Samenvattingen · Wiskunde DNL · HAVO

Profielspecifieke verdieping statistiek en kansrekening

Deze profielverdieping binnen domein B (kansrekening en statistiek) bundelt drie samenhangende ideeën uit de schoolexamenstof van wiskunde D: het schatten van een proportie of gemiddelde met een 95%-betrouwbaarheidsinterval, de rekenregels voor de verwachtingswaarde en de spreiding van stochasten (met de kernregel dat een steekproefgemiddelde minder gespreid is dan één waarneming, sigma gedeeld door de wortel van n), en het simuleren van kansexperimenten met de wet van de grote aantallen. Je bouwt voort op de binomiale en de normale verdeling en ziet hoe schatten, spreiding en simuleren in elkaar grijpen. Het hele onderwerp wordt getoetst in het schoolexamen (SE); wiskunde D kent geen centraal examen.

3Onderdelenca. 24min leestijd3VaardighedenNiveauStandaard 2 · Verdieping 1

T·0777 / 13

Examenprofiel

Het verschil tussen populatie en steekproef benoemen en een proportie of gemiddelde uit een steekproef schatten met een 95%-betrouwbaarheidsinterval (schatting plus en min de foutmarge).De rekenregels voor verwachtingswaarde en spreiding toepassen en met de regel sigma gedeeld door de wortel van n beredeneren waarom een steekproefgemiddelde minder spreiding heeft dan één losse waarneming.Een kansexperiment met de grafische rekenmachine simuleren en met de wet van de grote aantallen de relatieve frequentie als schatting van de theoretische kans interpreteren.

Operatoren:berekenbepaalschatsimuleerinterpreteerberedeneer

basisniveau

Voor het schoolexamen (SE): schat een proportie of gemiddelde met een 95%-betrouwbaarheidsinterval, gebruik sigma gedeeld door de wortel van n voor de spreiding van een gemiddelde, en simuleer een kansexperiment om met de wet van de grote aantallen een kans te schatten.

verhoogd niveau

Verdieping binnen domein B: beredeneer met de rekenregels voor verwachtingswaarde en spreiding (en de centrale limietstelling) waaróm het gemiddelde klokvormig en minder gespreid is, en waarom meer steekproef of meer simulaties pas via de wortel van n nauwkeuriger worden.

Diepte

Schrift

Inhalt · 3 onderdelen

Profielspecifieke verdieping statistiek en kansrekening

Steekproeven, schattingen en het betrouwbaarheidsinterval#

Standardexamenblad-nl

95%-betrouwbaarheidsinterval rond een steekproefproportie

Afb. 1De steekproefproportie (60%) ligt in het midden; de foutmarge van bijna 5 procentpunt maakt het 95%-betrouwbaarheidsinterval van ongeveer 55% tot 65%.

In de statistiek wil je vaak iets weten over een hele groep — alle kiezers, alle pakken hagelslag van een machine, alle leerlingen van een opleiding. Die volledige groep heet de populatie. Meestal kun je niet iedereen meten, dus onderzoek je een kleinere, aselect getrokken selectie: de steekproef. Op grond van wat je in de steekproef ziet, doe je een uitspraak over de hele populatie. Vaak gaat die uitspraak over een proportie (welk deel heeft een bepaald kenmerk) of over een gemiddelde (de gemiddelde waarde van een grootheid). Het getal dat je in de steekproef vindt — de steekproefproportie

\hat{p}

of het steekproefgemiddelde

\overline{x}

— is je beste schatting van de onbekende populatiewaarde. Dit onderwerp is een profielverdieping binnen domein B (kansrekening en statistiek) en hoort bij de SE-stof; je bouwt hier voort op de binomiale en de normale verdeling die je al kent.

Een schatting uit één steekproef is nooit precies de waarheid. Trek je twee keer aselect een even grote steekproef uit dezelfde populatie, dan vind je vrijwel nooit exact dezelfde proportie of hetzelfde gemiddelde: de ene greep bevat toevallig wat meer voorstanders, de andere wat minder. Die onvermijdelijke wiebel heet toevalsvariatie, en ze betekent dat de schatting zélf een toevalsgrootheid (stochast) is. Je weet uit de stof over de binomiale en de normale verdeling dat zo'n grootheid een verwachtingswaarde en een spreiding heeft: de steekproefproportie ligt gemiddeld precies op de populatieproportie (de schatting is zuiver), maar schommelt eromheen met een zekere standaardafwijking. Daarom is het oneerlijk om alleen het kale getal te melden. Een nette uitspraak vertelt er meteen bij hoe nauwkeurig de schatting is — en dat doe je met een betrouwbaarheidsinterval.

