonder over te stappen op het complement, of de grens met één verschuiven ( $k$ in plaats van $k-1$ ).
Een afgeronde GR-uitkomst overnemen terwijl een exact antwoord (breuk, wortel, $\pi$ ) gevraagd wordt.
De rekenmachine in de verkeerde hoekmodus (radialen/graden) laten staan of een venster kiezen waarin nulpunten of toppen buiten beeld vallen.

Actieve herhaling

Een dobbelsteen wordt $30$ keer gegooid; $X$ is het aantal zessen, dus $X \sim \text{Bin}(30,\ \tfrac{1}{6})$ . Bereken met de GR $P(X = 5)$ en $P(X \ge 8)$ , en rond af op drie decimalen.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde D (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / Examenblad

Examenprogramma wiskunde D (HAVO)

Vaardigheden (algemene, wiskundige en vakspecifieke vaardigheden)

Kernpunten

Een uitdrukking met machten en wortels vereenvoudigen

Kernpunten

Een variabele vrijmaken en een grootheid berekenen

Kernpunten

Aantonen dat het kwadraat van een oneven getal oneven is

Kernpunten

Een binomiale kans opvragen met de GR

Bronnen