Een betrouwbaarheidsinterval is een heel gebied rond de schatting waarvan je met grote waarschijnlijkheid mag zeggen dat de werkelijke populatiewaarde erin ligt. In de praktijk werk je bijna altijd met het 95%-betrouwbaarheidsinterval, en dat heeft steeds dezelfde vorm: schatting plus en min een foutmarge. Voor een gemiddelde is dat

\overline{x}\pm 2\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}

en voor een proportie

\hat{p}\pm 2\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}

. De factor 2 komt rechtstreeks uit de vuistregels van de normale verdeling: ongeveer 95% van een normaal verdeelde grootheid ligt binnen twee standaardafwijkingen van het midden, en de schatting is bij benadering normaal verdeeld. De foutmarge is dus simpelweg twee keer de standaardafwijking van de schatting. Als snelle, veilige bovengrens voor een proportie geldt bovendien de bekende HAVO-vuistregel

\frac{1}{\sqrt{n}}

, die hoort bij de ongunstigste proportie

\hat{p}=0{,}5

Het woord „betrouwbaar” vraagt om voorzichtig lezen. Stel dat een steekproef het interval van 35% tot 45% oplevert. Dan mag je zeggen: „we zijn er 95% zeker van dat de werkelijke populatieproportie tussen 35% en 45% ligt”. Wat je niét mag zeggen, is dat de populatieproportie met 95% kans precies 40% is, of dat 95% van de mensen tussen 35% en 45% scoort. De populatiewaarde is namelijk één vast (maar onbekend) getal — die springt nergens heen. De 95% slaat op de methode: zou je het hele onderzoek heel vaak herhalen en telkens opnieuw zo'n interval berekenen, dan zou ongeveer 95 van elke 100 van die intervallen de echte waarde bevatten en ongeveer 5 niet. „95% betrouwbaar” betekent daarom „zeer waarschijnlijk juist, maar niet gegarandeerd” — betrouwbaarheid is geen zekerheid.

De foutmarge kun je sturen met de steekproefgrootte

n

, want

n

staat in de noemer, onder een wortel. Daardoor is de marge omgekeerd evenredig met de wortel van

n

\text{foutmarge}\propto\frac{1}{\sqrt{n}}

. Een grotere steekproef geeft dus een smaller, nauwkeuriger interval, maar de winst loopt terug. Om de marge te hálveren moet je

n

niet verdubbelen maar verviervoudigen, want pas de wortel van 4 (dat is 2) in de noemer halveert de marge; van

n=400

naar

n=1600

daalt de marge van ongeveer

0{,}05

naar

0{,}025

. Elke stap extra nauwkeurigheid kost zo onevenredig veel meer waarnemingen. Wáárom de spreiding juist met

\frac{1}{\sqrt{n}}

daalt, en niet met

\frac{1}{n}

, bewijs je in de volgende paragraaf met de rekenregel

\sigma_{\overline{X}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}

voor het steekproefgemiddelde.

\overline{x}\pm 2\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}

95%-interval voor een gemiddelde

Neem het steekproefgemiddelde en leg er aan beide kanten twee standaardafwijkingen van het gemiddelde omheen. De factor 2 komt uit de 95%-vuistregel van de normale verdeling.

\hat{p}\pm 2\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}

95%-interval voor een proportie

Het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor een proportie: de schatting plus en min twee keer de standaardafwijking van de steekproefproportie. Als veilige bovengrens geldt de vuistregel 1 gedeeld door de wortel van n.

\text{foutmarge}\propto\frac{1}{\sqrt{n}}

marge daalt met de wortel van n

De foutmarge is omgekeerd evenredig met de wortel van de steekproefgrootte: vier keer zoveel waarnemingen (de wortel van 4 is 2) halveert de marge.

Uitgewerkt voorbeeld

Een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor een proportie bepalen

In een aselecte steekproef van n = 400 kiezers blijken er 240 vóór een voorstel te zijn. Bepaal de steekproefproportie, bereken met de normale benadering het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de populatieproportie, en interpreteer het resultaat.

Stap 1 — Bepaal de steekproefproportie
Deel het aantal voorstanders door de steekproefgrootte: van de 400 ondervraagden zijn er 240 vóór, dus de steekproefproportie is 240/400 = 0,60. Dit getal is je schatting en vormt het midden van het interval.
$\hat{p}=\frac{240}{400}=0{,}60$
Stap 2 — Bereken de standaardafwijking van de schatting
De standaardafwijking van de steekproefproportie is de wortel van p-dakje maal (1 min p-dakje), gedeeld door n. Met p-dakje = 0,60 en n = 400 geeft dat de wortel van 0,0006, ongeveer 0,0245.
$\sqrt{\frac{0{,}60\cdot 0{,}40}{400}}=\sqrt{0{,}0006}\approx 0{,}0245$
Stap 3 — Maak de foutmarge (95% = 2 standaardafwijkingen)
Bij het 95%-interval hoort een marge van twee standaardafwijkingen, want ongeveer 95% van een normaal verdeelde grootheid ligt binnen twee standaardafwijkingen van het midden. De foutmarge is dus 2 × 0,0245 ≈ 0,049, bijna 5 procentpunt.
$m\approx 2\cdot 0{,}0245\approx 0{,}049$
Stap 4 — Stel het interval op
Leg de foutmarge aan beide kanten van de schatting: 0,60 − 0,049 ≈ 0,55 als ondergrens en 0,60 + 0,049 ≈ 0,65 als bovengrens. Het 95%-betrouwbaarheidsinterval loopt dus van ongeveer 0,55 tot 0,65.
$0{,}60\pm 0{,}049\;\Rightarrow\;0{,}55\le p\le 0{,}65$
Stap 5 — Interpreteer
Conclusie: we zijn er 95% zeker van dat de werkelijke proportie voorstanders in de populatie tussen ongeveer 55% en 65% ligt. We mogen niet zeggen dat precies 60% vóór is; de schatting heeft een marge van bijna 5 procentpunt naar beide kanten.

Resultaat: De steekproefproportie is 0,60; met een standaardafwijking van ongeveer 0,0245 en een foutmarge van 2 × 0,0245 ≈ 0,049 loopt het 95%-betrouwbaarheidsinterval van ongeveer 0,55 tot 0,65. We zijn er 95% zeker van dat de populatieproportie tussen 55% en 65% ligt — niet dat die precies 60% is.

Veelgemaakte fouten

De foutmarge maar aan één kant van de schatting gebruiken; het interval loopt van de schatting min de marge tot de schatting plus de marge en is dus twee keer de marge breed.
„95% betrouwbaar” lezen als „95% kans dat de waarde precies de schatting is” of als een uitspraak over individuen; de 95% slaat op de methode, en het interval gaat over de onbekende populatiewaarde.
Vergeten de wortel te nemen: de marge bevat de wortel van n, niet n zelf — je verviervoudigt de steekproef om de marge te halveren, je verdubbelt hem niet.

Actieve herhaling

In een aselecte steekproef van 200 kiezers is 45% (een proportie van 0,45) vóór een voorstel. Bereken het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de populatieproportie en interpreteer het in één zin. Beredeneer daarna hoeveel kiezers je ongeveer moet ondervragen om de foutmarge te halveren.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde D (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Som en gemiddelde van stochasten#

Vertiefungexamenblad-nl

Verdeling van het steekproefgemiddelde tegenover één waarneming

Afb. 2Het steekproefgemiddelde (smalle, hoge klok) is minder gespreid dan één losse waarneming (brede, lage klok): de standaardafwijking krimpt van sigma naar sigma gedeeld door de wortel van n. Beide krommen hebben dezelfde totale oppervlakte 1.

Een toevalsgrootheid of stochast is een grootheid waarvan de waarde van het toeval afhangt, zoals het aantal ogen bij één worp of het aantal zessen in tien worpen. Bij elke stochast

X

hoort een verwachtingswaarde

E(X)

: het gemiddelde dat je op de lange duur verwacht, berekend als

E(X)=\sum x\cdot P(X=x)

— elke mogelijke waarde maal haar kans, opgeteld. Voor één dobbelsteen is

E(X)=1\cdot\tfrac{1}{6}+2\cdot\tfrac{1}{6}+\dots+6\cdot\tfrac{1}{6}=3{,}5

. Bij de binomiale verdeling ken je de kant-en-klare formule

E(X)=np

, en bij de normale verdeling is de verwachtingswaarde het gemiddelde

\mu

. In deze paragraaf leer je rekenregels waarmee je verwachtingswaarden en spreidingen van samengestelde en opgetelde stochasten kunt bepalen — precies wat je nodig hebt om het steekproefgemiddelde te begrijpen.

De eerste rekenregel gaat over het schalen en verschuiven van een stochast:

E(aX+b)=aE(X)+b

. In woorden: vermenigvuldig je elke uitkomst met

a

en tel je er

b

bij op, dan ondergaat de verwachtingswaarde precies dezelfde bewerking. De intuïtie is eenvoudig — maak je alle waarden twee keer zo groot, dan wordt het gemiddelde ook twee keer zo groot, en een vaste toeslag

b

schuift het gemiddelde gewoon met

b

op. Een voorbeeld: je gooit één dobbelsteen (

E(X)=3{,}5

) en je prijs is

2X+1

euro. Dan is je verwachte prijs

E(2X+1)=2\cdot 3{,}5+1=8

euro. Deze regel gebruik je voortdurend, bijvoorbeeld bij het omrekenen van eenheden of het verrekenen van een vaste toeslag, en straks bij het delen door

n

om een gemiddelde te vormen.

De tweede rekenregel telt twee stochasten op:

E(X+Y)=E(X)+E(Y)

. De verwachtingswaarde van een som is altijd de som van de verwachtingswaarden — en, anders dan bij de spreiding, geldt dit óók als

X

Y

van elkaar afhangen. Gooi je twee dobbelstenen, dan is de verwachte som

E(X+Y)=3{,}5+3{,}5=7

. De regel breidt netjes uit naar meer stochasten: tel je

n

onafhankelijke waarnemingen

X_1,X_2,\dots,X_n

uit dezelfde verdeling met gemiddelde

\mu

op tot de som

S=X_1+\dots+X_n

, dan is

E(S)=n\mu

. Dit is de bouwsteen voor het steekproefgemiddelde: dat is immers niets anders dan zo'n som, gedeeld door

n

. In de volgende stappen combineren we deze somregel met de eerste regel (

E(aX+b)=aE(X)+b

) om de verwachtingswaarde van het gemiddelde te vinden.

Voor de spreiding gelden andere regels dan voor de verwachtingswaarde. Schaal je met

a

, dan geldt

\sigma(aX)=|a|\cdot\sigma(X)

: de standaardafwijking wordt

|a|

keer zo groot (een vaste toeslag

b

verandert de spreiding niet — verschuiven rekt niets uit). Bij het optellen van stochasten ligt het subtieler: niet de standaardafwijkingen zelf tellen op, maar hun kwadraten — de varianties — en alléén als de stochasten onafhankelijk zijn. Voor

n

onafhankelijke waarnemingen met elk standaardafwijking

\sigma

wordt de variantie van de som

n\sigma^2

, zodat de standaardafwijking van de som

\sigma_S=\sigma\sqrt{n}

is. Dit herken je uit de binomiale verdeling:

\sigma=\sqrt{np(1-p)}

is precies het optellen van

n

losse bijdragen

p(1-p)

onder de wortel. Onthoud het beeld: de som van veel onafhankelijke stochasten spreidt uit met

\sqrt{n}

, niet met

n

Nu kunnen we het steekproefgemiddelde ontleden. Het is de som van

n

onafhankelijke waarnemingen, gedeeld door

n

\overline{X}=\frac{1}{n}(X_1+\dots+X_n)=\frac{S}{n}

. Voor de verwachtingswaarde geeft de somregel

E(S)=n\mu

, en delen door

n

geeft

E(\overline{X})=\mu

: het gemiddelde schat de populatiewaarde zuiver, het schiet niet stelselmatig te hoog of te laag. Voor de spreiding gebruiken we

\sigma_S=\sigma\sqrt{n}

en de schaalregel

\sigma\left(\frac{S}{n}\right)=\frac{1}{n}\sigma_S

. Samen geeft dat

\sigma_{\overline{X}}=\frac{\sigma\sqrt{n}}{n}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}

. Dit is de centrale uitkomst: het steekproefgemiddelde is mínder gespreid dan één losse waarneming, en wel met een factor wortel

n

. Een gemiddelde van honderd metingen is tien keer zo stabiel als één meting. Dit verklaart precies de

\frac{1}{\sqrt{n}}

-regel voor de foutmarge uit de vorige paragraaf.

Er hoort nog een opmerkelijk feit bij, de centrale limietstelling. Hoe de oorspronkelijke verdeling van één waarneming er ook uitziet — scheef, blokvormig of grillig — de verdeling van het steekproefgemiddelde

\overline{X}

wordt bij een groeiende

n

steeds meer klokvormig: bij benadering normaal, met het midden op

\mu

en standaardafwijking

\frac{\sigma}{\sqrt{n}}

. In de figuur zie je die smallere, hogere klok naast de bredere verdeling van één losse waarneming; beide hebben dezelfde totale oppervlakte 1, maar het gemiddelde knijpt samen rond

\mu

. Dit is de diepere reden waarom de normale verdeling zo'n centrale rol speelt in de statistiek, en waarom de betrouwbaarheidsintervallen uit de vorige paragraaf werken: omdat

\overline{X}

bij benadering normaal is, ligt het werkelijke gemiddelde met ongeveer 95% kans binnen

\overline{x}\pm 2\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}

. Verdeling, spreiding en betrouwbaarheid grijpen zo netjes in elkaar.

E(aX+b)=aE(X)+b

verwachtingswaarde bij schalen en verschuiven

Vermenigvuldig je elke uitkomst met a en tel je b op, dan doet de verwachtingswaarde precies hetzelfde mee. Een vaste toeslag b verschuift het gemiddelde, een factor a schaalt het.

E(X+Y)=E(X)+E(Y)

verwachtingswaarde van een som

De verwachtingswaarde van een som is altijd de som van de verwachtingswaarden — ook als X en Y van elkaar afhangen. Voor n waarnemingen wordt de verwachte som n maal mu.

\sigma_{S}=\sigma\sqrt{n}\quad\text{maar}\quad\sigma_{\overline{X}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}

som versus gemiddelde

De spreiding van de SOM van n onafhankelijke waarnemingen groeit met de wortel van n; die van het GEMIDDELDE krimpt met de wortel van n. Verwar deze twee niet.

\sigma_{\overline{X}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}

spreiding van het steekproefgemiddelde

De standaardafwijking van het steekproefgemiddelde is die van één waarneming, gedeeld door de wortel van n. Het gemiddelde is dus minder gespreid dan één losse waarneming.

Spreiding van het gemiddelde bij toenemende steekproefgrootte

Afb. 3De spreiding van het gemiddelde, sigma gedeeld door de wortel van n, bij sigma = 20 g per pak: vier keer zoveel waarnemingen halveert telkens de spreiding.

Uitgewerkt voorbeeld

De spreiding van een steekproefgemiddelde berekenen en interpreteren

Een machine vult pakken met een vulgewicht dat normaal verdeeld is met gemiddelde μ = 500 gram en standaardafwijking σ = 20 gram per pak. Je neemt een aselecte steekproef van n = 25 pakken en kijkt naar het gemiddelde vulgewicht. Bereken de verwachtingswaarde en de standaardafwijking van dat steekproefgemiddelde en leg uit wat ze betekenen.

Stap 1 — Schrijf de gegevens op
Eén pak: gemiddelde μ = 500 g en standaardafwijking σ = 20 g. De steekproef bevat n = 25 pakken; je onderzoekt het steekproefgemiddelde (X-streep) van die 25 vulgewichten.
Stap 2 — Verwachtingswaarde van het gemiddelde
Het gemiddelde is de som van de 25 vulgewichten gedeeld door 25. Met de somregel is de verwachte som 25 × 500 g, en delen door 25 geeft 500 g. Het steekproefgemiddelde schat het populatiegemiddelde dus zuiver.
$E(\overline{X})=\frac{1}{25}\cdot(25\cdot 500)=500\text{ g}$
Stap 3 — Standaardafwijking van het gemiddelde
Gebruik de regel: sigma van het gemiddelde is sigma gedeeld door de wortel van n. De wortel van 25 is 5, dus de standaardafwijking van het gemiddelde is 20/5 = 4 g.
$\sigma_{\overline{X}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{20}{\sqrt{25}}=\frac{20}{5}=4\text{ g}$
Stap 4 — Interpreteer de spreiding
Eén los pak wijkt met een standaardafwijking van 20 g van 500 g af, maar het gemiddelde van 25 pakken wijkt met slechts 4 g af — vijf keer zo stabiel. Door te middelen vlakken de toevallige uitschieters van de losse pakken tegen elkaar weg.
Stap 5 — Koppel aan de centrale limietstelling
Volgens de centrale limietstelling is het steekproefgemiddelde bij benadering normaal verdeeld met midden 500 g en standaardafwijking 4 g. Daarom ligt ongeveer 95% van de mogelijke steekproefgemiddelden binnen 500 ± 2 × 4, dus tussen 492 g en 508 g.
$500\pm 2\cdot 4=500\pm 8\;\Rightarrow\;492\text{ tot }508\text{ g}$

Resultaat: Het steekproefgemiddelde heeft verwachtingswaarde 500 g en standaardafwijking σ/√n = 20/√25 = 4 g — vijf keer kleiner dan de 20 g van één pak. Het gemiddelde van 25 pakken is dus veel stabieler dan één enkel pak, en ligt volgens de centrale limietstelling met ongeveer 95% kans tussen 492 en 508 g.

Veelgemaakte fouten

De standaardafwijkingen van onafhankelijke stochasten gewoon optellen; niet de standaardafwijkingen maar hun kwadraten (de varianties) tellen op, zodat de spreiding van de som de wortel-n-regel volgt.
De spreiding van de SOM en die van het GEMIDDELDE verwisselen: de som van n waarnemingen heeft een grotere spreiding (sigma maal de wortel van n), het gemiddelde juist een kleinere (sigma gedeeld door de wortel van n).
Denken dat E(X+Y) = E(X) + E(Y) alleen geldt bij onafhankelijkheid; de somregel voor de verwachtingswaarde geldt altijd, terwijl het optellen van de varianties juist wél onafhankelijkheid vereist.

Actieve herhaling

Het gewicht van één appel is normaal verdeeld met μ = 150 gram en σ = 18 gram. Je weegt een aselecte doos met n = 9 appels en kijkt naar het gemiddelde gewicht. Bereken de verwachtingswaarde en de standaardafwijking van dat steekproefgemiddelde, en leg uit hoeveel stabieler het gemiddelde is dan het gewicht van één appel.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde D (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Simuleren en de wet van de grote aantallen#

Standardexamenblad-nl

Relatieve frequentie nadert de theoretische kans

Afb. 4Bij het simuleren van „som = 7” met twee dobbelstenen springt de relatieve frequentie bij weinig worpen nog op en neer, maar nadert ze bij veel worpen de theoretische kans 1/6 ≈ 0,167 (de vlakke lijn).

Niet elke kans laat zich makkelijk uitrekenen. Soms is een kansexperiment zo ingewikkeld — veel stappen, afhankelijke gebeurtenissen, lastige combinatoriek — dat een formule moeilijk te vinden is. Dan kun je het experiment nabootsen met toevalsgetallen: dat heet simuleren. Op de grafische rekenmachine doe je dat met de random-functies:

\text{rand}

levert een willekeurig getal tussen 0 en 1, en

\text{randInt}(1,6)

trekt een willekeurig geheel getal van 1 tot en met 6 — precies één dobbelsteenworp. Door zo'n trekking heel vaak te herhalen, het experiment dus na te spelen, en te tellen hoe vaak een bepaalde gebeurtenis optreedt, krijg je een beeld van hoe waarschijnlijk die gebeurtenis is. Simuleren hoort als profielverdieping bij domein B (SE-stof): het is de praktische, experimentele tegenhanger van het exact uitrekenen van kansen, en met ICT goed uitvoerbaar.

De uitkomst van een simulatie vat je samen in een relatieve frequentie: het aantal keren dat de gebeurtenis optrad, gedeeld door het totale aantal herhalingen. Simuleer je 1000 worpen met twee dobbelstenen en valt 163 keer de som 7, dan is de relatieve frequentie

\frac{163}{1000}=0{,}163

. Die relatieve frequentie is je schatting van de werkelijke kans. Maar net als een steekproefproportie is ze niet exact: een nieuwe simulatie van 1000 worpen geeft een iets ander getal, want het toeval speelt mee. De relatieve frequentie is dus zelf een toevalsgrootheid, met een spreiding die — je raadt het al — afneemt met de wortel van het aantal herhalingen. Meer simuleren betekent een betrouwbaarder schatting, op precies dezelfde manier als een grotere steekproef een nauwkeuriger uitspraak geeft.

Dat de relatieve frequentie een goede schatting is, berust op de wet van de grote aantallen. Die zegt: naarmate je een kansexperiment vaker herhaalt, nadert de relatieve frequentie van een gebeurtenis steeds dichter haar theoretische kans

p

. Voor de som 7 met twee dobbelstenen is

p=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\approx 0{,}167

; in de grafiek zie je hoe de relatieve frequentie bij 10 en 50 worpen nog flink op en neer springt, maar bij 1000 en 5000 worpen vrijwel op de lijn

0{,}167

blijft liggen. De wet van de grote aantallen is het fundament onder simuleren: zonder haar zou een simulatie niets over de echte kans zeggen. Ze verbindt de experimentele wereld van het tellen met de theoretische wereld van het uitrekenen — en verklaart waarom een lange reeks herhalingen het toeval laat uitmiddelen.

Pas op voor een hardnekkig misverstand: de wet van de grote aantallen zegt niét dat de aantallen „gelijk getrokken” worden. Heb je net vijf keer achter elkaar geen 7 gegooid, dan is de kans op een 7 bij de volgende worp nog steeds gewoon

\frac{1}{6}

— de dobbelstenen hebben geen geheugen. Dit is de gokkersmisvatting: geloven dat het toeval een „achterstand” inhaalt. Wat de wet wél zegt, gaat over de relatieve frequentie, niet over de absolute aantallen. Sterker nog, de absolute afwijking tussen het werkelijke aantal successen en het verwachte aantal mag bij meer worpen juist groeien; het is de verhouding tot het totaal die naar

p

kruipt, doordat de noemer veel sneller groeit dan de afwijking. „Op de lange duur” betekent dus: in verhouding, niet in absolute aantallen.

Simuleren is vooral waardevol wanneer exact rekenen lastig of ondoenlijk is. Bij een ingewikkeld spel, een wachtrij of een keten van afhankelijke gebeurtenissen kun je de kans vaak niet netjes in een formule vangen, maar wél nabootsen en schatten. Zelfs bij kansen die je in principe kunt uitrekenen, is een simulatie een prettige controle: levert je formule ongeveer hetzelfde als een lange simulatie, dan groeit je vertrouwen in beide. De werkwijze is steeds dezelfde — bepaal hoe je één herhaling met toevalsgetallen nabootst, herhaal heel vaak, tel de gebeurtenis en deel door het aantal herhalingen — en de nauwkeurigheid van je schatting verbetert met de wortel van dat aantal, net als bij de steekproeven uit de eerste paragraaf. Zo sluit deze profielverdieping zich: schatten, spreiding en simuleren zijn drie kanten van hetzelfde statistische denken.

\text{relatieve frequentie}=\frac{\text{aantal keren de gebeurtenis}}{\text{aantal herhalingen}}

relatieve frequentie

Tel hoe vaak de gebeurtenis optreedt en deel door het totale aantal herhalingen. Deze relatieve frequentie is je schatting van de kans uit de simulatie.

\frac{k}{n}\approx p\quad(\text{grote }n)

wet van de grote aantallen

Naarmate het aantal herhalingen n groeit, nadert de relatieve frequentie k gedeeld door n de theoretische kans p. Meer simuleren geeft een betrouwbaarder schatting.

Uitgewerkt voorbeeld

Een simulatie beschrijven en met de theoretische kans vergelijken

Je wilt de kans op de gebeurtenis „de som is 7” bij het gooien van twee dobbelstenen onderzoeken. Beschrijf hoe je dit met de grafische rekenmachine simuleert, bepaal de theoretische kans, en vergelijk die met een simulatie-uitkomst van 1000 worpen waarbij 163 keer de som 7 viel.

Stap 1 — Beschrijf de gebeurtenis
Je gooit twee dobbelstenen en let op de som van de ogen. De gebeurtenis die je onderzoekt is „som = 7”.
Stap 2 — Bereken de theoretische kans
Tel de gunstige uitkomsten: 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2 en 6+1 geven samen 6 manieren, op een totaal van 6 × 6 = 36 even waarschijnlijke uitkomsten. De theoretische kans is dus 6/36 = 1/6 ≈ 0,167.
$P(\text{som}=7)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\approx 0{,}167$
Stap 3 — Zet de simulatie op
Boots één worp na met twee toevalsgetallen: randInt(1,6) + randInt(1,6) geeft de som van twee dobbelstenen. Laat de rekenmachine dit bijvoorbeeld 1000 keer uitvoeren (een lijst van 1000 sommen) en tel hoe vaak de uitkomst 7 is.
Stap 4 — Bepaal de relatieve frequentie
Stel dat de som 7 in 1000 worpen 163 keer voorkomt. Dan is de relatieve frequentie 163/1000 = 0,163. Dit is je schatting van de kans uit de simulatie.
$\frac{163}{1000}=0{,}163$
Stap 5 — Vergelijk en concludeer
De simulatie geeft 0,163, de theorie 0,167 — vrijwel gelijk. De kleine afwijking is toevalsvariatie; een nieuwe simulatie geeft weer een iets ander getal. Bij 10 of 50 worpen zou de relatieve frequentie nog ver van 0,167 kunnen liggen, maar door de wet van de grote aantallen kruipt ze bij 1000 of 5000 worpen dicht naar de theoretische kans toe.

Resultaat: De theoretische kans op som 7 is 6/36 = 1/6 ≈ 0,167. De simulatie van 1000 worpen gaf met 163 successen een relatieve frequentie van 0,163, vrijwel gelijk aan de theorie. Het kleine verschil is toeval; volgens de wet van de grote aantallen wordt de schatting betrouwbaarder naarmate je vaker simuleert.

Veelgemaakte fouten

De gokkersmisvatting: denken dat na veel zessen een zes „minder waarschijnlijk” wordt omdat de aantallen „gelijk getrokken” worden; de wet van de grote aantallen gaat over de relatieve frequentie, niet over de absolute aantallen, en elke worp houdt kans 1/6.
Een simulatie-uitkomst als de exacte kans presenteren; een simulatie geeft een schatting met toevalsvariatie, die pas bij veel herhalingen dicht bij de theoretische kans ligt.
Met te weinig herhalingen concluderen dat de kans afwijkt; bij kleine aantallen is de relatieve frequentie nog erg grillig en zegt één enkele afwijking weinig.

Actieve herhaling

Je simuleert met de grafische rekenmachine het gooien van twee dobbelstenen en let op de gebeurtenis „som = 8”. Beschrijf hoe je deze simulatie opzet, bepaal de theoretische kans, en leg uit wat je verwacht dat er met de relatieve frequentie gebeurt als je van 50 naar 5000 simulaties gaat.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde D (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / Examenblad

Examenprogramma wiskunde D (HAVO)

Profielspecifieke verdieping statistiek en kansrekening

Kernpunten

Een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor een proportie bepalen

Kernpunten

De spreiding van een steekproefgemiddelde berekenen en interpreteren

Kernpunten

Een simulatie beschrijven en met de theoretische kans vergelijken

Bronnen

Profielspecifieke verdieping statistiek en kansrekening

Kernpunten

Een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor een proportie bepalen

Kernpunten

De spreiding van een steekproefgemiddelde berekenen en interpreteren

Kernpunten

Een simulatie beschrijven en met de theoretische kans vergelijken

Bronnen